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常微分方程常见形式及解法


常微分方程常见形式及解法
知行1301 13275001 毕文彬
常微分方程 毕文彬 1

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关 系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而 在初等数学的代数方程,其解是常数值。 常微分方程(ODE)是指一微分方程的未知数是 单一自变数的函数。最简单的常微分方程,未知数是 一个实数或是复数的函数,但未知数也可能是一个向 量函数或是矩阵函数,后者可对应一个由常微分方程 组成的系统。微分方程的表达通式是:

常微分方程常依其阶数分类,阶数是指自变数导数的 最高阶数,最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分 方程。例如以下的贝塞尔方程:

(其中y为应变数)为二阶微分方程,其解为贝塞尔 函数。 常微分方程 毕文彬

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常见例子
以下是常微分方程的一些例子,其中u为未知的函数,自变 数为x,c及ω均为常数。 ? 非齐次一阶常系数线性微分方程:

? 齐次二阶线性微分方程:

? 描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程:

? 非齐次一阶非线性微分方程:

? 描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程:
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微分方程的解
?微分方程的解通常是一个函数表达式(含一 个或多个待定常数,由初始条件确定)。例如: ?dy/dx=sinx, ?的解是 ?y=-cosx+C, ?其中C是待定常数; ?例如,如果知道 ? y=f(π)=2, ?则可推出 ? C=1, ?而可知 ?y=-cosx+1,

常微分方程

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简易微分方程的求解方法
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一阶线性常微分方程

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二阶常系数齐次常微分方程

常微分方程

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01

一阶线性常微分方程
?对于一阶线性常微分方程,常用的方法是常 数变易法: ?对于方程: ?可知其通解:

?然后将这个通解代回到原式中,即可求出 C(x)的值

常微分方程

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02

二阶常系数齐次常微分方程
?对于二阶常系数齐次常微分方程,常 用方法是求出其特征方程的解 ?对于方程: ?可知其通解: ?其特征方程: ?根据其特征方程,判断根的分布情况, 然后得到方程的通解 ?一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):

?(在的r1≠r2情况下): ?(在共轭复数根的情况下):
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一般通解
01

可分离方程

02

一般一阶微分方程
一般二阶微分方程 线性方程 (最高到n阶)
常微分方程 毕文彬 8

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01
微分方程
一阶,变量 x 和 y 均可分离

可分离方程
解法 通解

分离变量(除以P2Q1)。 一阶,变量 x 可分离 直接积分。 一阶,变量 y 可分离 分离变量(除以 F)。
一阶,变量 x 和 y 均可分离

整个积分。
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一般一阶微分方程
解法
令 y = ux,然后通过分离 变量 u 和 x 求解. 分离变量(除以 xy)。

微分方程
一阶,齐次 一阶,可分离变量

通解

如果N = M, 解为xy = C.

恰当微分, 一阶
整个积分。
其中 Y(y) 和 X(x) 是积分出来 的函数而不是常数,将它们列在 这里以使最终函数 F(x, y) 满足初 始条件。

其中
反常微分, 一阶 积分变量 μ(x, y) 满足

如果可以得到 μ(x, y):

其中

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03

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微分方程
二阶

一般二阶微分方程 线性方程 (最高到n阶)
解法
原方程乘以 2dy/dx, 代换

通解

, 然后两次积分.
一阶线性,非齐次的函数系数

积分因子:

余函数 yc: 设 yc = eαx, 如果 b2 > 4c, 则: 代换并解出 α 中的多项 二阶线性,非齐次的常系数 式,求出线性无关函数 。 特解 yp:一般运用常数 如果 b2 = 4c, 则: 变易法,虽然对于非常 容易的 r(x) 可以直观判 如果 b2 < 4c, 则: 断。
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