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山东省菏泽市2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


山东省菏泽市 2014-2015 学年高一上学期期中数学试卷
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1.已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 B∩?NA=() A.{6,12} B.{3,9} C.{0,3,9} D.{0,6,12} 2.与 y=|x|为同一函数的是() A. B.

C.<

br />
D.

3.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是() A.y=﹣x+1 B.y= C.y=x ﹣4x+5
2

D.y=

4.函数 y=

+(2x+1) 的定义域为()

2

A.{x|x< }

B.{x|x< 且 x≠﹣ } C.{x|x> }

D.{x|x≤ 且 x≠﹣ }

5.下列运算结果中,正确的是() 2 3 5 2 3 3 2 A.a a =a B.(﹣a ) =(﹣a ) C. 2 3 6 (﹣a ) =a
x x x x



﹣1) =1

0

D.

6.下图是指数函数(1)y=a , (2)y=b , (3)y=c , (4)y=d 的图象,则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是()

A.a<b<1<c<d

B.b<a<1<d<c

C.1<a<b<c<d

D.a<b<1<d<c

7.设 a=( )

,b=( )

,c=( )

,则 a,b,c 的大小顺序为()

A.c<b<a
x

B.c<a<b

C.b<c<a

D.b<a<c

8.函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a,则 a 的值为() A. B. 4 C. D.2

9.函数 y=x+a 与函数 y=logax 的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

10.f(x) 是定义在(﹣2,2)上的减函数,若 f(m﹣1)>f(2m﹣1) ,实数 m 的取值 范围() A.m>0 B. C.﹣1<m<3 D.

二、填空题:本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 x+1 11.指数函数 f(x)=a 的图象恒过定点.

12.若函数 f(x)=

,则 f(f(﹣3) )=.

13.已知函数 y=f(x)为偶函数,且当 x>0 时,f(x)=x ﹣2x+3,则当 x<0 时,f(x) 的解析式 f(x)=.

2

14.已知 3 =2,3 = ,则 3
1+ax

a

b

2a﹣b

=.

15.已知 y=2

在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是.

三、解答题:本题共 6 小题,共 75 分 16.化简: (1) (2a b ) (﹣3a ?log5 . b )÷(﹣ a b ) ;

(2)log225?log3

17.已知 A={x|x<3},B={x|x<a}. (1)若 B?A,求 a 的取值范围; (2)若 A?B,求 a 的取值范围. 18.已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[﹣5,5], (1)当 a=﹣1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调减函数. 19.为减少空气污染,某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤) ,采用分段计费计算电费,每 月用电不超过 100 度时,按每度 0.57 元计算,每月用电量超过 100 度时,其中的 100 度仍 按原标准收费,超过的部分按每度 0.5 元计算. (1)设月用电量 x 时,应交电费 y 元,写出 y 与 x 的函数关系式; (2)小明第一季度的电费情况如下: 月份 一月 二月 三月 四月 交费金额 76 元 63 元 45.6 元 184.6 元 则小明家第一季度共用点多少度? 20.已知 f(x)=log2(x+2) ,g(x)=log2(4﹣x) . (1)求函数 f(x)﹣g(x)的定义域; (2)求使函数 f(x)﹣g(x)的值为正数的 x 的取值范围.
2

21.已知函数 f(x)=

(a∈R) ,且 x∈R 时,总有 f(﹣x)=﹣f(x)成立.

(1)求 a 的值; (2)判断并证明函数 f(x)的单调性; (3)求 f(x)在[0,2]上的值域.

山东省菏泽市 2014-2015 学年高一上学期期中数学试卷
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1.已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 B∩?NA=() A.{6,12} B.{3,9} C.{0,3,9} D.{0,6,12} 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 集合. 根据题意和补集、交集的运算求出 B∩?NA 即可. 解:∵集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},

∴B∩?NA={0,6,12}, 故选:D. 点评: 本题考查交、并、补集的混合运算,属于基础题. 2.与 y=|x|为同一函数的是() A. B.

C.

D.

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 先判断两个函数的定义域是否是同一个集合, 再判断两个函数的解析式是否可以化 为一致. 解答: 解:A、∵y=|x|的定义域为(﹣∞,+∞) . 的定义域是[0,+∞) ,∴不

是同一个函数 B、∵两个函数的解析式一致,定义域是同一个集合,∴是同一个函数 C、∵y=|x|的定义域为(﹣∞,+∞) . +∞) ,∴不是同一个函数 D、∵y=|x|的定义域为(﹣∞,+∞) . 的定义域是[0,+∞) ,∴不是同一个函数 的定义域是(﹣∞,0)∪(0,

故选 B. 点评: 两个函数解析式表示同一个函数需要两个条件:①两个函数的定义域是同一个集 合;②两个函数的解析式可以化为一致.这两个条件缺一不可,必须同时满足. 3.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是() A.y=﹣x+1 B.y= C.y=x ﹣4x+5
2

D.y=

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 常规题型. 分析: 本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题.在解答 时, 可以结合选项逐一进行排查, 排查时充分考虑所给函数的特性: 一次函数性、 幂函数性、 二次函数性还有反比例函数性.问题即可获得解答. 解答: 解:由题意可知: 对 A:y=﹣x+1,为一次函数,易知在区间(0,2)上为减函数; 对 B:y= ,为幂函数,易知在区间(0,2)上为增函数; 2 对 C:y=x ﹣4x+5,为二次函数,开口向上,对称轴为 x=2,所以在区间(0,2)上为减函 数; 对 D:y= ,为反比例函数,易知在(﹣∞,0)和(0,+∞)为单调减函数,所以函数在(0, 2)上为减函数; 综上可知:y= 在区间(0,2)上为增函数; 故选 B. 点评: 本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题. 在解答的 过程当中充分体现了对不同基本初等函数性质的理解、 认识和应用能力. 值得同学们体会反 思.

4.函数 y=

+(2x+1) 的定义域为()

2

A.{x|x< }

B.{x|x< 且 x≠﹣ } C.{x|x> }

D.{x|x≤ 且 x≠﹣ }

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件即可得到结论. 解答: 解:要使函数有意义,则 ,





即 x< 且 x≠﹣ , 故函数的定义域{x|x< 且 x≠﹣ }, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 5.下列运算结果中,正确的是()

A.a a =a 2 3 6 (﹣a ) =a

2 3

5

B.(﹣a ) =(﹣a )

2

3

3

2

C.



﹣1) =1

0

D.

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数幂的运算性质即可求出答案. 解答: 解:a a =a =a , 2 3 6 3 2 6 (﹣a ) =﹣a ≠(﹣a ) =a , 0 ( ﹣1) =1,若成立,需要满足 a≠1, 2 3 6 (﹣a ) =﹣a , 故正确的是 A, 故选:A. 点评: 本题考查了指数幂的运算性质,属于基础题. 6.下图是指数函数(1)y=a , (2)y=b , (3)y=c , (4)y=d 的图象,则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是()
x x x x 2 3 2+3 5

A.a<b<1<c<d

B.b<a<1<d<c

C.1<a<b<c<d

D.a<b<1<d<c

考点: 指数函数综合题. 专题: 数形结合. 分析: (一)可先分两类,即(3) (4)的底数一定大于 1, (1) (2)的底数小于 1,然后 再从(3) (4)中比较 c、d 的大小,从(1) (2)中比较 a、b 的大小. (二)作一条直线 x=1,它与各个图象的交点的纵坐标就是各自的底数,由图即可比较它们 的大小. 解答: 解法一:当指数函数底数大于 1 时,图象上升,且当底数越大,图象向上越靠近于 y 轴;当底数大于 0 小于 1 时,图象下降,底数越小,图象向右越靠近于 x 轴.得 b<a<1 <d<c. 1 1 1 1 解法二:令 x=1,由图知 c >d >a >b , ∴b<a<1<d<c. 答案:B 点评: 取 x=1,对应的函数值恰好为相应的底数,故可进行大小比较,体现了数形结合思 想的运用.

7.设 a=( )

,b=( )

,c=( )

,则 a,b,c 的大小顺序为()

A.c<b<a

B.c<a<b

C.b<c<a

D.b<a<c

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数的单调性和和函数值域 1 关系即可判断. 解答: 解:a=( ) 由于指数函数 y= = ,b=( ) ,c=( ) = <1,

为增函数, > ,

∴a>b>1, ∴a>b>c, 故选:A. 点评: 本题考查了指数函数的图象和性质,属于基础题. 8.函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a,则 a 的值为() A. B. 4 C. D.2
x

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;函数的性质及应用. x 分析: 由题意可判断函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上单调,从而可得 f(0)+f(1) =a,从而解得. x 解答: 解:∵函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上单调, x ∴函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值在 x=0 与 x=1 时取得; ∴f(0)+f(1)=a, 即 1+0+a+loga2=a, 即 loga2=﹣1, 即 a= ; 故选:C. 点评: 本题考查了对数函数与指数函数的单调性的判断与应用,同时考查了最值的应用, 属于基础题. 9.函数 y=x+a 与函数 y=logax 的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 数形结合. 分析: 由 a 在对数函数及 y=x+a 中的意义,通过分析可得结果. 解答: 解:∵a 为对数函数 y=logax 的底数, ∴a>0 同时 a 为直线 y=x+a 在 y 轴上的截距,∴排除 D 当 a>1 时,y=logax 为增函数 y=x+a 在 y 轴上的截距小于 1∴排除 B 同理排除 A, 故选 C. 点评: 本题考查对数函数的图象与性质, 对数函数的图象是对数函数的一种表达形式, 形 象地显示了函数的性质,为研究它的数量关系提供了“形”的直观性.是基础题. 10.f(x) 是定义在(﹣2,2)上的减函数,若 f(m﹣1)>f(2m﹣1) ,实数 m 的取值 范围() A.m>0 B. C.﹣1<m<3 D.

考点: 函数单调性的性质. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 根据 f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,f(m﹣1)>f(2m﹣1) ,利用函数 单调性的定义,建立不等式,即可求得实数 m 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,f(m﹣1)>f(2m﹣1) ,



∴ 故选 B. 点评: 本题考查函数的单调性与奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 二、填空题:本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.指数函数 f(x)=a
x+1

的图象恒过定点(﹣1,1) .

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. x x+1 分析: 由函数 y=a 恒过(0,1)点,令函数 f(x)=a 指数为 0,可得定点坐标. x 解答: 解:由函数 y=a 恒过(0,1)点 可得当 x+1=0,即 x=﹣1 时,y=1 恒成立 故函数恒过点(﹣1,1) , 故答案为: (﹣1,1) . 点评: 本题考查的知识点是对数函数的特殊点, 其中熟练掌握对数函数的图象和性质是解 答的关键

12.若函数 f(x)=

,则 f(f(﹣3) )=2.

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 直接利用分段函数求出 f(﹣3)的值,然后求解 f(f(﹣3)的值. 解答: 解:因为函数 f(x)= 所以 f(﹣3)=1+3=4, 所以 f(f(﹣3)=f(4)= =2. ,

故答案为:2. 点评: 本题考查分段函数的应用,对数求值的基本方法,考查计算能力. 13.已知函数 y=f(x)为偶函数,且当 x>0 时,f(x)=x ﹣2x+3,则当 x<0 时,f(x) 2 的解析式 f(x)=x +2x+3. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的对称性进行求解即可. 解答: 解:当 x<0 时,﹣x>0, 2 ∵当 x>0 时,f(x)=x ﹣2x+3, 2 ∴当﹣x>0 时,f(﹣x)=x +2x+3, ∵函数 y=f(x)为偶函数,
2

∴f(﹣x)=f(x) , 即当﹣x>0 时,f(﹣x)=x +2x+3=f(x) , 2 则 f(x)=x +2x+3,x<0, 2 故当 x<0 时,f(x)的解析式 f(x)=x +2x+3, 2 故答案为:x +2x+3 点评: 本题主要考查函数解析式的求解,利用偶函数的对称性是解决本题的关键.
a b 2a﹣b 2

14.已知 3 =2,3 = ,则 3

=20.

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对 3 =2,3 = 两边取对数,求出 a,b 的值,再计算 2a﹣b 的值,再根据指数和对 数的运算性质即可求出答案. 解答: 解:∵3 =2,3 = , 两边取对数得 a=log32,b=log3 =﹣log35, ∴2a﹣b=2log32+log35=log320, 2a﹣b ∴3 =20, 故答案为:20. 点评: 本题考查了对数函数和指数函数的运算性质,属于基础题. 15.已知 y=2
1+ax a b a b

在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(﹣∞,0) .

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的图象与性质,得出 a 的取值范围. 1+ax ax 解答: 解:∵y=2 =2×2 在 R 上是减函数, ∴a<0, 即 a 的取值范围是(﹣∞,0) . 故答案为: (﹣∞,0) . 点评: 本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题,是基础题目. 三、解答题:本题共 6 小题,共 75 分 16.化简: (1) (2a b ) (﹣3a ?log5 . b )÷(﹣ a b ) ;

(2)log225?log3

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.

专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据指数幂的运算性质计算即可; (2)利用换底公式和对数的运算性质计算即可. 解答: 解: (1) (2a b ) (﹣3a b )÷(﹣ a b )=2×(﹣3)×(﹣4)

=24 (2)原式=log25 ?log32 ?log53 = ? ? =16.
2
﹣4 ﹣2

点评: 本题考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质,以及换底公式,属于基础题. 17.已知 A={x|x<3},B={x|x<a}. (1)若 B?A,求 a 的取值范围; (2)若 A?B,求 a 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: (1)根据题意和集合间的包含关系画出图象,求出 a 的取值范围; (2)根据题意和集合间的包含关系画出图象,a 的取值范围; 解答: 解: (1)因为 B?A,B 是 A 的子集,由图 1 得 a≤3,

________________ (2)因为 A?B,A 是 B 的子集,由图 2 得 a≥3.

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 点评: 本题考查集合间的包含关系,以及数形结合思想,属于基础题. 18.已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[﹣5,5], (1)当 a=﹣1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调减函数. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 专题: 计算题;综合题;函数的性质及应用. 2 分析: (1)当 a=﹣1 时 f(x)=x ﹣2x+2,可得区间(﹣5,1)上函数为减函数,在区 间(1,5)上函数为增函数.由此可得[f(x)]max=37,[f(x)] min=1;
2

(2)由题意,得函数 y=f(x)的单调减区间是[a,+∞) ,由[﹣5,5]?[a,+∞)解出 a≤﹣5, 即为实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)当 a=﹣1 时,函数表达式是 f(x)=x ﹣2x+2, ∴函数图象的对称轴为 x=1, 在区间(﹣5,1)上函数为减函数,在区间(1,5)上函数为增函数. ∴函数的最小值为[f(x)]min=f(1)=1, 函数的最大值为 f(5)和 f(﹣5)中较大的值,比较得[f(x)]max=f(﹣5)=37 综上所述,得[f(x)]max=37,[f(x)] min=1 (2)∵二次函数 f(x)图象关于直线 x=﹣a 对称,开口向上 ∴函数 y=f(x)的单调减区间是(﹣∞,﹣a],单调增区间是[﹣a,+∞) , 由此可得当[﹣5,5]?[a,+∞)时, 即﹣a≥5 时,f(x)在[﹣5,5]上单调减,解之得 a≤﹣5. 即当 a≤﹣5 时 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调减函数. 点评: 本题给出含有参数的二次函数, 讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值, 着 重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识,属于基础题. 19.为减少空气污染,某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤) ,采用分段计费计算电费,每 月用电不超过 100 度时,按每度 0.57 元计算,每月用电量超过 100 度时,其中的 100 度仍 按原标准收费,超过的部分按每度 0.5 元计算. (1)设月用电量 x 时,应交电费 y 元,写出 y 与 x 的函数关系式; (2)小明第一季度的电费情况如下: 月份 一月 二月 三月 四月 交费金额 76 元 63 元 45.6 元 184.6 元 则小明家第一季度共用点多少度? 考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据应交电费=月用电度数×每度电费建立函数关系,因为每度电费标准不一 样,需要分类讨论; (2)分别根据每月所交电费,求出每月所用电的度数,最后相交即可求出所求. 解答: 解: (1)当 0≤x≤100 时,y=0.57x; 当 x>100 时,y=0.5×(x﹣100)+0.57×100=0.5x﹣50+57=0.5x+7. 所以所求函数式为 y= ﹣﹣
2

(2)据题意, 一月份:0.5x+7=76,得 x=138(度) , 二月份:0.5x+7=63,得 x=112(度) , 三月份:0.57x=45.6,得 x=80(度) . 所以第一季度共用电: 138+112+80=330(度) . 故小明家第一季度共用电 330 度.﹣﹣ 点评: 本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及根据函数值求自变量,属于基础题

20.已知 f(x)=log2(x+2) ,g(x)=log2(4﹣x) . (1)求函数 f(x)﹣g(x)的定义域; (2)求使函数 f(x)﹣g(x)的值为正数的 x 的取值范围. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据对数函数的定义,求出 f(x)和 g(x)的定义域的交集即可, (2)f(x)﹣g(x)的值为正数,即 log2(x+2)>log2(4﹣x) ,根据对数函数的单调性, 得到关于 x 的不等式组,解得即可. 解答: 解: (1)∵f(x)=log2(x+2) ,g(x)=log2(4﹣x) . ∴ ,

解得﹣2<x<4, 故函数 f(x)﹣g(x)的定义域为(﹣2,4) ; (2)∵f(x)﹣g(x)的值为正数, ∴log2(x+2)>log2(4﹣x) , ∴ ,

解得 1<x<4, ∴函数 f(x)﹣g(x)的值为正数的 x 的取值范围为(1,4) . 点评: 本题考查了对数函数的定义域和对数函数的单调性,属于基础题.

21.已知函数 f(x)=

(a∈R) ,且 x∈R 时,总有 f(﹣x)=﹣f(x)成立.

(1)求 a 的值; (2)判断并证明函数 f(x)的单调性; (3)求 f(x)在[0,2]上的值域. 考点: 指数函数的图像变换;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据条件建立方程关系即可求 a 的值; (2)根据函数单调性的定义判断并证明函数 f(x)的单调性; (3)结合函数奇偶性和单调性的定义即可求 f(x)在[0,2]上的值域. 解答: 解: (1)∵f(﹣x)=﹣f(x) , ∴ =﹣ ,

即 ∴a=1,

=



∴f(x)=



(2)函数 f(x)为 R 上的减函数, ∵f(x)的定义域为 R, ∴任取 x 1,x 2∈R,且 x 2>x 1, ∴f(x 2)﹣f(x 1)= =

∵x 2>x 1,∴

>0.

∴f(x 2)﹣f(x 1)<0 即 f(x 2)<f(x 1) . ∴函数 f(x)为 R 上的减函数.﹣﹣﹣﹣ (3)由(2)知,函数 f(x)在 [0,2]上的为减函数, ∴f(2)≤f(x)≤f(0) , 即﹣ ≤f(x)≤0, 即函数的值域为[﹣ ,0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性和值域的求解, 利用定义法是解决 本题的关键.


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