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2.1.1指数与指数幂运算2


§2.1.1 指数与指数幂的运算
第二课时 实数指数幂

二.讲授新课
问题1:观察
5

a ?a , a ?a
10 2 3 12

4

结果的指数与被开方数的指数,根指数有什么关系? 问题2:当根式的被开方数的指数不能被根指数整 除时,根式是否可以写成

分数指数幂的形式?如:
3

a 2 ? a 是否可行?

2 3

二、分数指数幂 1、分数指数幂的意义

(1)正分数指数幂意义:

a ? a , (a ? 0, m, n ? N , 且n ? 1)
n m

m n

?

(2)负分数指数幂意义:

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

am

, (a ? 0, m, n ? N , 且n ? 1)

?

结论:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指 数幂没有意义.

说明: (1)分数指数幂的意义只是一种规定,前面所 举的例子只表示这种规定的合理性; (2)规定了分数指数幂的意义以后,指数的概 念就从整数指数推广到了有理数指数;

(3)可以验证整数指数幂的运算性质,对于 有理数幂也同样适用,



a a ?a
r s
r s
r

r ?s

(a ? 0, r, s ? Q)

(a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q)
rs

(ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
r r

根式与分数指数幂的互化
用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0): (1) a · a; a
2 3

7 2

(2) a · a ; a (3) a a. 3

3

2

8 3
2 3

a

方法归纳 (1)此类问题应熟练应用
m n n a =

am (a>0,m, n∈ N* ,且 n>1),

当所求根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外用分 数指数幂写出,然后用性质进行化简. (2)分数指数幂不表示相同因式的乘积,而是根式的另一种写 法,分数指数幂与根式可以相互转化.

1.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( C ) A.- x=(-x) (x>0) B. y2=y (y<0)
3 1 2

6

1 3

C.x =
1 -3

-4

4

3 1 ? ? (x>0) ?x?

D.x =- x(x≠0)

3

利用分数指数幂求值
计算下列各式(式中字母都是正数): 16? ? (1)?81? ; 3
- 3 4

27 8
6

4 (2)( 25- 125)÷ 25;

5 -5

方法归纳 (1)利用分数指数幂求值时,要注意数的特征,在化简之前, 应先把小数化成分数,带分数化成假分数.

(2)利用分数指数幂求值时,要正确运用分数指数幂的运算法
则,带根式的进行运算时,要化成指数幂,再利用运算性质 进行运算.

2.计算下列各式(式中字母都是正数):
1 1 1 0 ? 7 ? ? 81 ? -3 (1)(0.064) -?- ? +? ?4+|-0.01|2.

?

8?

?16?

31 10

(2)(2ab)(-6ab)÷(-3ab).

4a

已知 a2+a 2=3,求下列各式的值:
3


1



1

a2-a 2 (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 1 1. - a2-a 2

3

【思路点拨】 先把待求式子等价变形,再把“a2+a =3”整体代入求值.

1



1

2

【自主解答】


(1)将 a2+a 2= 3,两边平方得 a+a

1



1

-1

+ 2=9,所以 a+a 1=7. (2)a2+a 2= (a+ a 1)2-2=72-2= 47.
- -

1 1 - ? a -a- ??a+ a 1+ 1? 2 2 2 (3) 1 = 8. 1= 1 1 a2-a-2 a - a- 2 2 a2-a


3

3

对条件求值问题,常采用 “ 整体代换 ”或“ 求值后代 换”的方法求解.要注意运用恰当的变形,如分解因式等; 用乘法公式时,还要注意开方时正负值的选取.

3.在题设条件不变的情况下,求 a2-a-2 的值.

【解】

∵ (a- a 1)2=a2+ a 2-2= 47-2= 45,
- -

∴ a- a-1=± 45=± 3 5. ∴ a2-a 2=(a- a 1)(a+a 1)= (± 3 5)× 7=± 21 5.
- - -


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