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2014《高考调研》新课标总复习 数学(理科版) 衡水中学1-1


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第 1 课时 集



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2013?考纲下载
1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系;能用列举法 或描述法表示集合. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子 集;了解全集与空集的含义. 3.理解并会求并集、交集、补集;能用 Venn(韦恩)图表达 集合的关系与运算.

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请注意!
集合的概念及运算一直是高考热点, 同时近两年新课标高考 试题加强了对以集合为工具与其他知识的结合的考察, 一般为基 础 ,题 要 分 用 恩 、轴 直 性 速 解预 题解 时 充 利 韦 图数 等 观 迅 得 ,计 今后这种考查方式不会变.

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1.集合的基本概念 1 集合的概念: 一组对象的全体构成一个集合 ; ( ) 2 集合中元素的三个特性: 确定性、无序性、互异性 ; ( ) 3 集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. ( )

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2.集合的运算 1 子集:若 对于任意的x∈A都有x∈B ,则 A?B; ( ) 真子集:若 A?B,且 A≠B ,则 A? B; ?是 任何 集合的子集,是 任何非空 集合的真子集. 2 交集:A∩B={ x|x∈A且x∈B }; ( ) 3 并集:A∪B={ ( )
x|x∈A或x∈B }.

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3.集合的常用运算性质 1 A∩?=?;A∩A= A ; ( ) 2 A∪?=A;A∪A= A ; ( ) 3 A∩(?UA)= ? ;A∪(?UA)= U ;?U(?UA)= A ; ( ) 4 补: ( 集若 ) U 为全集,A?U,则?UA={ x|x∈U且x?A };

5 A?B?A∩B= A ?A∪B= B ; ( ) (? A)∪(?UB) 6 ?U(A∩B)= U ( ) ; ?U(A∪B)= (?UA)∩(?UB) ; 7 c ( d a ) r ( A∪B)=c d a r ( A)+c d a r (
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B)- card(A∩B) .
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1.下列集合中表示同一集合的是 A.M={ 2 3 } ( ) , B.M={ 3 2 } , ,N={ 3 2 } ( ) , ,N={ 2 3 } ,

(

)

C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={ 3 2 } ,
答案 B

,N={ 3 2 } ( ) ,

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解析 选项 A 中的集合 M 表示由点( 2 3 ) , 集合 N 表示由点( 3 2 ) , 个 合选 集 .项

所组成的单点集,

所组成的单点集, 故集合 M 与 N 不是同一

C 中的集合 M 表示由直线 x+y=1 上的所有的点

组成的集合,集合 N 表示由直线 x+y=1 上 所 的 的 坐 的有点纵 标组成的集合,即 N={y|x+y=1}=R,故集合 M 与 N 不是同 一个集合.选项 D 中的集合 M 有 个 素 而 合 两元,集 一 元 ,集 个 素故 合 N 只含有

M 与 N 不是同一个集合.对选项 B, 集 由合

元素的无序性,可知 M,N 表示同一个集合.

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2.i 是虚数单位,若集合 S={-1 1 0 } , A.i∈S C.i ∈S
答案 B
3

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,则

(

)

B.i2∈S 2 D. i ∈S

解析 根据复数的运算,易知 i2=-1∈S.

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3.(课本习题改编)已知 A={x|x=3k+2,k∈Z},B={x|x =6m-1,m∈Z},则有:17____A;-5____A;17____B.
答案 ∈ ? ∈

解析 由 3k+2=17,解得 k=5∈Z,所以 17∈A;由 3k 7 +2=-5,解得 k=-3?Z,所以-5?A;由 6m-1=17,解得 m=3∈Z,所以 17∈B.

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4.(1 22 0·

江西)若集合 A={-1 1 } ,

,B={ 2 0 } ,

,集 则合 ( )

{z|z

=x+y,x∈A,y∈B}中元素的个数为 A.5 C.3
答案 C 解析 {z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1 3 1 } ,

B.4 D.2

,∴选 C.

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5. (课本习题改编)设 U={x∈N| x≤10}, 5 0 < A={ 4 3 2 ,, 1 B={ 1 8 7 0 6 ,} 4 , ,则 A∩B=______,A∪B=__ __ _

9}, ;(?UA)∪(?

UB)=________;(?UA)∩(?UB)=________.

答案 { ,U,{ 4 } 11 9, 8 0 7 ,5 6 } 3 , 2

,?

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2n+1 2n 例 1 1 已知集合 A={x|x= 3 , ( ) n∈Z}, B={x|x= 3 + 1,n∈Z},则集合 A 与 B 的关系是________.
【解析】 方法一 (列举法): 1 1 3 5 A={…,-1,-3,3,3,3,…}, 1 1 5 B={…,-1,-3,3,1,3,…}, 显然 A=B.
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方法二 (描述法): 2n+3 2?n+1?+1 将集合 B 化为 B={x|x= , n∈Z}={x|x= , 3 3 n∈Z}.可得 A=B.
【答案】 A=B

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2 已知集合 A={x|y= 4-x2}, ( ) B={y|y=2x-1}, R(A∩B) 则? =________.

【解析】 ∵A={x|-2≤x≤2},B={y|y> , 0 } ∴A∩B={x| x≤2}. 0 < ∴?R(A∩B)={x|x≤0 或 x> . 2 }
【答案】 {x|x≤0 或 x> 2 }

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3 已知集合 A={a+2 ( ) 0 1 3 0 2 1 3 ,a2-2 0 1 2

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a+2} 0, 1 0 2 3 1 2

,且

∈A,则实数 a 的取值集合为________.

【解析】 令 a2-2 0 1 2 012.

a+2 0 1 3

=2 0 1 3

,则 a=0 或 a=2

当 a=0 时,集合 A 中元素重复,故舍去. 当 a=2 0 1 2 时,集合 A 满足题意.

【答案】 {} 0 2 1 2

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探究 1 由本例讲透集合的基础知识: 1 由例( 讲清:列举法与描述法及它们之间的相互转换. ( ) 1 ) 通提使生刻解素集,合集之的 过问学深理元与合集与合间 关系,并共同总结此类题的解法. 2 例( 的难点是对集合 A、 的识别: 是函数 y= 4-x2 ( ) 2 ) B A 的定义域,B 是函数 y=2x 1 的值域. 3 由例( 深刻理解集合中元素的互异性的应用. ( ) 3 )


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思考题 1 1 给出以下三个命题: ( ) ①{(x,y)|x=1 或 y=2}={ 2 1 } , ;

②{x|y=x2}={y|y=x2}={(x,y)|y=x2}; ③{x|x=3k+1,k∈Z}={x|x=3k-2,k∈Z}. 其中正确的命题是________.

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【析 解】 ①中 边 合 示 坐 为 左集表横标

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1, 纵 标 或坐为

2

的有组的合即 所点成集, 右 集表有个素 边 合示两元 不. 同

x=1 或 y=2 两 上 有 的 合 线所点集, 1 和 2, 、 两 合 元 , 性 左右集的素属

②中{y|y=x2}={y|y≥0}=[0, ∞),{x|y=x2}=R, 上 + 以 两合数, 集为集 {(x, y)|y=x2}表 抛 线 示物 y=x2 上 有 的 合 所点集. 3除 1的,错 余 数易点

③中 3k+1,3k-2,(k∈Z)都 示 表被 在认 于为 解误 错.
【答案】 ③
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3k+1 与 3k-2 中 k 为 一 值 对 合 属 理 的 同个,集的性

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2 设0 ( ) 2 1 4

∈{x, x2,x2}, 满 条 的 有 则足件所

x 组成的集

合的真子集的个数为________.
【解析】 x=-2 0 1 4 ∴集合{-2 0 1 4 或 x=- 0 2 1 4 }. ,

,- 0 2 1 4

∴真子集有 22-1=3 个.
【答案】 3 个

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例 2 1 22 ( (1 ) 0 · A∪B=A,则 m= A.0 或 3 C.1 或 3

全国)已知集合 A={ 3 1 ,

, m},B={1,m}, ( )

B.0 或 3 D.1 或 3

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【解析】 ∵A={ 3 1 , ∴m=3 或 m= m.

, m},B={1,m},A∪B=A,

∴m=3 或 m=0 或 m=1. 当 m=1 时,与集合中元素的互异性不符,故选 B 项.
【答案】 B

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2 设 A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}. ( ) 1 ①若 a=5,试判定集合 A 与 B 的关系; ②若 B? A,求实数 a 组成的集合 C.
1 【分析】 ①集合 A 用列举法表示出来,当 a= 求出集合 5 B 即可确定集合 A 与 B 的关系. ②由 B? A,得 B 为 A 的子集,可建立 a 的关系式解出 a, 即可确定集合 C.

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【解析】 ①由 x2-8x+15=0, 得 x=3 或 x=5,∴A={ 5 3 } , .

1 1 若 a=5,由 ax-1=0,得5x-1=0,即 x=5. ∴B={ .∴B? 5 } A.

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② A={ ∵ 5 3 } ,

, B? 又 A, ax-1=0 无 , 解有 a=0;

故 B=?, 方 若 则程

1 若 B≠?, a≠0, ax-1=0, x= . 则 由 得 a 1 1 1 1 ∴ =3 或 =5, a=3或 a=5. 即 a a 1 1 故 C={0, , }. 3 5

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探究 2 1 判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集 ( ) 合从达中找集间关;是列法示集 ,表式寻两合的系二用举表各 合,从元素中寻找关系. 2 已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关 ( ) 系化元间关,而化参满的系解这 转为素的系进转为数足关.决 类问题常常是合理利用数轴、V e n n 图帮分. 来助析

3 B 为 A 的子集,不要漏掉 B=?时的情况. ( )

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思考题 2 1 22 ( (1 ) 0 ·

湖北)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,

x∈R},B={x| x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 0 < 的个数为 A.1 C.3 B.2 D.4
,B={ 4 3 2 } 1 , 或{ 4 2 1 } , . 或{ 4 3 2 } 1 , ,

(

)

【解析】 由题意可得,A={ 2 1 } , 又∵A?C?B,∴C={ 2 1 } , 故选 D 项.
【答案】 D
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或{ 3 2 1 } ,

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2 设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}, ( ) ①若 B?A,求 a 的值; ②若 A?B,求 a 的值.

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【解析】 ①A={0,-4}, 当 B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8(a+1 < ) 0 -1; 当 B 为单元素集时,a=-1,此时 B={ 符合题意; 0 } 当 B=A 时,由根与系数的关系,得
?-2?a+1?=-4, ? ? 2 ?a -1=0, ?

,解得 a<

解得 a=1.

综上可知:a≤-1 或 a=1. ②若 A?B,必有 A=B,由①知 a=1.
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例 3 1 22 ( (1 ) 0 ·

浙江)设集合 A={x| x< , 合 1 < 4 集 } ( B.( 4 3 ) , D.( 2 1 ) , ∪( 4 3 ) ,

B={x|x2 )

-2x-3≤0},则 A∩?RB= A.( 4 1 ) , C.( 3 1 ) ,

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【解析】 ∵B={x|(x-3 x+1)≤0}={x|-1≤x≤3}, ( ) ∴?RB={x|x<-1 或 x> . 3 } 又 A={x| x< , 1 < 4 } ∴A∩?RB={x| x< ∩{x|x<-1 或 x> ={x| x< . 1 < 4 } 3 } 3 < 4 }
【答案】 B

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2 2· ( (1 ) 0

辽宁)已知 M,N 为集合 I 的非空 子 , 真 集且 (

M,N )

不相等,若 N∩?IM=?,则 M∪N= A.M C.I B.N D.?

【解析】 根据题意结合如图所示的韦恩图易得 N∩?IM= ??N?M,故 N∪M=M.

【答案】 A
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3 23 ( (1 ) 0 ·
n

《 考 研原 题 高 调 》创

)设有限集合 A={a1,a2,…,

an},则?ai 叫做集合 A 的和,记作 SA.若集合 P={x|x=2n-1,
i=1

n∈N*,n≤4},集合 P 的含有 3 个元素的全体 集 别 子分为 P2,…,Pk,则?SPi=________.
i=1 k

P1,

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【解析】 由题意知集合 P={ 7 5 3 1 } , 5 { 3 1 } , ,{ 7 3 1 } ,
k

,三素集: 其元子为

,{ 7 5 1 } ,

,{ 7 5 3 } ,



故?SPi=3 +3+5+7)=48. 1 (
i=1

【答案】 48

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探究 3 1 高考对集合的考察,多是考查具体集合(给出或 ( ) 可以求出集合的具体元素)的交、并、补运算,如 2012 年的 19 份高考卷中有 13 份 此 题预 明 对 集 的 察 以 是 类 ,测 年 于 合 考 仍 此 类题为主.

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2 例 3 ( ) 2 ( )

是考察抽象集合(没 给 具 元 的 合 有出体素集

)间的

关系判断和运算的问题.解决此类问题的途径有二: 一是利用特例法将抽象集合具体化; 二是利用韦恩图化抽象为直观. 3 在识汇处题信迁题近年 ( 知交点命的息移是几 ) 高中热题,决类题既有实基功又 考的点型解此问,要扎的本, 要创意,迅阅理题准把新信,于 有新识要速读解意确握的息敢 下笔计算.
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(以 明 及年

)

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思考题 3 1 22 ( (1 ) 0 · A={ 3 2 1 } , A.{ 4 2 1 } , C.{ 4 2 0 } , ,B={ 4 2 } ,

山东)已 全 知集

U={ 4 3 2 } 1 ,, 0 (

,集合 )

,则(?UA)∪B 为 B.{ 4 3 2 } , D.{ 4 3 2 } 0 ,
, 以 (?UA)∪B={ 所 4 2 0 } ,

【解析】 由题知?UA={ 4 0 } , 选 C 项.
【答案】 C

.故

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2 若 A、 C 为 个 合 ( ) B、 三 集 , 且 A.A?C C.A≠C
【答案】 A

A∪B=B∩C, 定 则 有 一 B.C?A D.A=?

(

)

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3 23 ( (1 ) 0 ·

《考研原题 高调》创

)已 茎 图 知叶 ,B={ 1 5 3 2 ,}

(如图)列举了集 ,则(?UA)∩B

合 U 中的所有元素,设 A={ 9 6 3 } , =________.
U 0 1 3 2 5 3

6

9

【解析】 ∵U={3,5,6,9,12,13}, ∴?UA={5,12,13},∴(?UA)∩B={5,12}.
【答案】 {5,12}
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1.· 22 (1 0 等于 A.{ 0 }

湖南)设集合 M={-1 1 0 } ,

, N={x|x2≤x}, M∩N 则 ( )

B.{ 1 0 } , D.{-1 1 0 } ,

C.{-1 1 } ,
答案 B

解析 由 N={x|x2≤x},得 x2-x≤0?x(x-1)≤0, 解得 0≤x≤1.又∵M={-1 1 0 } , ∴M∩N={ 1 0 } , .
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2.若 P={x|x< ,Q={x|x>-1|,则 1 } A.P?Q C.?RP?Q
答案 C

(

)

B.Q?P D.Q??RP

解析 由题意,?RP={x|x≥1}, 数 可 , 项 画轴知选 D 错,故选 C.

A,B,

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3.全 设集

U=Z,合 集

P={x|x=2n, n∈Z}, Q={x|x=4m, ( B.(?UP)∪Q D.(?UP)∪(?UQ) )

m∈Z},则 U 等于 A.P∪Q C.P∪(?UQ)
答案 C

4.(1 23 0 · { 5 2 } ,

江启中月 苏东学考

)已 集 知合

A={ 2 1 ,

,k},B=

.若 A∪B={ 5 3 2 } 1 ,
答案 3

,则 k=________.

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5.如 所 , 集 图 示用 合

A、B 表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部

分所表示的集合是________.

答案 Ⅰ部分:A∩B;Ⅱ部分:A∩(?UB);Ⅲ部 : B∩(? 分
UA);Ⅳ部分:?U(A∪B)或(?UB)∩(?UA).

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6.设集合 A={ 6 5 4 } 3 ,1 2 ,

,B={ 8 7 6 } 5 ,, 4

,满 则足

S?A

且 S∩B≠?的集合 S 的个数是________.
答案 56

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