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复合函数的单调性 课件必修一


复合函数的单调性

已经学过的判断函数单调性的方法有哪些?

1.定义法

2.图像法

一.函数单调性的定义:
一般地,设函数 f ( x )的定义域为 A , 区间 I ? A .
x1 , x 2 , y ? f (x)

?1 ?增函数:如果对于区间


当 x 1 ? x 2 时,都有 在区间 I 上是单调增函数。

I 内的任意两个值

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ), 那么就说

? 2 ?减函数:如果对于区间
当 x 1 ? x 2 时,都有 在区间 I 上是单调减函数。

I 内某个的任意两个值 y ? f (x)

x1 , x 2 ,

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ), 那么就说

函数的单调性是函数的局部性质。

二.常用函数的单调性
y
y ? kx ? b ( k ? 0 )

y ? kx ? b ( k ? 0 )

O

x

图 象 的 函 数 解 析 式 是 : y ? k x ? b ( k ? 0 ), 此 函 数 是 一 次 函 数 , 当 k ? 0时 , 此 函 数 为 增 函 数 , 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 ? ? ? , ? ? ? , 当 k ? 0时 , 此 函 数 为 减 函 数 , 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 ? ? ? , ? ? ? 。

y ?

k x

(k ? 0)

y

y ?

k x

?k

? 0?

O

x

图象的函数解析式是: 当 k ? 0 时,函数在 当 k ? 0 时,函数在

y ?

k x

?k

? 0 ?。此函数是反比例函数



? ? ? , 0 ?上是减函数,在 ? ? ? , 0 ?上是增函数,在

? 0 , ?? ?上也是减函数; ? 0 , ?? ?上也是增函数。

y

y ? ax

2

? bx ? c ( a ? 0 )

O

x ? ?

b 2a

x

y ? ax

2

? bx ? c ( a ? 0 )

图 象 的 函 数 解 析 式 是 : y ? ax ? bx ? c (a ? 0)。此 函 数 是 二 次 函 数 。
2

b ? b ? ? ? 当 a ? 0时 , 函 数 在 ? ? ? , ? 上是减函数,在 ? , ?? ? 上 是 增 函 数 ; ? ? 2a ? ? ? 2a ? b ? b ? ? ? 当 a ? 0时 , 函 数 在 ? ? ? , ? 上是增函数,在 ? , ?? ? 上 是 减 函 数 。 ? ? 2a ? ? ? 2a ?

y ? a ( 0 ? a ? 1)
x

y

y ? a ( a ? 1)
x

O

x

图象的解析式是: 当 a ? 1时,函数在

y ? a ( a ? 0 且 a ? 0 )。此函数是指数函数。
x

? ? ? , ?? ?上是增函数; ? ? ? , ?? ?上是减函数。

当 0 ? a ? 1时,函数在

三.复合函数的定义
函数y=f[g(x)]称为函数y=f(u)及u=g(x) 的复合函数

四.复合函数单调性
对于复合函数 y ? f [ g ( x )]的单调性,必须考虑 y ? f (u )与 u ? g ( x )的单调性,从而得出
y ? f (x)

y ? f [ g ( x )]的单调性。
y ? f [ g ( x )]

u ? g (x)

增函数
增函数 减函数 减函数

增函数
减函数 增函数 减函数

增函数
减函数 减函数 增函数

小结:同增异减。研究函数的单调性,首先考虑函数的定 义域,要注意函数的单调区间是函数定义域内的某个区间。

例1.求函数
解:函数

y ? 3

x ?2 x?6

2

的单调递减区间



f ( x )的定义域是
2

R。
2 u

令 u ? x ? 2 x ? 6 ? ? x ? 1? ? 7 , 则 y ? 3
? y ? 3 在定义域内是增函数。
u

又 u ? ? x ? 1 ? ? 7 在 ? ? ? ,1 ?上是减函数,在
2

?1 , ?? ?上是增函数。

? y ? 3

x ?2 x?6

2

在 ? ? ? ,1 ?上是减函数,在

?1, ?? ?上是增函数。

? y ? 3

x ?2 x?6

2

的单调递减区间为

? ? ? ,? 1

复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断: (1) 将复合函数分解成两个简单函数:y=f(u)与u=g(x)。 其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域; (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性;

(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是 增函数,或都是减函数),则复合后的函数y=f[g(x)] 为增函数;
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增 函数,而另一个是减函数),则复合后的函数y=f[g(x)] 为减函数。

复合函数的单调性可概括为一句话:“同增异减”。

五.有关函数单调性的常用结论
? ?

?

?

f(x)、g(x)的单调性相同时, f(x)+g(x)的单调性不变; f(x)、g(x)的单调性相反时, f(x)-g(x)的单调性与f(x) 的单调性相同; 若a>0,则a f(x)的单调性与f(x)的单调性相同, a/ f(x) 的单调性与f(x)的单调性相反; 若a<0,则a f(x)的单调性与f(x)的单调性相反, a/ f(x) 的单调性与f(x)的单调性相同。

例3.试判断函数f(

x) ? 1 ?

2 2
x

?1

的单调性。

变式1:
试 判 断 函 数 f(x) ? 2 2

x x

?1 ?1

的单调性。

变式2:
试 判 断 函 数 f(x) ? a a
x x

?1 ?1

(a ? 0且 a ? 1)的 单 调 性 。

小结:
(1)求复合函数的单调区间;
原则:同增异减

注意:首先要求函数的定义域。

(2)运用常用结论判断函数单调性。


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