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2.3-2变量之间的相关关系


2.3 变量间的相关关系

思考:在日常生活中,经常能发现,若一位同学的 数学成绩好,则他的物理成绩一般也不差。那么是否 物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系?这种 说法有没有根据呢? 数学成绩

物理成绩

学习时间

其他因素

学习兴趣
结论:物理成绩和数学成

绩之间是一种不确定的关系

问题1:能否再举出几个现实生活中相关关系的例子? (1)商品销售收入与广告支出之间的关系

(2)粮食产量与施肥量之间的关系
(3)人体内脂肪含量与年龄之间的关系 两个变量之间可能是确定性关系(如函数关系); 也可能是不确定关系(如:物理成绩与数学成绩) 当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机 性的两个变量的关系,叫做相关关系. 相关关系是一种非确定性关系

问题2:生活中非相关关系的例子 如:身高与数学成绩之间的关系

探究:在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究 人员获得了一组样本数据: 人体的脂肪百分比和年龄
年龄 脂肪 年龄 脂肪 23 9.5 27 17.8 39 21.2 41 25.9 45 27.5 49 26.3 50 28.2

53 54 56 57 58 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5

60 61 35.2 34.6

根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系?

正相关:指的是两个变量有相同的变化趋势,即从整体 上来看一个变量会随着另一个变量变大而变大.这在散点 图上的反映就是散点的分布在斜率大于0的直线附近;

散点图

线性相关关系: 正相关:指的是两个变量有相同的变化趋势,即从整体 上来看一个变量会随着另一个变量变大而变大, 这在散点 图上的反映就是散点的分布在斜率大于0的直线附近; 负相关:指的是两个变量有相反的变化趋势,即从整体 上来看一个变量会随着另一个变量变大而变小 , 这在散点图 上的反映就是散点的分布在斜率小于0的直线附近.
40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 60 70
0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.2 1 0.8 0.6 0.4

散点图

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一 条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线叫做回归直线. 注意:利用散点图可以判断变量之间有无相关关系.

例1:某机构曾研究温度对翻车鱼的影响,在一定温度下,经过 x单位时间,翻车鱼的存活比例为y,数据如下: (0.10,1.00),(0.15,0.95),(0.20,0.95),(0.25,0.90), (0.30,0.85),(0.35,0.70),(0.40,0.65),(0.45,0.60), (0.50,0.55),(0.55,0.40) (1)请作出这些数据的散点图; (2)关于这两个变量的关系,你能得出什么结论?
解:以x轴表示经过时间,y轴表示存活比例,可得散点图如下:
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

如图可知,时间越久,翻车鱼的存活比例越低。

思考:你认为回归直线应具有怎样特征?如何求回归直线?
回归直线:从整体上看各数据点与此直线的距离和最小. 假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组 数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xn , yn )

? ? bx ? a (其中a,b是待定参数.) 且所求回归方程是 y
问题:如何刻画从整体上看各数据点与此直线的距离最小?

假设已经得到两个具有线形相关关系的变量的一组 数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xn , yn )

? ? bx ? a (其中a,b是待定参数.) 且所求回归方程是 y
当变量x取 xi (i ? 1, 2,?, n)时, ?i ? bxi ? a(i ? 1, 2,?n) 可得到 y

它与实际收集到的 yi 之间的偏差是

?i ? yi ? (bxi ? a) yi ? y

(i ? 1, 2?, n)

y
( x1 , y1 )

( xi , yi )
i

? }y ? y

i

}
( x2 , y2 )

( xn , yn )

x

?i ? yi ? (bxi ? a) yi ? y
y
( x1 , y1 )
( x2 , y2 )

(i ? 1, 2?, n)

( xi , yi )
? }y ? y
i i

?2 } y2 ? y

( xn , yn )

x
?i | 则 n 个偏差的和可表达为: ? | yi ? y
i ?1 n

由于含有绝对值,运算不方便,于是改用为

Q ? ( y1 ? bx1 ? a)2 ? ( y2 ? bx2 ? a)2 ? ?? ( yn ? bxn ? a)2
来刻画 n 个点与回归直线在整体上的偏差 所以,当 Q 取最小值时,总体偏差最小。

回归方程
? ? bx ? a的斜率与截距的一般公式: 回归方程 y
n ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ? i ?1 ? b ? ? ? n 2 ? ( xi ? x ) ? ? i ?1 ? ? ?a ? y ? b x.

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

,

2 i

其中b是回归方程的斜率,a是截距

知识回顾
1.当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随 机性的两个变量的关系,叫做相关关系. 相关关系是一种非确定性关系 2.正相关、负相关、线性相关 ? ? bx ? a 的斜率与截距的一般公式: 3.回归方程 y
n n ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 i ?1 ? b ? ? , ? n n 2 2 2 ? ( xi ? x) xi ? nx ? ? ? i ?1 i ?1 ? ? ?a ? y ? bx.

其中b是回归方程的斜率,a是截距

1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是( D ) A、正方体的棱长和体积 B、单位圆中角的度数和所对弧长 C、单产为常数时,土地面积和总产量 D、日照时间与水稻的亩产量 ^ ? bx ? a表示的直线必经过的一个定点是 ( C ) 2. 回归方程 y A. (0, 0) B. ( x, 0) C.

( x, y)

D.

(0, y)

3.在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图是 D

(1) A.(1)(2)

(2) B.(1)(3)

(3) (4) C.(2)(4) D.(2)(3)

例1、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料

使用年限x 维修费用y i
解:制表:

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

若由资料知y对x呈线性相关关系,试求 ? ? bx ? a的回归系数a,b (1)线性回归方程 y

1 2 2.2

2 3 3.8

3 4 5.5

4 5 6.5

5 6 7.0

合 计
20 25

xi yi xiyi xi2

4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 4 9 16 25 36 90
5 5 i ?1 i ?1

x ? 4, y ? 5, ? xi 2 ? 90, ? xi yi ? 112.3 计算得:

解:制表:

i xi yi xiyi xi2

1 2 2.2
4.4 4
5

2 3 3.8

3 4 5.5

4 5 6.5

5 合计 6 20 7.0 25

11.4 22.0 9 16
5 i ?1 i ?1

32.5 42.0 112.3 25 36 90

计算得:x ? 4, y ? 5,

?b ?

? x y ? 5x ? y
i ?1 5 i i

5

2 x ? i ? 90, ? xi yi ? 112.3

?x
i ?1

2

i

? 5x

2

12.3 ? ? 1.23 10

? a ? y ? bx ? 5 ? 1.23? 4 ? 0.08

? ? 1.23x ? 0.08 ?y

回归方程的求法
1、列表xi,yi,xiyi,xi2 2、计算
2 x y , x ? i i ? i , x, y i ?1 i ?1 n n

3、代入公式,求a,b的值 4、列出直线方程

例1、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料

使用年限x 维修费用y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

若由资料知y对x呈线性相关关系,试求 ? ? bx ? a 的回归系数a,b (1)线性回归方程 y (2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?

? ? 1.23x ? 0.08 解:由(1)知:回归直线:y
则当x=10时,y=1.23×10+0.08=12.38(万元) 即估计使用10年时维修费用是12.38万元

例2、有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究 气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出 的热饮杯数与当天气温的对比表:

温度/℃ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
(1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的 一般规律; (3)求回归方程; (4)如果某天的气温是2℃,预测这天内卖出的热饮杯数.

解:散点图如图所示

(2)从图中看到,各点散布在从左上角到右下角的区域里, 因此,气温与热饮销售杯数之间成负相关,即气温越高, 卖出去的热饮杯数越少.

(3)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线 的附近,因此,可用公式求出回归方程的系数. 利用计算器得
2ndf
2ndf
MODE
DEL M+

2
(清零)

-5 STO 156
7 STO 128 19 STO 104

0 STO 150
12 STO 130 23 STO 89

M+ M+
M+ M+ RCL

4 STO 132
15 STO 116 27 STO 93

M+ M+
M+

M+
M+ M+

31 STO 76
RCL

36 STO 54
(截距a)

(



(斜率b)

所以回归方程为

? ? ?2.352 x ? 147.767 y

? =143.063.因此,某天的气温为 (4)当x=2时, y 2℃时这天大约可以卖出143杯热饮.
思考:气温为2 oC时小卖部一定能卖出143杯左右 热饮吗?为什么?

练习
一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费 的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下
零件件数x (个) 加工时间y (min)

10 20
62 68

30 40 50
75 81 89

60 70 80

90

100

95 102 108 115 122

(1)画出散点图 (2)求回归方程 (3)关于加工零件的个数与加工时间, 你能得出什么结论?

(3)结论:加工零件的个数与所花费的时间成正 相关关系

作业:下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品 过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的 几组对照数据 x 3 4 5 6

y

2.5
y.5 x 4 3 5 2.5 6

3

4

4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,求出y关于x的线性 ? ? bx ? a. 回归方程 y (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨 标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

(参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5)

作业:下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中 记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据

x y

3 2.5
y.5 x 4 3 5 2.5 6

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 ? ? bx ? a. y关于x的线性回归方程 y (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨 标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

(参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5)

解: (1) 散点图略
(2)

x y
4

3 2.5
i ?1

4 3

5 4

6 4.5

?x y
i ?1 i

4

i

? 66.5

2 2 2 2 2 x ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 86 ? i

x ? 4.5 y ? 3.5

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 63 b? ? ? 0.7 2 86 ? 4 ? 4.5 86 ? 81

a ? y ? bx ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35
? ? 0.7 x ? 0.35 所求的回归方程为 y
(3) 当x ? 100时, y

? 0.7 ?100 ? 0.35 ? 70.35

预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90-70.35=19.65(吨)

小结
1、能利用散点图认识变量间的相关关系 2、体会最小二乘法的思想

3、能利用计算器、线性回归方程的系数公式求 回归方程

作业

习题2.3

A组 2

140
120 100 80 60 40 20 0 0 20

y = 0.668x + 54.93

加工时间

40

60

80

100

120

零件数

(3)结论:加工零件的个数与所花费的时间成正 相关关系

散点图

问题:根据该散点图,能否进一步得出:人的年龄 增加时,体内脂肪含量以什么样的方式增加呢?


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