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【全程复习方略】2016届高考数学(文科人教A版)大一轮复习课件:6.6 直接证明与间接证明


第六节

直接证明与间接证明

【知识梳理】

1.必会知识
(1)直接证明: 内容

教材回扣

填一填

综合法 利用已知条件和某些数字

分析法 证明的结论 出发,逐步寻求 从要___________ 充分条件 直至最后,

使它成立的_________,

定义、公理、定理等,经过 推理论证 最后 定义 一系列的_________, 推导出所要证明的结论 成立 的证明方法 _____

把要证明的结论归结为判定一个
明显成立的条件(已知条件、定 理、定义、公理等)为止的证明 方法

内容

综合法 由因导果

分析法 执果索因

思维
过程

框图
表示

书写
格式

“因为??,所以??”或
“由??,得??”等

“要证??”“只需证明??”
“即证??”等

(2)间接证明: 不成立 即在原命题的条件下,结论不成立), 反证法:假设原命题_______( 矛盾. 因此说明假设错误,从而证明了 经过正确的推理,最后得出______ 原命题成立的证明方法.

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)综合法证明问题是由因导果,分析法证明问题是执果索因. (2)分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分 析,寻求结论与条件、基础知识之间的关系,找到解决问题的思路,再

运用综合法证明,或者在证明时将两种方法交叉使用.
3.必用技法 核心总结 看一看

(1)常用方法:求差法,分析法、综合法、反证法、放缩法.
(2)数学思想:正难则反的思想.

(3)记忆口诀: 证不等式的方法, 实数性质威力大.

求差与0比大小,
作商和1争高下. 直接困难分析好, 思路清晰综合法. 非负常用基本式, 正面难则反证法.

【小题快练】

1.思考辨析

静心思考

判一判
)

(1)综合法的思维过程是由因导果,逐步寻找已知的必要条件.( (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条 件.( ) )

(3)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾.(

(4)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法 展现解决问题的过程.( )

【解析】(1)正确;因为综合法的思维过程是由因导果 ,就是寻找已知 的必要条件,因此(1)正确.

(2)错误,分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充分
条件,不是充要条件.

(3)错误,用反证法证明时,推出的矛盾可以与已知、公理、定理、事
实或者假设等相矛盾.

(4)正确,在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综
合法展现解决问题的过程. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(选修1-2P43练习T1改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至

少有一个不大于60°”时,应假设(
A.三个内角都不大于60°

)

B.三个内角都大于60°
C.三个内角至多有一个大于60° D.三个内角至多有两个大于60° 【解析】选B.因为“至少有一个不大于”的反面是“都大于”,因此 选B.

(2)(选修1-2P44习题2.2A组T1改编)已知A,B都是锐角,且A+B≠ π ,
2

(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B=

.

【解析】由已知得tanA+tanB=1-tanAtanB,所以tan(A+B)=
tan A ? tan B ? 1, 1-tan Atan B 因为A+B≠ π ,且A,B都是锐角,所以A+B= π . 2 4 答案: π 4

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·山东高考)用反证法证明命题:“已知a,b为实数,则方程 x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( A.方程x2+ax+b=0没有实根 B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根 【解析】选A.“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程 x2+ax+b=0没有实根”,故选A. )

(2)(2015·宿州模拟)设a,b,c都是正数,则 a+ ,b+ ,c+ 三个数( A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 )

1 b

1 c

1 a

【解析】选D.因为 (a ? 1 )+(b ? 1 )+(c ? 1 )
b 1 1 1 =(a ? )+(b ? )+(c ? ) ? 6, a b c c a

当且仅当a=b=c时取等号, 所以三个数中至少有一个不小于2.

考点1

分析法

【典例1】△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为 a,b,c. 求证: 1 + 1 =
a?b b?c 3 . a?b?c

【解题提示】本题从条件不易寻求证题思路,考虑使用分析法.

1 1 3 + = , a?b b?c a?b?c 即证 a ? b ? c + a ? b ? c =3也就是 c + a =1, a?b b?c a?b b?c

【规范解答】要证

只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证c2+a2=ac+b2, 又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60°, 由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60°,即b2=c2+a2-ac,

故c2+a2=ac+b2成立.
于是原等式成立.

【规律方法】
1.分析法的思路

“执果索因”,逐步寻找结论成立的充分条件,即从“未知”看“需
知”,逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成

立的结论等,通常采用“欲证—只需证—已知”的格式,在表达中要
注意叙述形式的规范性.

2.分析法证明问题的适用范围

当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用
的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值 的等式或不等式,常考虑用分析法.

【变式训练】已知c>0,用分析法证明:

c ?1 ? c ? 1 <2 c.

【证明】要证原不等式成立,只需证明

?

c ?1 ? c ?1 < 2 c ,

? ?
2

?

2

即证:2c+ 2 c2 ? 1 <4c,
即证: c2 ? 1 <c, 而c>0,故只需证明c2-1<c2, 而此式一定成立, 故原不等式得证.

a?b ? 2. 【加固训练】已知非零向量a⊥b,求证: a?b

【证明】因为a⊥b,所以a·b=0.
要证
a?b ? 2, 只需证|a|+|b|≤ 2 |a-b|, a?b

平方得|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2a·b),
只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0成立, 即(|a|-|b|)2≥0,显然成立. 故原不等式得证.

考点2

综合法 知·考情

综合法证明问题是历年高考的热点问题,也是必考问题之一,通常 在解答题中出现,考查立体几何、数列、函数、不等式及一些新型定 义问题,因而掌握好综合法是突破此类问题的关键.

明·角度

命题角度1:与立体几何有关的证明题
【典例2】(2014·湖北高考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:

(1)直线BC1∥平面EFPQ. (2)直线AC1⊥平面PQMN.

【解题提示】(1)通过证明FP∥AD1,得到BC1∥FP,根据线面平行的判 定定理即可得证. (2)证明BD⊥平面ACC1,得出BD⊥AC1,进而得MN⊥AC1,同理可证PN⊥AC1, 根据线面垂直的判定定理即可得出直线AC1⊥平面PQMN.

【规范解答】(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1, 因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1. 从而BC1∥FP. 而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ, 故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)连接AC,BD,则AC⊥BD.

由CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,可得CC1⊥BD. 又AC∩CC1=C, 所以BD⊥平面ACC1. 而AC1?平面ACC1, 所以BD⊥AC1. 因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,

所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.

命题角度2:与数列有关的证明题 【典例3】(2013·北京高考)给定数列a1,a2,…,an.对i=1,2,…,n-1,该 数列前i项的最大值记为Ai,后n-i项ai+1,ai+2,…,an的最小值记为 Bi,di=Ai-Bi. (1)设数列{an}为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值. (2)设a1,a2,…,an(n≥4)是公比大于1的等比数列,且a1>0,证 明:d1,d2,…,dn-1是等比数列. 【解题提示】先根据已知条件写出d1,d2,d3的值,再利用等比数列的定 义证明d1,d2,?,dn-1是等比数列.

【规范解答】(1)d1=A1-B1=3-1=2,d2=A2-B2=4-1=3,d3=A3-B3=7-1=6.

(2)由a1,a2,…,an(n≥4)是公比大于1的等比数列,且a1>0,可得{an}的
通项为an=a1·qn-1且为单调递增数列.
k-1 k d a - a a q - a q k k k ? 1 1 1 于是当k=2,3,…,n-1时, ? ? ? q为定值. k-2 k-1 d k-1 a k-1-a k a1q -a1q

因此d1,d2,…,dn-1构成首项d1=a1-a2,公比为q的等比数列.

悟·技法

综合法证明问题的常见类型及方法:
(1)数列证明题:充分利用等差、等比数列的通项及前n项和公式转化 证明. (2)几何证明题:首先利用点线面位置关系的判定或性质,也可利用向 量法证明,其次要进行必要的转化.

通·一类
1.(2015·潍坊模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单

调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(
A.恒为负值 B.恒等于零

)

C.恒为正值

D.无法确定正负

【解析】选A.由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调 递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2, f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0,故选A.

2.(2015·福州模拟)在数列{an}中,已知
1 a 1 a1 ? , n ?1 ? ,bn ? 2 ? 3log 1 a n (n ? N*). 4 an 4 4

(1)求数列{an}的通项公式. (2)求证:数列{bn}是等差数列.

【解析】(1)因为

a n ?1 1 1 1 ? , 所以数列{an}是首项为 ,公比为 的等 4 4 an 4

比数列,
所以an= ( 1 ) n(n∈N*).
4

(2)因为bn= 3log 1 a n ? 2, 所以bn= 3log 1 ( 1 )n ? 2 ? 3n ? 2.
4
4

4

所以b1=1,公差d=3, 所以数列{bn}是首项b1=1,公差d=3的等差数列.

3.(2015·中山模拟)定义在x∈[0,1]上的函数f(x).若x1≥0,x2≥0且

x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函
数.g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否为理想函数,如果是,请予以证明;如果 不是,请说明理由. 【解题提示】根据理想函数的定义加以判定证明.

【解析】g(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函数. 当x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1时, f(x1+x2)=2x +x -, 1
1 2

f(x1)+f(x2)= 2x +2x -2,
1 2

所以f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]
=2 x1+x 2 -2 x1-2 x 2 + 1 =2 x1 2 x 2 - 1 -(2 x 2 - 1) = 2x2 - 1 2 x1- 1,

?

?

?

??

?

因为x1≥0,x2≥0,

所以 2 x -1≥0,2 x -1≥0,
1 2

所以f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]≥0, 则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2). 故函数g(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函数.

考点3

反证法

【典例4】(2013·陕西高考)设{an}是公比为q的等比数列.
(1)推导{an}的前n项和公式. (2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 【解题提示】推导数列{an}的前n项和公式要注意分情况讨论;证明数 列{an+1}不是等比数列,一般要用反证法.

【规范解答】(1)分两种情况讨论.
①当q=1时,数列{an}是首项为a1的常数数列,所以Sn=a1+a1+…+a1=na1.

②当q≠1时,Sn=a1+a2+…+an-1+an?qSn=qa1+qa2+…+qan-1+qan.
上面两式错位相减: (1-q)Sn=a1+(a2-qa1)+(a3-qa2)+…+(an-qan-1)-qan=a1-qan
n a - qa a (1 - q ) 1 n 1 ?Sn= ? . 1? q 1? q

?na1 ,q ? 1, ? 综上,Sn ? ? a1 (1-q n ) ? 1-q ,q ? 1. ?

(2)使用反证法.

设{an}是公比q≠1的等比数列,假设数列{an+1}是等比数列,则
(a2+1)2=(a1+1)(a3+1),即(a1q+1)2 =(a1+1)(a1q2+1), 整理得a1(q-1)2=0得a1=0或q=1均与题设矛盾,故数列{an+1}不是等比 数列.

【规律方法】反证法的适用范围及证题的关键

(1)适用范围:当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”
或以否定形式出现时,宜用反证法来证. (2)关键:在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,与假 设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等.推导出的矛盾必须 是明显的.

【变式训练】已知a,b,c是互不相等的实数.求证:由y=ax2+2bx+c,

y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两
个不同的交点.

【证明】假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x轴有两个不同

的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点),
由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b, 得Δ1=(2b)2-4ac≤0, Δ2=(2c)2-4ab≤0, Δ3=(2a)2-4bc≤0.

上述三个同向不等式相加得,

4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,
所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0, 所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0, 所以a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而原命题得证.

规范解答9

综合法与分析法的综合应用

【典例】(12分)(2015·黄山模拟)(1)设x≥1,y≥1,证明
x?y? 1 1 1 ? ? ? xy. xy x y

(2)设1<a≤b≤c,证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.

解题导思

研读信息

快速破题

规范解答

阅卷标准

体会规范
xy x y

(1)由于x≥1,y≥1,所以x+y+ 1 ? 1 ? 1 +xy?xy(x+y)+1≤y+x+

(xy)2,…………………………………??????…………2分
将上式中的右式减左式,得[y+x+(xy)2]-[xy(x+y) +1]=[(xy)2-1]-[xy·(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1) -(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1) ??????5分 既然x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式 成立. ????????????????????????6分

(2)设logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得
log ca ? 1 1 1 ,log ba ? ,log cb ? ,log a c ? xy, xy x y

………………………………………………………………………8分
1 1 于是,所要证明的不等式即为x+y+ 1 ≤ ? ? xy, xy x y

???????????????????????????10分
其中x=logab≥1,y=logbc≥1.

故由(1)可知所要证明的不等式成立.
???????????????????????????12分

高考状元

满分心得

把握规则

争取满分

1.证明问题的常用思路:

在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题
思路,再用综合法表述解答或证明过程. 2.关键步骤要全面: 证明数学问题时,一些关键的步骤必不可少,如果写不全,会扣掉相应 的步骤分,如本例(1)中作差化简后的变形要彻底,(2)中要注明 x≥1,y≥1.


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