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2011年浙江省高中数学竞赛试题


2011 年浙江省高中数学竞赛试题 参考解答与评分标准
说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22题组成,即 10 道选择题,7 道填空题、3 道解答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 20 题组成,即 10 道选 择题,7 道填空题和 3 道解答题。 一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号 填入题干后的括号里,多

选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 5? 3? 1. 已知 ? ? [ ) , ] ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为( D 4 2 A. 2sin ? B. ?2sin ? C. ?2cos ? D. 2cos? 5? 3? 解答:因为 ? ? [ , ] ,所以 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? = cos ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? 4 2 ? 2 c o? s 。正确答案为 D。 2.如果复数 ? a ? 2i ??1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( A. 2
B. 2 2 C.

C )

?2

D. ?2 2

解答:由题意得 2 ? a 2 ? 4 ? 4 ? a ? ?2 。正确答案为 C。 3. 设 A , B 为两个互不相同的集合, 命题 P:x ? A ? B , 命题 q:x ? A 或 x ? B , 则 p 是 q 的( B ) A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。
x2 4. 过椭圆 ? y 2 ? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45? 弦 AB,则 AB 为( 2

C )

A.

2 6 3

B.

4 6 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

解答:椭圆的右焦点为(1,0) ,则弦 AB 为 y ? x ? 1, 代入椭圆方程得
3x 2 ? 4 x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ?
?1 ? 5? x 5. 函数 f ( x) ? ? x ? 5 ?1

4 4 2 ? AB ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 。正确答案为 C。 3 3

x?0 x?0

,则该函数为(

A



A. 单调增加函数、奇函数 C. 单调增加函数、偶函数

B. 单调递减函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
1

解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A )
2 2 2 2 2 2 3 1 1

正视图 5? 3? A. 4+ B. 4+ 2 2

侧视图 C. 4+

俯视图(圆和正方形) D. 4+ ?

? 2

解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分( 以该几何体的体积为 2 ? 2 ?1 ? 3? ?

?
2

? 4?

5? 。正确答案为 A。 2

? ) ,所 2

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依 次记为: ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xn , yn ),?; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( B ) A.64 B.32 C.16 答案 经计算 x ? 32 。正确答案为 B。 D.8

| 1 8. 在平面区域 ?( x , y ) | x |? 1,| y ? ? 上恒有 ax ? 2by ? 2 ,则动点

P(a, b) 所形成平面区域的面积为(

A



A. 4

B.8

C. 16

D. 32

解答:平面区域 ?( x, y ) | x |? 1,| y |? 1? 的四个边界点(—1,—1) , (—1,1) , (1,—1) , (1,1)满足 ax ? 2by ? 2 ,即有
a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2

由此计算动点 P(a, b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。 9. 已知函数 f ( x) ? sin(2x ? ( C )

?

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为 6 ? 2?

2

?1 ? A. ? , 1 ? ?2 ?

?1 ? B ? , 1? ?2 ?

?1 ? C. ? , 1 ? ?2 ?

?1 ? D. ? , 1? ?2 ?

解答:问题等价于函数 f ( x) ? sin(2x ?

?

? ?? ) 与直线 y ? m 在 ?0, ? 上有两个交点, 6 ? 2?

?1 ? 所以 m 的取值范围为 ? , 1 ? 。正确答案为 C。 ?2 ?

10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( C ) A. x ? 3 或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ? 1 C. x ? 3 或 x ? 1 D. 1 ? x ? 3

解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x 2 ? 4 x ? 4) 由 f (?1) ? x 2 ? 5x ? 6 ? 0, f (1) ? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。 正确答案为 C。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分, 共 49 分) x 11. 函数 f ( x) ? 2sin ? 3 cos x 的最小正周期为______4 ? ____。 2
解答:最小正周期为 4 ? 。

12. 已知等差数列 ?an ? 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =____6_______.
解答:由 S15 ? 30 ? a1 ? 7d ? 2 ,而 a1 ? a8 ? a15 ? 3(a1 ? 7d ) ? 6 。

? ? ? ? 13. 向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (cos ? , 3) , ? ? R ,则 a ? b 的取值范围为 [1,3]



? ? 解答: a ? b ? (1 ? cos? )2 ? (sin ? ? 3)2 ? 5 ? 2(cos ? ? 3 sin ? )

? = 5 ? 4sin( ? ? ) 6

,其最大值为 3,最小值为 1,取值范围为[1,3]。

14. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上 的动点(含端点) ,D 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为 _ 90? _。 解答:因为平面 ABC⊥平面 BCC 1 B1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BCC 1 B1 ,所以 AD⊥PE,又 PE⊥PD,PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 90? 。
3

15.设 x, y 为实数,则

5 x ? 4 y ?10 x

2

max ( x 2 ? y 2 ) ? _____4________。 2

解答: 5 x 2 ? 4 y 2 ? 10 x ? 4 y 2 ? 10 x ? 5 x 2 ? 0 ? 0 ? x ? 2
4( x 2 ? y 2 ) ? 10 x ? x 2 ? 25 ? (5 ? x)2 ? 25 ? 32 ? x 2 ? y 2 ? 4

16. 马路上有编号为 1,2,3,…,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭 其中的 300 只灯,但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条
300 件的关灯方法共有___ C1710 _______种。 (用组合数符号表示) 300 解答: 问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯, 所以共有 C1710 种关灯方法。

17. 设 x, y, z 为整数, 且 x ? y ? z ? 3, x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3 ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? _3 或 57_。 解答:将 z ? 3 ? x ? y 代入 x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3
xy ? 3( x ? y ) ? 9 ?

得到

8 ,因为 x, y 都是整数,所以 x? y

?x ? y ? 1 ?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ?x ? y ? 8 ,? ,? ,? , 前两个方程组无解; 后两个方程组解得 ? ? xy ? 2 ? xy ? 5 ? xy ? 1 ? xy ? 16

x ? y ? z ? 1; x ? y ? 4, z ? ?5 。所以 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 或 57。

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) 18. 设 a ? 2 ,求 y ? ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。 解答:当 x ? 0, y ? ?( x ? 1)2 ? 1,
当 x ? 0, y ? ( x ? 1) ? 1,
2

---------------------------------- 5 分 ---------------------------------- 10 分

由此可知 ymax ? 0 。 当 1 ? a ? 2, ymin ? a ? 2a ;
2

当 1 ? 2 ? a ? 1, ymin ? ?1 ; 当 a ? 1 ? 2, ymin ? ?a ? 2a 。
2

---------------------------------- 17 分

4

19. 给 定 两 个 数 列 ?x n ? , ?y n ? 满 足 x0 ? y 0 ? 1 , x n ?

x n ?1 (n ? 1) , 2 ? x n ?1

2 yn ?1 yn ? (n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 j n ,使得 1 ? 2 y n ?1

y n ? x jn 。

解答:由已知得到:
1 2 1 1 1 ? 1? ? ? 1 ? 2(1 ? ) ? { ? 1} 为等比数列,首项为 2,公比为 2, xn xn ?1 xn xn ?1 xn
所以

1 1 ? 1 ? 2n ?1 ? xn ? n ?1 。 xn 2 ?1

----------------- 5 分

又由已知, yn ? 1 ?
由1 ?

( yn ?1 ? 1) 2 y ?1 y ?1 1 1 2 ? n ? ( n ?1 ) 2 ? 1 ? ? (1 ? ) 1 ? 2 y n ?1 yn y n ?1 yn yn ?1

n 1 1 1 , ? 2 ? 1 ? ? 22 ? yn ? n y0 yn 22 ? 1
n
------------------- 17 分

所以取 jn ? 2 ? 1 即可。

x2 y2 20. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D (a, 0) 5 4

为 F1 右侧一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好 过 F1 ,求 a 的值。 解答: F1 (?3, 0), 左准线方程为x ? ?
25 ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 3
? ( 1 6? 2 k2 5 x 2) ?
2 1k5 0 x?

? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ? 25 16

2 k2 2? 5

? 400

0

得 x1 ? x2 ? ?

150k 2 225k 2 ? 400 256k 2 2 , x x ? ? ? y y ? k ( x ? 3)( x ? 3) ? ? 1 2 1 2 1 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2
----------------------10 分

设 M (?

(3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 25 25 ,同理y4 ? 。 , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 ) 3 3

5



????? ???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 F1M ? (? , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 , 得 3 3
(3a ? 25) 2 y1 y2 256 (3a ? 25) 2 256k 2 256 , 而y 3 y 4 ? ,即 ? =? ? , 2 9 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 16 ? 25k 9

y3 y 4? ?
整理得

(1 ? k 2 )(16a 2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。

--------------17 分

四、附加题(本大题共 2 小题,每小题 25 分,共计 50 分) 21. 在锐角三角形 ABC 中,?A ?

?
3

,设在其内部同时满足 PA ? PB 和 PA ? PC 的

1 点 P 的全体形成的区域 G 的面积为三角形 ABC 面积的 。 证明三角形 ABC 为 3 等边三角形。

解答:做 ?ABC 的外接圆 O,做 OE E , OF ? AC 于 F , OM ? BC 于M, 则 G 为四 A ? AB 于
边形 AEOF。又

E

F

O

C B M D

1 S四边形AEOF ? S?ABC , 2S四边形AEOF ? 2S?AEO ? 2S?AOF ? S?AOB ? S?AOC 3 1 所以 S?OBC ? S?ABC 。 --------------------------10 分 3 1 由已知?BOC ? 120? , 则?OBC ? 30? ,则OM= R(R为?ABC外接圆半径) 2 3 作AD ? BC于D, 则AD ? AO ? OM ? R 2 1 3R S?ABC ? ? BC ? 3S?OBC ,等号成立当且仅当 A、O、M 共线,即 ?ABC 为等边三角形。 2 2
--------------------------25 分
6

22. 设 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 3 。求证:
a?b b?c c?a 3 ? ? ? , 2?a?b 2?b?c 2?c?a 2 并指明等号成立的条件。

证明:由柯西不等式

?b
i ?1

n

a

2 i i

?

(? ai ) 2
i ?1 n

n

? bi
i ?1

得到

( a ? b ? c ? b ? a ? c )2 a?b b?c c?a ? ? ? 6 ? 2(a ? b ? c) 2?a?b 2?b?c 2?c?a

(1) --------------------10 分

(1)式右边的分子= 2(a ? b ? c) ? 2( a ? b c ? b ? c ? b a ? c ? a ? c c ? b ) = 2(a ? b ? c ) ? 2( b ? b(a ? c ) ? ac ? ?) ? 2(a ? b ? c ) ? 2( b ? 2b ac ? ac ? ?)
2 2

? 2(a ? b ? c) ? 2(b ? ac ? a ? bc ? c ? ab ) ? 3(a ? b ? c) ? ( a ? b ? c ) 2

? 3(a ? b ? c ? 3) 。
等号成立条件是 a ? b ? c ? 1 。结论成立。

--------------------------20 分 --------------------------25 分

7


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