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山西省四校模拟理数


2012 届 高 三 年 级 第 三 次 四 校 联 考
数学(理)试题

8. 连续投掷两次骰子得到的点数分别为 m, n ,向量 a ? ( m, n) 与向量 b

?

?

? (1,0) 的夹角记为 ?

,则

? ? ? (0, ) 的

概率为
4
A.



) B.

5 18

5 12

C.

1 2


D.

7 12

密……………………………………………………封………………………………………………… 线

(满分 150 分,考试时间为 120 分钟) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的)

9. 执行如图所示的程序框图,输入 N 的值为 2012,则输出 S 的值是( A.2011 B.2012 C.2010

D.2009

z ? 1 ? i ( i 为虚数单位)则 ? z 2 的值为( ) z i ? 3i ? 2i A. B. C. D. ? i 2.曲线 y ? x ln x 在点 (e, e) 处的切线与直线 x ? ay ? 1 垂直,则实数 a 的值为( ) 1 1 A.2 B.-2 C. D. ? 2 2 2? 2? ) ? sin(?x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则( ) 3.设函数 f ( x) ? sin(?x ? 3 3
1.设复数 z 的共轭复数为 z ,若 z A.

? x ? 2y ? 3 ? 0 ? 10.设 x、y 满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by (其中 a ? 0, b ? 0 )的最大值 ? y?0 ? 1 2 为 3,则 ? 的最小值为( ) a b
A.3
2 2

B.1

C.2

D.4

准考证号

11.已知双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线的一个交点 2 a b
) B.

为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为( A.

f (x) 在 (0, ) 单调递减 2

?

B.

D. f (x ) 在 (0, ) 单调递减 4 1 a ? a9 4.已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , a 3 ,2a 2 成等差数列,则 8 等于( 2 a6 ? a7 A. 1? C. 3 ? 2

座位号

C. f (x ) 在 (0, ) 单调递增 2

?

f (x) 在 (0, ) 单调递增 4

?

y??

3 x 3

y ? ? 3x
y??

?

C.

y ? ? 2x

12. 已知函数 ) 的

2 x 2 y ? f ?x ? 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ?x ? 1? 的图象关于点(1, 0)对称.
D.

x, y ? R ,不等式 f x ? 6 x ? 21 ? f y ? 8 y ? 0 恒成立,则当 x >3
2 2

?

? ?

?

若对任意

时, x

2

? y 2 的取

2

B. 1?

2

m2 ?4m?3

2 D. 3 ? 2 2
是幂函数

值范围是( A. (3, 7) 13. 若 a ?

) B. (9, 25) C. (13, 49) D. (9, 49)

5. 下列命题中是假命题的是( A. ?m ? R ,使

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

f ( x) ? (m ?1) ? x 2 B. ?a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? ln x ? a 有零点 C. ?? , ? ? R ,使 cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? D. ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) 都不是偶函数
6. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, 且 AB=3,BC=2,则棱锥 O-ABCD 的体积为( A. C. ) B. 3

姓名

?

?

0

sin xdx ,则二项式 (a x ?

1 6 ) 展开式中含 x 的项的系数是_______. x

14. 有七名同学站成一排照相,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学要站在一起,则不同的站法 有_________. 15.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m) ,则该棱锥的全面积是______(单位:m2) .

51 2 51

7. 定义在 R 上的函数 A. 1

51 第 9 题图 D. 6 51 ? log2 ?8 ? x ?, x ? 0 ,则 f ?3? 的值为( f ?x ? 满足 f ?x ? ? ? ? f ?x ? 1? ? f ?x ? 2?, x ? 0 B.2 C. ? 2 D. ? 3

学校



第 15 题图

1

2

正视图

侧视图

俯视图

16. 函数 f ( x) ? ? 1

? a, x ? 1 ? 2 若关于 x 的方程 2 f ( x) ? (2a ? 3) f ( x) ? 3a ? 0 有五个不同的实数解,则 ( )| x ?1| ? 1, x ? 1 ? 2 ?

a 的取值范围是________.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (2a ? c) cos B ? b cos C (1)求角 B 的值; (2)已知函数

? 0.

19.(本题满分 12 分) 中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动

f ( x) ? 2cos(2 x ? B) ,将 f ( x) 的图像向左平移

? 个单位长度后得到函数 g ( x) 的 12

车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准 是驾驶人员血液中的酒精含量 Q(简称血酒含量,单位是毫克/ 100 毫升) ,当 20≤Q≤80 时,为酒后驾车;当 Q>80 时,为醉酒 驾车.某市公安局交通管理部门于 2011 年 2 月的某天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次拦查行动,共依法查出了 60 名饮酒后 违法驾驶机动车者,如图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得结果画 出的频率分布直方图(其中 Q≥140 的人数计入 120≤Q<140 人数之内).

图像,求 g ( x) 的单调增区间.

第 19 题图

18.本题满分 12 分) 如图,四棱锥 S

(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数; (2)从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究,再从抽取的 8 人中 任取 3 人,求 3 人中含有醉酒驾车人数 X 的分布列和期望.

? ABCD 的底面是正方形, SD ⊥平面 ABCD , SD ? AD ? a ,点 E 是 SD 上的点,且
S E

DE ? ?a ? 0 ? ? ? 1? .
(1)求证:对任意的 ? ?

? 0,1? ,都有 AC⊥BE;
?

D A
第 18 题图

C B

(2)若二面角 C-AE-D 的大小为 60 ,求 ? 的值.
3

4

……………封………………………………………………… 线

20.(本题满分 12 分)

已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的

圆与直线 x ? y ?

2 ? 0 相切.

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点

A, B ,设 P 为椭圆上一点,且满足


,当 PA? PB OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原点)

2 5 3

时,求实数 t 取值范围.

21. (本题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? (2 ? a) ln x ?

………………………………………… 线

1 ? 2ax(a ? R) . x

请考生在(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时用 2B 铅 、 、 笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明与选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B.C, ?APC 的平分线分别

(1)当 a (2)求

? 0 时,求 f ( x) 的极值;

f ( x) 的单调区间;

(3)若对任意的 a ? (?3, ?2), x1 , x2 ? 数 m 的取值范围.

?1,3? ,恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ?

f ( x1) ? f ( x2 )

成立,求实

交 AB.AC 于点 D.E. (1)证明: ?ADE

准考证号

? ?AED . PC (2)若 AC=AP,求 的值. PA
第 22 题图

5

6

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知点 P(1 ? cos ? ,sin ? ) ,参数 ? ?[0, ? ] ,点 Q 在曲线 C: ?

24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

?

9

(1)求点 P 的轨迹方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)求点 P 与点 Q 之间距离的最小值。

7

8

…………………………… 线

2 sin(? ? ) 4

?



已知函数 f ( x) ? log2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m) .

? 7 时,求函数 f (x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.
(1)当 m

解:(1)由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0, 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0, 得 2sinAcosB+sin(B+C)=0, 因为 A+B+C=π,所以 sin(B+C)=sinA,得 2sinAcosB+sinA=0,

1 , 2 2? 又 B 为三角形的内角,所以 B= 3 2? 2? (2)∵B= , ∴f(x)=2cos(2x), 3 3 ? 2? ? ∴ g(x)=2cos[2(x+ )]=2cos(2x- )=2sin2x, 12 3 2
因为 sinA≠0,所以 cosB= ? 由 2k ? -

? ? ≤2x≤2k ? + 2 2

(k∈ Z),得 k ? -

故 f(x)的单调增区间为[k ? 18.(本小题满分 12 分)

? 4

,k ? +

? ](k∈ Z) 4

? 4

≤x≤k ? +

? 4
.

(k∈ Z),

证明: (1)如图建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则 A

? a,0,0? , B ? a, a,0? , C ?0, a,0? ,
z S E D A x
答案第 18 题图

??? ? ??? ? D ? 0,0,0? , E ? 0,0, ?a ? , AC ? ? ?a, a,0? , BE ? ? ?a, ?a, ?a ? ,
∴ AC ? BE

??? ??? ? ?

? 0 对任意 ? ? ? 0,1? 都成立,

即 AC⊥ 恒成立; BE (2)显然 n1 第三次四校联考答案数学(理科) 设平面 一、选择题:1-5 D A D C D 6-10 A D B A A 14.192; 11-12 B C 16. (1, ) ? ( , 2)

??

? ? 0,1,0 ? 是平面 ADE 的一个法向量, ?? ?

C y B

ACE 的一个法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,

…………………………… 线

二、填空题:13.240 ; 三、解答题: 17. (本小题满分 12 分)

15. 4 ? 2 6 ;

3 2

3 2

??? ? ? ? ?a, a,0 ? , AE ? ? ?a,0, ?a ? , ?? ???? ? ?n2 ? AC ? 0 ? ?ax ? ay ? 0 ?x? y ?0 ? ?? ?? ∴? ?? ??? , ? ? n2 ? AE ? 0 ??ax ? ? az ? 0 ? x ? ? z ? 0 ? ?
∵ AC 取z

????

? 1 ,则 x ? y ? ? , n2 ? ? x, y, z ? ? ? ? , ? ,1? ,
10

?? ?

9



∵ 二面角 C-AE-D 的大小为 60 ,

?

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 ? 1 2 ∴cos n1 , n2 ? ?? ?? ? , ? , ? ? ? 0,1? ? ? ? ? 2 2 2 n1 n2 1 ? 2?
∴?

1 2

?

2 2

为所求。

19.解: (1) (0.0032+0.0043+0.0050)× 20=0.25,0.25× 60=15, 所以此次拦查中醉酒驾车的人数为 15 人. (2)易知利用分层抽样抽取 8 人中含有醉酒驾车者为 2 人; 所以 x 的所有可能取值为 0,1,2;
3 C 2C1 15 C6 5 = ,P(X=1)= 6 3 2 = 28 C83 14 C8

8k 2 ? 2 . 1 ? 2k 2 x ? x2 8k 2 ∵OA ? OB ? t OP ,∴( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ? 1 , ? t t (1 ? 2k 2 ) y ?y 1 ?4k . y ? 1 2 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? t t t (1 ? 2k 2 )
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,∴x1 ? x2

?

8k 2 1 ? 2k 2

, x1 x 2

?

∵ P 在椭圆上,∴ 点 ∵ PA? PB <

(8k 2 )2 (?4k )2 ?2 2 ? 2 ,∴16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 2 2 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k )

P(x=0)=

,P(x=2)=

1 2 C6C2 3 C8

=

3 28

X 的分布列为

2 5 2 5 2 ,∴ 1 ? k x1 ? x2 ? , 3 3 20 2 2 ∴(1 ? k )[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ] ? 9 4 2 64k 8k ? 2 20 2 即 (1 ? k )[ ?4 ]? 2 2 9 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 2 1 1 1 2 2 2 2 ∴(4k ? 1)(14k ? 13) ? 0 得: k ? ∴ ?k ? 4 4 2


X P

0

1

2

5 14
2

15 28

3 28

E( X ) ? 0 ?

5 15 3 3 ? 1? ? 2? ? 14 28 28 4

20. (1)解:由题意知: e

?

c2 a2 ? b2 1 c 2 ? ? a 2 ? 2b 2 ? , 所以 e 2 ? 2 ? 2 2 a 2 a a

又b

?

2 1?1

?1

? a 2 ? 2, b 2 ? 1
x2 ? y2 ? 1。 2

故所求椭圆 C 的方程为 (2)由题意知直线

AB 的斜率存在.设其方程为: y ? k ( x ? 2) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2

16k 2 8 ?16k ? t (1 ? 2k ) ? t ? ?8? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 6 2 6 ∴? 2 ? t ? ? 或 ?t ?2 3 3 2 6 2 6 )?( ,2) 故实数 t 的取值范围是 (?2,? 3 3 1 2 1 2x ? 1 ( x ? 0) 21.解:(1)当 a ? 0, f ( x ) ? 2 ln x ? , f ?( x) ? ? 2 ? x x x x2 1 1 ? f (x) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( ,?? ) 上是增函数。 2 2 1 ∴ f (x ) 的极小值为 f ( ) ? 2-2ln2,无极大值。 2
2 2 2

(2)

f ?( x) ?

2?a 1 2ax2 ? (2 ? a) x ? 1 ? 2 ? 2a ? ( x ? 0) x x x2
12

11

1 1 ? 0 时, f (x) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( ,?? ) 上是增函数。 2 2 1 1 ② a ? 0 时, f (x ) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( ,?? ) 上是增函数 当 2 2 1 1 1 1 ③ ? 2 ? a ? 0 时, f (x ) 在 (0, ) 与 ( ? ,?? ) 上是减函数,在 ( ,? ) 上是增函数 当 2 a 2 a
① a 当 ④ a 当

(2)由(1)知∠ BAP=∠ 又 ∵∠ C, APC=∠ BPA, ∴△APC∽ BPA, ∴ △

PC CA ? , PA AB

∵AC=AP, ∴∠ APC=∠ C=∠ BAP, 由三角形内角和定理可知,∠ APC+∠ C+∠ CAP=180° , ∵BC 是圆 O 的直径,∴ ∠ BAC=90° ∴∠ , APC+∠ C+∠ BAP=180° =90° -90° ,

? ?2 时, f (x) 在 (0,??) 上是减函数

1 1 1 1 ⑤ a ? ?2 时, f (x ) 在 ( ,?? ) 与 (0, ? ) 上是减函数,在 ( ? , ) 上是增函数(8 分) 当 2 a a 2
(3)当 ? 3 ?

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f (1) ? f (3) ?
由 (m ? ln3)a ? 2ln3 ?

2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3
恒成立,

f ( x1 ) ? f ( x2 )

…………………………………………………封………………………………………………… 线

a ? ?2 时, f (x) 在 ?1,3? 上是减函数

1 × =30° 90° . 3 CA PC CA ? 在 Rt△ABC 中, = 3,∴ = 3. AB PA AB
∴∠ C=∠ APC=∠ BAP=

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程

?(m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) max
? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? 2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3

解(1)由 ? 又由 ? =

? x ? 1 ? cos ? , 得点 P 的轨迹方程 ? y ? sin ? ,

(x-1)2+y2=1(y≥0),

9

………………封………………………………………………… 线

2 ? ?m a ? ? 4 a ?? 3 ? ? 3 ? a ? ?2 ?
13 得: m ? ? 3

2 ? ? m ? ?4 ? ?? 3a ? ? 3 ? a ? ?2 ?

2 sin(? ? ) 4

?

,得 ? =

9 , ∴ ? sin ? ? ? cos ? =9. sin ? ? cos ?

∴ 曲线 C 的直角坐标方程为 x+y=9. (1)半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的圆心(1,0)到直线 x+y=9 的距离为 4 所以|PQ|min=4

2,

2 ?1.

22. (本小题满分 10)选修 4-1:几何证明与选讲 解: (1)∵PA 是切线,AB 是弦,

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (1)由题设知:

x ?1 ? x ? 2 ? 7 ,

准考证号

∴∠ BAP=∠ C, 又 ∵∠ APD=∠ CPE,
答案第 22 题图

不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

∴∠ BAP+∠ APD=∠ C+∠ CPE, ∵∠ ADE=∠ BAP+∠ APD, ∠ AED=∠ C+∠ CPE, ∴∠ ADE=∠ AED.

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7
解得函数

座位号

f (x) 的定义域为 (??,?3) ? (4,??) ;

(2)不等式

f ( x) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 ,

13

14

? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,
不等式

x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R,

? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (??,-1]

15

16


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