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2015-2016学年度第一学期期中高一数学试卷


高一数学期中试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.设集合 A ? ??1,0,1,2? , B ? ?0,2,5? ,则 A ? B ? 2.函数 y ? ▲ .

1 ? x ? 1 的定义域为 x



. ▲ .

3. 用列举法 表示集合 A ? ?x | ?1 ? log2 x ? 2, x ? z ? ,其表示结果应为 ... 4. 函数 y ? ? x2 ? 2x ? 3 (0 ? x ? 3) 的值域是 ▲ .

?2 x ? 1 ( x ? 0) 1 ? 5.已知函数 f ( x) ? ? 1 x 则 f ( f ( ? )) = 2 ( ) ( x ? 0) ? ? 3



.

6. 若 B ? ??1,3,5? ,下列集合 A,使得 f : x ? 2 x ? 1 是 A 到 B 的映射的是________(填写序号) ① A ? ?1,2? 7. 已知幂函数 ② A ? ??1,7,11?
2

③ A ? ??1,1,2?

④ A ? ??1,0,1? ▲ .

y ? x m ?5 (m ? N* ) 在 (0, ??) 上是减函数, 且它的图像关于 y 轴对称, 则m?
2

8.已知函数 y ? 2? x 9. 函数 y ? 4 ?
? 3 2

? x? 2

( x ? R) ,对于任意 x 恒有 f ( x) ? f ( x0 ) 成立,则 x0 =
▲ .



.

1 的图象的对称中心的坐标是 x?3

10. 计算: 4

5 ? 2lg 4 ? lg ? log 9 16 ? log8 81 = 8
.



.

11.函数 y ? lg x ? 2 x ? 5 的零点 x0 ? (1,3) ,对区间 (1,3) 利用两次“二分法” ,可确定 x0 所在的 区间为 ▲

x 12. 已知 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? 2 ? 3 ,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的

取值范围是



.
3

13.函数 f ( x) ? x? | x | ? x ? 3 在区间 [?2015, 2015] 上的最大值与最小值之和为= 14.下列命题: ① 函数 y ?



.

x( x 2 ? 2) 是奇函数; x2 ? 2
b

② 函数 y ? 2

?|x ?3|

在 (??, 4) 上是增函数;

③ 将函数 y ? log2 ( x ? 2) 的图象向左平移 3 个单位可得到 y ? log 2 ( x ?1) 的图象; ④ 若 1.4 ? 1.5 ? 1,则 a ? b ? 0 ;
a

则上述正确命题的序号是
201511 高一数学试题



.(将正确命题的序号都填上)
第 1 页 共 6 页

二、解答题 (共 6 道题,计 90 分) 15. (本题满分 14 分) 设全集 U ? R ,集合 A ? ?x |1 ? x ? 4? , B ? ?x | 2a ? x ? 3 ? a? . (1)若 a ? ?2 ,求 B ? A , B ? ? U A (2)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围;

16、 (本题满分 14 分)

?? x 2 ? 2 x ? 3 x ? 1 已知函数 f ( x ) ? ? x ?1 ?log 2 ( x ? 1)
(1) 画出函数 y ? f ( x) 的简图(要求标出关键的点、线) ; (2) 结合图象,直接写出函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (3) 观察图象,若关于 x 的方程 f ( x) ? t 有两个不相等的实数解,求实数 t 的取值范围.

17、 (本题满分 15 分) 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a ( x ? 1), g ( x) ? log 1 (3 ? x), (1)若 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x) 的定义域; (2)若 a ? 2, 求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的值域; (3)讨论不等式 f ( x) ? g ( x)? 0 中 x 的取值范围.
a

201511 高一数学试题

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18、 (本题满分 15 分) 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述: 设物体的初始温度是 T0 ,经过一段时间 t 后 的温度是 T,则有 T ? T? ? (T0 ? T? ) ? ( ) h ,其中 T? 表示环境温度, h 称为半衰期且 h ? 10 . 现有一 杯用 89℃热水冲的速溶咖啡,放置在 25℃的房间中 20 分钟,求此时咖啡的温度是多少度?如果要降 温到 35℃,共需要多长时间?( lg 2 ? 0.301 ,结果精确到 0.1)

1 2

t

19、 (本题满分 16 分)

a , g ( x) ? a ? 2 x x (1) 若 a ? 4, 判断函数 y ? f ( x) 在 [2, ??) 上的单调性,并证明你的结论;
已知函数 f ( x) ? x ? (2) 若不等式 f ( x) ? g ( x) 在 [1, ? ?) 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

20、 (本题满分 16 分) 已知函数 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b (a ? 0, b ? 1) ,在区间 [2,3] 上有最大值 4,有最小值 1, 设 f ( x) ?

g ( x) . x (1) 求 a , b 的值;
(2) 不等式 f (2x ) ? k ? 2x ? 0 在 x ?[?1,1] 时恒成立,求实数 k 的取值范围; (3) 若方程 f (| 2 ? 1|) ? k (
x

2 ? 3) ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. | 2 ? 1|
x

高一数学期中考试参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1、 ??1,0,1,2,5? 5、 2 3 ? 1 11、 (2, ) 2、 ?x | x ? ?1, x ? 0? 6、①③ 7、1 8、 ? 13. 6 3、 ?1,2,3 ? 4、 (0, 4] 10、

1 2

9、 (?3, 4)

91 24

5 2

12. (? log 2 3,log 2 3)

14、 ①②③④

二、解答题 (共 6 道题,计 90 分) 15. (本题满分 14 分)
201511 高一数学试题 第 3 页 共 6 页

解: (1) ? U A ? ?x | x ? 1 或 x ? 4? , a ? ?2 时, B ? ??4 ? x ? 5? , ??????2 分 所以 B ? A ? [1,4) ,

B ? ? U A = ?x | ?4 ? x ? 1或4 ? x ? 5?
(2)若 B ? A ,分以下两种情形: ① B ? ? 时,则有 2 a ? 3 ? a ,∴ a ? 1

??????6 分 ??????8 分 ??????12 分

? 2a ? 3 ? a 1 ? ② B ? ? 时,则有 ? 2a ? 1 ,∴ ? a ? 1 2 ?3 ? a ? 4 ?
综上所述,所求 a 的取值范围为 a ?

1 2

??????14 分

(注:画数轴略,不画数轴不扣分) 16、 (本题满分 14 分) 解: (1) ,其中图象正确得 3 分,关键点、线的标注 3 分. 点(2,0). (2)增区间为: (??, ?1] , (1, ??) 点. 所以实数 t 的取值范围是 t ? 4 或 t ? 0 17、 (本题满分 15 分) 解: (1) x 应满足 ? ??????10 分 (3)观察图象,方程 f ( x) ? t 有两个不相等的解等价于函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? t 只有两个交 ??????14 分 ??????6 分

以下要素有一处不标注的,扣 1 分:x 、y 轴、原点 O,对称轴,渐近线,顶点(-1,4) ,点(1,0) ,

?x ?1 ? 0 ,∴ 1 ? x ? 3 ,所求定义域为 ?x |1 ? x ? 3? ?3 ? x ? 0

????4 分

注:如对原来函数变形后求定义域,则扣 2 分. (2) a ? 2 时, 函数 h( x) ? log2 ( x ?1)(3 ? x) , 令 t ? ( x ? 1) (3 ? x) ,由于 1 ? x ? 3 ,∴ 0 ? t ? 1 , ∴ h( x ) ? 0 , 所以,所求函数 h( x) 的值域为 (??,0] ????7 分 ????9 分

(3) f ( x) ? g ( x) ? log a 情形一:当 a ? 1 时,得 解得: 2 ? x ? 3 .

x ?1 ? 0 ,分以下两种情形: 3? x

?3 ? x ? 0 ?3 ? x ? 0 x ?1 ? 1 ,等价于: ? 或? 3? x ? x ?1 ? 3 ? x ? x ?1 ? 3 ? x
????12 分

?3 ? x ? 0 ?3 ? x ? 0 x ?1 ? ? ? 1 ,等价于: ? x ? 1 ? 0 情形二:当 0 ? a ? 1 时,得 0 ? 或 ?x ?1 ? 0 3? x ?x ?1 ? 3 ? x ?x ?1 ? 3 ? x ? ?
解得: 1 ? x ? 2 . ????15 分 18、 (本题满分 15 分) 解:由条件知, T0 ? 89, T? ? 25 , t

? 20 ,

????2 分

t 20 1 h 1 10 代入 T ? T? ? (T0 ? T? ) ? ( ) 得 T ? 25 ? (89 ? 25) ? ( ) , 2 2

201511 高一数学试题

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解得 T

? 41

???????6 分

如果要降温到 35℃,则 35 ? 25 ? (89 ? 25) ? ( ) 10 , 则

1 2

t

????8 分

t 1 ? lg ? 1 ? 8lg 2 ,解得 t ? 26.8 10 2

????13 分 ????15 分

答:此时咖啡的温度是 41℃,要降温到 35℃,共需要约 26.8 分钟. 19、 (本题满分 16 分) 解: (1) a ? 4 时,函数 y ? f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数 任取 x1, x2 ?[2, ??) ,设 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? = ( x1 ? x2 ) ?

??????1 分

4 4 4( x2 ? x1 ) ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 x1x2
??????4 分

x1 x2 ? 4 x1 x2

∵ x1 ? x2 ? 2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 , x1x2 ? 4 ,∴ ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即: f ( x1 ) ? f ( x2 )

x1 x2 ? 4 ?0 x1 x2

??????6 分

4 在 [2, ??) 上是增函数 ??????8 分 x a a (2)不等式 f ( x) ? g ( x) 就是: x ? ? a ? 2 x ,即: 3 x ? ? a x x 2 由于 x ? [1, ? ?) ,等价于 3x ? ax ? a ? 0 在 [1, ? ?) 上恒成立 ??????9 分 a ① 当 ? 1 时, g ( x) ? 3x2 ? ax ? a 在 [1, ? ?) 是增函数,则 g (1) ? 0 , 6
所以,函数 f ( x ) = x ? 这显然成立 ??????12 分

a a a ② 当 ? 1 时, g ( x) ? 3x2 ? ax ? a 在 [1, ] 是减函数,在 [ , ??) 上增函数, 6 6 6 a 则 g ( ) ? 0 ,解得 6 ? a ? 12 ??????15 分 6 综上,所求实数 a 的取值范围是 a ? 12 ??????16 分
注:用分离参数法解,相应给分。 20、 (本题满分 16 分)

?a ? 0 ?a ? 0 ? ? 解: (1)由条件得, ? g (2) ? 1 ? b ? 1 或 ? g (2) ? 1 ? b ? 4 ???4 分 ? g (3) ? 9a ? 6a ? 1 ? b ? 4 ? g (3) ? 9a ? 6a ? 1 ? b ? 1 ? ?
解得: a ? 1, b ? 0 或 a ? ?1, b ? 3 (舍去)
2 (2) g ( x) ? x ? 2 x ? 1,∴ f ( x) ?
x

???5 分
2

x ? 2x ? 1 x
???????7 分

令 2 ? t ,∵ x ?[?1,1] ,∴ t ? [ , 2] 不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 可化为:
x x

1 2

t 2 ? 2t ? 1 ? k ?t ? 0 t

201511 高一数学试题

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t 2 ? 2t ? 1 1 ? k ? t ? 0 在 t ? [ , 2] 时恒成立; 问题等价于 ???????9 分 2 t 12 1 1 1 1 即: k ? ( ) ? 2 ? ? 1 在 t ? [ , 2] 时恒成立,而此时 ? [ , 2] t t 2 t 2 所以 k ? 0 ???????11 分 注:用二次函数 (1 ? k )t 2 ? 2t ? 1 ? 0 讨论不解,相应给分。 2 x (3)令 m ?| 2 x ?1| ,则方程 f (| 2 ? 1|) ? k ( x ? 3) ? 0 有三个不同的实数解 | 2 ? 1|

? 关于 m 的方程 f (m) ? k ( ? 3) ? 0 有两个不等的根,其中一个根大于 1,另一根大于 0 且小于
1; ???????13 分

2 m

2 m 2 ? 2m ? 1 2 f (m) ? k ( ? 3) ? 0 可化为: ? k ( ? 3) ? 0 m m m
化简得: m2 ? (2 ? 3k )m ? 1 ? 0 ,它的两根分别介于 (0,1) 和 (1, ??) 只要 12 ? (2 ? 3k ) ?1 ? 1 ? 0 , ∴ k ? 0 为所求的范围. ???????15 分 ???????16 分

m

1 O

x

201511 高一数学试题

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