幂函数知识总结

幂 函 数 复 习
α 的函数称为幂函数， 是自变量， 一、幂函数定义：形如 y = x (α ∈ R) 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是 幂函数定义：

常数。 常数。 注意：幂函数与指数函数有何不同？ 注意：幂函数与指数函数有何不同？ 思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同， 【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位 而指数函数的自变量在指数位置． 置，而指数函数的自变量在指数位置． 观察图： 观察图：

归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下： 归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下： 如下

二、幂函数的性质

1

归纳：幂函数在第一象限的性质： 归纳：幂函数在第一象限的性质：

α > 0 ，图像过定点（0,0） 1,1） 在区间（ 0,+∞ ）上单调递增。 （1,1 ，在区间 上单调递增。 图像过定点（0,0） 1,1） 在区间（ （ ， α < 0 ，图像过定点（1,1） 在区间（ 0,+∞ ）上单调递减。 ，在区间 上单调递减。 图像过定点（1,1） 在区间（ ，
探究： 探究：整数 m,n 的奇偶与幂函数 y = x (m, n ∈ Z , 且m, n互质) 的定义域以及奇偶 性有什么关系？ 性有什么关系？
m n 结果： 结果：形如 y = x (m, n ∈ Z , 且m, n互质) 的幂函数的奇偶性 都为奇数时， 为奇函数，图象关于原点对称； （1）当 m，n 都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称； 为偶数时， 为偶函数， 轴对称； （2）当 m 为奇数 n 为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于 y 轴对称； 为奇数时， 是非奇非偶函数，图象只在第一象限内. （3）当 m 为偶数 n 为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内. 幂函数的图像画法： 三、幂函数的图像画法： 关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 1,在第一象限为抛物线型 在第一象限为抛物线型（ ； 指数大于 1,在第一象限为抛物线型（凹） 1,在第一象限为上升的射线 在第一象限为上升的射线； 指数等于 1,在第一象限为上升的射线； 在第一象限为抛物线型（ ； 指数大于 0 小于 1,在第一象限为抛物线型（凸） 0,在第一象限为水平的射线 在第一象限为水平的射线； 指数等于 0,在第一象限为水平的射线； 0,在第一象限为双曲线型 在第一象限为双曲线型； 指数小于 0,在第一象限为双曲线型； 规律方法总结： 四、规律方法总结： m n

α 的图像： 1、幂函数 y = x (α = 0,1) 的图像：

y = x α (α = 2、幂函数

q , p, q ∈ Z , p, q互质) p 的图像： 的图像：

2

3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： 比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； 若能化为同指数，则用幂函数的单调性； 单调性 （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； 若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作 若既不能化为同指数，也不能化为同底数， 为桥梁来比较大小． 为桥梁来比较大小． 题型一： 题型一：幂函数解析式特征 1.下列函数是幂函数的是 下列函数是幂函数的是（ 例 1.下列函数是幂函数的是（ ） A．y=x
x

B.y=3x

2

C.y=x +1
2

1 2

D.y=x

?3

2 m 练习 1：已知函数 y = (m ? m ? 1) x

? 2 m ?1

是幂函数，求此函数的解析式． 是幂函数，求此函数的解析式．

2 a ?9 是幂函数，且图象不经过原点， 练习 2：若函数 f (x) = (a ? 9a + 19) x 是幂函数，且图象不经过原点，求函数的

解析式． 解析式．

题型二： 题型二：幂函数性质 下列命题中正确的是（ 例 2：下列命题中正确的是（
α

）

A．当 α = 0 时，函数 y = x 的图象是一条直线 ， 1 B．幂函数的图象都经过（0，0）（1，1）两点 幂函数的图象都经过（ （ C．幂函数的 y = x 图象不可能在第四象限内
3
α

为奇函数， 定义域内是 D．若幂函数 y = x 为奇函数，则在定义域内是增函数 如图， 在第一象限的图象， 练习 3：如图，曲线 c1, c2 分别是函数 y＝xm 和 y＝xn 在第一象限的图象，那么 一定有（ 一定有（ ） B． C． D． A．n<m<0 B．m<n<0 C．m>n>0 D．n>m>0 y c1 的单调递减区间为（ ） （1 练习 4：（1）函数 y＝ x 的单调递减区间为（ ． （－∞ （－∞ ［0，＋∞ D． ∞，＋∞） （－∞ A． （－∞，1） B． （－∞，0） C． 0，＋∞) D． ［ （－ ，＋∞ ．函数 （2） 函数 y＝x 4 在区间上 ．
?3
2 5

α

c2 0 x

是减函数． 是减函数．

．幂函数的图象过点(2, （3） 幂函数的图象过点(2, 4 ), 则它的单调递增区间是 ．幂函数的图象过点 题型三： 题型三：比较大小 利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： .利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （ 1 ） 2 . 3 ， 2 .4 ; （2） 0.31 ， 0.35 ；
2 2 （ 3） ( 2 ) ， ( 3 ) ； ? 3 6 5 6 5 3 4 3 4

1

．

?

3

2 2 （4） 1.1 ， 0.9 ． 经典例题： .经典例题：

?

1

?

1

为偶函数， 的值， 例 1、已知函数 f ( x) = x ?2m + m +3 (m ∈ Z) 为偶函数，且 f (3) < f (5) ，求 m 的值，
2

的解析式． 并确定 f ( x) 的解析式． 的取值范围． 例 2、若 (m + 1)?1 < (3 ? 2m)?1 ，试求实数 m 的取值范围． 的取值范围． 例 3、若 (m + 1)3 < (3 ? 2m)3 ，试求实数 m 的取值范围． 的取值范围． 例 4、若 (m + 1)4 < (3 ? 2m)4 ，试求实数 m 的取值范围． 的定义域是全体实数， 例 5、函数 y = (mx 2 + 4 x + m + 2) 4 + (m2 ? mx + 1) 的定义域是全体实数，求 m 的 取值范围。 取值范围。
? 1

4