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初等模型


初等模型
主讲:杨红

教学目的
1、了解从现实对象到数学模型的过程; 2、学习体会如何作出合理的、简化的假设; 3、学习如何用数学语言确切地表述实际问题; 4、了解模型的结果反馈解释实际现象的过程; 5、熟悉数学建模的整个过程和步骤。

一、行走步长问题
问题:我们每个人每天都要走路, 路走多了,就会使我

们由于能量的 消耗而疲惫不堪,试建立模型说明 在给定速度时,应该怎样选择走路 的步长才能使我们的作功最小(即 消耗的能量最小)?

问 在给定速度时,以作功最小(即消耗能量最小) 题 为原则,走路步长选择多大为合适?

问题分析

人在走路时所作的功等于抬高人体重心 所需的势能与两腿运动所需的动能之和。

模型构成
下图表示两腿着地时的情形:
O

θ

l

M s

? 走路时,将人体分为两部分:上体部分和 走路时,将人体分为两部分: 两条腿部分; 两条腿部分;

模 型 假 设

? 走路时,相对于腿的移动速度,上体的移 走路时,相对于腿的移动速度, 动速度可以忽略不记, 动速度可以忽略不记 , 腿的移动是匀速运 动; ?走路时把腿视为刚体棒,并假设腿的质量 走路时把腿视为刚体棒, 走路时把腿视为刚体棒 都集中在脚上。 都集中在脚上。

参数说明
m-----人体质量, m’-----每条腿的质量, s-----步长长度, n-----单位时间内走的步 数, g-----重力加速度, v-----步行速度(设为匀 速), l-----腿长, θ-----腿与垂线夹角, ?-----人体重心在走路时上下移动的幅度 Wf-----单位时间内消耗的势能, Ws-----单位时间内消耗的动能,

由该图,易分析知,人体重心上升的高度 为:? = l ? OM = l ? l cos θ = l( 1 ? cos θ ) 注意到: s = 2l sin θ , v = ns s v θ ∴ n? = nl (1 ? cosθ ) = n (1 ? cosθ ) = tan 2 sin θ 2 2 从而,可知人走路时单位时间内消耗的 势能为:

mgv θ W f = mgn? = tan 2 2

另一方面,假设腿的质量集中在脚上,而 脚的运动速度为v,则人走路时所消耗的动 能为:

1 1 v m 'v m 'v 2 Ws = m ' v n = m ' = = csc θ 2 2 s 4l sin θ 4l
因此,人走路产生的总能量消耗为 :

3

3

3

mgv θ m' v W =Wf +Ws = tan + cscθ 2 2 4l
3

模型求解
为了使能量消耗最小,应有 : 3
dW mgv m' v 2 θ = sec ? csc θ cot θ = 0 dθ 4 2 4l θ m' v 2 cos θ mg sec 2 = 2 l sin 2 θ 约去v/4得 : 1+ cosθ 2 2θ 2θ Qcos = ∴sec = 2 2 2 1+ cosθ

2mgl m' v 2 cos θ ∴ = 1 + cos θ ( 1 + cos θ )( 1 ? cos θ )

进一步地:

2mgl (2mgl + m ' v ) cos θ = 2mgl ? cos θ = 2 2mgl + m ' v 利用上式,有
2

s = 2lsinθ = 2l 1-cos θ
2

模型检验
例如,某人m=65kg, l=1米, m’=10kg, v=1.5米/秒,则: × 9.8 × 1 2 × 65 cos θ = = 0.9826 2 2 × 65 × 9.8 × 1 + 10 × 1.5
(米/步) s = 2 × 1 × 1 ? ( 0.9826 ) ≈ 0.37
2

n=v/s=1.5/0.37≈4(步/秒)

结论:模型基本上符合实际。

行走步长论文示例

二、公平的席位分配问题
问题:三个系学生共200名(甲系100,乙系 60,丙系40),代表会议共20席,按比例分 配,三个系分别为10,6,4席。若情况变为 下列情形,怎样分配才是最公平的: a)、现因学生转系,三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配? b)、若增加为21席,又如何分配?

问 题

三个系学生共200名(甲系100,乙系 ,丙系 ),代表 名 甲系 ),代表 三个系学生共 ,乙系60,丙系40), 会议共20席 按比例分配,三个系分别为10, , 席 会议共 席,按比例分配,三个系分别为 ,6,4席。 现因学生转系,三系人数为 席如何分配? 现因学生转系,三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配? 席如何分配 若增加为21席 又如何分配? 若增加为 席,又如何分配?

问题分析

通常人们都是按照人数比例来进行分配 的。当比例中有小数时,人们又按照惯 例将多余的席位分给比例中小数最大者。 这种比例加惯例的分配方法是公平的吗?

问题的提出 按惯例分配席位方案,即按人数比例分配原则
m = q× p N

m

表示某单位的席位数 表示某单位的人数 表示总人数 表示总席位数

p
N

q

20个席位的分配结果 20个席位的分配结果 系别 甲 乙 丙 人数 100 60 40 所占比例 100/200 60/200 40/200 分配方案 (50/100)?20=10 (30/100)?20=6 (20/100)?20=4 席位数 10 6 4

现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34 所占比例 63/200=31.5% 分配方案 31.5%?20=6.3 席位数 10 6 4

103/200=51.5% 51.5 %?20 =10.3 34/200=17.0% 17.0%?20=3.4

现象1 丙系虽少了6 但席位仍为4 。(不公平 不公平! 现象1 丙系虽少了6人,但席位仍为4个。(不公平!)

为了避免在表决提案时可能出现10:10的平局,再设一个席 位,使得表决结果能按多数通过或否决。 21个席位的分配结果 21个席位的分配结果 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34 所占比例 63/200=31.5% 34/200=17.0% 分配方案 31.5%?21=6.615 17.0%?21=3.570 席位数 11 7 3

103/200=51.5% 51.5 %?21 =10.815

现象2 总席位增加一席,丙系反而减少一席。(不公平! 。(不公平 现象2 总席位增加一席,丙系反而减少一席。(不公平!) 惯例分配方法:按比例分配完取整数的名额后,剩下的名额 惯例分配方法 按惯例分给小数部分较大者。

存在不公平现象,能否给出更公平的分配席位的方案?

建模分析 目标:建立“公平”的分配方案,给出衡量公平分配的指标
反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数 每席位代表的人数来衡量。 每席位代表的人数

系别 甲 乙 丙

人数 100 60 40

席位数 10 6 4

每席位代表的人数 100/10=10 60/6=10 40/4=10

系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度 甲 乙 丙 103 63 34 10 6 4 103/10=10.3 63/6=10.5 34/4=8.5 中 差 好

系别 人数 席位数 每席位代表的人数 甲 乙 丙 103 63 34 11 7 3 103/11=9.36 63/7=9 34/3=11.33

公平程度 中 好 差 当

一般地, 单位 人数 席位数 每席位代表的人数 A B

p1
p2

n1

p1

n1 n2

p1 p2 = n1 n2
席位分配公平

n2

p2

但通常不一定相等,席位分配的不公平程度用以下标准来 判断。

1)

p1 p2 ? n1 n2

称为“绝对不公平”标准。

此值越小分配越趋于公平,但这并不是一个好的衡量标准。

单位 A B C D

人数p 席位数n 每席位代 绝对不公 表的人数 平标准 120 10 12 12-10=2 100 10 10 102 100 102-100 =2 1020 10 1000 10

C,D的不公平程度大为改善! C,D

“公平”分配方 公平” 公平 法

将绝对标准改为相对标准

若 p1/n1> p2/n2 ,定义 的 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小

p1 / n1 ? p2 / n2 p2 / n2

类似地定义 rB(n1,n2)

建模: 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 建模: 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配 即 已分别有n1, n2 席,用相对不公平值讨论当席位 设A, B已分别有 已分别有 增加1 个时,应该分 还是B 增加 个时,应该分给A 还是 方。

不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ,即对A不公平 应讨论以下几种情况 1)若 p1/(n1+1)> p2/n2 , ) 说明即使给A 单位增 加1席,仍对A 不公平, 所增这一席必须给A单 位。 说明当对A 不公平 时,给A 单位增加 1席,对B 又不公 平。应计算 rB(n1+1, n 2)

2)若 p1/(n1+1)< p2/n2 , )

p2 n2 ? p1 (n1 +1) rB(n1 +1, n2) = p1 (n1 +1)

说明当对A 不公平 时,给B 单位增加 1席,对A 不公平。 p1 n1 ? p2 ( n2 + 1) 应计算 rA(n1, n2+1) rA ( n1 , n2 + 1) = p2 (n2 + 1) 是否会出现? 问: p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现? !为什么 为什么? 否!为什么? 因为公平分配席位的原则是使得相对不公平值尽可 能地小,所以: 能地小,所以: 则这席应给A 若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B

3)若 p1/n1> p2/(n2+1), ) ,

当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A ;否则给B
p2 (n1 + 1) rB (n1 + 1, n2 ) = ?1 p1n2 p1 ( n2 + 1) rA (n1 , n2 + 1) = ?1 p2 n1

rA, rB的定义

p2 (n1 + 1) p1 (n2 + 1) < p1n2 p2 n1
p2 2 n2 (n2 + 1) < p 12 n1 (n1 + 1) (*)

结论:当 结论 当(*)成立时,增加的一个席位应分配给A 单位, 成立时,增加的一个席位应分配给A 单位, 反之, 单位。 反之,应分配给 B 单位。

若A、B两方已占有席位数为 记

n1 , n 2 ,

pi2 Qi = i = 1,2 ni ( ni + 1)

则增加的一个席位应分配给Q 较大的一方。 则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。 这样的分配席位的方法称为Q值方法。 Q值方法 推广 有m 方分配席位的情况 设 A i 方人数为 p i ,已占有 n i个席位,i

= 1, 2 , L , m

开始,即每方 至少应得到以1 席,(如果有一方1 席也分不到,则把 它排除在外。)

pi2 Qi = i = 1,2,L , m ni ( ni + 1) 则1 席应分给Q值最大的一方。从 ni = 1

当总席位增加1 席时,计算

用Q值方法重新给三个系分配 21个席位 值方法重新给三个系分配 个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 按人数比例的整数部分已将 席分配完毕
甲系: 甲系:p1=103, n1=10 乙系: 乙系:p2= 63, n2= 6 丙系: 丙系:p3= 34, n3= 3

用Q值方法分配 值方法分配 席和第21席 第20席和第 席 席和第

1032 632 342 = 96.4, Q2 = = 94.5, Q3 = = 96.3 第20席 Q1 = 席 10 ×11 6× 7 3× 4

Q1最大,第20席给甲系 最大, 席
103 2 = 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 = 席 11 × 12
Q值方法 值方法 分配结果

Q3最大,第 最大, 21席给丙系 席 丙系保住了险些 丢失的1席 丢失的 席

甲系11席 乙系6 甲系11席,乙系6席,丙系 11 4席

评注:席位分配应该对各方公平是基本的准 则,问题的关键是如何建立衡量公平程度的 既合理又简明的数量指标。这个模型提出的 指标是相对不公平值,它是确定分配方案的 前提。在这个前提下导出的分配方案——分 给Q值最大的一方,无疑是公平的。

进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗? 值方法比“比例加惯例”方法更公平吗? 值方法比 席位分配的理想化准则 已知: 方人数分别为 已知 m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为 。 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为 设理想情况下 方分配的席位分别为n1,n2,… , nm 方分配的席位分别为 (自然应有 1+n2+…+nm=N), 自然应有n 自然应有 , ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数,即ni = ni (N, p1, … , pm ) 的函数, 和 均为整数, 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数,显然应 ni=qi

qi=Npi /P不全为整数时,ni 应满足的准则: 不全为整数时, 应满足的准则: 不全为整数时 方向取整; 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 ≤ qi方向取整; 方向取整. [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 ≥ qi方向取整 1) [qi]– ≤ ni ≤ [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取 i]– , [qi]+ 之一 必取[q 2) ni (N, p1, … , pm ) ≤ ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时, 即当总席位增加时, ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1),但不满足 2) 比例加惯例” ),但不满足 ) 比例加惯例 ), Q值方法满足 2), 但不满足 1)。令人遗憾! 值方法满足 ) ) 令人遗憾! 结论: 结论:还可以进一步改进

思考与练习题1: 思考与练习题 :

学校共1000学生,235人住在A楼,333人 住在B楼,432住在C楼。学生要组织一个10 人委员会,试用惯例分配方法和Q值方法分配 各楼的委员数,并比较结果。

三、椅子问题 椅子问题
问题:将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地 问题: 面上,不允许将椅子移到别处,但允许其绕中心旋 转,是否总能设法使它的四条腿同时着地,即放稳?

问题: 椅子能在不平的地面上放稳吗? 问题: 椅子能在不平的地面上放稳吗?

问题分析 通常 ~ 三只脚着地

放稳 ~ 四只脚着地

显然:不附加任何条件, 显然:不附加任何条件, 答案是否定的! 答案是否定的!

? 椅子的四条腿一样长,椅脚与地面点接触, 椅子的四条腿一样长,椅脚与地面点接触, 椅子的中心不动,四脚连线呈正方形; 椅子的中心不动,四脚连线呈正方形

模 型 假 设

? 地面高度连续变化,沿任何方向都不会出 地面高度连续变化, 现间断( 即没有像台阶一样的情况) 现间断 ( 即没有像台阶一样的情况 ) , 可 视为数学上的连续曲面; 视为数学上的连续曲面 ? 对于椅脚间距和椅腿长度而言,地面相对 对于椅脚间距和椅腿长度而言, 平坦, 平坦 , 使椅子在任意位置至少三只脚同时 着地。 着地。

模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 ? 椅子位置 利用正方形(椅脚连线 的对称性 利用正方形 椅脚连线)的对称性 椅脚连线
B? B A?

对角线与x轴的夹角 用θ(对角线与 轴的夹角 表示椅子位置 对角线与 轴的夹角)表示椅子位置

? 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 A θ C 距离是θ的函数 O x 四个距离 两个距离 C? D? ? (四只脚 四只脚) 四只脚 正方形 D 对称性 正方形ABCD 正方形 A,C 两脚与地面距离之和 ~ f(θ) 绕O点旋转 点旋转 B,D 两脚与地面距离之和 ~ g(θ)

模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f(θ) , g(θ)是连续函数 是 对任意θ, f(θ)和 g(θ) 和 至少一个为0 至少一个为

数学 问题

已知: 已知: f(θ) , g(θ)是连续函数 ; 是 对任意θ, f(θ) ? g(θ)=0 ; 且 g(0)=0, f(0) > 0. , 证明: 证明:存在θ0,使f(θ0) = g(θ0) = 0.

模型求解
给出一种简单、 给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转 对角线AC和 互换 互换。 将椅子旋转900,对角线 和BD互换。 旋转 由g(0)=0, f(0) > 0 ,知f(π/2)=0 , g(π/2)>0. , π π 令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(π/2)<0. 和 π 由 f, g的连续性知 h为连续函数 据连续函数的基本性 为连续函数, 的连续性知 为连续函数 介值定理( 质——介值定理(见后面的补充材料), 必存在 π/2) 介值定理 见后面的补充材料) 必存在(0, 之间的θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) . 因为f( 所以f( 因为 θ) ? g(θ)=0, 所以 θ0) = g(θ0) = 0.

结论:能放稳。

补充: 补充:连续函数的介值定理

若 f ( x )在闭区间 [ a , b ]上连续, f ( a ) f (b ) < 0, 则在开区间 ( a , b )内至少存在一点 ξ , 使 f (ξ ) = 0.
y

?

a

o

ξ

?

b

?

x

评注和思考: 评注和思考: 1、评注:这个模型的巧妙之处在于用一元变量 θ表示椅子的位置,用θ的两个函数f(θ)和g(θ) 表示椅子四脚与地面的距离。 2、正方形的中心对称性和旋转900并不是解决 问题的本质。可以考虑下面的思考题:

思考与练习题2 思考与练习题2:

长方形的椅子会有同样的性质吗? 长方形的椅子会有同样的性质吗?

思考题: 思考题: 长方形椅子稳定性问题提示

y

g (θ ) 表示A,B与地面距离之和 f (θ ) 表示C,D与地面距离之和
则由三点着地,有

B D A

f (θ ) g (θ ) = 0 0 ≤θ ≤π

A C o C

θ
A C

x

θ = 0, g (0 ) = 0, f (0 ) > 0 θ = π , g (π ) > 0 , f (π ) = 0

h (θ ) = f (θ ) ? g (θ ), 则 h ( 0 ) = f ( 0 ) ? g ( 0 ) > 0 ,

而 h (π ) = f (π ) ? g (π ) < 0 ,

D B

四、数学建模的论文撰写
4.1、论文的完整结构 、
1、摘要——文章的核心,问题、模型、方法和结果 、摘要 2、问题重述——指明研究的问题,引出解决的思路 、问题重述 3、模型假设——给出数学符号的确切含义、模型假设的理由等 、模型假设 4、分析与建立模型——根据自己的思路在假设下推导、建立模型 、分析与建立模型 5、模型求解——算法设计和计算机实现 、模型求解 6、模型检验——如误差分析、统计检验、灵敏性检验 、模型检验 7、模型推广——优缺点(少提缺点,最多1-2,最好与改进方向有 、模型推广
关)、改进方向等

8、参考文献——建模过程中参考的资料文献 、参考文献 9、附录——程序、更多的计算结果、复杂的推导、证明等 、附录

4.2、论文的关键环节 、论文的关键环节
a)、摘要是文章的重中之重 、
在摘要中,简要地写明所讨论的问题、采用的主要模型、 应用的数学方法、得到的结果及对结果的简单评价(主要将正 面的)。即要讲明用什么方法、解决了什么问题、得到了什么 主要结果、有什么特色和创新点等。 摘要是整篇文章的高度压缩,注意摘要中不要出现公式 和表格,文字精练,表达准确,一般100-300字。 100-300

b)、层次分明,重点突出 、层次分明,
力争将创造性成果或新的研究结果都充分地反映出来。 要求内容充实、论据充分、论证有力、主题明确、层次分明, 通过大小标题分为若于个逻辑段落,一目了然。

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