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江苏省南通市2016届高三数学下学期第三次教学情况调研测试试题


南通市 2016 届高三教学情况调研(三) 数
2016.3 参考公式: 1 棱锥的体积公式:V 棱锥= Sh,其中 S 为棱锥的底面积,h 为高. 3 (第 3 题) 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 设复数 z 满足(1+2i)?z=3(i 为虚数单位),则复数 z 的实部为____________.
? 1? 2. 设集合 A={-1, 0, 1}, B=?a-1,a+ ?, A∩B={0}, 则实数 a 的值为____________. ?



(满分 160 分,考试时间 120 分钟)

a?

3. 右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是__________.

4. 为了解一批灯泡(共 5 000 只)的使用寿命,从中随机抽取了 100 只进行测试,其使 用寿命(单位:h)如下表: 使用寿命 只数 [500,700) 5 [700,900) 23 [900,1 100) 44 [1 100, 1 300) 25 [1 300, 1 500] 3

根据该样本的频数分布,估计该批灯泡使用寿命不低于 1 100 h 的灯泡只数是__________. 5. 电视台组织中学生知识竞赛,共设有 5 个版块的试题,主题分别是:立德树人、社 会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力.某参赛队从中任选 2 个主题作答,则“立德树人”主题被该队选中的概率是__________.

(第 6 题) 6. 已知函数 f(x) =loga(x+b)(a>0 且 a≠1,b∈R)的图象如图所示,则 a+b 的值是 ________. π? π ? 7. 设函数 y=sin?ω x+ ?(0<x<π ),当且仅当 x= 时,y 取得最大值,则正数 ω 3? 12 ?
1

的值为____________. 8. 在等比数列{an}中,a2=1,公比 q≠±1.若 a1,4a3,7a5 成等差数列,则 a6 的值是 ________. 9. 在体积为 3 的四面体 ABCD 中,AB⊥平面 BCD,AB=1,BC=2,BD=3,则 CD 长度的 2

所有值为____________. 2 2 10. 在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(-2,0)的直线与圆 x +y =1 相切于点 T,与圆 (x-a) +(y- 3) =3 相交于点 R,S,且 PT=RS,则正数 a 的值为___ _________.
2 2

(第 12 题) 11. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对于任意的 x∈[0,+∞),满足 f(x+2)= f(x).若当 x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数 y=f( x)-1 在区间[-2,4]上的零 点个数为____________. 12. 如图,在同一平面内,点 A 位于两 平行直线 m,n 的同侧,且 A 到 m,n 的距离分 → → → → 别为 1,3.点 B,C 分别在 m,n 上,|AB+AC|=5,则AB?AC的最大值是____________. 13.设实数 x,y 满足 -y =1,则 3x -2xy 的最小值是__________. 4 α ? ?t=cos3β + cos β , 2 14.若存在 α , β ∈R, 使得? 则实数 t 的取值范围是__________. ? ?α ≤t≤α -5cos β , 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出必要的文字 说明、证明过程或 演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在斜三角形 ABC 中,tan A+tan B+tan Atan B=1. (1) 求 C 的值; (2) 若 A=15°,AB= 2,求△ABC 的周长.

x2

2

2

16. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N,P 分别为棱 AB,BC,C1D1 的中点.求证: (1) AP∥平面 C1MN; (2) 平面 B1BDD1⊥平面 C1MN.

2

17.(本小题满分 14 分) 植物园拟建一个多边形苗圃,苗圃的一边紧靠着长度大于 30 m 的围墙.现有两种方案: 方案① 多边形为直角三角形 AEB(∠AEB=90°),如图 1 所示,其中 AE+EB=30 m; 方案 ② 多边形为等腰梯形 AEFB(AB>EF),如图 2 所示,其中 AE=EF=BF=10 m. 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积,并从中确 定使苗圃面积最大的方案.

18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 → → 上异于顶点的一点,点 P 满足OP=2AO. (1) 若点 P 的坐标为(2, 2),求椭圆的方程; → → (2) 设过点 P 的一条直线交椭圆于 B,C 两点,且BP=mBC,直线 OA,OB 的斜率之积为 1 - ,求实数 m 的值. 2

x2 y2 a b

2 .A 为椭圆 2

19. (本小题满分 16 分) 设函数 f(x)=(x +k+1) x-k,g(x)= x-k+3,其中 k 是实数. 1 ( 1) 若 k=0,解不等式 x?f(x)≥ x+3?g(x); 2 (2) 若 k≥0,求关于 x 的方程 f(x)=x?g(x)实根的个数.

20. (本小题满分 16 分) 1 2 * 设数列{an}的各项均为正数,{ an}的前 n 项和 Sn= (an+1) ,n∈N . 4

3

(1) 求证:数列{an}为等差数列; 2 * (2) 等比数列{bn}的各项均为正数,bnbn+1≥Sn,n∈N ,且存在整数 k≥2,使得 bkbk+1 2 =Sk. (ⅰ) 求数列{bn}公比 q 的最小值(用 k 表示); * (ⅱ) 当 n≥2 时,bn∈N ,求数列{bn}的通项公式.

2016 届高三教学情况调研(三) 数学附加题(满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共 20 分.若多 做,则按作答的前两 题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A. (选修 41:几何证明选讲) 如图,AB 是圆 O 的直径,C 为圆 O 外一点,且 AB=AC,BC 交圆 O 于点 D,过 D 作圆 O 的切线交 AC 于点 E.求证:DE⊥AC.

B. (选修 42:矩阵与变换) 在平面直角坐标系 xOy 中,设点 A(-1,2)在矩阵 M=?

?-1 0? ?对应的变换作用下得到 ? 0 1?

点 A′,将点 B(3 ,4)绕点 A′逆时针旋转 90°得到点 B′,求点 B′的坐标.

C. (选修 44:坐标系与参数方程) 5 ? x =-1+ t, ? 5 ?x=sinθ , ? 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线? (t 为参数)与曲线? (θ ? ?y=cos2θ 2 5 ? ?y=-1+ 5 t 为参数) 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

D. (选修 45:不等式选讲) 2 2 2 已知 a,b,c∈R,4a +b +2c =4,求 2a+b+c 的最大值.

4

【必做题】 第 22、23 题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤. 22. 一个摸球游戏,规划如下:在一不透明的纸盒中,装有 6 个大小相同、颜色各异的 玻璃球.参加者交费 1 元可玩 1 次游戏,从中有放回地摸球 3 次.参加者预先指定盒中的某 一种颜色的玻璃球,然后摸球.当所指定的玻璃球不出现时,游戏费被没收;当所指定的玻 * 璃球出现 1 次,2 次,3 次时,参加者可相应获得游戏费的 0 倍,1 倍,k 倍的奖励(k∈N ), 且游戏费仍退还给参加者.记参加者玩 1 次游戏的收益为 X 元. (1) 求概率 P(X =0)的值; (2) 为使收益 X 的数学期望不小于 0 元,求 k 的最小值. (注:概率学源于赌博,请自觉远离不正当的游戏!)

23.设 S4k=a1+a2+?+a4k(k∈N ),其中 ai∈{0,1}(i=1,2,?,4k).当 S4k 除以 4 的余数是 b(b=0,1,2,3)时,数列 a1,a2,?,a4k 的个数记为 m(b). (1) 当 k=2 时,求 m(1)的值; (2) 求 m(3)关于 k 的表达式,并化简.

*

5

2016 届高三教学情况调研(三)(南通市) 数学参考答案 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 8. 3 5 1 49 2. 1 3. 17 4. 1 400 5. 9. 7, 19 2 9 6. 7. 2 5 2 21 4

10. 4 11. 7 12.

? 2 ? 13. 4 2+6 14. ?- ,1? ? 3 ?
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. 解:(1) 因为 tanA+tanB+tanAtanB=1, 即 tanA+tanB=1-tanAtanB, 因为在斜三角形 ABC 中,1-tanAtanB≠0,

tanA+tanB 所以 tan( A+B )= =1,(4 分) 1-tanAtanB
即 tan(180°-C)=1,亦即 tanC=-1, 因为 0°<C<180°,所以 C=135°.(6 分) (2) 在△ABC 中,A=15°,C=135°, 则 B=180°-A-C=30°. 由正弦定理 得 BC BC

sinA sinB sinC
CA = 2



CA



AB

, =2,(9 分)

sin15° sin30° sin135° 故 BC=2sin15°=2sin(45°-30°)



=2(sin45°cos30°-cos45°sin30°)= CA=2sin30°=1. 所以△ABC 的周长为 AB+BC+CA= 2+1+ 16.证明:(1) 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, 因为 M,P 分别为棱 AB,C1D1 的中点, 所以 AM=PC1. 又 AM∥CD,PC1∥CD,故 AM∥PC1, 所以四边形 AMC1P 为平行四边形. 从而 AP∥C1M.(4 分) 又 AP?平面 C1MN,C1M? 平面 C1MN, 所以 AP∥平面 C1MN;(6 分)

6- 2 ,(12 分) 2 6- 2 2+ 6+ 2 = .(14 分) 2 2

(第 16 题)

6

(2) 连结 AC,在正方形 ABCD 中,AC⊥BD. 又 M,N 分别为棱 AB,BC 的中点,故 MN∥AC. 所以 MN⊥BD.(8 分) 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,DD1⊥平面 ABCD. 又 MN? 平面 ABCD 所以 DD1⊥MN. 而 DD1∩DB=D,DD1,DB? 平面 BDD1B1, 所以 MN⊥平面 BDD1B1.(12 分) 又 MN? 平面 C1MN, 所以平面 B1BDD1⊥平面 C1MN.(14 分) 17. 解:设方案①,②中多边形苗圃的面积分别为 S1,S2. 1 方案① 设 AE=x,则 S1= x(30x-x)(3 分) 2 1?x+(30-x)?2 225 ≤ ? “=”成立).(5 分) ? = 2 (当且仅当 x=15 时, 2 2? ?

? π? 方案② 设∠BAE=θ ,则 S2=100sinθ (1+cosθ ),θ ∈?0, ?.(8 分) 2? ?
由 S′2=100(2cos θ +cosθ -1)=0 得,
2

cosθ = (cosθ =-1 舍去).(10 分)
π ? π? 因为 θ ∈?0, ?,所以 θ = ,列表: 2? 3 ? θ S′2 S2

1 2

?0,π ? ? 3? ? ?
+ ?

π 3 0 极大值

?π ,π ? ?3 2? ? ?
- ?

π 所以当 θ = 时,(S2)max=75 3.(12 分) 3 225 π 因为 <75 3,所以建苗圃时用方案②, 且∠BAE= . 2 3 225 2 答:方案①,②苗圃的最大面积分别为 m ,75 3 m2,建苗圃时用方案② ,且∠BAE 2 π = .(14 分) 3 → → 18. 解:(1) 因为OP=2AO,而 P(2, 2), 所以 A?-1,-

? ?

2? ?. 2 ?

1 1 代入椭圆方程,得 2+ 2=1, ①(2 分) a 2b 又椭圆的离心率为 2 ,所以 2 b 2 1- 2= . ②(4 分) a 2
7
2

由①②,得 a =2,b =1, x 2 故椭圆的方程为 +y =1.(6 分) 2 (2) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3). → → 因为OP=2AO,所以 P(-2x1,-2y1). → → 因为BP=mBC,所以(-2x1-x2,-2y1-y2)=m(x3-x2,y3-y2),
? ?-2x1-x2=m(x3-x2), 即? ?-2y1-y2=m(y3-y2), ?
2

2

2

m-1 2 x= x- x, ? ? m m 于是? (9 分) m-1 2 ? ?y = m y -my ,
3 2 1 3 2 1

代入椭圆方程,得

?m-1x2-2x1? ? m m ? ? ?
a
2 2 2

2 +

?m-1y2-2y1? ? m m ? ? ?
b
2 2

2 =1,

2 4 ?x1 y1? (m-1) ?x2 y2? 4(m-1) ?x1x2 y1y2? 即 2? 2+ 2?+ ?? 2 + 2 ?=1. ③(12 分) ?a2+b2?- 2 2 b ? m ?a b ? m m ? ? ?a

2

x1 y1 x2 y2 因为 A,B 在椭圆上,所以 2+ 2=1, 2+ 2=1. ④ a b a b 1 因为直线 OA,OB 的斜率之 积为- , 2 y1 y2 1 x1x2 y1y2 即 ? =- ,结合②知 2 + 2 =0. x1 x2 2 a b
2

2

2

2

2

⑤(14 分)

4 (m-1) 5 将④⑤代入③,得 2+ =1,解得 m= .(16 分) 2 m m 2 19.解:(1) k=0 时,f(x)=(x+1) x, g(x)= x+3.
?x≥0, ? 由? 得 x≥0.(2 分) ? ?x+3≥0

1 此时,原不等式为(x+1)x≥ (x+3), 2 即 2x +x-3≥0, 3 解得 x≤- 或 x≥1. 2 所以原不等式的解集为[1,+∞).(5 分) (2) 由方程 f(x)=x?g(x)得, (x+k+1) x-k=x x-k+3. ①
2

8

?x-k≥0, ? 由? 得 x≥k,所以 x≥0,x-k+1>0. ? ?x-k+3≥0

方程①两边平方,整理得 2 2 2 (2k-1)x -(k -1)x-k(k+1) =0(x≥k). ②(7 分) 1 3 当 k= 时,由②得 x= ,所以原方程有唯一解. 2 2 1 2 2 当 k≠ 时,由②得判别式 Δ =(k+1) (3k-1) , 2

i) k= 时,Δ =0,方程②有两个相等的根 x= > ,
所以原方程有唯一的解.(10 分)

1 3

4 1 3 3

ii) 0≤k< 且 k≠ 时,方程②整理为[(2k-1)x+k(k+1)](x-k-1)=0,
k(k+1) 解得 x1= ,x2=k+1. 1-2k 3k 由于 Δ >0,所以 x1≠x2,其中 x2=k+1>k,x1-k= ≥0,即 x1≥k. 1-2k 故原方程有两解.(14 分) 1 3k iii) k> 时,由 ii)知 x1-k= <0,即 x1<k,故 x1 不是原方程的解.而 x2=k+1>k, 2 1-2k 故原方程有唯一解. 1 1 综上所述:当 k≥ 或 k= 时,原方程有唯一解; 2 3 1 1 当 0≤k< 且 k≠ 时,原方程有两解.(16 分) 2 3
2 2

1 2

1 3

? ?2k-1<0, 注:ii)中,法 2:? 故方程②两实根均大于 k,所以原方程有两解. k -1 x= >k, 2(2k-1) ? ?h(k)=-3k <0,
Δ >0,
2 2

1 2 20.证明:(1) 因为 Sn= (an+1) , ① 4 1 2 所以 Sn-1= (an-1+1) ,n≥2. 4 ②

①-②,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,n≥2,(2 分) 因为数列{an}的各项均为正数, 所以 an+an-1>0,n≥2. 从而 an-an-1=2,n≥2. 所以数列{an}为等差数列.(4 分) (2) (Ⅰ) ①中,令 n=1,得 a1=1, 2 所以 an=2n-1,Sn=n .

9

由 bkbk+1=S (k≥2)得,b1=

2 k

k

2

1 qk- 2



所以 bn=b1q

n-1

1 2 =k qn-k- , 2
4 2n-2k 4

③ 2 ?n? ≥? ? , ④(6 分) ?k?

由 bnbn+1≥Sn得,k q

2

≥n ,即 q

n-k

当 n=k 时,④恒成立. n k ?n 1 klnq ≥1+ ? 当 n≥k+1 时,④两边取自然对数,整理得, ≥ ? ?. ⑤ k? 2 n ?k -1 k

ln

1 1 1- +ln x x lnx 记 f(x)= (x>1),则 f′(x)= 2, x-1 (x-1) 1- t 记 g(t)=1-t+lnt,0<t<1,则 g′(t)= >0, t 故 g(t)为(0,1)上增函数,所以 g(t)<g(1)=0,从而 f′(x)<0, n k

故 f(x)为(1,+∞)上减函数,从而

? 1? 的最大值为 kln?1+ ?. n ? k? -1 k

ln

2 klnq ? 1? ? 1? ⑤中, ≥kln?1+ ?,解得 q≥?1+ ? .(10 分) 2 ? k? ? k? 1 ?2 ? 当 n≤k-1 时,同理有 q≤?1+ ? . ? k-1? 2 ? 1? 所以公比 q 的最小值为?1+ ? (整数 k≥2).(12 分) ? k? (Ⅱ) 依题意,q∈N .
*

? 1?2 ? 1 ?2? 由(2)知,q∈?? ?1+k? ,?1+k-1? ?(整数 k≥2), ? ? ? ? ??
2 1 ?2 ? 1? ? 所以 q≥?1+ ? >1,q≤?1+ ? ≤4, ? k? ? k-1? 从而 q∈{2,3,4}, 2 1 ?2 7 ? 1? ? 当 q=2 时,?1+ ? ≤2≤?1+ ? ,只能 k=3,此时 bn=9?2n-2,不符; k k - 1 ? ? ? ?

10

2 1 ?2 5 ? 1? ? 当 q=3 时,?1+ ? ≤3≤?1+ ? ,只能 k=2,此时 bn=4?3n-2,不符; k k - 1 ? ? ? ? 2 1 ?2 ? 1? ? 当 q=4 时,?1+ ? ≤4≤?1+ ? ,只能 k=2,此时 bn=22n-3,符合. ? k? ? k-1? 综上,bn=2 附加题
2n-3

.(16 分)

21. A.[选修 4?1:几何证明选讲] 证明:连结 OD, 因为 AB=AC,所以∠B=∠C. 由圆 O 知 OB=OD,所以∠B=∠BDO. 从而∠BDO=∠C,所以 OD∥AC.(6 分) 又因为 DE 为圆 O 的切线,所以 DE⊥OD, 又因为 OD∥AC,所以 DE⊥AC.(10 分) B.[选修 4?2:矩阵与变换] 解:设 B′(x,y), 依题意,由?

? -1 0 ??-1? ?1? ?? ?=? ?,得 A′(1,2).(4 分) ? 0 1 ?? 2? ?2?

→ → 则A′B=(2,2),A′B′=(x-1,y-2). 记旋转矩阵 N=?

? 0 -1 ? ?(6 分) ? 1 0 ?

则?

? ?x=-1, ? 0 -1 ??2? ?x-1? ?-2? ?x-1? ?? ?=? ?,即? ?=? ?,解得? ?y=4, ? 1 0 ??2? ?y-2? ?2 ? ?y-2? ?

所以点 B′的坐标为(-1,4).(10 分)

C.[选修 4?4:坐标系与参数方程]
解:将直线的参数方程化为普通方程,得 y=2x+1. ①(3 分) 2 将曲线的参数方程化为普通方程,得 y=1-2x (-1≤x≤1). ②(6 分) 由①②,得?
? ?x=-1, ?y=-1 ?

或?

? ?x=0, ?y=1, ?

(8 分)

所以 A(-1,-1),B(0,1),(10 分) 从而 AB= (-1-0) +(-1-1) = 5.(10 分) D.[选修 4?5:不等式选讲] 解:由柯西不等式,得[(2a) +b +( 2c) ]?12+12+? ?
2 2 2 2 2

? ?

1 ?2? 2 ? ?≥(2a+b+c) .(6 分) 2 ? ? ?
11

因为 4a +b +2c =4, 2 所以(2a+b+c) ≤10. 所以- 10≤2a+b+c≤ 10. 所以 2a+b+c 的最大值为 10. 当且仅当 a= 10 2 10 10 ,b= ,c= 时等号成立.(10 分) 5 5 5

2

2

2

22. 解:(1) 事件“X=0”表示“有放回的摸球 3 回,所指定的玻璃球只出现 1 次”, 1 ?5?2 25 则 P(X=0)=3? ?? ? = .(3 分) 6 ?6? 72 (2) 依题意,X 的可能值为 k,-1,1,0, 3 1 ?1? 且 P(X=k)=? ? = , ?6? 216 3 ?5? 125 P(X=-1)=? ? = , ?6? 216 2 ?1? 5 5 P(X=1)=3?? ? ? = ,(6 分) ?6? 6 72 结合(1)知,参加游戏者的收益 X 的数学期望为 1 125 5 k-110 E( X)=k? +(-1)? +1? = (元),(8 分) 216 216 72 216 为使收益 X 的数学期望不小于 0 元,所以 k≥110,即 kmin=110. 答:k 的最小值为 110.(10 分)

23. 解:(1) 当 k=2 时,数列 a1,a2,a3,?,a8 中有 1 个 1 或 5 个 1,其余为 0, 1 5 所以 m=C8+C8=64.(3 分) (2) 依题意,数列 a1,a2, ?,a4k 中有 3 个 1,或 7 个 1,或 11 个 1,?,或(4k-1) 个 1 ,其余为 0, 3 7 11 4k-1 所以 m(3)=C4k+C4k+C4k+ ?+C4k .(5 分) 1 5 9 4k-3 同理,得 m(1)=C4k+C4k+C4k+?+C4k . i 4k-i 因为 C4k=C4k (i=3,7,11,?,4k-1), 所以 m(1)=m(3). 1 3 5 9 4k-3 4k-1 4k-1 又 m(1)+m(3)=C4k+C4k+C4k+C 4k+?+C4k +C4k =2 , 4k-2 2k-1 所以 m(3)=2 =4 .(10 分)

12


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