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2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高二年级)


2010 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 (高二年级) 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;第 9 小 题 4 分一档,第 10、11 小题 5 分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档 次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分. 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ? 3 ,且 an?2 ?| an?1 | ?an (n ? N * ) .记 {an } 前 n 项的 和为 S n ,则 S100 ? 89 . 2.在△ ABC 中,已知 ? B 的平分线交 AC 于 K.若 BC=2,CK=1, BK ? 3 2 ,则 2 △ ABC 的面积为 15 7 16 . 0 0 , 3. 设n ?1 则使得 (a ? b) n 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 n 为 98 . 4.在小于 20 的正整数中,每次不重复地取出 3 个数,使它们的和能被 3 整除,不同的 取法种数为 327 . ( z ? 1) 2 5 . 若 x, y , z 均 为 正 实 数 , 且 x ? y ? z ? 1 , 则 S ? 的最小值为 2x y z 2 2 2 3? 2 2 . 6.设椭圆 x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,M 为椭圆上异于长轴端点的一点, 4 2? 3 . ?F1MF2 ? 2? ,△ MF1F2 的内心为 I,则 | MI | cos? ? 1 2 3 2 7.对于一切 x ? [ ?2, ] ,不等式 ax ? x ? x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 ? 10 ? a ? ?1 . 8.将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上,且任意三个相邻的数之和不小 于 58.所有满足上述要求的 10 个数中最大数的最大值为 26 . 二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 1 9.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, a 2 ? ,且 4 an?1 ? (n ? 1)an n ? an (n ? 2,3,4,?) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:对一切 n ? N ,有 * ?a k ?1 n 2 k ? 7 . 6 解 (1)由已知,对 n ? 2 有 n ? an 1 n 1 , ? ? ? an?1 (n ? 1)an (n ? 1)an n ? 1 两边同除以 n,得 1 1 1 , ? ? nan ?1 (n ? 1)a n n(n ? 1) ……………………4 分 即 1 1 1 1 ? ? ?( ? ), nan ?1 (n ? 1)a n n ?1 n n ?1 于是, n ?1 ? 1 ? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?(1 ? ), ? ? ? ? ? (k ? 1)a k ? k? n ?1 k ? 2 ? kak ?1 k ?2 ? k ? 1 即 1 1 1 ? ? ?(1 ? ), n ? 2 , (n ? 1)an a2 n ?1 1 1 1 1 3n ? 2 ,n ? 2 . , an ? ? ? (1 ? )?

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