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高二数学经验公式--直线与圆


高二数学(上)经验公式(1) —.直线与圆部分

一、直线与方程
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它 的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义: 倾斜角不是 90°的直线, 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用 k 表示。 k ? tan ? 。 即 斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? 0 ,90 时, k ? 0 ;
? ?

?

?

当 ? ? 90 ,180
?

?

?

? 时, k ? 0 ;

当 ? ? 90 ? 时, k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x 2 ) x 2 ? x1

注意下面四点:(1)当 x1 ? x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等 于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1 x y ④截矩式: ? ? 1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a, b 。
③两点式: ⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 1 2 注意:○各式的适用范围 ○特殊的方程如: 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常 数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系:

y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

(ⅱ)过两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

? 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ? A1x ? B1 y ? C1 ? ? ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数)

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 相交
A x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 1 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合 (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) 是平面直角坐标系中的两个点, B 则 | AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (9)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By 0 ? C 2 2
A ?B
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高二数学(上)经验公式(1) —.直线与圆部分 (10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ,圆心
2 2

?a, b ? ,半径为 r;
? 2 2?

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? D ,? E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F ? ?
2 2

2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
2 2 2 2

(1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为 d ? Aa ? Bb ? C ,则 2 2
A ?B

有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交
2 2

(2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 , 先将方程联立消元, 得到一个一元二次方程之后, 令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交 2 注: 如果圆心的位置在原点, 可使用公式 xx0 ? yy0 ? r 去解直线与圆相切的问题, 其中 x 0 , y 0 表示切点坐标, r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程: 2 ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r (课本命题). 2 2 2 ②圆(x-a) +(y-b) =r ,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广).

?

?

⑷直线截圆所得弦长公式⑴L= 2 R ? d (R 为圆的半径,d 为弦心距)⑵L=
2 2
2 2

?1 ? k ? ?? x ? x ? ?
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? ?

2 2 ⑸从圆外一点 A(xo,yo)引圆 x +y +Dx+Ey+F=0 的切线,则切线长 L= xo ? yo ? Dxo ? Eyo ? F

4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2 2 2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C 2 : ?x ? a 2 ? ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。

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