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二次根式提高练习习题(含答案)


《二次根式》 (一)判断题: (每小题 1 分,共 5 分)
2 1. ( ?2) ab =-2 ab .…………………(



2. 3 -2 的倒数是 3 +2. (
2 3. ( x ? 1) = ( x ? 1) 2 .…(

) ) ) )

4. ab 、 5. 8 x ,

1 3

a 3b 、 ?

2 a 是同类二次根式.…( x b

1 , 9 ? x 2 都不是最简二次根式. ( 3
1 有意义. x ?3


(二)填空题: (每小题 2 分,共 20 分) 6.当 x__________时,式子 7.化简-

15 8

2

10 25 ÷ = 27 12a 3

8.a- a2 ?1 的有理化因式是____________. 9.当 1<x<4 时,|x-4|+ x 2 ? 2 x ? 1 =________________. 10.方程 2 (x-1)=x+1 的解是____________. 11.已知 a、b、c 为正数,d 为负数,化简 12.比较大小:-

ab ? c 2 d 2 ab ? c 2 d 2

=______.

1 2 7

_________-

1 4 3
2

. =______________.
2

13.化简:(7-5 2 ) 14.若 x ? 1 +

2000

·(-7-5 2 )

2001

y ? 3 =0,则(x-1) +(y+3)2=____________.

15.x,y 分别为 8- 11 的整数部分和小数部分,则 2xy-y =____________. (三)选择题: (每小题 3 分,共 15 分) 16.已知 x3 ? 3x 2 =-x x ? 3 ,则………………( ) (A)x≤0 (B)x≤-3 (C)x≥-3 (D)-3≤x≤0
2 2 2 2 17.若 x<y<0,则 x ? 2 xy ? y + x ? 2 xy ? y =………………………(



(A)2x

(B)2y

(C)-2x
2

(D)-2y )

18.若 0<x<1,则 ( x ? ) ? 4 - ( x ? (A) 19.化简

1 x

1 2 ) ? 4 等于………………………( x
(D)2x

2 x

(B)-

2 x

(C)-2x

? a3 ( a<0 ) 得………………………………………………………………( ) a (A) ? a (B)- a (C)- ? a (D) a 20.当 a<0,b<0 时,-a+2 ab -b 可变形为………………………………………( ) (A) ( a ? b )2 (B)- ( a ? b )2 (C) ( ? a ? ? b )2 (D) ( ? a ? ? b )2
(四)计算题: (每小题 6 分,共 24 分) 21. ( 5? 3? 2) ( 5? 3? 2) ;

22.

5 4 ? 11



2 4 - ; 11 ? 7 3 ? 7

23.(a

2

ab n - m m

mn+

n m

m n 2 2 )÷a b ; n m

24.( a +

a?b a b b ? ab )÷( + - ) (a≠b) . ab ab ? b ab ? a a? b

(五)求值: (每小题 7 分,共 14 分)

x 3 ? xy 2 3? 2 3? 2 25.已知 x= , y= ,求 4 的值. x y ? 2 x3 y 2 ? x 2 y 3 3? 2 3? 2

26.当 x=1- 2 时,求

x x ?a ?x x ?a
2 2 2 2



2x ? x2 ? a2 x ?x x ?a
2 2 2



1 x ? a2
2

的值.

六、解答题: (每小题 8 分,共 16 分)

27.计算(2 5 +1) (

1 1 1 1 + + +…+ ) . 1? 2 2? 3 3? 4 99 ? 100

28.若 x,y 为实数,且 y= 1 ? 4x + 4x ?1 +

1 x y x y .求 ?2? - ? 2 ? 的值. 2 y x y x

(一)判断题: (每小题 1 分,共 5 分)
2 1、 【提示】 (?2) =|-2|=2. 【答案】×.

2、 【提示】

1 3?2 = =-( 3 +2) . 【答案】×. 3? 4 3?2

2 3、 【提示】 ( x ? 1) =|x-1|, ( x ? 1) 2 =x-1(x≥1) .两式相等,必须 x≥1.但等式左边 x 可取任何

数. 【答案】×. 4、 【提示】

1 3

a 3b 、 ?

2 a 化成最简二次根式后再判断. 【答案】√. x b

5、 9 ? x 2 是最简二次根式. 【答案】×. (二)填空题: (每小题 2 分,共 20 分) 6、 【提示】 x 何时有意义?x≥0.分式何时有意义?分母不等于零. 【答案】x≥0 且 x≠9. 7、 【答案】-2a a . 【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用. 8、【提示】 (a- a2 ?1 ) (________)=a - ( a 2 ?1)2 .a+ a2 ?1 . 【答案】a+ a2 ?1 . 2 2 9、 【提示】x -2x+1=( ) ,x-1.当 1<x<4 时,x-4,x-1 是正数还是负数? x-4 是负数,x-1 是正数. 【答案】3.
2

10、 【提示】把方程整理成 ax=b 的形式后,a、b 分别是多少? 2 ? 1 , 2 ? 1 . 【答案】x=3+2 2 . 11、 【提示】 c 2 d 2 =|cd|=-cd. 【答案】 ab +cd. 【点评】∵ ab= ( ab) 2 (ab>0) ,∴ ab-c d =( ab ? cd ) ( ab ? cd ) .
2 2

12、 【提示】2 7 = 28 ,4 3 = 48 . 【答案】<. 【点评】先比较 28 , 48 的大小,再比较 -

1 1 1 , 的大小,最后比较- 与 28 48 28

1 的大小. 48
2001

13、 【提示】(-7-5 2 )

=(-7-5 2 )

2000

· (_________)[-7-5 2 .]

(7-5 2 ) · (-7-5 2 )=?[1.]【答案】-7-5 2 . 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式. 14、 【答案】40. 【点评】 x ? 1 ≥0,

y ? 3 ≥0.当 x ? 1 + y ? 3 =0 时,x+1=0,y-3=0.
_______<8- 11 <__________.[4,5].由于 8- 11 介于 4 与 5

15、 【提示】∵ 3< 11 <4,∴

之间,则其整数部分 x=?小数部分 y=?[x=4,y=4- 11 ]【答案】5. 【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时,先要对无理数进行估算.在明确了二次根式的取值范 围后,其整数部分和小数部分就不难确定了. (三)选择题: (每小题 3 分,共 15 分) 16、 【答案】D. 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件, (A) 、 (C)不正确是因为只考虑了其中一个算术平 方根的意义. 17、 【提示】∵ x<y<0,∴ x-y<0,x+y<0. ∴

x 2 ? 2 xy ? y 2 = ( x ? y ) 2 =|x-y|=y-x.

x 2 ? 2 xy ? y 2 = ( x ? y ) 2 =|x+y|=-x-y. 【答案】C.
【点评】本题考查二次根式的性质 a 2 =|a|. 18、 【提示】(x-

1 2 1 2 1 2 1 2 ) +4=(x+ ) ,(x+ ) -4=(x- ) .又∵ 0<x<1, x x x x 1 1 ∴ x+ >0,x- <0. 【答案】D. x x 1 <0. x

【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质. (A)不正确是因为用性质时没有注意当 0<x<1 时,x-

19、 【提示】 ? a3 = ? a ? a 2 = ? a · a 2 =|a| ? a =-a ? a . 【答案】C. 20、 【提示】∵ a<0,b<0, ∴ -a>0,-b>0.并且-a= ( ? a )2 ,-b= ( ? b )2 , ab = (?a)(?b) . 【答案】C. 【点评】本题考查逆向运用公式 ( a ) 2 =a(a≥0)和完全平方公式.注意(A) 、 (B)不正 确是因为 a<0,b<0 时, a 、 b 都没有意义. (四)计算题: (每小题 6 分,共 24 分) 21、 【提示】将 5 ? 3 看成一个整体,先用平方差公式,再用完全平方公式. 【解】原式=( 5 ? 3 ) - ( 2 )2 =5-2 15 +3-2=6-2 15 . 22、 【提示】先分别分母有理化,再合并同类二次根式.
2

【解】原式=

5(4 ? 11) 4( 11 ? 7 ) 2(3 ? 7 ) - - =4+ 11 - 11 - 7 -3+ 7 =1. 16 ? 11 11? 7 9?7
2

23、 【提示】先将除法转化为乘法,再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式. 【解】原式=(a

1 b2 1 = 2 b
= 【解】原式=

ab n m 1 n m mn+ - ) · 2 2 m m n a b m n 1 n n m m m m ? - m n? + ? 2 2 mab ma b m n n n n 1 1 a 2 ? ab ? 1 - + 2 2 = . ab a b a 2b 2

24、 【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分.

a ? ab ? b ? ab a a ( a ? b ) ? b b ( a ? b ) ? (a ? b)(a ? b) ÷ a? b ab( a ? b )( a ? b )

a?b a 2 ? a ab ? b ab ? b 2 ? a 2 ? b 2 = ÷ a? b ab( a ? b )( a ? b )


a?b ab( a ? b )( a ? b ) · =- a ? b . a? b ? ab(a ? b)

【点评】本题如果先分母有理化,那么计算较烦琐. (五)求值: (每小题 7 分,共 14 分) 25、 【提示】先将已知条件化简,再将分式化简最后将已知条件代入求值. 【解】∵ x=

3? 2 = ( 3 ? 2 )2 =5+2 6 , 3? 2 3? 2 y= = ( 3 ? 2 ) 2 =5-2 6 . 3? 2 2 2 ∴ x+y=10,x-y=4 6 ,xy=5 -(2 6 ) =1.
2 4 6 x( x ? y )(x ? y ) x? y x 3 ? xy 2 6. = = = = 2 2 4 3 2 2 3 x y( x ? y) xy( x ? y ) 1 ? 10 5 x y ? 2x y ? x y

【点评】本题将 x、y 化简后,根据解题的需要,先分别求出“x+y” 、 “x-y” 、 “xy” .从而使求值的 过程更简捷. 26、 【提示】注意:x +a = ( x2 ? a 2 )2 ,
2 2



2 x2+a2-x x 2 ? a 2 = x 2 ? a 2 ( x 2 ? a 2 -x) ,x -x x 2 ? a 2 =-x( x 2 ? a 2 -x) .

【解】原式=

x x 2 ? a 2 ( x 2 ? a 2 ? x)



2x ? x2 ? a2 x( x ? a ? x)
2 2



1 x2 ? a2



x 2 ? x 2 ? a 2 (2 x ? x 2 ? a 2 ) ? x( x 2 ? a 2 ? x) x x 2 ? a 2 ( x 2 ? a 2 ? x)
x 2 ? a 2 ( x 2 ? a 2 ? x) x x 2 ? a 2 ( x 2 ? a 2 ? x)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 = x ? 2x x ? a ? ( x ? a ) ? x x ? a ? x = ( x2 ? a 2 )2 ? x x2 ? a 2 =

x x 2 ? a 2 ( x 2 ? a 2 ? x)

x x 2 ? a 2 ( x 2 ? a 2 ? x)



式”之差,那么化简会更简便.即原式=

1 1 .当 x=1- 2 时,原式= =-1- 2 . 【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分 x 1? 2 1 x 2x ? x2 ? a2
- +

x 2 ? a 2 ( x 2 ? a 2 ? x) x ( x 2 ? a 2 ? x ) 1 1 1 1 1 =( =1 . ? )+ ? )-( 2 2 2 2 x x ?a ?x x x ?a x2 ? a2 ? x x2 ? a2
六、解答题: (每小题 8 分,共 16 分) 27、 【提示】先将每个部分分母有理化后,再计算. 【解】原式=(2 5 +1) (

x2 ? a2

2 ?1 3? 2 4? 3 100 ? 99 + + +…+ ) 2 ?1 3? 2 4?3 100 ? 99 =(2 5 +1)[( 2 ? 1 )+( 3 ? 2 )+( 4 ? 3 )+…+( 100 ? 99 )]
=(2 5 +1) ( 1 0 0

?1 )

=9(2 5 +1) . 【点评】本题第二个括号内有 99 个不同分母,不可能通分.这里采用的是先分母有理化,将分母化为 整数,从而使每一项转化成两数之差,然后逐项相消.这种方法也叫做裂项相消法.

1 ? x? ? ?1 ? 4 x ? 0 ? 4 ] 28、 【提示】要使 y 有意义,必须满足什么条件? [? ] 你能求出 x,y 的值吗? [ ? 4 x ? 1 ? 0 . ? ?y ? 1 . ? 2 ? 1 ? x? ? 1 ? 4 x ? 0 ? 1 1 1 ? 4 【解】要使 y 有意义,必须 [? ,即 ? ∴ x= .当 x= 时,y= . 4 4 2 ?4 x ? 1 ? 0 ?x ? 1 . ? 4 ?
又∵
x x y x y ? ?2? - ?2? = ( y y x y x y 2- x y 2 ) ( ? ) x y x

1 1 y x ,y= ,∴ < . 4 2 x y y x y x 1 1 ∴ 原式= x ? y - y ? x =2 x 当 x= ,y= 时, 4 2 y x x y y
=| x ? y |-| x ? y |∵

x=

原式=2 4 = 2 . 【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出 x 的值,进而求出 y 的值.
1 2

1


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