当前位置:首页 >> 高中教育 >>

2013高考数学人教B版阶段性测试题八)


阶段性测试题八(平面解析几何)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.(文)(2011~2012?北京四中期中)已知过点 A(-2,

m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y -1=0 垂直,则 m 的值为( A.-8 C.10 [答案] [解析] D 4-m 由条件知, ?(-2)=-1,∴m=2. m+2
2

) B.0 D.2

(理)(2011~2012?浙江宁波市期末)设集合 A={(x,y)|x+a y+6=0},B={(x,y)|(a -2)x+3ay+2a=0},若 A∩B=?,则实数 a 的值为( A.3 或-1 C.0 或-1 [答案] [解析] C 集合 A 与 B 都是直线上的点构成的集合, 1 a 6 = ≠ ,∴a=-1, a-2 3a 2a
2

)

B.0 或 3 D.0 或 3 或-1

∵A∩B=?,∴两直线平行,∴

又 a=0 时,两直线显然平行,∴a=0 或-1. 2.(文)(2011~2012?泉州五中模拟)若双曲线 - =1 上的一点 P 到它的右焦点的距 4 12 离为 8,则点 P 到它的左焦点的距离是( A.4 C.4 或 12 [答案] [解析] C ∵a =4,∴a=2,设左、右焦点分别为 F1、F2,则由定义知||PF1|-|PF2||=4,
2

x2

y2

) B.12 D.6

∴||PF1|-8|=4, ∴|PF1|=12 或 4.

x2 y2 (理)(2011~2012?青岛市期末)以双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 为圆心,作半 a b
径为 b 的圆 F,则圆 F 与双曲线的渐近线( A.相交 C.相切 ) B.相离 D.不确定

[答案] [解析] 线相切.

C 双曲线的焦点 F(-c,0)到渐近线 y= x 的距离为 d=

b a

|-bc|

a2+b2

=b, 故⊙F 与渐近

3. (2011~2012?东营市期末)已知点 P 是抛物线 y =-8x 上一点, 设 P 到此抛物线准线 的距离是 d1,到直线 x+y-10=0 的距离是 d2,则 d1+d2 的最小值是( A. 3 C.6 2 [答案] [解析] C 抛物线 y =-8x 的焦点 F(-2,0),根据抛物线的定义知,d1+d2=|PF|+d2,
2

2

)

B.2 3 D.3

显然当由点 F 向直线 x+y-10=0 作垂线与抛物线的交点为 P 时,d1+d2 取到最小值,即 |-2+0-10| 2 =6 2.
[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]

4.(2011~2012?大庆铁人中学期末)将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6,8)重 合,则与点(-4,2)重合的点是( A.(4,-2) 3 C.(3, ) 2 [答案] [解析] 率 k=- A 解法一:由条件知,点(10,0)与(-6,8)关于折线对称,故折线过点(2,4),斜 ) B.(4,-3) D.(3,-1)

1 =2,故折线所在直线方程为 y-4=2(x-2),即 2x-y=0,与点(-4,2) 8 -6-10

重合的点 M 和点(-4,2)的中点应在直线 2x-y=0 上,经检验知,只有 A 适合,故选 A. 解法二:设与点 C(-4,2)重合的点为 D, 又 A(10,0),B(-6,8),则必有 AB∥CD,∴kAB=kCD, 1 1 ∵kAB=- ,∴kCD=- ,经检验知,只有 A 适合. 2 2 5.(文)(2011~2012?青岛市期末)点 P(2,-1)为圆(x-1) +y =25 内弦 AB 的中点, 则直线 AB 的方程为( A.x+y-1=0 C.x-y-3=0 [答案] [解析] C 圆心 C(1,0),kPC=-1,∴kAB=1,排除 A、B、D,选 C. ) B.2x+y-3=0 D.2x-y-5=0
2 2

(理)(2011~2012?重庆市期末)将直线 x+y-1=0 绕点(1,0)沿逆时针方向旋转 15°得

到直线 l,则直线 l 与圆(x+3) +y =4 的位置关系是( A.相交 C.相离 [答案] [解析] B B.相切

2

2

)

D.相交或相切

直线 x+y-1=0 的斜率 k=-1,∴倾斜角为 135°,故直线 l 的倾斜角 α = 3 3 ,方程为 y=- (x-1),即 x+ 3y-1=0, 3 3

135°+15°=150°,斜率 kl=tanα =-

∵圆心 C(-3,0)到直线 l 距离 d=2,∴直线与圆相切. 6.(2011~2012?滨州市沾化一中期末)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B, 如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么双曲线的离心率是( A. 2 C. 3+1 2 D 设 F(c,0),B(0,b),则 kFB= B. 3 D. 5+1 2 )

[答案] [解析]

b
-c



由条件知 ?(- )=-1, ∴b =ac,又 b =c -a ,∴c -a -ac=0, ∴e -e-1=0,∵e>1,∴e=
2 2 2 2 2 2 2

b a

b c

5+1 . 2
2

7.(2011~2012?北京四中期末)曲线 x +y|y|=1 与直线 y=kx 有且仅有两个公共点, 则 k 的取值范围是( ) B.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.[-1,1]

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,1) [答案] [解析] C 方程 x +y|y|=1,即?
2

?x +y =1 ? ? ?y≥0

2

2

或?

?x -y =1 ? ? ?y<0

2

2

,其图形如图,若直线 y=

kx 与此曲线有且仅有两个公共点,则-1<k<1.

8.(2011~2012?厦门市质检)抛物线 y =mx 的焦点为 F,点 P(2,2 2)在此抛物线上,M 为线段 PF 的中点,则点 M 到该抛物线准线的距离为( A.1 C.2 [答案] [解析] D ∵点 P(2,2 2)在抛物线上,∴(2 2) =2m,
2

2

)

B. D.

3 2 5 2

∴m=4,P 到抛物线准线的距离为 2-(-1)=3,F 到准线距离为 2,∴M 到抛物线准线的 3+2 5 距离为 d= = . 2 2 9.(2011~2012?山东苍山县期末)设椭圆 2+ 2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y =8x 1 的焦点相同,离心率为 ,则此椭圆的方程为( 2 A. C. ) B. D.

x2 y2 m n

2

x2
12

+ +

y2
16

=1 =1 B 抛物线 y =8x 的焦点 F(2,0),
2 2 2

x2
16

+ +

y2
12

=1 =1

x2
48

y2
64

x2
64

y2
48

[答案] [解析]

m -n =4 ? ? 由条件得?2 1 = ? ?m 2

? ?m =16 ,∴? 2 ?n =12 ?

2

,故选 B.

10.(2011~2012?绥化市一模)若圆 C:x +y +2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0

2

2

对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是( A.2 [答案] [解析] C B.3 C.4 D.6

)

⊙C:(x+1) +(y-2) =2,圆心 C(-1,2)在直线 2ax+by+6=0 上,∴a-b
2 2 2 2 2

2

2

-3=0,由点 P(a,b)向圆引切线,设切线长为 l,则 l =|PC| -r =(a+1) +(b-2) -2 =(b+4) +(b-2) -2=2b +4b+18=2(b+1) +16≥16,∴l≥4,当 b=-1,a=2 时,lmin =4. 11.(2011~2012?吉林省延吉市质检)若双曲线 2- 2=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1、
2 2 2 2

x2 y2 a b

F2,线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点分成
A. C. 9 8 3 2 4 C +c 2 7 由条件知, = ,∴c=3b, b 5 2- 2

的两段,则此双曲线的离心率为( B. D. 6 37 37 3 10 10

)

[答案]

b

[解析]

9 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵c =a +b ,∴c =9(c -a ),∴e = ,∴e= . 8 4

y2 x2 12.(2011~2012?龙文中学、程溪中学、芗城中学三校联考)已知双曲线 2- 2=1 的一 a b
个焦点与抛物线 x =4y 的焦点重合,且双曲线的实轴长是虚轴长的一半,则该双曲线的方程 为( ) 5 2 2 A.5y - x =1 4 C. - =1 5 4 [答案] [解析] A 抛物线 x =4y 的焦点 F(0,1),
2 2 2 2

B. - =1 5 4 5 2 2 D.5x - y =1 4

x2 y2

y2 x2

a +b =1 ? ? 由题意知? 1 a= b ? ? 2

1 a= ? ? 5 ,解得? 4 ? ?b =5
2 2



∴双曲线方程为 - =1. 1 4 5 5 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

y2 x2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上.) 13.(2011~2012?包头一中期末)经过点 M(2,3),且在两坐标轴上的截距相等的直线方 程是________. [答案] [解析] 3x-2y=0 或 x+y-5=0 3 x y 2 3 过原点时,直线方程为 y= x,不过原点时,设方程为 + =1,∴ + =1,∴ 2 a a a a

a=5,
∴方程为 x+y-5=0. 14. (文)(2011~2012?江西赣州期末)若圆(x-2) +y =2 与双曲线 2- 2=1(a>0, b>0) 的渐近线相切,则双曲线的离心率是________. [答案] [解析] 2 圆心(2,0)到直线 y= x 的距离 = 2,
2 2 2 2 2

x2 y2 a b

b a

d=
2

|2b|

a2+b2
2

∴b =a ,∴c -a =b ,∵e>1,∴e= 2. (理)(2011~2012?黄冈市期末)已知直线 ax+y+2=0 与双曲线 x - =1 的一条渐近线 4 平行,则这两条平行直线之间的距离是_____ ___. [答案] [解析] 2 5 5 双曲线的渐近线方程为 y=±2x,由条件知 a=±2,∴两平行线 2x+y+2=0 2 2 5 = . 5 5
2

y2

与 y=-2x=0 之间的距离是 d=
2 2

15.若方程 x sin2α -y cosα =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么 α 的取值范围是 ________. [答案]

?2kπ +7π ,2kπ +3π ?,k∈Z ? 6 2 ? ? ?

[解析]

1 1 - > ? ? cosα sin2α 根据题意知,? cosα <0 ? ?sin2α >0



1 ? ?-1≤sinα <- 2 化简得,? ? ?cosα <0

.

7 3 ? ? 解得 α ∈?2kπ + π ,2kπ + π ?(k∈Z). 6 2 ? ?

[来源:Ks5u.com]

16.(2011~2012?山东苍山县期末)已知圆 C:x +y -6x-4y+8=0,以圆 C 与坐标轴 的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为________. [答案] [解析]

2

2

x2
4



y2
12

=1
2 2

在⊙C 方程中,令 x=0 得 y -4y+8=0 无解,令 y=0 得 x -6x+8=0,∴x=
2 2 2

2 或 4,故双曲线方程中 a=2,c=4,∴b =c -a =12, ∴双曲线的标准方程为 - =1. 4 12 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分)(文)(2011?广东广州一模)已知直线 y=-2 上有一个动点 Q, 过 点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足 OP⊥OQ(O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为

x2

y2

C.
(1)求曲线 C 的方程; (2)若曲线 l2 是曲线 C 的一条切线, 当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时, 求直线 l2 的方程. [解析] (1)设 P(x,y),则 Q(x,-2),

∵OP⊥OQ,∴kOP?kOQ=-1.

y -2 2 当 x≠0 时,得 ? =-1,化简得 x =2y. x x
当 x=0 时,P、O、Q 三点共线,不符合题意,故 x≠0. ∴曲线 C 的方程为 x =2y(x≠0). (2)解法一:∵直线 l2 与曲线 C 相切, ∴直线 l2 的斜率存在. 设直线 l2 的方程为 y=kx+b, 由?
? ?y=kx+b, ?x =2y, ?
2 2

得 x -2kx-2b=0.

2

∵直线 l2 与曲线 C 相切,∴Δ =4k +8b=0,即 b=- . 2

2

k2

由(0,2)到直线 l2 的距离 d= 1 3 2 = ( k +1+ 2 ) 2 k +1 1 ≥ ?2 2

|-2+b|

1 k +4 = ? 2 2 k +1 2 k +1

2

k2+1?
2

3

k2+1
3

= 3.

当且仅当 k +1=

k2+1

,即 k=± 2时,等号成立,此时 b=-1.

∴直线 l2 的方程为 2x-y-1=0 或 2x+y+1=0. 解法二:由 x =2y,得 y′=x. 1 2 ∵直线 l2 与曲线 C 相切,设切点 M 的坐标为(x1,y1),其中 y1= x1,则直线 l2 的方程为: 2
2

y-y1=x1(x-x1),
1 2 化简得 x1x-y- x1=0. 2 点(0,2)到直线 l2 的距离 1 2 |-2- x1| 2 1 x1+4 = ? 2 2 2 x1+1 x1+1
2

d=

1 3 2 = ( x1+1+ 2 ) 2 x1+1 1 ≥ ?2 2

x2 1+1?
2

3

x2 1+1
3

= 3.

当且仅当 x1+1=

x2 1+1

,即 x1=± 2时,等号成立.

∴直线 l2 的方程为 2x-y-1=0 或 2x+y+1=0. (理)已知动圆过定点 P(1,0),且与直线 x=-1 相切. (1)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (2)设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,若 OA⊥OB,证明直线 AB 恒过定点,并 求出该定点的坐标. [解析] (1)设圆心 M(x,y).

由题意知点 M 到点 P 的距离等于点 M 到直线 x=-1 的距离, 故点 M 的轨迹 C 是以 P(1,0)为焦点,直线 x=-1 为准线的抛物线. ∴轨迹 C 的方程是 y =4x. (2)当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+
2

b(k≠0).

代入 C 的方程并整理得

k2x2+(2kb-4)x+b2=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

x1+x2=

4-2kb

k2

,x1x2= 2.

b2 k

故 y1y2=(kx1+b)(kx2+b) =k x1x2+kb(x1+x2)+b =
2 2

4b

k

.

由 OA⊥OB 得 x1x2+y1y2=0,即 2+ 解得 b=-4k 或 b=0(舍去).

b2 4b =0, k k

此时,直线 AB 的方程为:y=kx-4k, 即 y=k(x-4). 此时直线 AB 过定点(4,0). 当直线 AB 的斜率不存在时,由 OA⊥OB 可知 A、B 两点的坐标分别是(4,-4)、(4,4). 此时直线 AB 也过定点(4,0). 综上所述,直线 AB 恒过定点(4,0). 18. (本小题满分 12 分)(2011~2012?山东日照模拟)设椭圆 C1 和抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中点和 C2 的顶点均为原点,从每条曲线上各取两点,将其坐标记录于下表中:

x

3

-2

4

2

y

-2 3

[来源:高&考%资(源#网 wxc]

0

-4

2 2

(1)求曲线 C1,C2 的标准方程; → → (2)设直线 l 与椭圆 C1 交于不同两点 M、N,且OM?ON=0,请问是否存在直线 l 过抛物线

C2 的焦点 F?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
[解析] (1)由题意(-2,0),一定在椭圆 C1 上,

设 C1 方程为 2+ 2=1,则 a=2, ∴椭圆 C1 上任何点的横坐标|x|≤2. 所以( 2, 2 2 )也在 C1 上,从而 b =1, 2

x2 y2 a b

∴C1 的方程为 +y =1. 4 从而(3,-2 3),(4,-4)一定在 C2 上, 设 C2 的方程为 y =2px(p>0), ∴p=2,即 C2 的方程为 y =4x. (2)假设直线 l 过 C2 的焦点 F(1,0). 当 l 的斜率不存在时,则 M(1, 3 3 ),N(1,- ). 2 2
2 2

x2

2

3 1 → → 此时OM?ON=1- = ≠0,与已知矛盾. 4 4 当 l 的斜率存在时设为 k,则 l 的方程为 y=k(x-1)代入 C1 方程并整理得,(1+4k )x -8k x+4k -4=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则
2 2 2 2

x1+x2=

8k 4k -4 2,x1x2= 2. 1+4k 1+4k

2

2

y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=k2(x1x2-x1-x2+1)
= -3k 2, 1+4k
2

→ → ∵OM?ON=0,∴x1x2+y1y2=0, ∴k -4=0,k=±2, ∴存在符合条件的直线 l 且方程为 y=±2(x-1). 19. (本小题满分 12 分)(2011~2012?宿州市质检)已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 2 - 2=1(a>0,b>0)相交于 B、D 两点,且 BD 的中点为 M(1,3). (1)求双曲线 C 的离心率; (2)若双曲线 C 的右焦点坐标为(3,0),则以双曲线的焦点为焦点,过直线 g:x-y+9=0 上一点 M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点 M 应在何处?并求出此时的椭圆方程. [解析] 简得: (b -a )x -4a x-4a -a b =0 设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 4a 4a +a b x1+x2= 2 2,x1?x2=- 2 2 , b -a b -a 由 M(1,3)为 BD 的中点知
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 a

y2 b

(1)由题设知:l 的方程为 y-3=1?(x-1),即 y=x+2,代入 C 的方程,并化

(*)

x1+x2
2

=1,故

4a =2, b2-a2

2

即 b =3a .故 c=2a,∴e=2, 验证可知方程(*)的 Δ >0. (2) 双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 为 F1( - 3,0) 、 F2(3,0) , 点 F1 关 于 直 线 g : x - y + 9 = 0 ① 的对称点 F 的坐标为(-9,6),直线 FF2 的方程为 x+2y-3=0② 解方程组①②得交点 M(-5,4), 此时|MF1|+|MF2|最小,所求椭圆的长轴 2a=|MF1|+|MF2|=|FF2|=6 5, ∴a=3 5, 又 c=3,∴b =36,故所求椭圆的方程为 + =1. 45 36
2

2

2

x2

y2

x2 y2 1 20.(本小题满分 12 分)(文)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P(1, a b 2
3 ). 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 是椭圆 C 的左焦点,判断以 PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系, 并说明理由.

x2 y2 1 ? 3? [解析] (1)∵椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P?1, ?, a b 2 ? 2? a -b 1 ? ? a =2 ∴? 1 9 + =1 ? ?a 4b
2 2 2 2

3a -4b =0 ? ? ,即? 1 9 2+ 2= 1 ? ?a 4b

2

2

? ?a =4 ,解得? 2 ?b =3 ?

2



∴椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 (2)∵a =4,b =3, ∴c= a -b =1. ∴椭圆 C 的左焦点坐标为(-1,0). 以椭圆 C 的长轴为直径的圆的方程为 x +y =4,圆心坐标是(0,0),半径为 2. 5 ? 3?2 25 ? 3? 2 以 PF 为直径的圆的方程为 x +?y- ? = ,圆心坐标是?0, ?,半径为 . 4 ? 4? 16 ? 4? ∵两圆心之间的距离为 3 5 = =2- , 4 4 故以 PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切. -
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

?3 ?2 +? -0? ?4 ?

(理)(2011~2012?包头一中期末)已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点,焦点在 x 轴上,且 1 经过点 A(0,2 3),离心率为 . 2 (1)求椭圆 P 的方程; → → (2)是否存在过点 E(0,-4)的直线 l 交椭圆 P 于点 R、T,且满足OR?OT=8.若存在,求 直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

x2 y2 [解析] (1)设椭圆 P 的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b c 1 由题意得:b=2 3,e= = , a 2
∴?
?a -c =12 ? ? ?a=2c
2 2

,∴c=2,a=4,

故椭圆 P 的方程为 + =1. 16 12 (2)假设存在满足题意的直线 l.易知当直线 l 的斜率不存在时,不符合题意,故直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为:y=kx-4.

x2

y2

y=kx-4 ? ? 2 由? x y2 + =1 ? ?16 12

可得:(3+4k )x -32kx+16=0,

2

2

2 2 2 1 则 Δ =(-32k) -4(3+4k )?16>0,∴k > , 4

32k ? ?x +x =3+4k 设 R(x ,y ),T(x ,y ),则? 16 ? ?x x =3+4k
1 2 1 1 2 2 1 2 2 2

2



∴y1y2=(kx1-4)(kx2-4)=k x1x2-4k(x1+x2)+16 16k 128k 48-48k = 2- 2+16=- 2 , 3+4k 3+4k 3+4k → → ∵OR?OT=8,∴x1x2+y1y2=8, 16 48-48k 1 1 2 2 ∴ , 2- 2 =8,∴k = > ,∴k=± 3+4k 3+4k 2 4 2 ∴直线 l 的方程为:y=± 故存在直线 y=± 2 x-4, 2
2 2 2 2

2 x-4 满足题意. 2

21.(本小题满分 12 分)(文)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,左焦点为 F,

→ → 点 M(x0,0)且椭圆的长半轴长是-x0 与半焦距的等比中项,OM=4OF. (1)求椭圆的离心率 e; → → (2)过左焦点 F 且斜率为 2的直线与椭圆交于 A、 B 两点, 若OA?OB=-2, 求椭圆的方程. [解析] (1)设椭圆方程为 2+ 2=1,F(-c,0),则由条件知,-x0?c=a ,∴x0=- ,

x2 y2 a b

2

a2 c

? ? 即 M?- ,0?. ?
→ → ? a ? 由OM=4OF得,?- ,0?=4(-c,0).
2

a2 ? c

? c

?

a c 1 ∴ =4c,∴e= = . c a 2
(2)设直线 AB 的方程为 y= 2(x+c),直线 AB 与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). 由(1)可得 a =4c ,b =3c .
2 2 2 2

2

?3x +4y =12c 由? ?y= 2 x+c
x1+x2=-
→ →

2

2

2

,消去 y 得,11x +16cx-4c =0.

2

2

16c 4 2 ,x1x2=- c . 11 11

OA?OB=(x1,y1)?(x2,y2)=x1x2+y1y2,
且 y1?y2=2(x1+c)(x2+c)=2x1x2+2c(x1+x2)+2c . ∴3x1x2+2c(x1+x2)+2c =-2. 即- 12 2 32 2 c - c +2c2=-2.∴c2=1. 11 11
2 2 2

则 a =4,b =3.椭圆的方程为 + =1. 4 3 (理)已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件|PM|-|PN|=2 2.记动点 P 的轨迹为

2

x2 y2

W.
(1)求 W 的方程; → → (2)若 A、B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA?OB的最小值. [解析] (1)解法 1: 由|PM|-|PN|=2 2知点 P 的轨迹是以 M、 N 为焦点的双曲线 2- 2=
2 2

x2 y2 a b x2

1 的右支; 其实半轴长 a= 2, 半焦距 c=2, 虚半轴长 b= c -a = 2, 所以 W 的方程为 - 2

y2
2

=1,(x≥ 2). 解法 2:设动点 P 的坐标为(x,y),

则|PM|= 由条件得

x+ x+

2

+y ,|PN|=
2

2

x-
2 2

2

+y ,

2

2

+y -

x-

+y =2 2,

化简得 W 的方程为 - =1,其中 x≥ 2. 2 2 (2)解法 1:设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 当 AB⊥x 轴,x1=x2,y1=-y2, → → 2 2 从而OA?OB=x1x2+y1y2=x1-y1=2, 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 方程为 y=kx+m,与 W 的方程联立,消去 y 得 (1-k )x -2kmx-m -2=0, 故 x1+x2= 2km m +2 2,x1x2= 2 1-k k -1
2 2 2 2

x2 y2

→ → 所以OA?OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(1+k )x1x2+km(x1+x2)+m =
2 2 2

+k

2

m2+

k2-1
2k +2 4 =2+ 2 2 k -1 k -1

2k m 2 + 2+m 1-k

2 2



→ → 2 因为 x1x2>0,所以 k -1>0,从而OA?OB>2 → → 综上,当 AB⊥x 轴时,OA?OB取得最小值 2. 解法 2:设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 再设直线 AB 方程为 x=my+r,与 W 的方程联立,消去 x 得(m -1)y +2mry+(r -2)=0 故 y1+y2=- 2mr r -2 ,y1y2= 2 m2-1 m -1
2 2 2 2

→ → 所以OA?OB=x1x2+y1y2=y1y2+(my1+r)(my2+r) =(m +1)y1y2+mr(y1+y2)+r
2 2 2

=(m +1)?
2 2

mr ? ?r2-2?+mr?- 2 ? ? m2-1?+r2 m - 1 ? ? ? ?

-2m -2 4 = 2 =-2- 2 m -1 m -1 由 x1x2>0 不难得到 0≤m <1 4 → → 于是OA?OB=-2- 2 ≥-2-(-4)=2 m -1 当且仅当 m=0 时,上式中“=”成立. → → 因此当直线 AB 的方程为 x=r,即 AB⊥x 轴时,OA?OB取得最小值 2.
2

22.(本小题满分 14 分) (文)(2011~2012?南通市调研)设 A1、A2 与 B 分别是椭圆 E: + 2=1(a>b>0)的左、右顶点与上顶点,直线 A2B 与圆 C:x +y =1 相切. 1 1 (1)求证: 2+ 2=1;

x2 a2

y2 b

2

2

a

b

1 (2)P 是椭圆 E 上异于 A1,A2 的一点,直线 PA1,PA2 的斜率之积为- ,求椭圆 E 的方程; 3 → → (3)直线 l 与椭圆 E 交于 M,N 两点,且OM?ON=0,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系,并 说明理由. [解析] 点, 所以 A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),直线 A2B 的方程是 + =1. 因为 A2B 与圆 C:x +y =1 相切, 所以 1 1 1 1 1 =1,即 2+ 2=1.
2 2

(1)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0),A1,A2 与 B 分别为椭圆 E 的左右顶点与上顶

x2 y2 a b

x y a b

a

2



a

b

b

2

(2)设 P(x0,y0),则直线 PA1,PA2 的斜率之积为 1 x0 3y0 x0 y0 1 2 2 kPA1?kPA2= ? = 2=- ? 2+ 2 =1,而 2+ 2=1,所以 b = a . x0+a x0-a x2 3 a a a b 3 0-a 1 1 4 2 2 结合 2+ 2=1,得 a =4,b = . a b 3

y0

y0

y2 0

2

2

2

2

x 3y 所以,椭圆 E 的方程为 + =1. 4 4
(3)设点 M(x1,y1),N(x2,y2). ①若直线 l 的斜率存在,设直线 l 为 y=kx+m, 将 y=kx+m 代入 2+ 2=1 得, 2+
2 2 2 2 2 2 2

2

2

x2 y2 a b

x2 a

kx+m b2
2 2

2

=1.

化简得,(b +a k )x +2a kmx+a m -a b =0(Δ >0). ∴x1x2=
2 a2m2-a2b2 2a km , 2 2 2 ,x1+x2=- 2 b +a k b +a2k2

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
2 a2k2m2-a2b2k2 2a km b2m2-a2b2k2 2 = +km(- 2 )+m = 2 2 2 . b2+a2k2 b +a2k2 b +a k

→ → 因为OM?ON=0,所以 x1x2+y1y2=0.

代入得(a +b )m -a b (1+k )=0. 1 1 2 2 结合(1)的 2+ 2=1,得 m =1+k .

2

2

2

2 2

2

a

b

圆心到直线 l 的距离为 d= 所以直线 l 与圆 C 相切.

|m| 1+k
2

= 1,

②若直线 l 的斜率不存在,设直线 l:x=n.

x2 y2 代入 2+ 2=1,得 y=±b a b
∴|n|=b

n2 1- 2. a
2 2 2

1- 2,∴a n =b (a -n ).

n2 a

2 2

解得 n=±1,所以直线 l 与圆 C 相切. (理)(2011~2012?厦门质检)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ( 6,1),O 为坐标原点.

x2 y2 a b

2 ,且经过点 2

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)圆 O 是以椭圆 E 的长轴为直径的圆,M 是直线 x=-4 在 x 轴上方的一点.过 M 作圆 O 的两条切线,切点分别为 P、Q,当∠PMQ=60°时,求直线 PQ 的方程. [解析]
[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]

(1)∵椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),由题意可得 e= =

x2 y2 a b

c a

2 . 2

6 1 ∵椭圆经过点( 6,1),∴ 2+ 2=1.

a

b

又 a +b =c ,解得 a=2 2,b=2, ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 8 4

2

2

2

x2 y2

(2)解法一:连结 OM,OP,OQ,依题意可设 M(-4,m), 由圆的切线性质及∠PMQ=60°,可知 △OPM 为直角三角形且∠OMP=30°, ∵|OP|=2 2,∴|OM|=4 2, ∴ -
2

+m =4 2,又 m>0,

2

解得 m=4,∴M(-4,4), ∴直线 OM 的斜率 kOM=-1, 由 MP=MQ,OP=OQ 可得 OM⊥PQ, ∴直线 PQ 的斜率 kPQ=1, 设直线 PQ 的方程为 y=x+n, ∵∠OMP=30°,∴∠POM=60°,∴∠OPA=30°, 由|OP|=2 2知|OA|= 2, 即点 O 到直线 PQ 的距离为 2, ∴ |n| 1+
2



2

= 2,解得 n=±2(舍去负值),

∴直线 PQ 的方程为 x-y+2=0. 解法二:同解法一求得 M(-4,4), 设 P(x1,y1),则由圆的切线性质知∠OPM 为直角, 故有 kOP?kPM=-1, 即 ?

y1 y1-4 2 2 =-1,整理得 x1+y1=4y1-4x1, x1 x1+4
2 2 2 2

又点 P(x1,y1)在圆 O:x +y =8 上,故有 x1+y1=8,

∴4y1-4x1=8,即 y1-x1=2, 同理设 Q(x2,y2),则有 y2-x2=2, ∴直线 PQ 的方程为 x-y+2=0. 解法三:同解法一求得 M(-4,4), 则以 OM 为直径的圆 K 的方程为(x+2) +(y-2) =8, 与圆 O:x +y =8 联立消去 x ,y 得直线 PQ 的方程为 x-y+2=0. 解法四:同解法一求得 M(-4,4), 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则过 P,Q 的圆 O:x +y =8 的切线方程分别为 x1x+y1y=8,x2x+y2y=8, 它们都过点 M(-4,4),故有-4x1+4y1=8,-4x2+4y2=8, ∴直线 PQ 的方程为-4x+4y=8,即 x-y+2=0.
2 2 2 2 2 2 2 2

1.(2011~2012?北京西城区期末)设抛物线 y =8x 的焦点为 F,点 P 在此抛物线上且横 坐标为 4,则|PF|等于( A.8 [答案] [解析] B 抛物线准线 l:x=-2,P 到 l 距离 d=4-(-2)=6,∴|PF|=6.
2

2

) C.4 D.2

B.6

2.(2011~2012?辽宁本溪一中、庄河高中联考)设平面区域 D 是由双曲线 x - =1 的 4 两条渐近线和直线 6x-y-8=0 所围成三角形的边界及内部,当 P(x,y)∈D 时,x +y +2x 的最大值是( A.24 C.4 [答案] [解析]
2 2 2 2

y2

) B.25 D.7 A 在双曲线方程中,a=1,b=2,渐近线 y=±2x,区域 D 为△OAB 及其内部,令

2 2 r=x +y +2x, 则(x+1) +y =r+1, 则 r+1 表示点 P 到(-1,0)点距离的平方, 易求得 A(1,

-2),B(2,4),则点 P 与 B 重合时 r 取到最大值,此时 r=24.

[来源:Ks5u.com.Com]

3.B1、B2 是椭圆短轴的两端点,O 为椭圆中心,过左焦点 F1 作长轴的垂线交椭圆于 P,若 |PF1| |F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项,则 的值是________. |OB2| [答案] [解析] 2 2 由已知 2bc=a =b +c ,∴b=c=
2 2 2

2 a. 2

设 P(x0,y0),则 x0=-c,|y0|=|PF1|. ∵
2 0 2

-c

2

a

2

+ 2=1,

y2 0 b

y c2 b2 1 ∴ =1- 2= 2= , b a a 2
2 |PF1| 2 b,∴ = = . 2 |OB2| b 2 2 b 2

∴|y0|=

4.设 F 是椭圆 + =1 的右焦点,且椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi(i=1,2,3,?)使 7 6 |FP1|,|FP2|,|FP3|,?组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围为________.

x2 y2

[答案] [解析]

?- 1 ,0?∪?0, 1 ? ? 10 ? ? 10? ? ? ? ?
易知 7-1≤|FPn|≤ 7+1,若 a1= 7-1,an= 7+1,则 an=a1+(n-1)d? 7+ - 7-

an-a1 d= = n-1

n-1



2 1 1 1 = (n≥21),即 0<d≤ ,当 d<0 时,- ≤d<0, 20 10 10 10

1? ? 1 ? ? 故有 d∈?- ,0?∪?0, ?. ? 10 ? ? 10? 5.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1,l2,过双曲线的右焦点 F 作直线 l,使 l 垂直 l1 于 P 点,且与双曲线交于点 A. (1)当 l1 与 l2 的夹角为 60°,且双曲线的焦距为 4 时,求该双曲线方程; → |AF| (2)若双曲线的离心率 e∈[ 2, 3]时,求 的取值范围. → |AP| [解析] (1)∵l1 与 l2 的夹角为 60°,

x2 y2 a b

∴ =tan30°或 =tan60°, ∴a= 3b 或 b= 3a, 又 c=2,∴?

b a

b a

?a= 3 ?b=1
2

或?

?a=1 ?b= 3
x2
2



∴双曲线方程为 x - =1 或 -y =1. 3 3

y2

b y= x ? ? a a (2)不妨设 F(c,0),直线 l 的方程为:y=- (x-c),则由? b a ? ?y=-b a2 P 的横坐标为 , c

得点

x-c

∴点 P 在双曲线 C 的右准线上,过点 A 作右准线的垂线并交左准线于点 Q,则 → |AF| |AF| |AQ| = ? =e?sin∠APQ, → |AQ| |AP| |AP| 又∠APQ=∠POF,且 tan∠POF= (O 为坐标原点),

b a

∴sin∠APQ=

b a2+b

,∴ 2

→ |AF| b = , → a |AP|

而 e =1+ 2,且 e∈[ 2, 3],∴ ∈[1, 2], → |AF| 的取值范围是[1, 2]. → |AP|
2

2

b2 a

b a



6.(2011~2012?广东韶关调研)设抛物线 C 的方程为 x =4y,M(x0,y0)为直线 l:y=-

m(m>0)上任意一点,过点 M 作抛物线 C 的两条切线 MA,MB,切点分别为 A,B.
(1)当 M 的坐标为(0,-1)时,求过 M,A,B 三点的圆的方程,并判断直线 l 与此圆的位 置关系; (2)求证:直线 AB 恒过定点(0,m). [解析]
2

(1)当 M 的坐标为(0,-1)时,设过 M 点的切线方程为 y=kx-1,代入 x =4y,

2

整理得 x -4kx+4=0, 令 Δ =(4k) -4?4=0,解得 k=±1, 代入方程得 x=±2,故得 A(2,1),B(-2,1), 因为 M 到 AB 的中点(0,1)的距离为 2, 从而过 M,A,B 三点的圆的方程为 x +(y-1) =4. 易知此圆与直线 l:y=-1 相切. (2)证法一:设切点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),过抛物线上点 A(x1,y1)的切线方程为 (y-y1)=k(x-x1),代入 x =4y,整理得 x -4kx+4(kx1-y1)=0, Δ =(4k) -4?4(kx1-y1)=0, 又因为 x1=4y1,所以 k= . 2 从而过抛物线上点 A(x1,y1)的切线方程为 y-y1= (x-x1),即 y= x- , 2 2 4 又切线过点 M(x0,y0),所以得 y0= x0- 2 4 即 y0= x0-y1, 2 同理可得过点 B(x2,y2)的切线为 y= x- , 2 4 又切线过点 M(x0,y0),所以得 y0= x0- 2 4 即 y0= x0-y2, 2 即点 A(x1,y1),B(x2,y2)均满足 y0= x0-y, 2 即 x0x=2(y0+y),
2 2 2 2 2 2 2

x1

x1

x1

x2 1

x1

x2 1



x1

x2

x2 2

x2

x2 2



x2

x

故直线 AB 的方程为 x0x=2(y0+y), 又 M(x0,y0)为直线 l:y=-m(m>0)上任意一点,故 x0x=2(y-m)对任何 x0 成立,所以 x =0,y=m,从而直线 AB 恒过定点(0,m). 证法二:设过 M(x0,y0)的抛物线的切线方程为 y-y0=k(x-x0)(k≠0),代入 x =4y,消 去 y 得,x -4kx-4(y0-kx0)=0, Δ =(4k) +4?4(y0-kx0)=0, 即 k +x0k=y0=0, 从而 k1= -x0+ x0-4y0 -x0- x0-4y0 ,k2= , 2 2
2 2 2 2 2 2

2 2 此时 x1= ,x2= ,

k1

k2

2 1 2 1 所以切点 A,B 的坐标分别为 A( , 2),B( , 2),

k1 k1

k2 k2

2

y1-y2 x1+x2 x0 x1+x2 k1 k2 k1+k2 因为 kAB= = = , = = =x0, x1-x2 4 2 2 2 k1k2
1



2

y1+y2

k1+k2 2-2k1k2 x2 0-2y0 = = = , 2 2 k1k2 2 2 x2 0-2y0
2 ),

k2 k2 1 2



1

所以 AB 的中点坐标为(x0, 故直线 AB 的方程为 y- 即 x0x=2(y0+y),

x2 x0 0-2y0
2

= (x-x0), 2

又 M(x0,y0)为直线 l:y=-m(m>0)上任意一点,故 x0x=2(y-m)对任意 x0 成立,所以 x =0,y=m,从而直线 AB 恒过定点(0,m). 证法三:由已知得 y= ,求导得 y= ,切点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 2 故过点 A(x1,y1)的切线斜率为 k= , 2 从而切线方程为(y-y1)= (x-x1),即 y= x- , 2 2 4 又切线过点 M (x0,y0),所以得 y0= x0- 2 4 即 y0= x0-y1, 2 同理可得经过点 B(x2,y2)的切线为 y= x- , 2 4

x2

x

x1

x1

x1

x2 1

x1

x2 1



x1

x2

x2 2

又切线过点 M(x0,y0),所以得 y0= x0- 2 4 即 y0= x0-y2, 2

x2

x2 2



x2

即点 A(x1,y1),B(x2,y2)均满足 y0= x0-y, 2 即 x0x=2(y0+y),故直线 AB 的方程为 x0x=2(y0+y), 又 M(x0,y0)为直线 l:y=-m(m>0)上任意一点,故 x0x=2(y-m)对任意 x0 成立, 所以 x=0,y=m,从而直线 AB 恒过定点(0,m).

x


相关文章:
2013高考数学人教B版阶段性测试题八)
2013高考数学人教B版阶段性测试题八)_高中教育_教育专区。2013高考数学人教B版阶段性测试题八)阶段性测试题八(平面解析几何) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(...
2013年高考数学总复习 阶段性测试题八 新人教B版
2013高考数学总复习 阶段性测试题八 新人教B版 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 阶段性测试题八(平面解析几何) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择...
2013高考数学人教B版阶段性测试题十)
2013高考数学人教B版阶段性测试题十)_高中教育_教育专区。2013高考数学人教B版阶段...(1)从 8 人中选出日语、英语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的...
2013高考数学人教B版阶段性测试题十二)
2013高考数学人教B版阶段性测试题十二)_高中教育_教育专区。2013高考数学人教B版...(x)=f(f2(x))=, f4(x)=f(f3(x)) x+2 3x+4 7x+8 * x 15x+16...
2013高考数学人教B版阶段性测试题三)
2013高考数学人教B版阶段性测试题三)_高中教育_教育专区。2013高考数学人教B版阶段...( 理 )(2011 ~2012·保定市八校联合体联考 ) 已知函数 f(x) = alnx -...
2013高考数学人教B版阶段性测试题七)
2013高考数学人教B版阶段性测试题七)_高中教育_教育专区。2013高考数学人教B版阶段...(a +2a-3)=-8a+12>0,∴a< ,∴a<-3 或 1<a< . 2 2 8. (2011...
2013高考总复习 数学 走向高考 阶段性测试题八 人教B版
2013高考总复习 数学 走向高考 阶段性测试题八 人教B版 适合高三一轮总复习的学生适合高三一轮总复习的学生隐藏>> 阶段性测试题八(平面解析几何) 本试卷分第Ⅰ...
2013年高考数学总复习 阶段性测试题十 新人教B版
2013高考数学总复习 8... 2013高考数学总复习 阶... 2013高考数学总复习...阶​段​性​测​试​题​十​ ​新​人​教​B​版...
2013年高考数学总复习 阶段性测试题九 新人教B版
2013高考数学总复习 阶段性测试题新人教B版 暂无评价|0人阅读|0次下载|...(12-h )·h=8h- |h , 3 3 3 V′=8-2h2,令 V′=0 得 h=2,故...
2013年高考数学总复习 阶段性测试题六 新人教B版
2013高考数学总复习 阶段性测试题新人教B版 暂无评价|0人阅读|0次下载|...n-1? 2 ×2=n +2n, 2 ∴b1=S2=8,b2=S4=24, ∴公比 q= =3, 8?...
更多相关标签:
反洗钱阶段性测试题库 | 人教版第一单元测试题 | 一年级人教版测试题 | 人教版分式单元测试题 | 人教版初二英语测试题 | 人教版初一英语测试题 | 人教版有理数测试题 | 人教四年八单元测试题 |