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4.2.2圆与圆的位置关系-例题


《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲

第四章 圆与方程?

第?32?讲? §4.2.2? 圆与圆的位置关系
¤学习目标:能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.? 掌握坐标法的思想,用解方程组判别位置关 系或求交点坐标.? ¤知识要点: 两圆的位置关系及其判定: 设两圆圆心分别为?O1 ,?O? r? 2? ,半径分别为?r 1 ,? 2? ,则: (1)两圆相交??| r1 - r2 |<| O1O2 |< ? r1 + r2?; (2)两圆外切??| O1O2 |= ? r1 + r2? ; (3)两圆内切??| O1O2 |=| r1 - r2? |?; ¤例题精讲: 2 2? 2 2? 【例 1】已知圆?C? C? 1? :?x + y - 6 x - 6 = 0?①,圆? 2? :?x + y - 4 y - 6 = 0?② (1)试判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程.? 解: (1)∵圆?C? ,半径为?r1? = 15?,圆?C? ,半径为?r2? = 10?, 1? 的圆心为(3,0) 2? 的圆心为(0,2) 又?| C1C2? |= 13?,∴?| r1 - r2? |?<?| C1C2? |< ? ? r1 + r2?, ∴圆?C? 1? 与?C? 2? 相交.? (2)由①-②,得公共弦所在的直线方程为 3 x - 2 y =?0?.? 【例? 2】求经过两圆?x 2 + y 2? + 6 x - 4 = 0?和?x 2 + y 2? + 6 y - 28 = 0?的交点,并且圆心在直线?x - y - 4 = 0?上 的圆的方程.? 解:设所求圆的方程为?x 2 + y 2? + 6 y -?28? + l ( x 2 + y 2? + 6 x - 4) = 0?,即?

(1 + l ) x 2 + (1 + l ) y 2? + 6l x + 6 y - 28 - 4l =?0?,? 3l 3? 则所求圆的圆心为?( ,)?.? 1 + l 1 +?l 3l 3? 1? ∵圆心在直线?x - y - 4 = 0?上, ∴?+ - 4 = 0?,解得?l = -? .? 1+ l 1+ l 7 2? ∴ 所求圆的方程为?x? +? y 2? - x + 7 y - 32 = 0?
【例 3】 (04 年全国卷Ⅱ.文理 4)已知圆 C 与圆?( x - 1) 2 + y 2? = 1?关于直线? y = - x 对称,则圆 C 的方程为? A.?( x + 1) 2 + y 2? =?1? B.?x 2 + y 2? =?1? C.?x 2 + ( y + 1) 2? =?1? 解:已知圆的半径?r = 1?,圆心 (1,0) , 圆心 (1,0) 关于直线?y = - x 的对称点为 (0, -1) , 则圆 C 的方程为?x 2 + ( y + 1) 2? =?1?.? 选 C.? 点评:圆关于直线的对称图形仍然是圆,半径不变,圆心关于直线对称. 我们要掌握一些常见对称问题的 解答思路,例如点关于直线的对称,曲线关于直线的对称,曲线关于点的对称等,解答理论基础有中点坐标公 式、垂直时斜率乘积为-1、代入法、转化思想.同时,我们也要掌握一些简单对称,如点 ( a, b? )?关于直线?y = x 的对称点为 (b, a? )?. 【例 4】求圆?x 2 + y 2? - 4 = 0?与圆?x 2 + y 2? - 4 x + 4 y - 12 = 0?的公共弦的长.? (教材 P144? 习题 A 组 9 题)
2 2? ì ? x + y? - 4 = 0? 解:由题意,列出方程组?í 2 ,消去二次项,得?y = x +?2?.? 2? ? ? x + y - 4 x + 4 y - 12 = 0? 把? y = x + 2?代入?x 2 + y 2? - x + 2 y = 0?,得?x 2? + 2 x = 0?,解得?x1 = -2, x2? = 0?,

D.?x 2 + ( y - 1) 2? = 1?

于是?y1 = 0, y2? = 2?,两圆的交点坐标是?A( -2, 0)?,?B? (0, 2)?,所以,公共弦长 | AB |=?2 2? .? 另解:由题意,列出方程组? ì x 2 + y?2? - 4 = 0? ? ,消去二次项,得?y = x + 2?,它即公共弦所在直线的方程.? í 2 2? ? ? x + y - 4 x + 4 y - 12 = 0? | 0 - 0 + 2 |? 圆?x 2 + y 2? - 4 = 0?的圆心到直线?x - y + 2 = 0?的距离为?d = =? 2?.? 2? 所以,两圆的公共线长为?2 r 2 - d 2 = 2 22 - ( 2)2? =?2 2?.? 点评:为何两圆的方程消去二次项后,即为公共弦所在直线的方程,我们易由曲线系的知识可得.? 比较方 程思想与几何方法求解两圆的公共弦长, 几何方法更为简捷.? 先求公共弦所在直线, 再求一圆心到直线的距离, 通过公式?2? r 2 - d 2? 求得弦长.
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