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第三节 直线、平面平行的判定与性质


新课标高考总复习· 数学

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考纲要求: 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理 解空间中线面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平 行关系的简单命题.

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1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 平面外一条直线与
此平面内 的一条直

图形语言

符号语言
l∥ a

, ,

判定定理 线平行,则该直线与 此平面平行(线线平 行?线面平行)

a?α

l? α

? l∥ α

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文字语言 一条直线与一个平面 平行,则过这条直线 性质定理 的任一平面与此平面 的 交线 与该直线平 行(简记为“线面平 行?线线平行”)
l∥ α

图形语言

符号语言

, ,

l? β

α∩β=b ?

l∥ b

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2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 一个平面内的两条
相交直线 与另一个平

图形语言

符号语言
a∥β

, ,

b∥β

判定定理

面平行, 则这两个平面 平行(简记为“线面平 行?面面平行”)

α∩β=P ,

a?α,b?α

? α∥ β

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文字语言 如果两个平行平面 性质定理 同时和第三个平 面
相交 , 那么它

图形语言

符号语言
α∥ β



α∩γ=a ,
β∩γ=b

们的 交线 平行

? a∥ b

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[自我查验] 1. 判断下列结论的正误. (正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平 行于这个平面.( )

(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面 内的任一条直线.( ) )

(3)若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行,则 a∥α.(

(4)若直线 a∥α,P∈α,则过点 P 且平行于 a 的直线有无数 条.( )

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(5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两 个平面平行.( )

(6)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线 平行或异面.( )

(7)设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面,若 l∥α,l∥β,则 α∥β.( )
(2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)×

答案:(1)×

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2.若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系 是( ) A.平行 C.异面 B.相交 D.以上均有可能

答案:D

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3.一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相 等,那么直线 l 与平面 α 的位置关系是( A.l∥α C.l 与 α 相交但不垂直 ) B.l⊥α D.l∥α 或 l?α

解析: 选 D l∥α 时, 直线 l 上任意点到 α 的距离都相等; l?α 时,直线 l 上所有的点到 α 的距离都是 0;l⊥α 时,直线 l 上有两个点到 α 距离相等;l 与 α 斜交时,也只能有两个点到 α 距离相等.

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4.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度 等于________.

答案: 2

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5.已知平面 α∥β,直线 a?α,有下列命题: ①a 与 β 内的所有直线平行; ②a 与 β 内无数条直线平行; ③a 与 β 内的任意一条直线都不垂直. 其中真命题的序号是________.

解析:由面面平行和线面平行的性质可知,过 a 与 β 相交的 平面与 β 的交线才与 a 平行,故①错误;②正确;平面 β 内的直 线与直线 a 平行,异面均可,其中包括异面垂直,故③错误.
答案:②

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6.已知正方体 ABCDA1B1C1D1,下列结论中,正确的结论 是________(只填序号). ①AD1∥BC1;②平面 AB1D1∥平面 BDC1; ③AD1∥DC1;④AD1∥平面 BDC1.

解析:

连接 AD1,BC1,因为 AB 綊 C1D1,所以四边形 AD1C1B 为平 行四边形,故 AD1∥BC1,从而①正确;

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易证 BD∥B1D1,AB1∥DC1, 又 AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D, 故平面 AB1D1∥平面 BDC1,从而②正确; 由图易知 AD1 与 DC1 异面,故③错误; 因 AD1∥BC1, AD1?平面 BDC1, BC1?平面 BDC1, 故 AD1 ∥平面 BDC1,故④正确.
答案:①②④

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[典题 1] 如图,四棱锥 PABCD 中,AD∥BC,AB=BC 1 = AD,E,F,H 分别为线段 AD,PC,CD 的中点,AC 与 2 BE 交于 O 点,G 是线段 OF 上一点.

(1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:GH∥平面 PAD.

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[听前试做] (1)连接 EC,

1 ∵AD∥BC,BC= AD,∴BC 綊 AE, 2 ∴四边形 ABCE 是平行四边形, ∴O 为 AC 的中点. 又∵F 是 PC 的中点,∴FO∥AP, FO?平面 BEF,AP?平面 BEF, ∴AP∥平面 BEF.

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(2)连接 FH,OH, ∵F,H 分别是 PC,CD 的中点, ∴FH∥PD,∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 BE 的中点,H 是 CD 的中点, ∴OH∥AD,∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH=H, ∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH?平面 OHF, ∴GH∥平面 PAD.

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判断或证明线面平行的常用方法: (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a?α,a?β,a∥α?a∥β).

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如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一 点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.

求证:AP∥GH.

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证明:如图所示,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 MO,

∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴O 是 AC 的中点,又 M 是 PC 的中点,∴AP∥OM. 又 MO?平面 BMD,PA?平面 BMD,∴PA∥平面 BMD. ∵平面 PAHG∩平面 BMD=GH,且 PA?平面 PAHG, ∴PA∥GH.

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[典题 2]

如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F,G,H 分

别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求证:

(1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

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[听前试做] (1)∵G,H 分别是 A1B1,A1C1 的中点,

∴GH 是△A1B1C1 的中位线,∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E,F 分别是 AB,AC 的中点,∴EF∥BC. ∵EF?平面 BCHG,BC?平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB,∴四边形 A1EBG 是平行四边形,∴A1E∥GB. ∵A1E?平面 BCHG,GB?平面 BCHG,∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG.

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[探究 1] A1B1BA. 在本例条件下,若 D 为 BC1 的中点,求证:HD∥平面

证明:如图所示,连接 HD,A1B,

∵D 为 BC1 的中点,H 为 A1C1 的中点,∴HD∥A1B, 又 HD?平面 A1B1BA,A1B?平面 A1B1BA, ∴HD∥平面 A1B1BA.

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[探究 2] 在本例条件下,若 D1,D 分别为 B1C1,BC 的中点,求 证:平面 A1BD1∥平面 AC1D.
证明:如图所示,连接 A1C 交 AC1 于点 M,

∵四边形 A1ACC1 是平行四边形,∴M 是 A1C 的中点, 连接 MD,∵D 为 BC 的中点,∴A1B∥DM.

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∵A1B?平面 A1BD1,DM?平面 A1BD1, ∴DM∥平面 A1BD1. 又由三棱柱的性质知,D1C1 綊 BD, ∴四边形 BDC1D1 为平行四边形,∴DC1∥BD1. 又 DC1?平面 A1BD1,BD1?平面 A1BD1, ∴DC1∥平面 A1BD1, 又∵DC1∩DM=D,DC1,DM?平面 AC1D, ∴平面 A1BD1∥平面 AC1D.

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判定面面平行的四种方法 (1)利用定义:即证两个平面没有公共点(不常用). (2)利用面面平行的判定定理(主要方法). (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用). (4)利用平面平行的传递性, 即两个平面同时平行于第三个平 面,则这两个平面平行(客观题可用).

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[典题 3] 形.

如图,已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 为菱

(1)证明:平面 AB1C∥平面 DA1C1; (2)在直线 CC1 上是否存在点 P,使 BP∥平面 DA1C1?若存在,确 定点 P 的位置;若不存在,说明理由.

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[听前试做] (1)由棱柱 ABCDA1B1C1D1 的性质知, AB1∥DC1,∵AB1?平面 DA1C1,DC1?平面 DA1C1, ∴AB1∥平面 DA1C1, 同理可证 B1C∥平面 DA1C1, 而 AB1∩B1C=B1, 由面面平行的判定定理知,平面 AB1C∥平面 DA1C1.

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(2)存在这样的点 P,使 BP∥平面 DA1C1. ∵A1B1 綊 AB 綊 DC,∴四边形 A1B1CD 为平行四边形. ∴A1D∥B1C. 在 C1C 的延长线上取点 P,使 C1C=CP,连接 BP, ∵B1B 綊 C1C, ∴B1B 綊 CP, ∴四边形 BB1CP 为平行四边形, 则 BP∥B1C,∴BP∥A1D,∴BP∥平面 DA1C1.

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解决探究性问题一般先假设求解的结果存在, 从这个结果出 发,寻找使这个结论成立的充分条件,如果找到了使结论成立的 充分条件,则存在;如果找不到使结论成立的充分条件 (出现矛 盾),则不存在.而对于探求点的问题,一般是先探求点的位置, 多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.

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如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4, E,F 分别在 BC,AD 上,EF∥AB.现将四边形 ABCD 沿 EF 折起, 使平面 ABEF⊥平面 EFDC.

若 BE=1,在折叠后的线段 AD 上是否存在一点 P,且

使

得 CP∥平面 ABEF?若存在,求出 λ 的值,若不存在,说明理由.

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解:

3 AD 上存在一点 P,使得 CP∥平面 ABEF,此时 λ= .理由如 2 下: 3 当 λ= 时, 2 AP 3 , 可知AD= , 如图, 过点 P 作 MP∥FD 5

MP AP 3 交 AF 于点 M,连接 EM,PC,则有 FD =AD= , 5

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又 BE=1,可得 FD=5,故 MP=3, 又 EC=3,MP∥FD∥EC,故有 MP 綊 EC,

故四边形 MPCE 为平行四边形, 所以 CP∥ME,又 CP?平面 ABEF,ME? 平面 ABEF, 故有 CP∥平面 ABEF.

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[方法技巧] 1.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质. 2.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β.

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3.线面平行、面面平行的常见性质 (1)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等; (2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行; (3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例; (4)如果两个平面分别和第三个平面平行, 那么这两个平面互 相平行; (5)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面 内的两条直线,那么这两个平面平行.

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4.三种平行间的转化关系

其中线面平行是核心,线线平行是基础,要注意它们之间的 灵活转化.

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[易错防范] 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则, 会出现错误. 2.在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一 条件. 3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,易误 认为这两个平面平行,实质上也可以相交.


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