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几何概型中的掷硬币问题


几何概型中的掷硬币问题
几何概型是新课程中增加的学习内容, 也必将成为概率部分考察的一个主要方向。 应用几 何概型概率计算公式求解时,要选准角度,找对几何度量,下面仅就掷硬币问题做以探讨。 例 1.地面上画有距离为 8cm 的两条平行线,现用一枚直径为 2cm 的硬币向两平行线间投 掷,假设硬币完全落在两线外不计,求投掷一次时硬币与两线均无公共点的概率。 分析:硬币的位置由中心确定,所以硬币与两直线无公共点,只要其中心到两直线的距离 都大于硬币圆的半径即可。 解:如右图所示,硬币中心可取到线段 AB 上任一点,而 只有当中心在线段 MN 上时,硬币才与两线均无公共点。

记事件A ? ?投掷一次硬币与两线均无公共点? , MN AB ? 8?2 3 ? 8? 2 5

则p ? A ? ?

变式:地面上画一正方形线框,其边长为 4cm,现向方框 中投掷一枚直径为 2cm 的硬币, 硬币完全落在正方形外的情 况不计,求硬币落下后完全落在正方形内的概率。 分析:硬币要完全落在正方形内,其中心位置需要用正方 形的四条边同时控制,此几何概型问题与面积有关。 解:构成试验的所有基本事件的区域如图所示, 而当硬币中心落入边长为 2cm 的小正方形区域时试验成功。

记事件A ? ?投掷一次硬币完全落在正方形内? , 22 4 则p ? A? ? 2 ? 4 ? 4 ?1? 4 ? ? ?12 32 ? ?
注:为了利用几何概型,题目中一般会有硬币完全落在所给区域之外不计这个条件,但如 果所给的区域是网格,则不需要这个条件,因为超出一个网格,就会进入另一个网格,分析 是同样的。 例 2.有一种游戏是向一个画满边长为 5cm 的均匀方格的大桌子上投直径为 2cm 的硬币, 若硬币完全落入某个方格中则投掷者获胜, 请问参与游戏者掷一次硬币便可获胜的概率有多 大? 分析:由于网格由许多小正方形组成,因此只需要用其中一个小正方形分析即可。 解:如右图示,边长 5cm 的正方形区域表示试验所有基本事件构成的区域,当硬币中心落 入图中以 3cm 为边长的正方形区域时,投掷者获胜。

记事件A ? ?游戏者投掷一次硬币获胜? , 32 9 则p ? A? ? 2 ? 5 25
变式:设有一等边三角形网格,其中各个最小等边三角形的边长都是

4 3 ,现用一直径为 2cm 的硬币投掷到此网格上,求硬币下落后与格
线有公共点的概率。





记事件A ? ?硬币下落后与格线有公共点?, 如图示,在等边三角形内作小等边
三角形, 使其三边与原等边三角形的三边距离都为 1cm,易算得小等边三角形的边长为 2 3 , 当事件 A 满足时, 硬币的中心必在小等边三角形外的阴影部分。 由几何概型概率计算公式得

1 1 ? 4 3 ?6 ? ? 2 3 ?3 3 2 p ? A? ? 2 ? 1 4 ?4 3?6 2


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