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文科高数习题(一)


高数会挂就是个笑话

一、极限
1.证明: lim
x ?0

x x

不存在.

2.证明:当 x ? 0 时, 4 ? x ? 2 与 9 ? x ? 3 是同阶无穷小量. 3.证明: 1 ? x ? 1 ~
x 2 ( x ? 0) .

4.

当 x ? 1 时,两无穷小

1? x 和 1 ? x 中哪一个是高阶的? 1? x

5.当 x ? 1 时,无穷小 1 ? x 和下列无穷小是否同阶?是否等价? (1) 1 ? 3 x ; 6.设当 x ? 0 时, 1 ? cos x ~ a sin 2 7.求极限: (1) lim (2) 2(1 ? x ) .
x ,求 a 的值. 2

x3 ? 2 x ??2 ( x ? 2) 2
3 ? x ? 1? x x 2 ?1
1 x

(2) lim

2x ? 3 x ?1 x ? 5x ? 4
2

(3) lim
x ?1

(4) lim

x ??

sin x x arctan x x

(5) lim x sin
x ?0

(6) lim

x ??

(7) lim

x ? cos x x ? ? 2 x ? cos x

8.求极限: (1) lim
x 2 ?1 x ?? 2 x 2 ? x ? 1

(2) lim

x3 ?1 x ?? x 4 ? 5x ? 3
x2 ? 3 x3 ?1

? x3 x2 ? ? (3) lim? ? x ?? ? 2 x 2 ? 1 2x ? 1 ? ? ?
(5) lim
2 n ? 3n n ?? 2 n ?1 ? 3 n ?1

(4) lim

x ? ?? 3

?1? 2 ? 3 ? ? ? n n ? (6) lim? ? ? n ?? n?2 2? ?

1

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1 1 1 ? ??? n 2 4 2 (7) lim n ?? 1 1 1 1? ? ??? n 3 9 3 1?
(8) lim 1 ? 2 ? ? ? n ? 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)
n ??

?

?

? 1 ? 1 1 1 (9) lim? ? ? ??? n ?? 1 ? 3 3? 5 5? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) ? ? ?
(10) lim
x 2 ? 2x ? 1 x ?1 x3 ? x (n ? N ? )

1 ? ? 3 (11) lim? ? ? 3 x ?1 1 ? x 1? x ? ?
4x 3 ? 2x 2 ? x (13) lim x ?0 3x 2 ? 2x

xn ?1 (12) lim x ?1 x ? 1

x 2 ? 6x ? 8 (14) lim 2 x ? 4 x ? 5x ? 4

(15) lim(1 ? cos x ) cot 2 x
x ?0

3 ? x ? 1? x (16) lim x ?1 x 2 ?1

(17) lim
x ?0

x2 1? 1? x 2

(18) lim
x ?0

1? x ? 1? x x

(19) lim

x ???

?x

2

?x ?x

? ?

2 (20) lim x x ? 1 ? x x ???

?

?
?

2 2 (21) lim x ? 1 ? x ? 1 x ??

?

(22) lim

x ???

?x

2

? x ? x2 ? x

3

(23) lim
x ?1

x ?1 x ?1 1? x ?1 1? x ?1

(24) lim

1? x ? 3 2?3 x

x ??8

(25) lim 3
x ?0

? x2 ?1 ? *9.若 lim? ? ax ? b ? ? ? ? 0 ,求 a , b 的值. x ?? x ? 1 ? ?
10.求下列极限:

x 2 ? sin
(1) lim
x ?0

1 x

sin x

(2) lim

x2 x ?0 ?x? sin 2 ? ? ?3?
x ?0

(3) lim

tan 2 x x ? 0 sin 5 x
x ?0

(4) lim x ? cot 3x (6) lim
x ?0

(5) lim

1 ? cos x sin 2 x

2 arcsin x 3x

2

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(7) xlim ?0? (9) lim

x 1 ? cosx

lim 2 n sin (8) n ??

x 2n

tan x ? sin x x ?0 sin 3 x

? 3x 2 ? 5 2? ? sin ? (10) lim? ? x ?? 5 x ? 3 x? ? ?
? 1? (12) lim?1 ? ? x ?? ? x?
x ?0

(11) lim
x ?0

1? x ? 1? x sin x
2

x

1

(13) lim(1 ? x ) x
x ?0

(14) lim(1 ? 3x ) 2 x
x

? 1? (15) lim ?1 ? ? x ??? ? x?
? 2? (17) lim?1 ? ? x ?? ? x?
2x

? x ? (16) lim? ? x ?? 1 ? x ? ?

x

? 2 ?2 (18) lim?1 ? ? x ?? ? x?

x

?1

? 2 ? x ?x (19) lim? ? x ?0 ? 2 ?

2

? x ?1 ? (20) lim? ? x ?? x ? 1 ? ?

x

?x?a? (21) lim? ? x ?? x ? a ? ?

x ?1

? 2x ? 3 ? (22) lim? ? x ?? 2x ? 1 ? ?

x ?1

? x2 ? ? (23) lim? x ??? x 2 ? 1 ? ? ?

x

(1 ? cos x ) 3 sec x (24) lim ?
x? 2
2

(25) lim?1 ? sin x ? x
x ?0

1

(26) lim(1 ? 3 tan2 x) cot
x ?0

x

x?a? 11.已知 lim? ? ? ? 4 ,求常数 a . x ?? x ? a ? ?

x

二、连续函数
12.设函数 ?(t ) ? t 3 ? 1 ,求 ?( t 2 ) , ??(t )? .
2

13.设 f ( x ) ?

1? x ?1? , ( x ? ?1) ,求 f (?x) , f (1 ? x) , f ? ? . 1? x ?x? x ? x ? ,求 f (x ? 1) , f ? ?. x ?1 ? x ?1?

14.设 f ( x ) ?

?1, x ? 0 ? 15.设 f ( x ) ? ?0 , x ? 0 ,求 f (x ?1) , f (x 2 ?1) . ?1, x ? 0 ?

3

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? 1, 16.设 f ( x ) ? ? ?0,

x ?1 ,求 f ?f ( x )?. x. ?1

?x 2 , 0 ? x ? 1 17.设 ?(x ? 1) ? ? ,求 ?( x ) . ?2x , 1 ? x ? 2
18.设函数 z ? x ? y ? f (x ? y) ,当 y ? 0 时, z ? x 2 ,求 f ( x ) 及 z .

? 1, 0 ? x ? 1 19.设 f (x) ? ? ,求函数 f (x ? 3) 的定义域. ?? 2 , 1 ? x ? 2
20.设 f ( x ) 为定义在 (? a, a) 上的奇函数,且 f ( x ) 在 [0, a ) 上单调减少. 试证明:
f ( x ) 在 (? a , 0] 上也单调减少.

21.设函数 f ( x ) 在 (??,??) 内单调增加,且对一切 x 有 f (x) ? g(x) . 证明:

f ?f (x)? ? g?g(x)? .
22.证明任一定义在区间 (? a, a) (a ? 0) 上的函数可表示为一个奇函数与一个偶 函数之和. 23.求下列各函数的定义域: (1) y ? (3) y ? (5) y ?
1 ? x?2 1? x 2

(2) y ? arcsin (4) y ? lg

x ?1 2

lg(3 ? x ) x ?1
1 ? x?2 lg(1 ? x )

5x ? x 2 4

(6) y ? 16 ? x 2 ? sin x

2 (7) y ? 1 ? x ? ln(2x 2 ? x ) x

24.求函数 y ? arccos

2x 的定义域与值域. 1? x2

25.求下列函数的反函数:
2x (1) y ? x 2 ?1 10x ? 10? x ?1 (2) y ? x 10 ? 10? x

(3) y ?

ex ?1 ex ?1

(4) y ? 32 x ?5

4

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(5) y ? 1 ? lg( x ? 2)

(6) y ?

1 ? 1 ? 4x 1 ? 1 ? 4x

26.已知 f ( x ) ? sin x , f ??(x)? ? 1 ? x 2 ,求 ?( x ) 及其定义域. 27.设函数 f ( x ) 的定义域为 ?? 1, 0? ,求下列各函数的定义域: (1) f (x 3 ) (2) f (sin 2x ) (3) f (x ? a ) ? f (x ? a ) (a ? 0)

1 28.求函数 y ? ? x 2 ? x 当 x ? 1 , ?x ? 0.5 时的增量. 2

29.求函数 y ? 1 ? x 当 x ? 3 , ?x ? ?0.2 时的增量. 30.若 f (x) ? cos2x ,求 lim
?x ? 0

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) . ?x

31.下列函数 f ( x ) 在 x ? 0 处是否连续?为什么?

? sin x , x?0 ? ? x (1) f ( x ) ? ? ? 1, x ? 0 ? ?
? x ? e , x?0 ? (3) f ( x ) ? ? ? sin x , x?0 ? ? x

1 ? 2 ?x sin x , x ? 0 ? (2) f ( x ) ? ? ? 0, x?0 ? ?

? ? ? 1, ? ? ? x ? 0 ? 32.讨论函数 f ( x ) ? ? ? 2 1 ? x sin x , 0?x?? ? ? sin x

在 x ? 0 处的连续性.

? a ? x2, x?0 ? x ? 0 ,已知 f ( x ) 在 x ? 0 处连续,试确定 a ,b 的值. 33.设 f ( x ) ? ? 1, 2 ?ln(b ? x ? x ), x ? 0 ?

1 ? x sin , x?0 ? x ? 34.设 f ( x ) ? ? ,要使 f ( x ) 在 (?? , ? ?) 内连续,应当怎样选择 a ? ? a ? x2 , x ? 0 ? ?

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35.求极限: (1) lim
x 2 ? 2x ? 5 x ?1 x2 ?1
2

(2) lim
x ?1

x2 1? 1? x2
ln(1 ? x ) x

e x ? cos x (3) lim x ?0 arcsin( 1 ? x)
ln(1 ? ?x ) (5) lim x ?0 x

(4) lim
x ?0

1 x (6) lim x ? 0 (1 ? cos x ) ln(1 ? x ) 3 sin x ? x 2 cos

36.求证:当 x ? 0 时, sin sin x ~ ln(1 ? x ) . 37.求函数 f (x) ?

1
3

x ? 3x ? 2
2

的连续区间,并求 lim f ( x ) .
x ?0

*38.若 lim

x 2 ? 2x ? k ? 4 ,求 k 的值. x ?3 x ?3

x 2 ? ax ? b ? 5 ,求 a , b 的值. *39.若 lim x ?1 1? x

40.根据连续函数的性质,验证方程 x 5 ? 3x ? 1 至少有一个根介于 1 和 2 之间.

? ? 41.证明方程 sin x ? x ? 1 ? 0 在开区间 ? ? , ? 2

?? ? 内至少有一个根. 2?

42.试证方程 x ? 2 x ? 1 至少有一个小于 1 的正根. 43.试证方程 x ? a sin x ? b ,其中 a ? 0 , b ? 0 ,至少有一个正根,并且它不超过
b?a.

44.证明方程 x 3 ? 3x 2 ? x ? 3 ? 0 在区间 (?2 , 0) , (0 , 2) , (2 , 4) 内各有一个 实根. 45.证明曲线 y ? x 4 ? 3x 2 ? 7x ? 10 在 x ? 1 与 x ? 2 值之间至少与 x 轴有一个交点. *46.若函数 f ( x ) 在闭区间 ?a , b? 上连续, f (a ) ? a , f (b) ? b . 证明:至少有一点

? ? (a, b) ,使得 f (?) ? ? .

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三、导数与微分
47.按照导数定义,求下列函数的导数: (1) y ? x 2 ? 3x ? 1 (2) y ? sin(3x ? 1)

48.一物体的运动方程为 s ? t 3 ? 10 ,求该物体在 t ? 3 时的瞬时速度. 49.求在抛物线 y ? x 2 上点 x ? 3 处的切线方程. 50.求曲线 y ? (x ? 1) ? 3 3 ? x 在点 A(?1, 0) 处的切线方程. 51.曲线 y ? e x ? 1 上哪一点处的切线与直线 2x ? y ? 1 ? 0 平行? 52.试求曲线 y ? ? x ? 2 在它与直线 y ? x 的交点处的切线方程和法线方程.

1? ? 53.求曲线 (5y ? 2) 3 ? (2x ? 1) 5 在点 ? 0, ? ? 处的切线方程和法线方程. 5? ?
54.确定 a , b 之值,使曲线 y ? x 2 ? ax ? b 与直线 y ? 2x 相切于点 (2, 4) . 55.设曲线 f (x) ? x 3 ? ax 与 g(x) ? bx 2 ? c 都通过点 (? 1, 0) , 且在点 (? 1, 0) 有公 共切线,求 a , b , c 的值. *56.设函数 f ( x ) 可导,且 f ( x ) ? 0 ,证明曲线 y1 ? f (x) 与曲线 y 2 ? f (x) sin x 在交 点处相切. 57.设 f ?(x 0 ) ? ?3 ,求 lim 58.设 f ?(3) ? 2 ,求 lim
?x ?0

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ? 3?x ) . ?x

f (3 ? h ) ? f (3) . h ?0 2h
f (a ? nh ) ? f (a ? mh ) . h ?0 h

59.设 f ( x ) 在 x ? a 处可导,求 lim

?1 2 ? x sin x , x ? 0 ? ??? *60.设 f ( x ) ? ? ,求 f ?(0) , f ?? ? . ?2? ? 0, x?0 ? ?

1 ? 2 ?x cos x , x ? 0 d ? *61.设 g( x ) ? ? ,又 f ( x ) 在 x ? 0 处可导,求 f ?g ( x )? x ?0 . dx ?0 , x?0 ? ?

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*62.设函数 f ( x ) 在 x ? 1 处连续,且 lim

f (x) ? 2 ,求 f ?(1) . x ?1 x ? 1

63.求下列函数的导数: (1) y ?

1? x3 x

(2) y ?

?

? 1 ? x ?1 ? ? 1? ? x ?
x 1? x 2

?

(3) y ? (2 ? 3x 2 ) 1 ? 5x 2
1? x 1? x

(4) y ?

(5) y ?

(6) y ? loga x (8) y ? ln

(7) y ? ln x ? ln x (9) y ? ln

x ? 1? x2 x

1? x 1? x

(10) y ? 5ln tan x (12) y ? arcsin (14) y ? arc cot (16) y ?
x 2 1 x

(11) y ? e ? x cosx (13) y ? arcsin x (15) y ? arctan
2x 1? x2
2

arccosx 1? x2

x? ? (17) y ? ? arcsin ? 2? ?

(18) y ? e x ? sin 2 x (20) y ? ln ln x (22) y ? arcsin x ? arccosx (24) y ? (26) y ?
sin x ? x cos x cos x ? x sin x

(19) y ? cosln(1 ? 2x) (21) y ? x 1 ? x 2 ? arcsin x (23) y ? ln tan (25) y ? sec 2
x ? cos x ? ln tan x 2

x x ? csc 2 2 2

1 tan (2x )
2

*(27) y ? (x ? a1 ) a1 (x ? a 2 ) a 2 ?(x ? a n ) a n (28) y ? x x (29) y ? x ? 1 ? x 2
n

?

?

n

? x ? (30) y ? ? ? ? 2x ? 1 ?

(31) y ? (1 ? x 2 ) sec x

8

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(32) y ? x ? (34) y ?

1? x 1? x

(33) y ?

x ? 3 3x ? a 2x ? b

x2 3 3 ? x ? 1 ? x (3 ? x) 2

64.求下列隐函数的导数(其中a,b为常数) : (1) x 2 ? y 2 ? xy ? 1 (3) y ? x ? ln y (5) arctan( x ? y) ? x 65.方程 ln x 2 ? y 2 ? arctan
y 确定 y 是 x 的函数,求 y? . x

(2) y 2 ? 2axy ? b ? 0 (4) y ? 1 ? xey

66.方程 x ? y ? a ? 0 确定 y 是 x 的函数,求 y? . 67.求下列函数的导数: (1) y ? f (e x )ef ( x ) (3) y ? f (e x ? x e )
x ?1? 68.已知 f ? ? ? ,求 f ?( x ) . ? x ? 1? x

(2) y ? f (arcsin

1 ) x

(4) y ? f (sin2 x) ? f (cos2 x)

69.求下列函数的二阶导数: (1) y ? x 2 sin(5x ? 3) (3) y ? x ln x (5) y ? xex
2

(2) y ? ln(1 ? x 2 ) (4) y ? (1 ? x 2 ) arctanx (6) y ? cos2 x ? ln x

70.求下列函数的二阶导数(其中函数 f ( x ) 二阶可导) : (1) y ? f (e x ) (3) y ? f (x)e f ( x ) (5) y ? f (x 2 ) ? ln f (x)
f (x) ? 0

(2) y ? f ((x)

f (x) ? 0

(4) y ? (ln x)f (x 2 )

71.设函数 y ? y( x ) 由方程 e y ? xy ? e 确定,求 y??(0) .
3 ? x) ,当 x ? 2 , ?x ? 0.04 时,求 dy . 72.设函数 y ? arctan(

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73.求下列函数的微分: (1) y ?
x 1? x2

(2) y ? e ? x cosx (4) y ? ln 1 ? x 2

(3) y ? arcsin x (5) y ? (e x ? e? x ) 2 (7) y ? ?sin x ?
cos x

1? ? (6) y ? ? arccos ? ? e ?x x? ?

2

74.求函数 y ? e

x

当 x 由 9 变到 8.99 的微分.

75.求由 y ? sin 2 x , x ? ln(3t ? 1) 复合而成的复合函数的微分.

四、中值定理·导数的应用
76.证明:
1 1 ? ln(1 ? x ) ? ln x ? , ( x ? 0) . x ?1 x

77.证明: pbp?1 (a ? b) ? a p ? b p ? pap?1 (a ? b) ,其中 0 < a < b, p >1. 78.设 f ( x ) 在 ?0, 1? 内具有二阶导数,f (1) ? 0 , 又 F(x) ? x 2 f (x) . 证明在 (0, 1) 内 至少存在一点 ? ,使 F??(?) ? 0 . 79.求极限: (1) lim
x 3 ? 3x 2 ? 2 x ?1 x 3 ? x 2 ? x ? 1

(2) lim
x ?1

x ?1 xn ?1

(3) lim

(1 ? x ) a ? 1 ( a 为任何实数) x ?0 x

(4) lim
x ?1

x2 ? x x ?1

(5) lim

x? ? a? x ?a a x ? a a

(6) lim

e x ? e ?x x ?0 sin x
2

(7) lim

ex ?1 x ?0 x 2 ? x
ln(1 ? x ) x2

ex ?1 (8) lim x ?0 cos x ? 1
?? ? ln? x ? ? 2? ? (10) lim ? t an x x?
2

(9) lim
x ?0

(11) lim
x ?1

x ? 1 ? x ln x ( x ? 1) ln x

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(12) lim

ln(1 ? 2 x ) x ?0 sin 3x

(13) lim

tan x ? x x ?0 x ? sin x

(14) lim

xn x ??? e ax

( n 为正整数, a ? 0 )

(15) lim

e x ? e ? x ? 2x x ?0 x ? sin x
t an x t an3x

(16) lim

ln(1 ? e x ) 1? x2

x ???

(17) lim ?
x? 2

(18) lim

ln tan 7 x x ? 0 ? ln tan 2 x

(19) lim

ln(1 ? x 2 ) x ?0 sec x ? cos x

(20) lim

x ? arcsin x x ?0 sin 3 x

? 1? ln?1 ? ? x? (21) lim ? x ? ?? arc cot x

(22) lim
x ?0

x ? arctan x x ? arcsin x

(23) lim

cos x ? cos 3x x ?0 x2 ?x 2

(24) lim

cos x ? ln(x ? a ) x ?a ? ln(e x ? e a )
1
2

(25) lim(1 ? x ) tan
x ?1

(26) lim x 2 e x
x ?0

(27) lim 3 x ln x
x ?0 ?

(28) lim x m ln x
x ?0 ?

(m ? 0)

1 ? ?1 (29) lim? ? x ? x ?0 x e ?1? ?

1 ? ? x (30) lim? ? ? x ?1 x ? 1 ln x ? ? 1 ? ? 1 (32) lim? 2 ? ? x ?0 x x tan x ? ? ?? ? (34) lim x? ? arctanx ? x ??? ?2 ?
1

? 1 1? (31) lim? ? ? ? ? x ?0 ln( ? 1 ? x) x ?
? ? 1 ?? x ?? e ? 1 (33) lim ? x? ? ? x ?? ? ? ?? ? ?
1 ? ? (35) lim ?(2 ? x )e x ? x ? x ?? ? ?
1

(36) lim(1 ? sin x ) x
x ?0

(37) lim x 1? x
x ?1

?1? (38) lim ? ? x ?0? x ? ?
? ?x 2

tan x

*(39) lim ?cos x ?
? x ? ?0 2

? x 2 ? x ? x ?1 ? *(40) lim? ? x ?1 ? ? 2 ?

1

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1

*(41) lim x
x ?0 ?

ln(e x ?1)

*(42) lim?1 ? x 2 e x ?1? cos x
1 x ?0

?? ? *(43) lim ? ? arctanx ? x ??? 2 ? ?

1 ln x

1 1 ? 1 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x *(44) lim? x ??? n ?

? ? ? ? ?

nx

80.证明函数 y ? 2x ? x 2 在区间 (0, 1) 上单调增加,而在区间 (1, 2) 上单调减 少. 81.求下列函数的单调区间: (1) y ? 2x 3 ?12x 2 ? 18x ? 5 (3) y ? (x ? 2)5 (2x ? 1) 4 82.证明不等式:
1 ( x ? 1) x arctgx ( x ? 0) (3) ln(1 ? x ) ? 1? x

(2) y ? x 4 ? 2x 2 ? 5 (4) y ? x ? ln(1 ? x)

(1) 2 x ? 3 ?

(2) x ? ln(1 ? x)

(x ? 0)

(4) x ?

x2 ? ln(1 ? x ) ? x 2 x2 2

( x ? 0)

(5) e ? x ? sin x ? 1 ? (6) arctan x ? x

(0 ? x ? 1) ( x ? 0) .

( x ? 0) , arctan x ? x

83.求下列函数的极值: (1) y ? 2x 3 ? 3x 2 (3) y ? 2x 3 ? 6x 2 ? 18x ? 7 (5) y ? (x ? 1) 2 (x ? 2) 3 (7) y ? (x ? 1) ? 3 x 2 (9) y ?
3x 2 ? 4x ? 4 x2 ? x ?1

(2) y ? 2x 2 ? x 4
1 4 1 3 x ? x ? x2 4 3 x (6) y ? ln x

(4) y ?

(8) y ? 2x ? 3 ? 3 x 2 (10) y ? 2 ? x ? x 2

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84.求下列函数在所给区间的最大值与最小值: (1) y ? x 5 ? 5x 4 ? 5x 3 ? 1, [?1, 2] (2) y ? x ? 2 x , [0 , 4] (3) y ?
1? x ? x2 , [0 , 1] 1? x ? x2

85.求函数 y ? 值.

x2 ? 1 ? 的单调区间,并求该函数在区间 ?? , 1? 上的最大值与最小 1? x ? 2 ?

86.试证方程 x 3 ? x ? 1 ? 0 只有一个正实根. 87.讨论方程 xe? x ? a (a ? 0) 有几个实根. 88.欲做一个底为正方形,容积为 108 立方米的长方体开口容器,怎样做法所用 材料最省? 89.欲用围墙围成面积为 216 平方米的一块矩形土地,并在正中用一堵墙将其隔 成两块,问这块土地的长和宽选取多大的尺寸,才能使所用建筑材料最省? 90.欲做一个容积为 300 立方米的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位造价为周围 单位造价的 2 倍. 问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低?

五、不定积分
91.求下列不定积分:
1 ? ? (1) ? ? 2 x ? 2 sin x ? ? x ? 1?dx x ? ?

(2) ?

(1 ? x ) 2
3

x

dx

(3) ? (5) ? (7) ?

x 2 ? 2 2x ? 2 x? 2
1? x2 1? x4 dx

dx

1 ? ? (4) ? ?1 ? 2 ? x x dx ? x ?
(6) ? (8) ?

1 ? 2x 2 dx x 2 (1 ? x 2 )
2 ? 3x ? 5 ? 2 x dx 3x
2

x4 dx 1? x2
x bx

(9) ? b e dx
4 sin 3 x ? 1 dx (11) ? sin 2 x

x x? ? (10) ? ? sin ? cos ? dx 2 2? ?
(12) ? 2 sin 2
x dx 2

13

高数会挂就是个笑话

(13) ?

cos 2 x dx cos x ? sin x

(14) ?

1 ? cos2 x dx 1 ? cos 2 x

92.求下列不定积分: (1) ? f ?( x )dx (2) ? f ?( 2 x )dx (3) ? ?f ( x ) ? xf ?( x )?dx

93.设 f ? sin 2 x ? cos2 x

?

?

? x ? 1? ,求 f (x) .
3 ,并当 x ? 1 时,这个函数值等于 ? , 2 1? x2

94.已知一个函数的导函数为 f ( x ) ? 求这个函数 F( x ) .

1

95.已知曲线 y ? f ( x ) 上任一点的切线的斜率为 ax 2 ? 3x ? 6 ,且 x ? ?1 时,y ? 是极大值,求 f ( x ) 和 f ( x ) 的极小值.

11 2

96.已知 f ( x ) 的图形过点 (0, 3) ,f ?( x ) 的图形是过点 (1, 0) 且不平行于坐标轴的 直线,2 是 f ( x ) 的极值,求 f ( x ) . 97.求下列不定积分: (1) ? (a ? bx ) k dx (3) ? 3 (5) ?
dx 3 ? 2x dx
(b ? 0)

(2) ? (4) ?

3 dx (1 ? 2x ) 2
dx x ?1 ? x ?1
2

x3 1? x2

dx

(6) ? xe ?2 x ?1dx
2 2 (8) ? cos x sin xdx

(7) ? cos( ? ? ? x )dx (9) ?

cos x x

dx

(10) ? (12) ?

1 dx 1 ? cos x 2 ? ln x dx x

(11) ?

cos x ? sin x dx 1 ? 2 sin x cos x

? 1? ln?1 ? ? (13) ? x? ? x (x ? 1) dx
3 (15) ? cos xdx

4 (14) ? sin xdx

3 5 (16) ? sin x cos xdx

14

高数会挂就是个笑话

(17) ? tan 5xdx

(18) ?

cos3 x dx sin 4 x

cos3 x dx (19) ? sin x
4 (21) ? tan xdx

4 (20) ? sec xdx

2 4 (22) ? (tan x ? tan x )dx

? sec x ? (23) ? ? ? dx ? 1 ? tanx ?
(25) ? (27) ?
xdx 2 ? x4

2

(24) ? (26) ?

1 dx 2 ? 3x 2

1 dx x ? 8x ? 25
2

dx x 4 ? x arcsin 2
2

(28) ?

dx x ? x2

(29) ?

x ?1 dx 2 x ? x ?1

x?5 (30) ? x 2 ? 6 x ? 13 dx

(31) ? x 5 ? 3 (1 ? x 3 ) 2 dx (33) ? (35) ?

(32) ? (34) ? (36) ?

ln tan sin x

x 2 dx

1 4 ? 9x 2
1 dx 1? ex

dx

1 dx 1? ex

ex ? 1 dx ex ? 1

98.求下列不定积分: (1) ? (3) ? (5) ? (7) ? (9) ?

x2 dx (1 ? x )100
dx 1? 1? x

(2) ? (4) ? (6) ? (8) ? (10) ?

1 x (1 ? 3 x )
dx ex ?1

dx

dx (1 ? x 2 ) 2
dx x2 ? a2 1 4 ? 9x
2
3

x 2 dx a2 ? x2
1
3 2

dx

(x ? a )
2 2

dx

1 x x 2 ?1

dx

15

高数会挂就是个笑话

(11) ?

dx x
2

x ?9
2

(12) ?

1 3x ? 2
2

dx

2 2 (13) ? x ? a dx x

99.求下列不定积分: (1) ? te
?2 t

dt

2 x (2) ? x e dx 2 (4) ? x cos xdx 2 (6) ? x tan xdx

x (3) ? x cos dx 2

(5) ? x sin x cos xdx (7)
1 ? sin 2x cos x dx

3 (8) ? sec xdx
2 (10) ? x arctan xdx

2 (9) ? ln xdx

(11) ?

x2 arctanxdx 1? x2

x (12) ? e ?2 x sin dx 2

(13) ? sin ln xdx (15) ? x ln(1 ? x 2 )dx

(14) ? (arcsin x ) 2 dx (16) ? x 2 ln(1 ? x )dx (18) ? (20) ?
ln sin x dx sin 2 x

? ln x ? (17) ? ? ? dx ? x ?
(19) ? (21) ?
arcsin x dx x2

2

xex ex ?1

dx

ex (1 ? x ln x )dx x

(22) ? e ? x arctan e x dx

*(23) ? xe x sin xdx 100.设 f ( x ) 的原函数为
sin x ,求 ? xf ?( x )dx . x

101.设 f ?(e x ) ? 1 ? x ,求 f ( x ) . 102.求下列不定积分:
x ?1 dx (1) ? ( x ? 1)(x ? 2)

(2) ?

x 3 ?1 dx 4x 3 ? x

16

高数会挂就是个笑话

(3) ?

x3 dx 3? x

*(4) ?

x5 ? x4 ? 8 dx x3 ? x

1 *(5) ? 2 dx ( x ? 1)(x 2 ? x ? 1)

x2 ?1 *(6) ? dx ( x ? 1) 2 ( x ? 1)

六、定积分
103.求下列函数的导数: (1) f ( x) ? ?
x 0
x
2

1 ? t dt
1 1? t4 dt

(2) f (x) ? ? sin t 2 dt
0

x3

(3) f ( x) ? ?0

(4) f ( x ) ? ? te?t dt
x

?1

(5) f ( x) ? ? 3 e t dt
x

x2

(6) f (x) ? x 2 ? (8) f ( x ) ? ?
x 3 ?1 0

2x

0

e 2 t dt

(7) f (x) ? ? x tanln(t 2 ? 1)dt
e

2

cos x

sin x

cos t dt 1? t2

*104.设 f ( x ) 是连续函数,且 ?

f (t )dt ? x ,求 f (1) .

? x tf ( t )dt ? ?0 , x?0 ? x2 ? 105.设 F( x ) ? ? ,其中 f ( x ) 有连续的导数且 f (0) ? 0 . 研究: ? 0, x?0 ? ? ?
(1) F( x ) 在 x ? 0 处的连续性;(2) F( x ) 在 x ? 0 处的可导性. *106.试求由 ? e t dt ? ? cos tdt ? 0 所确定的隐函数对于 x 的导数 y? .
0 0 y x

*107.设 x ? y 2 ? ?

y?x

0

cos2 tdt ,求

dy . dx

108.求下列极限:

? (1) lim
x ?0

x

0

cos2 tdt x
x 0 2

? (2) lim
x ?0

x

0

arct ant dt x2

109.判断函数 f ( x ) ? ?
x 0

3t ? 1 dt 在区间 ?0, 1? 上的单调性. t ? t ?1

110.求函数 f ( x) ? ? te?t dt 的极值. 111.求函数 f (x) ? ? t (t ? 4)dt 在 ?? 1, 5? 上的最大值与最小值.
x 0

17

高数会挂就是个笑话

*112.设函数 f ( x ) 在 (0, ? ?) 内可微,且 f ( x ) ? 1 ? 113.求下列定积分: (1) ? 6 (2 cos 2? ? 1)d?
0 ?

1 x f ( t )dt ,试求 f ( x ) . x ?1

(2) ? 2 cos x sin 2 xdx
0

?

(3) ? (1 ? sin ?)d?
3 0

?

(4)

?

2 ? 1 ?

sin x

1 x dx 2

dx x ? x2 1 dx (7) ?0 e x ? e ? x

(5) ?1

3

(6) ? e x ? 1 e x dx
0

1

?

?

4

(8) ?1

e

1 ? ln x dx x
a 2

(9) ?1

e3

dx x 1 ? ln x
dx x ? 2x ? 2
2

(10) ?0

rdr 3a 2 ? r 2

(a ? 0)

(11) ?? 2

0

114.设 f ( x ) 在 ?? b, b? 上连续,试证
a a ?a
1

?

b

?b

f (x)dx ? ? f (?x)dx .
?b

b

115.证明 ? f (x 2 )dx ? 2? f (x 2 )dx ,其中 f ( x ) 为连续函数.
0

116.证明 ?

1 dx dx x ? 2 ? x 1? x 1 1? x2

( x ? 0) .
1

117.证明 ? x m (1 ? x) n dx ? ? x n (1 ? x) m dx .
0 0

1

118.求下列定积分: (1) ? (1 ? x 2 ) 3 dx
0 1

(2) ? x x dx
?1

4

(3) ? 1
1

1

2

1? x2 dx x2

(4) ? x 2 a 2 ? x 2 dx
0

a

x2 dx (5) ?0 (1 ? x 2 ) 2
dx (7) ?0 1? x
4

(6) ?

2

1

x 2 ?1 dx x
3 1

2 (8) x dx ?0 1 ? x

(9) ?

5

1

x ?1 dx x

(10) ??1

1

xdx 5 ? 4x

18

高数会挂就是个笑话

(11) ?

ln 2

0

e ? 1dx
x
2 ln 2

(12) ?

? 2 0

x sin(2x 2 ) dx 1 ? sin(x 2 )

119.已知 ?

a

? dx ? ,求 a . 6 e ?1 1
x

120.求下列定积分: (1) t e dt ?
0 1 ? t2 2

(2) ? 2 e x cos xdx
0

?

(3) ? ln(x ? 1)dx
0

e?1

(4)

?

3 2

0
e

arccosxdx

(5) ? x arctanxdx
0

1

(6) ? sin(ln x)dx
1

(7) ? x cos xdx
2 0

2?

(8) ?

? 4 0

x sin x dx cos3 x

(9) ? x 2 cos2xdx
0
b

?

(10) ?1 ln x dx
e

e

121.已知常数 b ? 0 ,且 ? ln xdx ? 1 ,求 b 的值.
1

? 1 ? 1? x , x ? 0 2 ? *122.设 f ( x ) ? ? ,求 ? f ( x ? 1)dx . 0 ? 1 , x ? 0 ?1 ? e x ?

123.求下列各题中平面图形的面积: (1)曲线 y ? a ? x 2 (a ? 0) 与 x 轴所围成的图形. (2)曲线 y ? x 2 ? 3 在区间[0,1]上的曲边梯形. (3)曲线 y ? x 2 与 y ? 2 ? x 2 所围成的图形. (4)曲线 y ? x 3 与直线 x ? 0 、 y ? 1 所围成的图形.
? (5)在区间 ?0 , ? ?? 上,曲线 y ? sin x 与直线 x ? 0 , y ? 1 所围成的图形. 2? ?

(6)曲线 y ?

1 与直线 y ? x , x ? 2 所围成的图形. x

(7)曲线 y ? x 2 ? 8 与直线 2x ? y ? 8 ? 0 , y ? ?4 所围成的图形. 124.求由抛物线 y ? x 2 ? 4x ? 5 ,横轴及直线 x ? 3, x ? 5 所围成的图形的面积. 125.求由曲线 y ? xe? x ,横轴及直线 x ? 0 , x ? 1 所围成的图形的面积.
2

19

高数会挂就是个笑话

126.求由曲线 y ? ln x , 纵轴与直线 y ? ln a ,y ? ln b (b>a>0)所围成的图形的面积. 127.求由抛物线 y ? 3 ? 2x ? x 2 与横轴所围成的图形的面积. 128.抛物线 y ?
1 2 x 分割圆 x 2 ? y 2 ? 8 成两部分,分别求出这两部分的面积. 2

129.求下列平面图形分别绕 x 轴、 y 轴旋转产生的立体的体积: (1)曲线 y ? x 与直线 x ? 1, x ? 4 , y ? 0 所围成的图形.
? (2)在区间 ?0 , ?
? ?? x ? , y ? 0 所围成的图形. 上,曲线 与直线 y ? sin x 2 2? ?

(3)曲线 y ? x 3 与直线 x ? 2 , y ? 0 所围成的图形. (4)曲线 x 2 ? y 2 ? 1 与 y 2 ?
3 x 所围成的两个图形中较小的一块. 2

130.求曲线 xy ? a (a ? 0) 与直线 x ? a ,x ? 2a 及 y ? 0 所围成的图形绕 x 轴旋转所 成旋转体的体积. 131.设平面图形由 y ? e x , y ? e , x ? 0 所围成,(1)求此平面图形的面积;(2)求 此平面图形绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积. 132.证明圆锥体的体积为其底面积与高的乘积的三分之一. 133.求下列广义积分: (1) ? e ?x dx
0 ??

(2)

?

??

1

dx x

(3) ? xe?x dx
0

??

(4)

?

??

e

dx x (ln x ) 2

(5) ? e ?x sin xdx
0

??

(6)

?

??

1

arctan x dx x2

(7) ??1 (9) ?0
2

1

dx 1? x 2
dx (1 ? x ) 2

(8) ?1

2

dx ( x ? 1) a
1

(a ? 0)
dx x ? 4x ? 3
2

2 (10) ?0 x ln xdx

(11) ?0

2

134.计算 y ? e ? x 与直线 y ? 0 之间位于第一象限内的平面图形绕 x 轴旋转产生的 旋转体的体积

20

高数会挂就是个笑话

习题答案与部分题解
1.证 ∵ lim
x x ? lim x x ?x ? lim 1 ? 1 , lim ? lim ? lim (?1) ? ?1, x ?0? x x ?0? x ?0 ? x x ?0 ? x x ?0 ? x x

x ?0 ?

即 lim

x x

x ?0 ?

? lim

x x

x ?0 ?

, ∴ lim
x ?0

不存在.
( 4 ? x ? 4)( 9 ? x ? 3) (9 ? x ? 9)( 4 ? x ? 2)

2.证

∵ lim
x ?0

4?x ?2 9? x ?3

? lim
x ?0

? lim
x ?0

9?x ?3 4?x ?2

?

3 , 2

∴ 4 ? x ? 2 与 9 ? x ? 3 是同阶无穷小量.

3.提示:只要证明 lim
x ?0

1? x ?1 ? 1. x2
(2)为等价无穷小 6. a ? 2

4.为等价无穷小 7.(1)解

5.(1)为同阶无穷小

( x ? 2) 2 0 ? ? 0 , 根据无穷大与无穷小的关系,∴原式 = ? . ∵ lim 3 x ? ?2 x ? 2 ?6

(2) ? (根据无穷大与无穷小的关系) (4)解

(3) ?

1 当 x ? ? 时, ? 0 ,sin x ? 1, 根据无穷小与有界量的乘积仍为无穷小, x

∴原式 = 0 . (5) 0 (根据无穷小与有界量的乘积仍为无穷小) (6) 0

1 cos x 1 x (7)解 原式 = lim ? . x ?? 1 2 2 ? cos x x 1?

8. (1)解

1 1? 2 x 2 ?1 1 x lim 2 ?lim ? . (无穷小量分出法) x ?? 2 x ? x ? 1 x ?? 1 1 2 2? ? 2 x x

(2) 0 (利用无穷小量分出法)

1

高数会挂就是个笑话

(3)解

? x3 x2 ? x 3 (2 x ? 1) ? x 2 (2 x 2 ? 1) ? ? lim lim? ? x ??? 2 x 2 ? 1 2x ? 1 ? (2 x 2 ? 1)( 2 x ? 1) ? ? x ??

1 x ?x 1 x ? lim ? lim ? . 2 x ?? ( 2 x ? 1)(2 x ? 1) x ?? ? 1 ?? 1? 4 ? 2 ? 2 ?? 2 ? ? x? x ?? ?
3 2

1?

(4)解

x ? ?? 3

lim

3 x ?3 x 2 ? 1. ? lim 1 x 3 ? 1 x ??? 3 1? 3 x
2

1?

(5)

1 3

(6) ?

1 2

(7)

4 3

(8)

2 2

? 1 ? 1 1 1 (9) lim? ? ? ??? n ?? 1 ? 3 3? 5 5? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) ? ? ? 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? lim ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? n ?? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?? ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ?
1? 1 ? 1 ? lim ?1 ? ?? . n ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2

注:令

1 A B ? ? ,得 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1
1 ? A(2n ? 1) ? B(2n ? 1) ? (2A ? 2B)n ? A ? B .

比较等式两边 n 的同次幂的系数,得

?2A ? 2B ? 0 ? A ?1 2 ,解得 ? . ? ? A ? B ?1 ?B ? ?1 2
于是
1 1? 1 1 ? ? ? ? ? . (此法称为待定系数法) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

(10) 0 (16)解

(11) 1
lim
x ?1

(12) n

(13)

1 2

(14)

2 3

(15)

1 2

3 ? x ? 1? x (3 ? x ) ? (1 ? x ) ? lim 2 2 x ?1 x ?1 ( x ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x ) 2(1 ? x ) ? lim
x ?1

? lim
x ?1

?2 ( x ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x )
1 2

( x ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x )
2

??

2 . 4

(17) ? 2

(18) 1

(19)

1 2

(20)

(21) 0

(22) 1

2

高数会挂就是个笑话

(23)

2 3

(24) ? 2
lim 3
x ?0

(25)解

1? x ?1 1? x ?1

? lim
x ?0

[(1 ? x ) ? 1](3 (1 ? x ) 2 ? 3 1 ? x ? 1) [(1 ? x ) ? 1]( 1 ? x ? 1)

? lim
x ?0

3

(1 ? x ) 2 ? 3 1 ? x ? 1 1? x ?1

?

3 . 2

9.解

原式 = lim

x 2 ? 1 ? (ax ? b)(x ? 1) x ?? x ?1 (1 ? a ) x 2 ? (a ? b) x ? 1 ? b ?0 x ?? x ?1

? lim

?1 ? a ? 0 要使上等式成立,当且仅当 ? ,即 a ? 1 , b ? ?1. ?a ? b ? 0
1 1 x2 s i n xs i n x ?lim x ? 0. 10.(1)解 l i m x ?0 x ?0 s i n x sin x x 2 1 1 2 (2) 9 (3) (4) (5) (6) 5 3 2 3
(7)解

x ?0 ?

lim

x 1 ? cos x
1 2
2

? lim

x ?0 ?

x x ? lim 2 ? 2 ? 2. x x ?0 ? x 2 sin sin 2 2

(8) x

(9)

(10)解

5 2 ? ? 3? 2 s i n ? ? 6 ? 3x ? 5 2? x x ? lim? ? sin ? ? ? 2? ? . ? ? lim x ??? 5x ? 3 x ??? 3 2 x ? 5 ? ? ? 5? ? x x ? ?
lim
x ?0

(11)解

1? x ? 1? x (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? lim x ?0 sin x sin x 1? x ? 1? x

?

?

? lim
x ?0

sin x x

? 1? x ?

2

1? x

?

? 1.
?1

(12)解

x ?? 1 ? ? x ? ? 1? lim?1 ? ? ? lim ??1 ? ? ? x ?? x ?? ? x? ? ?? x ? ? ?

? e ?1 .

3

高数会挂就是个笑话

(13) e ?2 (16)解

(14) e

?

3 2

(15) 1
x

1 ? ? x ? ? lim ? ? ?lim ?1 ? ? x ?? 1 ? x x ?? ? ? ? 1? x ?
?? 1 ? ? lim ??1 ? ? x ?? 1 ? x ? ? ? ?
? (1? x )

x

? ? ? ?

x ? (1? x )

?? 1 ? ? lim ??1 ? ? x ?? 1 ? x ? ? ? ?

? (1? x )

? ? ? ?

?1 1 1? x

? e ?1 .

(17) e 4 (23)解

(18) e ?1
x

(19) e ?1

(20) e ?2
x

(21) e 2 a

(22) e

? x2 ? 1 ? ? ? lim? ? lim?1 ? 2 ? 2 ? ? x ?? x ? 1 x ?? ? x ?1? ? ?
x ?? 1 ? ? lim ??1 ? 2 ? x ?? x ?1? ? ?? x
2

?1

x ? x 2 ?1 ?? 1 ? ? ? lim ??1 ? 2 ? x ?? x ?1? ? ? ? ??

2

?1

? x? 1 ? x ? e 0 ? 1. ? ?

1

(24) e 3 11. ln 2

(25) e

(26) e 3

12. t 6 ? 1 ; t 6 ? 2t 3 ? 1
1? x x x ?1 , ( x ? 1) ; , ( x ? 2) ; , ( x ? ?1且x ? 0) 1? x 2?x x ?1 x ?1 , ( x ? 2) ; x , (x ? 1) 14. x?2

13.

15.解
?1, x ? 1 ? 0 ? f ( x ? 1) ? ?0 , x ? 1 ? 0 ?1, x ? 1 ? 0 ?

?1, x ? 1 ; ?? ?0 , x ? 1
?1, x 2 ? 1 ? 0 ? f ( x 2 ? 1) ? ?0 , x 2 ? 1 ? 0 ?1, x 2 ? 1 ? 0 ?

?1, x ? ?1 . ?? ?0 , x ? ?1
16. 1

4

高数会挂就是个笑话

17.解

令 x ? 1 ? t ,则 x ? t ? 1 ,

?( t ? 1) 2 , 0 ? t ? 1 ? 1 ?( t ) ? ? ?2( t ? 1) , 1 ? t ? 1 ? 2 ? ( t ? 1) 2 , 1 ? t ? 2 , ?? 2 ( t ? 1 ) , 2 ? t ? 3 ? ? ( x ? 1) 2 , 1 ? x ? 2 ∴ ?( x ) ? ? ?2( x ? 1), 2 ? x ? 3
18. f (x) ? x 2 ? x ; z ? (x ? y) 2 ? 2y 19. ?? 3, ? 1? 20. 略 21. 略 (2) ?? 1, 3? (5) ?? 2, 0? ? ?0, 1? 22. 略

23. (1) ?? 2, ? 1? ? ?? 1 , 1? ? ?1 , ? ?? (3) ?? ?, ? 1? ? ?1 , 3? (6) ?? 4, ? ?? ? ?0, ?? (4) ?1, 4?

?1 ? (7) ?? 1, 0? ? ? , 1? ?2 ?

24.定义域为 ?? ?, ? ?? ;值域为 ?0, ?? . 25. (1) y ? log 2 (3) y ? ln
x , (0 ? x ? 1) 1? x

(2) y ? (4) y ?

1 x lg , (x ? 0或x ? 2) 2 x?2

1? x , (?1 ? x ? 1) 1? x

1 ?log 3 x ? 5? , ( x ? 0) 2

(5) y ? 10x ?1 ? 2 , (? ?, ? ?) 26. ?(x) ? arcsin( 1 ? x 2 ) ; ? 2, 27. (1) ?? 1, 0?

(6) y ? ?

x , (?1 ? x ? 1) (1 ? x) 2

?

2

?

?? ? 1? (2) ?? k ? ??, (k ? 1)?? , k ? Z 2? ?? ?
(3)当 0 ? a ? 28. ? 1

?? ? 1? 或 ?? k ? ??, k?? , k ? Z 2? ?? ?

1 1 时,定义域为 ?a ? 1, ? a ? ;当 a ? 时,定义域为 ? . 2 2

29. ? 0.0506

30. ? 2 sin 2x

5

高数会挂就是个笑话

31.(1)解

sin x ?? 1, x ? 0 lim f (x) ? l i m ?? x ?0 x ?0 x ? 1, x ? 0

即 f ( x ) 在 x ? 0 处的极限不存在,所以 f ( x ) 在 x ? 0 处不连续. (2)解 ∵ lim f ( x ) ? lim x 2 sin
x ?0 x ?0

1 ? 0 ? f (0) , x

∴ f ( x ) 在 x ? 0 处连续. (3)解 ∵ lim f ( x ) ? lim e x ? 1 , lim f ( x ) ? lim
x ?0 ? x ?0 ?
x ?0 ?

sin x ? 1 , f (0) ? 1 , x ?0 ? x

∴ f ( x ) 在 x ? 0 处连续. 32.不连续 33.解
x ?0 ? x ?0 ?

lim f ( x ) ? lim (a ? x 2 ) ? a , f (0) ? 1 ,
x ?0 ? x ?0 ?

lim f ( x ) ? lim ln(b ? x ? x 2 ) ? ln b ,
x ?0 ? x ?0 ?

∵ f ( x ) 在 x ? 0 处连续,∴有 lim f ( x ) ? lim f ( x ) ? f (0) , 即 a ? 1 , ln b ? 1,即 a ? 1 , b ? e . 34.解 当 x ? 0 或 x ? 0 时, f ( x ) 为初等函数,连续. 要使 f ( x ) 在 (??,??) 内连

续,当且仅当 f ( x ) 在 x ? 0 处连续. ∵ lim f ( x ) ? lim x sin
x ?0 ? x ?0 ?

1 ? 0 , lim f ( x ) ? lim (a ? x 2 ) ? a , f (0) ? a . x ?0 ? x ?0 ? x

∴a ? 0. 35.(1)解 (2) ? 1 ? 2
x 2 ? 2x ? 5 12 ? 2 ? 1 ? 5 lim 2 ? ? 4. x ?1 x ?1 12 ? 1

(3)

2 ?
1

(4)解 限的法则.

l n1(? x ) ? l n1(? x ) x 在 x ? 0 处不连续,所以不能直接利用连续函数求极 x

令 (1 ? x ) ? u ,当 x ? 0 时, u ? e .
u ?e

1 x

ln u 在 u ? e 处连续,所以

原式 = lim ln u ? ln lim u ? ln e ? 1.
u ?e

? ?

6

高数会挂就是个笑话

1 ? ? ? 另解:原式 = lim ln(1 ? x ) ? ln? lim(1 ? x ) x ? ? ? ln e ? 1. x ?0 x ?0 ? ? 1 x

(5) ?

(6)

3 2

36.证

sin sin x sin x ? sin sin x x ? 1 ?1 ? 1 , ? lim sin x ∵ lim 1 x ?0 ln( 1 ? x ) x ?0 ln e ln(1 ? x ) x

∴ sin sin x ~ ln(1 ? x). 37. (? ?, 1) ? (1, 2) ? (2, ? ?) ; 38.解
1
3

2

设 f (x) ? x 2 ? 2x ? k ,∵ x ? 3 时, x ? 3 ? 0 ,∴ f ( x ) 为 x ? 3 时的无穷

小,即有 lim f ( x ) ? 0 .
x ?3

又∵ f ( x ) 是连续函数,∴有 lim f ( x ) ? f (3) ? 0 ,即 32 ? 2 ? 3 ? k ? 0 ,
x ?3

即 k ? ?3 . 39.解
1? x ? 0 , 设 f (x) ? x 2 ? ax ? b , ∵ x ? 1 时, ∴有 lim f ( x ) ? 0 .
x ?1 x ?1

又∵ f ( x )

连续,∴有 lim f ( x ) ? f (1) ? 0 ,即 1 ? a ? b ? 0 ,即 b ? ?1 ? a 将(1)代入原式,得

(1).

lim

x 2 ? ax ? 1 ? a (x ? 1)(x ? 1) ? a (x ? 1) ? lim ? lim[?(x ? 1) ? a ] x ?1 x ?1 x ?1 1? x ? (x ? 1)

? ?2 ? a ? 5 ,即 a ? ?7 ,代入(1),得 b ? 6 .

∴ a ? ?7 , b ? 6 . 40. 提示:利用零点定理 43.证 41. 略 42. 略

设 f ( x) ? x ? a sin x ? b , f ( x ) 在 [0, b ? a ] 上连续,

f (0) ? ?b ? 0 , f (b ? a ) ? b ? a ? a sin(b ? a ) ? b ? a[1 ? sin(b ? a )] ? 0 ,

(1)当 f (b ? a ) ? 0 , b ? a 即为所求; (2)当 f (b ? a ) ? 0 ,则在 (0, b ? a ) 内至少有一点 ? ,使 f (?) ? 0 , ? 即为所求.

7

高数会挂就是个笑话

综上得证. 44. 略 46.证 45. 略 设 g(x) ? f ( x) ? x , g( x ) 在 [a , b] 上连续.

∵ g(a ) ? f (a ) ? a ? 0 , g(b) ? f (b) ? b ? 0 , ∴根据零点定理, g( x ) ? 0 在 (a , b) 内至少有一个根,即,至少有一点 ? ? (a , b) ,使得
g(?) ? f (?) ? ? ? 0 ,即 f (?) ? ? .

47.(1) y? ? 2x ? 3 48. v( t ) ?

(2) y? ? 3 cos(3x ? 1) 49. y ? 6x ? 9 51. (ln 2, 3)

ds ? 3t 2 , v(3) ? 27 dt

50. y ? 3 4 (x ? 1)

52.切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 ;法线方程为 2x ? y ? 1 ? 0 53.解 在方程两边对 x 求导,得

3(5y ? 3) 2 ? 5 ? y? ? 5(2x ? 1) 4 ? 2
1 2 将 x ? 0 , y ? ? 代入上式,整理,得 y ? ? . 5 3

所求切线方程为 y ? 法线方程为 y ?

1 2 ? x ,或 10x ? 15y ? 3 ? 0 ; 5 3

1 3 ? ? x ,或 15x ? 10y ? 2 ? 0 . 5 2

54. a ? ?2 , b ? 4 56.证

55. a ? ?1 , b ? ?1 , c ? 1

设两曲线的交点为 (x 0 , y 0 ) ,则有 f (x 0 ) ? f (x 0 ) sin x 0 ,已知 f ( x ) ? 0 ,∴

有 sin x 0 ? 1 ,从而有 cos x 0 ? 0 .

? (x 0 ) ? f ?(x 0 ) , y? ? ? y1 2 ( x 0 ) ? f ( x 0 ) sin x 0 ? f ( x 0 ) cos x 0 ? f ( x 0 ) ,
即,在交点 (x 0 , y 0 ) 处两曲线的切线斜率相等,所以两曲线在交点处相切. 57.解

? f (x 0 ? ?x) ? f (x 0 ) f (x 0 ? (?3?x)) ? f (x 0 ) ? 原式 = lim ? ? ? (?3)? ?x ?0 ?x ? 3?x ? ?
? f ?(x 0 ) ? 3f ?(x 0 ) ? ?3 ? 3(?3) ? ?12.

58. ? 1

59. (n ? m)f ?(a )

8

高数会挂就是个笑话

60.解 ∴ f ?(0) ? 1 .

1 2 sin 2 x ? 0 f ( x ) ? f ( 0) x? ?s i n x lim ? lim ? lim? ? ? 1, x ?0 x ?0 x ?0 x x ? x ?

? ? 2 ? 1 2 ? ? sin x ? ? 当 x ? 0 时, f ?( x ) ? ? sin x ? ? ? ? ? ?x ? ? x ?
? (2 sin x cos x ) ? x ? sin 2 x x sin 2x ? sin 2 x ? , x2 x2

4 ? ? ? 0 ?1 ∴ f ?? ? ? ?? 2 . 2 ? ? 2? ??? ? ? ?2?
61.解
d f ?g( x )? ? f ??g( x )? ? g ?( x ) . dx 1 x 2 cos ? 0 g(x) ? g(0) 1 x lim ? lim ? lim x cos ? 0 ,即 g ?(0) ? 0 . x ?0 x ? 0 x ? 0 x x x



d f ?g( x )? x ?0 ? f ??g( x )? ? g ?( x ) x ?0 ? f ??g(0)? ? g ?(0) ? f ?(0) ? 0 ? 0 . dx f (x) ? 2 ,∴当 x ? 1 时, f ( x ) 与 x ? 1 为同阶无穷小,即有 62.解 ∵ lim x ?1 x ? 1

lim f ( x ) ? 0.
x ?1

又∵ f ( x ) 在 x ? 1 处连续,∴有 f (1) ? lim f ( x ) ? 0.
x ?1

从而

f (x) f ( x ) ? f (1) lim ?lim ? 2 ,即 f ?(1) ? 2. x ?1 x ? 1 x ?1 x ?1

63.(1) ?

1 ? 5x 3 2x x

(2) ?

1 ? 1? ?1 ? ? 2 x ? x?

(3)

45x 3 ? 16x 1 ? 5x 2
1 2 x ln a

(4)

1 (1 ? x ) 1 ? x
2 2

(5)

3? x 2(1 ? x) 1 ? x

(6)

(7)

1 ? 1 ? ?1 ? ? 2x ? ln x ?
ln 5 ? 5 ln tan x sin x cos x

(8) ?

1 x 2 1 ? x 2 ? x(1 ? x 2 )

(9)

1 x (1 ? x ) 1 4 ? x2

(10)

(11) ? e ? x (cosx ? sin x)
1 1? x2

(12)

(13)

1 2 x ? x2

(14)

(15)

2 1? x2

9

高数会挂就是个笑话

1 x arccosx (16) ? ? 2 1? x (1 ? x 2 ) 1 ? x 2
(18) e x sin x(sin x ? 2 cos x) (21) 2 1 ? x 2 (24) (19) ? (22) 0 (25) sec 2

2 arcsin

(17)

x 2
1 x ln x

4 ? x2

2 sin ln(1 ? 2 x ) 1 ? 2x

(20)

(23) sin x ? ln tan x
x x x x tan ? csc 2 cot 2 2 2 2

x2 (cosx ? x sin x ) 2
4 cos(2x ) sin 3 (2x )

(26) ?

(27)解

ln y ? a1 l n x ( ? a1 ) ? a 2 l n x ( ? a 2 ) ? ?? a n l n x ( ? an ) ,

a1 a2 an 1 , ? y? ? ? ??? y x ? a1 x ? a 2 x ? an
? a 1 ?? a 2 ∴ y ? ? ( x ? a 1 ) a1 ( x ? a 2 ) a 2 ? ( x ? a n ) a n ? ?x?a ? ?? ? 1 ?? x ? a 2 ? ? ? an ? ??? ? ? ? x ? an ? ? ?. ?

(28)解

ln y ?

1 1 1 1 1 1 ln x , ? y? ? ? 2 ln x ? ? ? 2 (1 ? ln x ) , x y x x x x
1

?2 1 ∴ y? ? x ? 2 (1 ? ln x ) ? x x (1 ? ln x ). x x

(29) x ? 1 ? x (31)解

?

2

?

n

n 1? x2

? x ? (30) ? ? ? 2x ? 1 ?

n ?1

n (2x ? 1) 2

ln y ? s e c x l n1 (? x 2 ) ,
1 2x ? y? ? sec x tan x ln(1 ? x 2 ) ? sec x , y 1? x2

2x ? ? ∴ y? ? (1 ? x 2 ) sec x ?sec x tan x ln(1 ? x 2 ) ? sec x 1? x2 ? ? ? 2x ? ? ?sec x (1 ? x 2 ) s e xc ?t a n x l n1(? x 2 ) ? . 1? x2 ? ? ?

(32)解

ln y ? ln x ?

1 ?l n1 ( ? x ) ? l n1 (? x)? , 2

10

高数会挂就是个笑话

1 1 1? 1 1 ? 1 1 1? x ? x2 , ? y? ? ? ? ? ? ? ?? ? y x 2 ? 1 ? x 1 ? x ? x 1 ? x 2 x(1 ? x)(1 ? x)
∴ y? ?

1? x 1? x ? x2 ? . 1 ? x (1 ? x )(1 ? x ) x ? 3 3x ? a ? 1 1 1 ? ? ? ? ? 2x ? b ? x 3x ? a 2x ? b ?

(33)

(34)

x2 3 3 ? x 1 ? x (3 ? x ) 2

?2 1 x ?9 ? ? ? ? 2 ? ? x 1 ? x 3(9 ? x ) ?

64.(1)解

在方程两边对 x 求导,得
2x ? 2y ? y? ? y ? xy? ? 0 ,

整理,得 y? ?

y ? 2x . 2y ? x

(2) y? ? 65.解

ay y ? ax

(3) y? ?

y y ?1

(4) y ? ?

ey 1 ? xe y

(5) y? ? tan2 x

在方程两边对 x 求导,得

1

x 2 ? y2 2 x 2 ? y2
x ? y ? y? xy? ? y , ? 2 x 2 ? y2 x ? y2

?

1

? (2x ? 2 y ? y?) ?

1 ? y? 1? ? ? ?x?
2

?

xy? ? y , x2

∴ y? ?

x?y . x?y

66. y? ? ? 67.(1) 解

y x

y? ? f ?(e x )e x e f ( x ) ? f (e x )e f ( x ) f ?(x) ? e f ( x ) e x ? f ?(e x ) ? f (e x ) ? f ?(x) .

?

?

(2) ?

1? ? ? f ?? arcsin ? x? x x ?1 ? 1
2

(3) (e x ? ex e?1 ) ? f ?(e x ? x e )

(4) sin 2x ? f ?(sin 2 x) ? f ?(cos2 x) 68. ?
1 (1 ? x ) 2

?

?

11

高数会挂就是个笑话

69.(1) 2 sin(5x ? 3) ? 20x cos(5x ? 3) ? 25x 2 sin(5x ? 3)

2 ? 2x 2 (2) (1 ? x 2 ) 2
(5) 2x(2x 2 ? 3)e x 70.(1)解
2

(3)

1 x

(4) 2 arctan x ?

2x 1? x2

(6) ? 2 cos 2x ln x ?

2 1 sin 2 x ? 2 cos 2 x x x

y? ? f ?(e x )e x ? e x f ?(e x ) , y?? ? e x f ?(e x ) ? e x f ??(e x )e x ? e x f ?(e x ) ? e 2x f ??(e x ) .

(2)解

y? ?

1 2 f (x)

f ?(x) ,
f ?( x ) 2 f (x)
?

y?? ?

1 2

f ??( x ) f ( x ) ? f ?( x ) f (x)
2

2f ( x )f ??( x ) ? ?f ?( x )? 4?f ( x )?2
2
3

2

.

(3) e f ( x ) f ??(x) ? 2?f ?(x)? ? f (x)f ??(x) ? f (x)?f ?(x)? (4) ?

?

?

1 f ( x 2 ) ? 4f ?( x 2 ) ? 2(ln x )f ?( x 2 ) ? 4x 2 (ln x )f ??( x 2 ) 2 x
f ( x )f ??( x ) ? ?f ?( x )?
2

(5) 2f ?( x 2 ) ? 4 x 2 f ??( x 2 ) ? 71.解

?f ( x )?2

在方程两边对 x 求导,得

e y y? ? y ? xy? ? 0
再在(1)两边对 x 求导,得

(1)

e y ( y?) 2 ? e y y?? ? y? ? y? ? xy?? ? 0 e y ( y?) 2 ? (e y ? x) y?? ? 2y? ? 0
当 x ? 0 时,由原方程解得 y ? 1 . (2)

1 将 x ? 0 , y ? 1 代入(1),得 y?(0) ? ? . e 1 1 将 x ? 0 , y ? 1 , y ? ? ? 代入(2),得 y ??(0) ? 2 . e e

72. ? 0.02 73.(1)

1? x2 dx (1 ? x 2 ) 2

(2) ? e ? x (cosx ? sin x)dx

(3)

dx 2 x ? x2

(4)

xdx 1? x2

1? 2 1? ?dx ? arccos (5) 2(e 2 x ? e ?2 x )dx (6) e ? x arccos ? ? 2 x? x x x ? 1 ? ?

12

高数会挂就是个笑话

? cos2 x ? (7) (sin x ) cos x ? ? sin x ? sin x ? ln sin x ? ?dx ? ?
74.解 由题设,x 由 x 0 ? 9 变到 x 0 ? ?x ? 8.99 ,得 ?x ? ?0.01 .
y? ? e
x

? 1 , y ? x ?9 ? ? e 2 x ?2 x
1

x

1 ? ? x ?9 ? e 3 . 6 ?

∴所求微分 dy ? f ?( x 0 )?x ?

1 3 e3 e (?0.01) ? ? . 6 600

75.

3 ? sin ?2 ln(3t ? 1)?dt 3t ? 1

76.证

设 f (t ) ? ln t , t ? ?x,1 ? x?, (x ? 0).

∵ f (t ) 在 ?x,1 ? x ? 上满足拉格朗日中值定理的条件. ∴在 ( x,1 ? x ) 内至少存在一点 ? ,使得
f (1 ? x) ? f (x) ? f ?(?)[( 1 ? x) ? x] ,

即有

ln(1 ? x ) ? ln x ?

1 . ?

∵ x ? ? ? 1 ? x ,∴

1 1 1 ? ? ,从而有 1? x ? x

1 1 ? ln(1 ? x ) ? ln x ? . 1? x x

77.提示:设 f (x) ? x p , x ? [a , b] . 利用拉格朗日中值定理证. 78.证 由题设, F( x ) 在 [0,1] 内连续,可导,且有
F(0) ? 0 , F(1) ? f (1) ? 0 ,

根据罗尔定理,在 (0,1) 内至少有一点 ?1 ,使得 F?(?1 ) ? 0. 又

F?(x) ? 2xf (x) ? x 2 f ?(x) ,它在 [0, ?1 ] 内连续,可导,且有

F?(0) ? F?(?1 ) ? 0 ,根据罗尔定理,在 (0, ?1 ) ? (0,1) 内至少有一点 ? ,使得
F??(?) ? 0.

79.(1) ?

(2)

1 n

(3) a

(4) 3

(5)

?a ? ?a ?1 ln a

(6) 2

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高数会挂就是个笑话

(7) ? 1 (13) 2

(8) ? 2 (14) 0
x

(9) ? (15) 2
? ?

(10) 0

(11) ?

1 2

(12)

2 3

ex x ln(1 ? e ) (16)解 lim ? lim 1 ? e x ? ?? x 1 ? x 2 x ??? 1? x2
(17) 3 (18)解

1 e 1? x x 2 ? 1. ? lim ? lim x x ??? x (1 ? e ) x ? ?? 1 1? x e
x 2

1?

7 l nt a n 7x l n7 x lim ? lim ? l i m7 x ? l i m 1 ? 1. x ?0 ? l nt a n x ?0 ? 2x x ?0? l n2x x ?0? 2 2x
? ?

(当 x ? 0 时, tan 7 x ~ 7 x , tan 2x ~ 2x )
2x ln(1 ? x ) 1? x2 ? lim ? lim (19)解 lim x ?0 sec x ? cos x x ?0 sec x tan x ? sin x x ?0
2
0 0

x sin x 1 ? ? (1 ? x 2 )? ? 1? 2 ? cos x ? 2

?

2 ?1 ? 1. 1? 2 lim
x ?0

(20)解

x ? arcsin x x ? a r c s ixn ? lim 3 x ? 0 sin x x3

(x ? 0, s i n x ~ x)

? lim
x ?0

0 0

1?

1
2 (1 ? x 2 ) ? 1 1 ? x 2 ? lim 1 ? x ? 1 ? lim x ?0 3x 2 3x 2 1 ? x 2 x ?0 3x 2 1 ? x 2 ( 1 ? x 2 ? 1)

?1 1 ?lim ?? . 2 2 x ?0 6 3 1 ? x ( 1 ? x ? 1)
(21) 1 (24)解 (22) ? 2
x ?a ?

(23) 4

∵ lim cos x ? cos a ,

1 0 ? ln(x ? a ) ? e x ? ea 0 ex x ? a lim ? lim ? lim ? lim x ?a ? ln(e x ? e a ) x ?a ? x ?a ? e x ( x ? a ) x ?a ? e x ( x ? a ) ? e x ex e x ? ea
? ea ? 1. 0 ? ea

14

高数会挂就是个笑话

∴ 原式 = lim cos x ? lim
x ?a ?

x ?a ?

ln(x ? a ) ? cosa ? 1 ? cosa . ln(e x ? e a )

2 ? 1 (30) 2

(25)

(26) ? (31)
1 2

(27) 0 (32)
1 3

(28) 0 (33) 1

(29)

1 2

(34) 1

(35)解

1 ? 1 ? ? ? 1 ?? x ?? , lim ?(2 ? x )e x ? x ? ? lim ?2e x ? x? e ? 1 ? ? x ?? x ?? ? ? ? ? ?? ? ?
1 x

∵ lim 2e ? 2 ? e 0 ? 2 ,
x ??

? 1 1? x? e ? ? 1 ? 1 ? e ?1 ? x ? ? lim e x ? e 0 ? 1 , x ? ? lim lim x? e ? 1 ? lim ? x ?? 1 ? x ?? ? x ?? x ?? ? ? ?1? ? ? x ?x?
1 x
0 0

∴原式 = 2 ? 1 ? 3 .
1

(36)解

令 y ? (1 ? sin x) x ,则 ln y ?
0

ln(1 ? sin x ) , x

ln(1 ? sin x ) 0 cos x lim ln y ? lim ? lim ? 1, x ?0 x ?0 x ?0 1 ? sin x x

∴ lim y ? e ,即原式 = e .
x ?0

(37) e

?1

(38) 1

(39) 1
1 ln x

(40) e

3 2

(41) e

(42) e 2

(43)解

?? ? 令 y ? ? ? arctanx ? ?2 ?

?? ? ln? ? arctanx ? 2 ? ,则 ln y ? ? , ln x

?? ? x ln? ? arct anx ? ? ? ? 2 ? ? lim 1? x2 lim ln y ? lim ? x ? ?? x ? ?? x ? ?? ? ln x ? arct anx 2

? lim

0 0

?
x ? ??

1 ? x 2 ? x ? 2x 1? x2 (1 ? x 2 ) 2 ? lim ? lim x ? ?? 1 ? x 2 x ? ?? 1 ? 2 1? x

1 ?1 x2 ? ?1 , 1 ?1 x2

15

高数会挂就是个笑话

∴ lim y ? e ?1 ,即,原式 = e ?1 .
x ? ??

1 1 ? 1 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x (44)解 令 y ? ? n ? ?

? ? ,则 ? ? ?

nx

1 1 ? ? 1 ? ? ln y ? nx? ln? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a n x ? ? ln n ? , ? ? ? ?

1 1 ? 1 ? ln? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a n x ? ? ln n ? lim ln y ? n lim ? x ?? x ?? 1 x

1 ?
0 0

a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x

1

1

1

1 1 ? 1 ? ? 1 ? ? a 1 x ln a 1 ? a 2 x ln a 2 ? ? ? a n x ln a n ? ? ? ? 2 ? ? ? ? x ?

?
1 1

1 x2
1

? n lim
x ??

a 1 x ln a 1 ? a 2 x ln a 2 ? ? ? a n x ln a n a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x
1 1 1

? n?

ln a 1 ? ln a 2 ? ? ? ln a n ? ln(a 1a 2 ? a n ) , n
n

∴ lim y ? a 1a 2 ? ? ? a n ,即原式 = a 1a 2 ?a n ? ? a i .
x ??

i ?1

80. 略 81.(1)解

y? ? 6x 2 ? 24x ? 18 ? 6(x ? 1)(x ? 3) ,

令 y? ? 0 ,得驻点: x1 ? 1 , x 2 ? 3 . x
y? (??,1) (1,3) (3,??)

+ ↗

- ↘

+ ↗

y

∴单调增加区间: (? ?, 1) ? (3, ? ?) ;单调减少区间: (1, 3) . (2)单调增加区间: (? 1, 0) ? (1, ? ?) ;

16

高数会挂就是个笑话

单调减少区间: (? ?, ? 1) ? (0, 1)
1 ? ? 11 ? ? (3)单调增加区间: ? ? ?, ? ? ? ? , ? ? ? ; 2 ? ? 18 ? ? ? 1 11 ? 单调减少区间: ? ? , ? ? 2 18 ?

(4)解
y? ? 1 ?

函数的定义域为 (?1,??) .
1 x ? ,令 y? ? 0 ,得驻点: x ? 0 . 1? x 1? x

当 ? 1 ? x ? 0 , y? ? 0 ;当 x ? 0 , y? ? 0 . ∴函数的单调增加区间为 (0, ? ?) ;单调减少区间为 (? 1, 0) . 82.(1)证 设 f (x) ? 2 x ? 3 ?
1 , f ( x ) 在 [1,??) 上连续, x
3

f ?( x ) ?

1

1 x 2 ?1 ? 2 ? ? 0 , ( x ? 1) x2 x x

∴ f ( x ) 在 (1,??) 上单调增加. 又 ∵ f (1) ? 0 ,∴当 x ? 1 时,有 f (x) ? f (1) ? 0. 即
2 x ? 3? 1 , ( x ? 1). x

(3)证

设 f (x) ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? arctanx ,
f ?( x ) ? ln(1 ? x ) ? 1 ? 1 ? 0 , (x ? 0). 1? x2

∴ f ( x ) 在 (0,??) 上单调增加.

又 ∵ f ( x ) 在 [0,??) 上连续,且 f (0) ? 0 ,

∴当 x ? 0 时,有 f ( x) ? f (0) ? 0 ,即
(1 ? x) ln(1 ? x) ? arctanx ? 0 ,
l n1 (? x) ? a r c t axn , (x ? 0). 1? x

83.(1)解

函数的定义域为 (??,??) .

y? ? 6x 2 ? 6x ? 6x(x ? 1) ,令 y? ? 0 ,得驻点: x 1 ? 0 , x 2 ? 1 .

17

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x
y?

(??,0)

0

(0,1)

1

(1,??)

+ ↗ 极 大

- ↘ 极 小

+ ↗

y

∴ x 1 ? 0 为极大点,函数的极大值为 y(0) ? 0 ; x 2 ? 1 为极小点,函数的极小值为
y(1) ? ?1 .

(2)极大值: y(?1) ? 1 , y(1) ? 1 ;极小值: y(0) ? 0 (3)极大值: y(?1) ? 17 ;极小值: y(3) ? ?47 (4)极大值: y(0) ? 0 ;极小值: y(?1) ? ?
5 8 , y ( 2) ? ? 12 3

108 ?7? (5)极大值: y(1) ? 0 ;极小值: y? ? ? ? 3125 ?5?

(6)极小值: y(e) ? e (7)解 函数的定义域为 (??,??) .

2 2 1 5x ? 2 y? ? 3 x 2 ? ( x ? 1) ? ? 3 ? 3 ,令 y? ? 0 ,得驻点: x 1 ? , 5 3 x 3? x

函数的不可导点: x 2 ? 0 .
? 2? ? 0, ? ? 5?
2 5

x

(??,0)

0

?2 ? ? ,?? ? ?5 ?

y?

+ ↗ 极 大

- ↘ 极 小
3

+ ↗

y ∴ x1 ?

2 3 4 ?2? 为极小点,函数的极小值为 y? ? ? ? ? ; x 2 ? 0 为极大点, 5 5 25 ?5?

函数的极大值为 y(0) ? 0 . (8)极大值: y(?1) ? 1 ;极小值: y(0) ? 0

18

高数会挂就是个笑话

(9)极大值: y(0) ? 4 ;极小值: y(?2) ?
?1? 3 (10)极大值: y? ? ? ?2? 2

8 3

84.(1)解

y? ? 5x 4 ? 20x 3 ? 15x 2 ? 5x 2 (x ? 1)(x ? 3) .

令 y? ? 0 ,得驻点: x 1 ? 0 , x 2 ? 1 , x 3 ? 3 (舍去). ∵ y(?1) ? ?10 , y(0) ? 1 , y(1) ? 2 , y(2) ? ?7 , ∴函数的最大值为 y ? 2 ;最小值为 y ? ?10 . (2)最大值: y ? 8 ;最小值: y ? 0 (3)最大值: y ? 1 ;最小值: y ?
3 5

85.单调增加区间为 (? ?, ? 2) ? (0, ? ?) ; 单调减少区间为 (? 2, ? 1) ? (? 1, 0) .
1 ? 1 ? 函数在 ?? , 1? 上的最大值为 ,最小值为 0 . 2 ? 2 ?

86.证

设 f (x) ? x 3 ? x ? 1 ,∵ f ?(x) ? 3x 2 ? 1 ? 0 ,∴ f ( x ) 在 (??,??) 上单调增加.

又∵ f ( x ) 在 [0,1] 上连续,且
f (0) ? ?1 ? 0 , f (1) ? 1 ? 0 ,

∴由根的存在定理及 f ( x ) 的单调性可知,方程 f ( x ) ? 0 在 (0,1) 内有且仅有一个实根, 即方程只有一个正实根. 87.当 a ? e ?1 时,方程无实根;当 a ? e ?1 时,方程有一个实根; 当 a ? e ?1 时,方程有两个实根. 88.解 设容器的底边长为 x ,高为 y ,则其容积为
108 . x2 432 A ? x 2 ? 4xy ? x 2 ? , (x ? 0). x

x 2 y ? 108,即 y ?

容器的表面积为

19

高数会挂就是个笑话

A ? ? 2x ?

432 ,令 A ? ? 0 ,得驻点: x ? 6 . x2

由问题的性质知,容器的最小表面积一定存在. 边长 x ? 6 米时,容器表面积最小. 米时,所用材料最省. 当底边长 x ? 6 米,高 y ? 3 时,所用材料最省.

现在只求得唯一驻点,故当底 即容器的底边长 6 米,高 3

当 x ? 6 时, y ? 3 .

89.当土地的长 x ? 18 米,宽 y ? 12 米时,所用建筑材料最省.
3

90.当池底半径 r ? 91.(1)

150 米,高为底半径的 2 倍时,总造价最低. ?
3

2x 2 ? 2 cos x ? ln x ? x 2 ? x ? C ln 2 3
2 5 8

3 6 3 (2) x 3 ? x 3 ? x 3 ? C 2 5 8
? 4 (4) x 4 ? 4x 4 ? C 7 7 1

1 (3) x 2 ? 2 x ? C 2

(5) arcsin x ? C
1 (7) ? x ? x 3 ? arctan x ? C 3
x

(6) arctan x ? (8) 2x ?

1 ?C x

5 ?2? ? ? ?C ln 2 ? ln 3 ? 3 ?

(9)

b x e bx ?C b ? ln b

(10) x ? cos x ? C (12) x ? sin x ? C
1 1 (14) tan x ? x ? C 2 2

(11) ? 4 cos x ? cot x ? C (13) sin x ? cos x ? C

92.(1)解 (2)解

? f ?(x )dx ? ? df (x ) ? f (x) ? C .
1 1

? f ?(2x)dx ? 2 ? df (2x) ? 2 f (2x ) ? C .
1 2 x ?C 2

(3) xf (x) ? C 93. f ( x ) ? x ? 94. F(x) ? arcsin x ? ?

95. f ( x ) ? x 3 ?

3 2 x ? 6x ? 2 ,极小值为 f (2) ? ?8 2

20

高数会挂就是个笑话

96.解

由题意,设 f ?(x) ? k(x ? 1) , k ? 0 .

从而有

? x2 ? ? f ( x ) ? ? f ( x )dx ? ? k ( x ? 1)dx ? k ? ? 2 ? x? ??C. ? ?

∵ f ( x ) 的图形过点 (0, 3) ,∴有 f (0) ? C ? 3 .

? x2 ? 即, f ( x ) ? k? ? 2 ? x? ? ? 3. ? ?
∵ f ( x ) 是可导函数,且 x ? 1 是它的唯一驻点,
?1 ? ∴ x ? 1 是 f ( x ) 的极值点,即有 f (1) ? k? ? 1? ? 3 ? 2 ,解得 k ? 2 . ?2 ?

? x2 ? 2 ? ∴ f ( x ) ? 2? ? x ? 2 ? ? 3 ? x ? 2x ? 3 . ? ?
97.(1)解 当 k ? ?1 时,原式 =
1 (a ? bx ) k d(a ? bx ) b?
1 1 ? (a ? bx ) k ?1 ? C ; b k ?1

?

当 k ? ?1 时,原式 = (2)解

1 1 1 d(a ? bx ) ? ln a ? bx ? C . ? b a ? bx b
2

? (1 ? 2x)

3

dx ? ?

3 (1 ? 2x ) ?2 d(1 ? 2x ) ? 2

3 1 3 1 ?? ? (1 ? 2x ) ? 2?1 ? C ? ? ?C. 2 ? 2 ?1 2 1 ? 2x

(3)解

?

3

? 1 ? ? ? (3 ? 2x) 3 d(3 ? 2x) 2 3 ? 2x
? ?1 1 3 (3 ? 2x ) 3 ? C ? ? (3 ? 2x ) 3 ? C . 1 4 ? ?1 3 1

dx

1

1 ?? ? 2

2

1 1 (4) ( x ? 1) x ? 1 ? ( x ? 1) x ? 1 ? C 3 3 3 x 1 x2 1 1 ? x 2 ?1 2 (5)解 ? dx ? ? d( x ) ? ? d(1 ? x 2 ) 2 2 2 2 1? x 2 1? x 1? x

?

? 1 1 (1 ? x 2 ) 2 (1 ? x 2 ) ? ? (1 ? x 2 ) 2 d(1 ? x 2 ) ? 2 2

1

1

21

高数会挂就是个笑话

1 1 (1 ? x 2 ) 3 ? 1 ? x 2 ? C . ? (1 ? x 2 ) 2 ? (1 ? x 2 ) 2 ? C ? 3 3
2 1 (6) ? e ? 2 x ?1 ? C 4

3

1

1 (7) ? sin(? ? ?x ) ? C ?

1 1 (8) x ? sin 4 x ? C 8 32

(9) 2 sin x ? C
1 2 cos 2 x 2 dx ? ?
x ?x? d? ? ? t a n ? C . 2 2 x ? 2? cos 2

(10)解

? 1 ? cos x dx ? ?
cos x ? sin x

1

1

(11)解

? 1 ? 2 sin x cosx dx ? ? ( s i x n? c o x s)

d( s i x n? c o x s)
2

??

1 ? C. sin x?cos x

1 (12) 2 ln x ? (ln x ) 2 ? C 2

(13)解

? 1? ? 1? ? 1? ln?1 ? ? ln?1 ? ? ln?1 ? ? ? x? ? x? ? x ? d ?1 ? 1 ? ? ? ? x(x ? 1) dx ? ? 2 ? 1 ? dx ? ?? 1 x? ? 1? x ?1 ? ? x ? x?
2

1? ? 1 ?? ? 1 ? ? ? 1 ?? ? ?? ln?1 ? ?d ?ln?1 ? ?? ? ? ?ln?1 ? ?? ? C . 2? ? x ?? ? x ? ? ? x ??
3 1 1 (14) x ? sin 2x ? sin 4x ? C 8 4 32 1 (15) sin x ? sin 3 x ? C 3

(16)解

? sin

3

x cos 5 xdx ? ? ? sin 2 x cos 5 xd ( c o x s)

? ? ? (1 ? cos 2 x ) cos 5 xd (cos x ) ? ? ? (cos 5 x ? cos 7 x )d (cos x )

1 1 ? ? cos 6 x ? cos 8 x ? C . 6 8



? sin

3

x cos 5 xdx ? ? sin 3 x cos 4 xd (sin x ) ? ? sin 3 x (1 ? sin 2 x ) 2 d (sin x )

? ? (sin 3 x ? 2 sin 5 x ? sin 7 x )d (sin x ) ?

1 (17) ? ln cos 5x ? C 5 2 (19) 2 sin x ? sin 2 x ? sin x ? C 5 1 1 (20) tan x ? tan 3 x ? C (21) tan 3 x ? tan x ? x ? C 3 3 1 1 ?C (22) tan 3 x ? C (23) ? 3 1 ? tan x

1 4 1 1 sin x ? sin 6 x ? sin 8 x ? C . 4 3 8 1 1 1 ?C (18) ? ? 3 ? 3 sin x sin x

22

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(24) 1 arctan 3 x ? C 2 6 (26)解

2 (25) 1 arctan x ? C 2 2 2

?x
1 3?

2

dx dx 1 ?? ? ? 2 ? 8x ? 25 ( x ? 4) ? 9 9

dx ? x ?4? 1? ? ? ? 3 ?
2

?

x?4 ? x ?4? 1 ?C. d? ? ? arctan 3 ? x ?4? ? 3 ? 3 1? ? ? ? 3 ?

1

2

(27)解

?

dx 4 ? x 2 arcsin x 2

?

1 2?

dx x ?x? 1? ? ? a r c s i n 2 ?2?
2

??

1 ? x? x d? arcsin ? ? ln arcsin ? C . arcsin ? 2? 2
dx x ? x2 ?? dx 1 ? 1? ??x ? ? 4 ? 2?
2

(28)解

?
??

? 2?

dx 1 ? (2x ? 1) 2

d(2x ? 1) 1 ? (2x ? 1) 2

? arcsin(2x ? 1) ? C .

1 1 2x ? 1 arctan ?C (29) ln(x 2 ? x ? 1) ? 2 3 3
1 x ?3 ?C (30) ln x 2 ? 6x ? 13 ? 4 arctan 2 2

1 1 (31) (1 ? x 3 ) 3 ? (1 ? x 3 ) 3 ? C 8 5

8

5

(32)解

?

ln tan

x 2 dx ? ? sin x

ln tan

x 2

x x 2 sin cos 2 2

dx ? ?

ln tan

x 2

x x 2 tan cos2 2 2
2

dx

x ? x? 1? x? ? ? ln tan d? ln tan ? ? ? ln tan ? ? C . 2 ? 2? 2? 2? 1 ?3 ? (33) arcsin? x ? ? C 3 ?2 ?

23

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(34)解

1 1? ex ? ex ex dx ? dx ? dx ? ? 1? ex ? 1? ex ? ? 1 ? e x dx ? x?? d(1 ? e x ) ? x ? ln 1 ? e x ? C . 1? ex

(35) x ? ln 1 ? e x ? C 98.(1)解 原式 = ? ?
?

?

?

(36) 2 ln e x ? 1 ? x ? C

?

?

令 1 ? x ? t ,则 x ? 1 ? t , dx ? ?dt .
(1 ? t ) 2 1 ? 2t ? t 2 dt ? ? ? ? ? t ?100 ? 2t ?99 ? t ?98 dt 100 100 ? t t

?

?

1 1 1 1 1 1 ? 99 ? ? 98 ? ? ?C 99 t 49 t 97 t 97

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?C. 99 98 99 (1 ? x) 49 (1 ? x) 97 (1 ? x) 97

(2)解

令 x ? t 6 ,则 dx ? 6t 5 dt .

原式 = ?

6t 5 1 ? ? dt ? 6? ?1 ? dt ? 6(t ? arctant ) ? C 3 2 2 ? t (1 ? t ) ? 1? t ?

? 6 ? 6 x ? 6 arctan6 x ? C .
(3)解 令 1 ? x ? t ,则 x ? t 2 ? 1 , dx ? 2tdt .
2t 1 ? ? dt ? 2? ?1 ? ?dt ? 2t ? 2 ln 1 ? t ? C 1? t ? 1? t ?

原式 = ?

? 2 1 ? x ? 2 ln(1 ? 1 ? x ) ? C .
(4)解 令 e x ? 1 ? t ,则 x ? ln(t 2 ? 1) , dx ?
2t dt . t ?1
2

原式 = 2?
? ln

1 1 ? ? 1 dt ? ? ? ? ?dt ? ln t ? 1 ? ln t ? 1 ? C t ?1 ? t ?1 t ?1?
2

t ?1 ex ?1 ?1 ? C ? ln ?C. t ?1 ex ?1 ?1

(5)解

令 x ? sin t ,则 dx ? cos tdt .
cos t 1 dt ? ? dt ? tan t ? C 3 cos t cos 2
1

原式 = ?

x

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?

x 1? x
2

? C.

1? x2

(6)

a2 x x 2 arcsin ? a ? x2 ? C 2 a 2

(7)解

令 x ? a tan t ,则 dx ? a sec2 tdt .

原式 = ? sec tdt ? ln sec t ? tan t ? C
? ln x2 ? a2 x ? ? C ? ln x ? x 2 ? a 2 ? C . a a

x2 ? a2
a

x

(8)

1 x ? ?C 2 a x2 ? a2
1 ?C x

1 (9) ln 3x ? 4 ? 9 x 2 ? C 3

(10) arccos

1 x2 ? 9 (11) ? ?C 9 x
(13) x 2 ? a 2 ? a ? arccos
a ?C x

(12)

3 ln 3x ? 3x 2 ? 2 ? C 3

1 1 td(e ? 2 t ) ? ? te ? 2 t ? ? e ? 2 t dt ? 2 2 1 1 1 1 ? ? te ?2 t ? ? e ? 2 t d(?2t ) ? ? te ? 2 t ? e ? 2 t ? C . 2 4 2 4 x x (2) (x 2 ? 2x ? 2)e x ? C (3) 2x sin ? 4 cos ? C 2 2 1 2 1 1 (4) x ? x sin 2 x ? cos 2 x ? C 4 4 8 1 1 sx) (5)解 ? x sin x cos xdx ? ? x sin 2xdx ? ? ? xd ( c o 2 2 4 1 1 1 ? ? ( x cos 2x ? ? cos 2xdx ) ? ? x cos 2 x ? sin 2 x ? C . 4 4 8

99.(1)解

? te

?2 t

dt ? ?

?

?

(6) x tan x ? ln cos x ?

x2 ?C 2

1 1 (7) sec x ? ln csc x ? cot x ? C 2 2

(8)解

? sec

3

2 xdx ? ? sec xd ( t a n x) ? s e c xt an x ??t an xs e c xdx

? sec x tan x ? ? (sec 2 x ? 1) sec xdx ? sec x tan x ? ? sec 3 xdx ? ? sec xdx ? sec x tan x ? ? sec 3 xdx ? ln sec x ? tan x

25

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移项,整理,得

? sec
2

3

xdx ?

1 ?sec x tan x ? ln sec x ? tan x ? ? C . 2

(9) x ln 2 x ? 2x ln x ? 2x ? C (10)解

?x

arctan xdx ?

1 arctan xd ( x 3 ) ? 3

?

x3 1 x3 x3 1 ? x ? arctanx ? ? dx ? arctanx ? ? ? x ? ?dx 2 3 3 1? x 3 3 ? 1? x2 ?
x3 1 1 d(1 ? x 2 ) arctanx ? ? xdx ? ? 3 3 6 1? x2 x3 x2 1 arctanx ? ? ln(1 ? x 2 ) ? C . 3 6 6

?

?

1 1 (11) x arctan x ? ln(1 ? x 2 ) ? (arctan x ) 2 ? C 2 2

(12) ?

2 ?2 x ? x x? e ? cos ? 4 sin ? ? C 17 2 2? ?

(13)解

? sin ln xdx ? x sin ln x ? ? cos ln xdx
? x sin ln x ? ( x cos ln x ? ? sin ln xdx )

移项,整理,得

? sin ln xdx ? 2 (sin ln x ? cos ln x ) ? C .

x

(14) x(arcsinx) 2 ? 2 1 ? x 2 arcsin x ? 2x ? C
1 x2 ?C (15) (1 ? x 2 ) ln(1 ? x 2 ) ? 2 2 1 x3 x2 x ? ? ?C (16) ( x 3 ? 1) ln(1 ? x ) ? 3 9 6 3

(17) ? (19) ?

1 2 2 (ln x ) 2 ? ln x ? ? C x x x

(18) ? cot x ? ln sin x ? cot x ? x ? C
( x ? 1)

1 1? 1? x2 arcsin x ? ln ?C x x

(20) 2(x ? 2) e x ? 1 ? 4 arctan e x ? 1 ? C (21) e x ln x ? C
1 (22) ? e ? x arctan e x ? x ? ln(1 ? e 2 x ) ? C 2

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x 1 (23) e x (sin x ? cos x ) ? e x cos x ? C 2 2 100.解 ? xf ?( x )dx ? ? xd (f ( x )) ? xf ( x ) ? ? f ( x )dx ? xf ( x ) ? sin x ?C x

(1)

? x cos x ? sin x ? sin x ? ∵ f (x) ? ? ? ? x2 ? x ?

(2)

∴将(2)代入(1),得

? xf ?(x)dx ? x ?
101. x ln x ? C 102.(1)解 令

x cos x ? sin x sin x 2 sin x ? ? C ? cos x ? ?C. 2 x x x

x ?1 A B ? ? ,得 ( x ? 1)(x ? 2) x ? 1 x ? 2
x ? 1 ? (A ? B)x ? 2A ? B ,

比较等式两边 x 同次幂的系数,得

? A ? B ?1 ?A ? ?2 ,解得 ? . ? ?? 2A ? B ? 1 ? B?3
∴原式=
? ? ?dx ? ? 2 ln x ? 1 ? 3 ln x ? 2 ? C . ?? ? x ?1 x ? 2 ? ? 2 3 ?

x ? ? ?1 ? ?1 ?dx , (2)解 原式 = ? ? ? 43 ? 4 4x ? x ? ? ? ? ?
x x ?1 ?1 A B C 4 4 ? ? ? ? , 3 4 x ? x x (2 x ? 1)( 2 x ? 1) x 2 x ? 1 2 x ? 1

令 得

x ? 1 ? (4A ? 2B ? 2C) x 2 ? (B ? C) x ? A , 4

比较等式两边 x 同次幂的系数,得

?4A ? 2B ? 2C ? 0 ? 1 B?C ? ? 4 ? A ?1 ?

? ? A ?1 ? 7 ? ,解得 ?B ? ? . 8 ? ?C ? ? 9 ? 8 ?

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1 9 1 ? ?1 1 7 ∴原式 = ? ? ? ? ? ? ? ?dx ? 4 x 8 2x ? 1 8 2x ? 1 ?
x 7 1 d(2x ? 1) 9 1 d(2x ? 1) ? ln x ? ? ? ? ? ? 4 8 2 2x ? 1 8 2 2x ? 1 x 7 9 ? ? ln x ? ln 2 x ? 1 ? ln 2x ? 1 ? C . 4 16 16 1 3 3 2 (3) x ? x ? 9 x ? 27 ln x ? 3 ? C 3 2 ?

(4)

x3 x2 ? ? x ? 8 ln x ? 3 ln x ? 1 ? 4 ln x ? 1 ? C 3 2
x 2 ? 1 , x 2 ? x ? 1 都是二次质因式,因此令

(5)解

1 Ax ? B Cx ? D , ? 2 ? 2 2 ( x ? 1)(x ? x ? 1) x ?1 x ? x ?1
2



1 ? (Ax ? B)(x 2 ? x ? 1) ? (Cx ? D)(x 2 ? 1) ? (A ? C)x 3 ? (A ? B ? D)x 2 ? (A ? B ? C)x ? B ? D ,

比较等式两边 x 同次幂的系数,得

? A ? ?1 ? A?C?0 ?B?0 ?A ? B ? D ? 0 ? ? ,解得 . ? ? A ? B ? C ? 0 C ? 1 ? ? ? ? B ? D ? 1 ? ? D ?1
1 d( x 2 ? 1) 1 (2x ? 1) ? 1 x x ?1 ? ? ? ? 2 dx ∴原式 = ? ? ? 2 ? 2 ?dx ? ? ? 2 2 x ?1 2 x ? x ?1 ? x ? 1 x ? x ? 1? 1 1 d( x 2 ? x ? 1) 1 dx ? ? ln(x 2 ? 1) ? ? 2 ? ? 2 2 2 x ? x ?1 2 x ? x ?1
1 1 1 dx ? ? ln( x 2 ? 1) ? ln( x 2 ? x ? 1) ? ? 2 . 2 2 2 x ? x ?1



1 dx 1 dx 2 dx ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 x ? x ?1 2 ? 1? 3 3 ? 2x ? 1 ? x ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2? 4 ? ? 3 ?
1

?

? 3

? 2x ? 1 ? 1 2x ? 1 d? ? arctan ? C, ? ?? 3 3 ? 2x ? 1 ? ? 3 ? 1? ? ? ? ? ? 3 ? 1
2

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高数会挂就是个笑话

1 ? x ? 1 2x ? 1 ∴原式 = ln?1 ? 2 arctan ? C. ?? 2 ? x ?1? 3 3

x2 ?1 A B C (6)解 令 , ? ? ? 2 2 x ?1 x ?1 (x ? 1) (x ? 1) (x ? 1)


x 2 ? 1 ? A(x ? 1) ? B(x 2 ? 1) ? C(x ? 1) 2 ? (B ? C)x 2 ? (A ? 2C)x ? A ? B ? C ,

比较等式两边 x 同次幂的系数,得
? B?C ?1 ? ? A ? 2C ? 0 ?? A ? B ? C ? 1 ? ? A ? ?1 ? ,解得 ?B ? 1 2 . ?C ? 1 2 ?

? 1 1 1 1 1 ? ?dx ∴原式 = ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ( x ? 1) 2 x ?1 2 x ?1? ? ?
? 1 1 1 1 1 ? ln x ? 1 ? ln x ? 1 ? C ? ? ln x 2 ? 1 ? C . x ?1 2 2 x ?1 2

103.(1) 1 ? x

(2) 3x 2 sin x 6

(3)

2x 1? x
8

(4) ? xe? x

(5)解

? ? 3 2 0 x2 ? ? ? ? x e t dt ? x e t dt ? t t f ?( x ) ? ? e dt ? e dt ? ?x 3 ? ? ?0 ? ?0 ?0 ? ? ? ?

? ?e x ? (x 3 )? ? e x ? (x 2 )? ? ?3x 2 e x ? 2xex .
(6)解

3

2

3

2

f ?(x) ? 2x ? ?

2x

0 2x

e 2 t dt ? x 2 ? e 4 x ? (2x)? e 2 t dt ? 2x 2 e 4 x .
(8) ? sin x ?
cos cos x cos sin x ? cos x ? 2 1 ? cos x 1 ? sin 2 x

? 2x ?

0

(7) ? e x tanln(e 2x ? 1)

104.解

在方程两边对 x 求导,得

f (x 3 ? 1) ? 3x 2 ? 1, f ( x 3 ? 1) ?
令 x 3 ? 1 ? t ,则 x ? 3 t ? 1 , f (t ) ?

1 . 3x 2

1 3 ? 3 (t ? 1) 2

,即 f ( x) ?

1 3 ? 3 ( x ? 1) 2

.

29

高数会挂就是个笑话

从而, f (1) ?

1 3 ? 22
3

?

3

2 . 6
x 0

105.(1)

? ∵ lim F( x ) ? lim
x ?0 x ?0

tf ( t )dt x
2

? lim
x ?0

0 0

xf ( x ) 1 1 ? lim f ( x ) ? f (0) x ? 0 2x 2 2

? 0 ? F(0) ,

∴ F( x ) 在 x ? 0 处连续.

1 2 F(x) ? F(0) (2) ∵ lim ? lim x x ?0 x ?0 x
0 0 0

?

x

0

tf (t )dt x

? lim
x ?0

?

x

0

tf (t )dt x3

xf ( x) 1 f (x) 0 1 1 ? lim ? lim ? lim f ?(x) ? f ?(0) ,此极限存在. 2 x ?0 3x 3 x ?0 x 3 x ?0 3

∴ F( x ) 在 x ? 0 处可导. 106. 107.
cos x sin x ? 1

1 ? cos2 ( y ? x ) cos2 ( y ? x ) ? 2 y

108.(1) 1

(2)

1 2

109.单调增加

110.在 x ? 0 处有极小值 f (0) ? 0
32 3

111.最大值: f (0) ? 0 ;最小值: f (4) ? ? 112. f ( x ) ? ln x ? 1 113.(1)解
?

?

? 6 0

(2 c o 2 s ? ? 1)d? ? ? c o 2 s ?d(2?) ? ? d? ? ?s i n 2?? ?
0

? 6 0

? 6 0

? 6

? 6

3 ? ? . 2 6
? ? 0 0

(2)解

?

? 2 0

cos x sin 2 xdx ? 2 ? 2 cos 2 x sin xdx ? ?2? 2 cos 2 xd ( c o x s)
?

?1 ?2 ? 1? 2 ? ?2? cos3 x ? ? ?2?0 ? ? ? . ?3 ?0 ? 3? 3

(3) ? ? (6)解

4 3
1 x 0

(4) 1

(5) ln

3 2

? (e

1 1 1 ? 1) 4 e x dx ? ? (e x ? 1)d(e x ? 1) ? (e x ? 1) 1 (e ? 1) 5 . 0 ? 0 5 5

30

高数会挂就是个笑话

(7) arctan e ?

? 4

(8)

3 2

(9) 2

(10) ( 3 ? 1)a

(11)

? 2

114. 略 118.(1)解 (2)解

115. 略
?

116. 略
0

117. 略
3 1 ? 3 ? ? ? ?. 4 2 2 16

令 x ? sin t ,原式 = ? 2 cos 4 tdt ?
0 4 ?1 0

原式 = ? x ? xdx ? ? x xdx

在第一个积分中令 ? x ? t ,则 原式 = ? (?t ) t (?dt ) ? ? x xdx ? ?? t 2 dt ? ? x 2 dx
1 0 0 0 0 4 1
3

4

3

62 ?2 5 ? ?2 5 ? ? ?? t 2 ? ? ? x 2 ? ? . 5 ?5 ?0 ?5 ?0
(3) 1 ?
? 4

1

4

(4)

? 4 a 16

(5)

? 1 ? 8 4

(6) 3 ?

? 3

(7) 2(2 ? ln 3) (8)解 令 x ? t ,则 x ? t 2 , dx ? 2tdt .
1 4 1 t 1? t3 1 ? 2 ? 2 tdt ? 2 dt ? 2 ? t ?1? ?dt 2 2 ? ? 0 0 1? t 1? t 1? t2 ? ?
1

原式 = ?0

?t3 ? ? 4 ? 2? ? t ? a r c t t a? n ? ? . ?3 ?0 2 3

(9)解

令 x ? 1 ? t ,则 x ? t 2 ? 1 , dx ? 2tdt.
2 2? t 1 ? 2 ? 2 tdt ? 2 ?1 ? 2 ?dt ? 2?t ? arctant ?0 2 ? 0 t ?1 ? t ? 1?

原式 = ?0

? 2(2 ? arctan2).

(10)解

令 5 ? 4x ? t ,则 x ?

1 1 (5 ? t 2 ) , dx ? ? tdt . 4 2

原式 = ? (11)解

1

3

1 (5 ? t 2 ) 1 ? 1 ? 1 3 4 ? ? ? tdt ? ? ? (5 ? t 2 )dt ? . t 6 ? 2 ? 8 1
2t dt . t ?1
2

令 e x ? 1 ? t ,则 x ? ln(t 2 ? 1) , dx ?

31

高数会挂就是个笑话
1? 2t 2 1 ? ? 1 dt ? 2 1? 2 ?dt ? 2?t ? arctant ?0 ? 2 ? . ?0 ? 0 t2 ?1 2 ? t ? 1? 1
2 2 ? x sin(2x 2 ) 2 x ? 2 sin(x ) cos(x ) dx ? ?0 1 ? sin(x 2 ) dx 1 ? sin(x 2 )
? ? sin( x 2 ) 1 2 ? 2 ? ? d (sin( x )) ? 1? d (sin( x 2 )) 2 2 ? ? ? 0 1 ? sin( x ) ? 1 ? sin( x ) ?

原式 = ? (12)解

?

? 2

0

? ?2
0

?

? ? 2 d(sin(x 2 )) ? ? 2
0 0

?

?

? ? d(1 ? sin(x 2 )) 2 2 ? sin(x 2 ) 0 ? ln(1 ? sin(x 2 )) 0 2 1 ? sin(x )

? sin
119. a ? ln 2 120.(1) 1 ? e (2)解
?

? ?2 ?2 ? ? ? ln? 1 ? sin ? ?. 4 4 ? ?

1 2

?e

x

cos xdx ? ? cos xd (e x ) ? e x c o s x ? ? ex s i n xdx

? e x cos x ? ? sin xd (e x ) ? e x cos x ? [e x sin x ? ? e x cos xdx ]

∴ ? e x cos xdx ?

1 x e (cos x ? sin x ) ? C . 2

? ? ? ? 1? 2 1 2 ?. e ? 1 ∴ ? 2 e x cos xdx ? [e x (cosx ? sin x )]0 ? ? ? 0 2? 2 ? ?

(3) 1 (7) ? 2 121. b ? e 123.(1)解

(4) (8)

3 1 ?? 12 2
? 1 ? 4 2

(5)

? 1 ? 4 2
? 2

e 1 (6) (sin 1 ? cos 1) ? 2 2

(9) 122. ln(e ? 1)

(10) 2 ? 2e ?1

作图.
a

所求面积
a 2

S ? 2?

0

? 4 x3 ? (a ? x )dx ? 2?ax ? ? ? a a . 3 3 ?0 ?

(2)

10 3
32 3

(3)

8 3

(4)

3 4

(5)

? ?1 2

3 (6) ? ln 2 2

(7)

28 3

124.

1 125. (1 ? e ?1 ) 2

126. b ? a

127.

32 3

128.解

作图.



32

高数会挂就是个笑话

1 2 ? y ? x ? 2 ? ? ?x 2 ? y 2 ? 8 ? ?
两部分面积分别记为 S1 、 S2 .

解得两曲线的交点: (?2,2) , (2,2) .

2 2 2 2? 8 1 ? S1 ? 2? ? 8 ? x 2 ? x 2 ?dx ? 2? 8 ? x 2 dx ? ? x 2 dx ? 2? 8 ? x 2 dx ? . 0 0 0 0 3 2 ? ?

令 x ? 2 2 sin t ,则

2?

2

0

? 1 ?4 8 ? x 2 dx ? 16? cos2 tdt ? 8? (1 ? cos 2t )dt ? 8?t ? sin 2t ? ? 2 ?0

? 4 0

? 4 0

?

? 2? ? 4 .

∴ S1 ? 2? ? 4 ? 129.(1)解

4 8 4 ? 2? ? , S2 ? (2 2 ) 2 ? ? S1 ? 6 ? ? . 3 3 3

绕 x 轴旋转所成立体的体积

Vx ? ?? y 2 dx ? ?? xdx ?
1 1

4

4

15 ?. 2

绕 y 轴旋转所成立体的体积

Vy ? 2 ? 4 2 ? ? 1 ? 12 ? ? ?? x 2 dy ? 31? ? ?? y 4 dy ?
1 1

2

2

124 ?. 5

(2)

?2 , 2? 4

(3) 由

128 64 ?, ? 7 5

(4)解

作图.

? 2 2 ?x ? y ? 1 ?1 3? ?1 3? ? ? ? ? ,解得两曲线的交点为: ? ? ? 2 ,? 2 ? , ? 2 , 2 ? . ? ? ? ? ? 2 3 y ? x ? 2 ?

绕 x 轴旋转所成立体的体积

Vx ? ?? y dx ? ??1 y dx ? ??
2 1 2 2 2

1 2 0

1

1 2 0

1 19 3 ?. xdx ? ??1 (1 ? x 2 )dx ? 48 2 2

绕 y 轴旋转所成立体的体积
Vy ? ??
3 2 3 ? 2

?x

2 2

? x dy ? ??
2 1

?

3 2 3 ? 2

2 3 ? 7 3 4 4? ?2 2? ? ? 2 2 2 ?. ? 1 ? y ? ? y ? ?dy ? 2??0 ?1 ? y ? y ?dy ? 10 9 ? ?3 ? ? ? ? ? ?

?

?

33

高数会挂就是个笑话

130.

? a 2

131.(1) 1 (2)发散 (3) 1

? (2) (e 2 ? 1) 2

132. 略 (5)
1 2

133.(1) 1 (6)解

(4) 1

?

arctanx ? 1? dx ? ? arctanxd? ? ? 2 x ? x?

1 1 1 1 x ? ?1 ? ? arctanx ? ? ? dx ? ? arctanx ? ? ? ? dx 2 2 ? x x 1? x x ? x 1? x ?

x 1 ? ? arctanx ? ln ?C. x 1? x2
∴?
??

1

? 1 x ? arctanx dx ? lim ? arctan x ? ln ? ? b ??? x2 1 ? x 2 ?1 ? x

b

? arctanb b 1 ? ? 1 ? lim ?? ? ln ? arctan1 ? ln ? ? ? ln 2 ,收敛. b ? ?? b 2? 4 2 1? b2 ?

(7) ? (9)发散 (11)解
lim
x ?1

(8)当 0 ? a ? 1 时,收敛于
1 (10) 4
2

1 ;当 a ? 1 时,发散. 1? a

1 ? ?. x ? 4x ? 3 2 1 2 dx dx dx ?0 x 2 ? 4x ? 3 ? ?0 x 2 ? 4x ? 3 ? ?1 x 2 ? 4x ? 3 .
1 1?? 1?? ? dx dx ?1 1 ? ?dx ? lim ? ? lim ? ? ? ? x ? 4x ? 3 ??0 0 (x ? 1)(x ? 3) ??0 0 ? 2(x ? 1) 2(x ? 3) ? ? 2
1? ? 1? ?

∵ ?0

?1 x ? 3 ? 1 ? 1 ? ? lim?? ln x ? 1 ? ln x ? 3 ? ? lim? ln ? ?0 ? ?0 2 2 x ?1 ? ? 2 ?0 ? ?0

?1 ? ? ? 2 1 ? ? lim? ln ? ln 3 ? ? ??. ??0 2 ? 2 ? ?
∴原广义积分发散. 134.
? 2

34


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