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2010年全国高中数学联赛试题及答案


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2010 年全国高中数学联赛 一 试

一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 函数 f(x)? x?5? 24?3x 的值域是 .

2. 已知函数 y?(acos2x?3)sinx 的最小值为?3,则实数 a 的取值范围是 3. 双曲线 x2?y2?1 的右半支与直线 x?100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数 是 . 4. 已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1?3,b1?1,a2?b2,3a5?b3,且存在常数?,?使得对每一个正整数 n 都有 an?log ? bn??, 则???? .

5. 函数 f(x)?a2x?3ax?2(a?0,a?1) 在区间 x?[?1,1]上的最大值为 8,则它在这个区间上的 最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱 ABC?A1B1C1 的 9 条棱长都相等,二面角 B?A1P?B1??,P 是 CC1 的中点,则 sin?? . 8. 方程 x?y?z?2010 满足 x?y?z 的正整数解(x,y,z)的个数是 答题(本题满分 56 分) . 二、解

32 9. (16 分)已知函数 f(x)?ax?bx?cx?d(a?0),当 0?x?1 时,f?(x)?1,试求 a 的最大值. 2 和 B(x,y)10.(20 分)已知抛物线 y?6x 上的两个动点 A(x1,y1)22,其中 x1?x2 且 x1?x2?4.线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C,求?ABC 面积的最大值.

11. (20 分) 证明: 方程 2x?5x?2?0 恰有一个实数根 r, 且存在唯一的严格递增正整数数列{an}, 使得

1 3 25 ?r a1 ?r a2 ?r a3 ??.


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