2.1.1指数与指数幂运算2

§2.1.1 指数与指数幂的运算
第二课时 实数指数幂

二.讲授新课
问题1：观察
5

a ?a , a ?a
10 2 3 12

4

结果的指数与被开方数的指数,根指数有什么关系？ 问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整 除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：
3

a 2 ? a 是否可行？

2 3

二、分数指数幂 1、分数指数幂的意义

（1）正分数指数幂意义：

a ? a , (a ? 0, m, n ? N , 且n ? 1)
n m

m n

?

（2）负分数指数幂意义：

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

am

, (a ? 0, m, n ? N , 且n ? 1)

?

结论：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指 数幂没有意义.

说明： （1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所 举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概 念就从整数指数推广到了有理数指数；

（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于 有理数幂也同样适用，

；

a a ?a
r s
r s
r

r ?s

(a ? 0, r, s ? Q)

(a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q)
rs

(ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
r r

根式与分数指数幂的互化
用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)： (1) a · a； a
2 3

7 2

(2) a · a ； a (3) a a. 3

3

2

8 3
2 3

a

方法归纳 (1)此类问题应熟练应用
m n n a ＝

am (a>0，m， n∈ N* ，且 n>1)，

当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分 数指数幂写出，然后用性质进行化简． (2)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写 法，分数指数幂与根式可以相互转化．

1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( C ) A．－ x＝(－x) (x>0) B. y2＝y (y<0)
3 1 2

6

1 3

C．x ＝
1 －3

－4

4

3 1 ? ? (x>0) ?x?

D．x ＝－ x(x≠0)

3

利用分数指数幂求值
计算下列各式(式中字母都是正数)： 16? ? (1)?81? ； 3
－ 3 4

27 8
6

4 (2)( 25－ 125)÷ 25；

5 -5

方法归纳 (1)利用分数指数幂求值时，要注意数的特征，在化简之前， 应先把小数化成分数，带分数化成假分数．

(2)利用分数指数幂求值时，要正确运用分数指数幂的运算法
则，带根式的进行运算时，要化成指数幂，再利用运算性质 进行运算．

2．计算下列各式(式中字母都是正数)：
1 1 1 0 ? 7 ? ? 81 ? －3 (1)(0.064) －?－ ? ＋? ?4＋|－0.01|2.

?

8?

?16?

31 10

(2)(2ab)(－6ab)÷(－3ab)．

4a

已知 a2＋a 2＝3，求下列各式的值：
3
－

1

－

1

a2－a 2 (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3) 1 1. － a2－a 2

3

【思路点拨】 先把待求式子等价变形，再把“a2＋a ＝3”整体代入求值．

1

－

1

2

【自主解答】
－

(1)将 a2＋a 2＝ 3，两边平方得 a＋a

1

－

1

－1

＋ 2＝9，所以 a＋a 1＝7. (2)a2＋a 2＝ (a＋ a 1)2－2＝72－2＝ 47.
－ －

1 1 － ? a －a－ ??a＋ a 1＋ 1? 2 2 2 (3) 1 ＝ 8. 1＝ 1 1 a2－a－2 a － a－ 2 2 a2－a
－

3

3

对条件求值问题，常采用 “ 整体代换 ”或“ 求值后代 换”的方法求解．要注意运用恰当的变形，如分解因式等； 用乘法公式时，还要注意开方时正负值的选取．

3．在题设条件不变的情况下，求 a2－a－2 的值．

【解】

∵ (a－ a 1)2＝a2＋ a 2－2＝ 47－2＝ 45，
－ －

∴ a－ a－1＝± 45＝± 3 5. ∴ a2－a 2＝(a－ a 1)(a＋a 1)＝ (± 3 5)× 7＝± 21 5.
－ － －