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湖南省师大附中09-10学年高一上学期期末考试(数学)


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数学( 2)模块结业考试 湖南师大附中 高一年级 数学(必修 2)模块结业考试

试 题 卷
时量:120 分钟 命题人:陈迪勋 满分:100 分 审题人:李晓平 彭萍

小题, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四 选择题 本大题共 个选项中,只有一项是符合题目要求的 个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若一个几何体的正视图、 侧视图、 俯视图都是三角形, 则该几何体可能是 ( ) A.圆锥 B.正四棱台 C.正三棱锥 D.正三棱台 2.已知三个球的体积之比为 1:8:27,则它们的表面积之比为( ) A.1:2:3 B.1:4:9 C.2:3:4 D. 1:8:27 3.过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 A.3x-2y = 0 B.x + y-5 = 0 C.3x-2y = 0 或 x + y-5 = 0 D.2x-3y = 0 或 x + y-5 = 0 ( )

4.如果平面图形中的两条线段长度相等且平行,则在用斜二测画法画直观图 时,这两条线段 ( ) A.平行且相等 B.相等不平行 C.平行不相等 D.不平行也不相等 5.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行, 那么这条直线与另一个平面的 位置关系为 ( ) A.平行 B.相交 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内 6.直线 x + y+3 = 0 与直线 x -2 y + 3 = 0 的交点坐标为 A. (-3,0) B. (-2,-3) C. (0,1) ( ) D. (-1,0)

7.已知△ABC 中,三个顶点的坐标分别为 A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 8. 在△ABC 中,若顶点 B、C 的坐标分别为(-2,0)和(2,0) ,中线 AD 的 长度为 3, 则点 A 的轨迹方程为 ( ) A. x 2 + y 2 = 3 C. x 2 + y 2 = 9( y ≠ 0) B. x 2 + y 2 = 4 D. x 2 + y 2 = 9( x ≠ 0)

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9.已知一个圆柱的底面积为 S,其侧面展开图为正方形,那么圆柱的侧面积为 ( ) A. 4π S B. 2π S C. π S D.

2 3 πS 3

10. 已知二面角 α ? AB ? β 的平面角是锐角 θ ,α 内有一点 C 到 β 的距离为 3 , 点 ( ) A. C 到 棱 AB 的 距 离 为 4 , 那 么 tan θ 的 值 等 于

3 4

B.

3 5

C.

7 7

D.

3 7 7

小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在对应题号后 填空题: 把答案填在对应题号后 的横线上. 的横线上 11. 如图,长方体 OABC ? D ' A ' B ' C ' 中,

OA = 3, OC = 4, OD ' = 5 ,则点 B ' 的
坐标为 .

12. 如 果 A ? B > 0, B ? C > 0 , 那 么 直 线 Ax-By-C=0 不经过第 象限.

13.两平行直线 l1 :3x+4y-2=0 与 l2 :6x+8y-5=0 之间的距离为 14.直线 y = k(x-1)与以 A(3,2)、B(2,3)为端点的线段有公共点,则 k 的取值范 围是 15.如下图,这是一个正方体的表面展形图,若把它再折回成正方体后,有下 列命题: ①点 H 与点 C 重合; ②点 D 与点 M 与点 R 重合; ③点 B 与点 Q 重合; ④点 A 与点 S 重合.其中正确命题的序号为 .

小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 解答题: 解答应写出文字说明 算步骤. 算步骤 16.(本小题满分 8 分) 若 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4,0) ,B(6,7) ,C(0,3).
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(1) 求 BC 边上的高所在直线的方程; (2) 求 BC 边上的中线所在的直线方程.

17.(本小题满分 8 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, (1)证明: BC1 ⊥ 面 A1 B1CD ; (2)求直线 A1 B 和平面 A1 B1CD 所成的角.
A1 D1 B1 C1

D

C B

A

18.(本小题满分 8 分) 求圆心在 x ? 2 y ? 3 = 0 上,且过点 A(2, ?3), B ( ?2, ?5) 的圆的标准方程.

19.(本小题满分 8 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 a 的正方形, P

PB ⊥ 平面 ABCD ,M、N 分别是 AB、PC 的中点。
(1)求证:MN//平面 PAB;
N

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B

C

A

M

D

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(2)若平面 PDA 与平面 ABCD 成 60 的二面角, 求该四棱锥的体积.

20.(本小题满分 10 分) 已知圆 C : ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 25 , 直线 l : (2m + 1) x + ( m + 1) y ? 7 m ? 4 = 0( m ∈ R ) . (1) 证明:不论 m 为何值时,直线和圆恒相交于两点; (2) 求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程.

21.(本小题满分 8 分) 如图,台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向(北偏东 45 )移 动,离台风中心 300 千米的地区为危险地区。城市 B 在 A 地的正东 400 千米处. (1) 台风移动路径所在的直线方程; (2)求城市 B 处于危险区内的时间是多少小时?

A

B

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中 高
· · · · · ·· · · ·· · · ·· · · ·· · · ·· · · · · · ·· · · ·· · 装 · · ·· · · ·· · · · · · ·· · · ·· · · 订 · ·· · · ·· · · · · · ·· · · ·· · · ·· · · ·· · ·· 线 · · · ·· · · ·· · · ·· · · ·· · · ·· ·









、 中 1. C A 2. A 1 3. B

10 . 、 、 C 1 8 B 1 4 9 27

3

30

D B 1 8 27

2 3 P(2,3)

C 2 3 4 等 B x+y 5=0 D 2x 3y = 0 等 A

D

C A 3x 2y = 0 C 3x 2y = 0 4.



x+y 5=0 中

x+y 5=0

A C 5.

等 等 中

B D

等 等

A C 6. A 7. x + y+3 = 0 -3 0 ABC 中

D B D x -2 y + 3 = 0 -2 -3 A C 0 1 D -1 0 ABC

B

A(5, 1) B(1,1) C(2,3)

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的形状为( B ) A.等边三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.钝角三角形

8. 在△ABC 中,若顶点 B、C 的坐标分别为(-2,0)和(2,0) ,中线 AD 的 长 度 为 3 , 则 点 A 的 轨 迹 方 程 为 ( C ) A. x 2 + y 2 = 3 C. x 2 + y 2 = 9( y ≠ 0) B. x 2 + y 2 = 4 D. x 2 + y 2 = 9( x ≠ 0)

9.已知一个圆柱的底面积为 S,其侧面展开图为正方形,那么圆柱的侧面积为 ( A ) A. 4π S B. 2π S C. π S D.

2 3 πS 3

10. 已知二面角 α ? AB ? β 的平面角是锐角 θ ,α 内有一点 C 到 β 的距离为 3 , 点 C ( D ) A. 到 棱 AB 的 距 离 为 4 , 那 么 tan θ 的 值 等 于

3 4

B.

3 5

C.

7 7

D.

3 7 7

小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在对应题号后 填空题: 把答案填在对应题号后 的横线上. 的横线上 11. 如图,长方体 OABC ? D ' A ' B ' C ' 中,

OA = 3, OC = 4, OD ' = 5 ,则点 B ' 的
坐标为 (3,4,5) .

12. 如 果 A ? B > 0, B ? C > 0 , 那 么 直 线 Ax-By-C=0 不经过第 二 象限.

13.两平行直线 l1 :3x+4y-2=0 与 l2 :6x+8y-5=0 之间的距离为

1 . 10

14.直线 y = k(x-1)与以 A(3,2)、B(2,3)为端点的线段有公共点,则 k 的取值范 围是
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[1, 3]
15.如下图,这是一个正方体的表面展形图,若把它再折回成正方体后,有下 列命题: ①点 H 与点 C 重合; ②点 D 与点 M 与点 R 重合; ③点 B 与点 Q 重合; ④点 A 与点 S 重合.其中正确命题的序号为 ② ④ .

小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 解答题: 解答应写出文字说明 算步骤. 算步骤 16.(本小题满分 8 分) 若 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4,0) ,B(6,7) ,C(0,3). (3) 求 BC 边上的高所在直线的方程; (4) 求 BC 边上的中线所在的直线方程. 解: (1)因为直线 BC 的斜率为

2 , 3 3 , 2

所以直线 BC 边上的高所在直线的斜率为 ?

所以 BC 边上的高所在直线的方程为 3 x + 2 y ? 12 = 0 ;……4 分 (2)因为 BC 边的中点为(3,5) , 所以 BC 边上的中线所在的直线方程为 5 x + y ? 20 = 0 .……8 分

17.(本小题满分 8 分)
D1 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, C1 B1

(1)证明: BC1 ⊥ 面 A1 B1CD ;

A1

(2)求直线 A1 B 和平面 A1 B1CD 所成的角.
D C B

A

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解: (1)连结 B1C 交 BC1 于点 O , 连结 A1O . 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 因为 A1 B1 ⊥ 平面 BCC1 B1 . 所以 A1 B1 ⊥ BC1 . 又∵ BC1 ⊥ B1C ,又 BC1 ∩ B1C = O

∴ BC1 ⊥ 平面 A1 B1CD ………………………….4 分
(2) 因为 BC1 ⊥ 平面 A1 B1CD ,所以 A1O 为斜线 A1 B 在平面 A1 B1CD 内的射 影,所以 ∠BA1O 为 A1 B 与平面 A1 B1CD 所成的角. 设正方体的棱长为 a 在 Rt ?A1 BO 中, A1 B =

2a, BO =

2 1 a ,所以 BO = A1 B, ∠BA1O = 30 . 2 2

因此,直线 A1 B 和平面 A1 B1CD 所成的角为 30 ………………………….8 分 18.(本小题满分 8 分) 求圆心在 x ? 2 y ? 3 = 0 上,且过点 A(2, ?3), B ( ?2, ?5) 的圆的标准方程. 解:方法一 设点 C 为圆心,∵点 C 在直线 l : x ? 2 y ? 3 = 0 上, ∴可设点 C 的坐标为 (2a + 3, a ) . 又∵该圆经过 A 、 B 两点,∴ CA = CB . ∴ (2a + 3 ? 2) + ( a + 3) =
2 2

(2a + 3 + 2) 2 + (a + 5) 2 ,解得 a = ?2 .

∴圆心坐标为 C ( ?1, ?2) ,半径 r = 10 . 故所求圆的标准方程为 ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 10 . 方法二 设所求圆的标准方程为 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 ,

?(2 ? a) 2 + (?3 ? b) 2 = r 2 ? a = ?1 ? ? 2 2 2 由条件知 ?( ?2 ? a ) + ( ?5 ? b) = r ,解得 ?b = ?2 , ?a ? 2b ? 3 = 0 ? 2 ?r = 10 ?

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故所求圆的标准方程为 ( x + 1) + ( y + 2) = 10 .
2 2

方法三 线段 AB 的中点为 (0, ?4), k AB =

1? 3 + 5 1 = , 2 ? (?2) 2

所以线段 AB 的垂直平分线的斜率为 k = ?2 , 所以线段 AB 的垂直平分线的方程为: y + 4 = ?2 x ,即 y = ?2 x ? 4 . 圆心是直线 y = ?2 x ? 4 与直线 x ? 2 y ? 3 = 0 的交点,由 ?

? y = ?2 x ? 4 , ?x ? 2 y ? 3 = 0
的 半 径 为



? x = ?1 ? ? y = ?2











(?1, ?2)





r = (?1 ? 2)2 + (?2 = 3) 2 = 10 , 所 以 所 求 圆 的 方 程 为 ( x + 1) 2 + ( y + 2)2 = 10 .
19.(本小题满分 8 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,

PB ⊥ 平面 ABCD ,M、N 分别是 AB、PC 的中点。
(1)求证:MN//平面 PAB; (2)若平面 PDA 与平面 ABCD 成 60 的二面角, 求该四棱锥的体积. 证明: (1)取 PB 的中点 O,连接 ON,AN,
P

N

∵ O、N 分别是PB、PC的中点, 1 ∴ ON//BC,ON= BC 2

A

B

C

M

D

AD // BC , AM =

1 AD , 2

P

∴ ON // AM , ON = AM
∴四边形 MNOA 为平行四边形
O N

∴ MN // AO,
B 而 MN ? 平面PAB, AO ? 平面PAB, A M D C

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∴MN//平面 PAB(或通过面面平行证明) (2)∵ AD ⊥ AB , AD ⊥ PA ,

.…….4 分

∴ ∠PAB 为平面 PDA 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角, 即 ∠PAB = 60 ,∴ PB = 20.(本小题满分 10 分) 已知圆 C : ( x ? 1) + ( y ? 2) = 25 ,
2 2

1 3a 3 3a,∴VP ? ABCD = ? a 2 ? 3a = 3 3

.…….8 分

直线 l : (2m + 1) x + ( m + 1) y ? 7 m ? 4 = 0( m ∈ R ) . (3) 证明:不论 m 为何值时,直线和圆恒相交于两点; (4) 求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程. 解: (1)由 (2m + 1) x + ( m + 1) y ? 7 m ? 4 = 0 , (2 x + y ? 7) m + x + y ? 4 = 0 . 得

解方程组 ?

?2 x + y ? 7 = 0 ?x = 3 ,得 ? , ?x + y ? 4 = 0 ?y =1
. .…….3 分

∴直线 l 恒过定点 A(3,1) 因为 (3 ? 1) 2 + (1 ? 2) 2 = 5 < 25 , 即 A(3,1) 到圆心 C (1, 2) 的距离 AC =

5 < 5,

∴A(3,1)在圆 C 的内部,故 l 与 C 恒有两个公共点, 即不论 m 为何值时,直线和圆恒相交于两点。 . .…….4 分

(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时,有 l ⊥ AC ,由 k AC = ? 得 l 的方程为 y ? 1 = 2( x ? 3) ,即 2 x ? y ? 5 = 0 21.(本小题满分 8 分)

1 , 2

.. .……8 分

如图,台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向(北偏东 45 )移 动,离台风中心 300 千米的地区为危险地区。城市 B 在 A 地的正东 400 千米处. (1) 台风移动路径所在的直线方程; (2)求城市 B 处于危险区内的时间是多少小时? 解:以 B 为原点,正东方向为 x 轴建立如图所

A

B

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示的直角坐标系, 则台风中心 A 的坐标是(-400,0),台 径 所 在 的 直 线 方 程 为 风移动路

y = x + 400 .…….3 分
以 B 为圆心,300 千米为半径作圆, 和 直 线

y = x + 400 相交于 A1 、 A2 两点.
可以认为,台风中心移到 A1 时,城市 B 开始受台风影响(危险区),直到 A2 时, 解除影响. 因为点 B 到直线 y = x + 400 的距离 d = 200 2 , 所以 A1 A2 = 2 300 ? (200 2) = 200 , 而
2 2

200 = 10 (小时). 20
…….8 分

所以 B 城市处于危险区内的时间是 10 小时.

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