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湖北省随州市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年湖北省随州市高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.命题 p:?x0>1,使 x02﹣2x0﹣3=0,则?p 为( A.?x>1,x2﹣2x﹣3=0 B.?x>1,x2﹣2x﹣3≠0 )

C.?x0≤1,x02﹣2x0﹣3=0 D.?x0≤1,x02﹣2x0﹣3≠0

2.如果 3 个整数可作为一直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则 3 个数构成一组勾股数的概率为( A. B. C. D. )

3.某单位有老年人 27 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们 中间抽取一个容量为 42 的样本,则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是( A.7,11,18 B.6、12、18 C.6、13、17 D.7、14、21 )

4.已知两条直线 l1:x+2ay﹣1=0,l2:x﹣4y=0,且 l1∥l2,则满足条件 a 的值为( A. B. C.﹣2 D.2



5.用“辗转相除法”求得 333 和 481 的最大公约数是( A.3 B.9 C.37 D.51



6.设 m、n 是不同的直线,α、β、γ 是不同的平的,有以下四个命题: ①若 α∥β,α∥γ,则 β∥γ ③若 m∥n,n?α,则 m∥α 其中正确命题的序号是( A.①③ B.①④ ) C.②③ D.②④ ②若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β ④若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β

7.对某同学的 6 次数学测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出的茎叶如图所示,给出关于该同学数学 成绩的以下说法: ①中位数为 83;②众数为 83;③平均数为 85;④极差为 12.
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其中正确说法序号是(



A.①②

B.③④

C.②③

D.①③

8.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则异面直线 AC 和 EF 所成的 角为( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

9.已知条件 p:|x+1|>2,条件 q:5x﹣6>x2,则¬p 是¬q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件



C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

10.如图是求样本 x1,x2,…,x10 平均数 的程序框图,图中空白框中应填入的内容为(



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A.S=S+xn

B.S=S+

C.S=S+n

D.S=S+

11.从装有 3 个红球和 3 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( A.恰有 1 个红球与恰有 2 个红球 B.至少有 1 个黑球与都是黑球 C.至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 D.至多有 1 个黑球与都是红球



12.如表是一位母亲给儿子作的成长记录: 年龄/周岁3 4 5 6 7 8 9

身高/cm 94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.1 根据以上样本数据,她建立了身高 y(cm)与年龄 x(周岁)的线性回归方程为 =7.19x+73.93,给出下列 结论: ①y 与 x 具有正的线性相关关系; ②回归直线过样本的中心点(6,117.1); ③儿子 10 岁时的身高是 145.83cm;
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④儿子年龄增加 1 周岁,身高约增加 7.19cm. 其中,正确结论的个数是( A.1 B.2 C .3 )

D.4

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知点 M 与两个定点 O(0,0),A(3,0)的距离之比为 2,则 M 点轨迹方程是 .

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最小值为



15.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯 视图如图所示,若该几何体的表面积为 4+5π,则半径 r= .

16.若曲线 y=

与直线 y= x+b 有公共点,则 b 的取值范围是



三、解答题:(共 6 个小题,共 70 分) 17.如图,给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应 y 的值. (1)若视 x 为变量,y 为函数值,写出 y=f(x)的解析式; (2)若要使输入 x 的值与输出相应 y 的值相等,求输入 x 的值为多少.

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18.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AC=4,BC=3,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC1∥平面 CDB1; (2)求直线 AB1 与平面 BB1C1C 所成角的正切值.

19.我市三所重点中学进行高二期末联考,共有 6000 名学生参加,为了了解数学学科的学习情况,现从 中随机抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表: 分组 [80,90) [90,100) [100,110) 频数频率 ① ② 0.050 0.200

[110,120)36 0.300 [120,130) [130,140)12 [140,150) 合计 0.275 ③ 0.50 ④

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(1)根据频率分布表,推出①,②,③,④处的数字分别 为: 、 、 、 .

(2)在所给的坐标系中画出[80,150]上的频率分布直方图; (3)根据题中的信息估计总体:①120 分及以上的学生人数;②成绩在[127,150]中的概率.

20.投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的数字是 0, 两个面标的数字是 2,两个面标的数字是 3,将此玩具边续抛掷两次,以两次朝上一面出现的数字分别作 为点 P 的横坐标和纵坐标. (1)求点 P 落在区域 C:x2+y2=9 内(不含边界)的概率; (2)若以落在区域 C(第 1 问中)上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域 M,在区域 C 上随机撤一 粒豆子,求豆子落在区域 M 上的概率.

21.已知过点 A(0,﹣1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=4 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若 ? =9,其中 O 为坐标原点,求|MN|.

22.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB∥CD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2CD,E 为 PB 的中点. (1)证明:CE⊥AB; (2)若 AB=PA=2,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (3)若∠PDA=60°,求直线 CE 与平面 PAB 所成角的正切值.

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2015-2016 学年湖北省随州市高二(上)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.命题 p:?x0>1,使 x02﹣2x0﹣3=0,则?p 为( A.?x>1,x2﹣2x﹣3=0 B.?x>1,x2﹣2x﹣3≠0 )

C.?x0≤1,x02﹣2x0﹣3=0 D.?x0≤1,x02﹣2x0﹣3≠0 【考点】命题的否定. 【专题】阅读型. 【分析】特称命题:?x0>1,使 x02﹣2x0﹣3=0 的否定是:把?改为?,其它条件不变,然后否定结论,变 为一个全称命题.即?x>1,x2﹣2x﹣3≠0 【解答】解:特称命题:?x0>1,使 x02﹣2x0﹣3=0 的否定是全称命题: ?x>1,x2﹣2x﹣3≠0. 故选 B. 【点评】写含量词的命题的否定时,只要将“任意”与“存在”互换,同时将结论否定即可.

2.如果 3 个整数可作为一直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则 3 个数构成一组勾股数的概率为( A. B. C. D. )

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计. 【分析】一一列举出所有的基本事件,再找到勾股数,根据概率公式计算即可. 【解答】解:从 2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,有(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4, 5)共 4 种, 其中只有(3,4,5)为勾股数, 故这 3 个数构成一组勾股数的概率为 . 故选:D. 【点评】本题考查了古典概型概率的问题,关键是不重不漏的列举出所有的基本事件,属于基础题.
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3.某单位有老年人 27 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们 中间抽取一个容量为 42 的样本,则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是( A.7,11,18 B.6、12、18 C.6、13、17 D.7、14、21 )

【考点】分层抽样方法. 【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计. 【分析】由题意,要计算各层中所抽取的人数,根据分层抽样的规则,求出各层应抽取的人数即可选出正 确选项. 【解答】解:由题意,老年人、中年人、青年人比例为 1:2:3. 由分层抽样的规则知,老年人应抽取的人数为 ×42=7 人, 中年人应抽取的人数为 ×42=14 人, 青年人应抽取的人数为 ×42=21 人. 故选:D. 【点评】本题考查分层抽样,解题的关键是理解分层抽样,根据其总体中各层人数所占的比例与样本中各 层人数所占比例一致建立方程求出各层应抽取的人数,本题是基本概念考查题.

4.已知两条直线 l1:x+2ay﹣1=0,l2:x﹣4y=0,且 l1∥l2,则满足条件 a 的值为( A. B. C.﹣2 D.2



【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】直线与圆. 【分析】根据两直线平行,直线方程中一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求得 a 的值. 【解答】解:根据两条直线 l1:x+2ay﹣1=0,l2:x﹣4y=0,且 l1∥l2,可得 故选 C. 【点评】本题主要考查两直线平行的性质,两直线平行,直线方程中一次项系数之比相等,但不等于常数 项之比,属于基础题. ,求得 a=﹣2,

5.用“辗转相除法”求得 333 和 481 的最大公约数是( A.3 B.9 C.37 D.51



【考点】用辗转相除计算最大公约数.
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【专题】转化思想;算法和程序框图. 【分析】利用“辗转相除法”即可得出. 【解答】解:481=333×1+148,333=148×2+37,148=37×4. ∴333 和 481 的最大公约数是 37. 故选:C. 【点评】本题考查了“辗转相除法”,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

6.设 m、n 是不同的直线,α、β、γ 是不同的平的,有以下四个命题: ①若 α∥β,α∥γ,则 β∥γ ③若 m∥n,n?α,则 m∥α 其中正确命题的序号是( A.①③ B.①④ ) C.②③ D.②④ ②若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β ④若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】定义法;空间位置关系与距离;简易逻辑. 【分析】①根据面面平行的性质进行判断, ②根据线面垂直和面面垂直的性质和判定定理进行判断, ③根据线面平行的判定定理进行判断, ④根据线面垂直,线面平行和面面垂直的性质进行判断. 【解答】解:①若 α∥β,α∥γ,则 β∥γ,成立,故①正确, ②若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β 或 m∥β 或 m?β,故②错误, ③若 m∥n,n?α,则 m∥α 或 m?α,故③错误, ④若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β 成立,故④正确, 故正确是①④, 故选:B. 【点评】本题主要考查与空间直线和平面平行或垂直的命题的真假的判断,要求熟练掌握空间线面,面面 平行或垂直的性质定理和判定定理.

7.对某同学的 6 次数学测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出的茎叶如图所示,给出关于该同学数学 成绩的以下说法: ①中位数为 83;②众数为 83;③平均数为 85;④极差为 12.
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其中正确说法序号是(



A.①②

B.③④

C.②③

D.①③

【考点】众数、中位数、平均数. 【专题】计算题;图表型;概率与统计. 【分析】根据已知中的茎叶图,求出中位数,众数,平均数及极差,可得答案. 【解答】解:由已知中茎叶图,可得: ①中位数为 84,故错误; ②众数为 83,故正确; ③平均数为 85,故正确; ④极差为 13,故错误. 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是茎叶图,统计数据计算,难度不大,属于基础题.

8.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则异面直线 AC 和 EF 所成的 角为( )

A.30° B.45° C.60° D.90° 【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题. 【分析】连接 BC1,A1C1,A1B,根据正方体的几何特征,我们能得到∠A1C1B 即为异面直线 AC 和 EF 所成的角,判断三角形 A1C1B 的形状,即可得到异面直线 AC 和 EF 所成的角. 【解答】解:连接 BC1,A1C1,A1B,如图所示:
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根据正方体的结构特征,可得 EF∥BC1,AC∥A1C1, 则∠A1C1B 即为异面直线 AC 和 EF 所成的角 BC1=A1C1=A1B, ∴△A1C1B 为等边三角形 故∠A1C1B=60° 故选 C 【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,其中利用平移的方法,构造∠A1C1B 为异面直线 AC 和 EF 所成的角,是解答本题的关键.

9.已知条件 p:|x+1|>2,条件 q:5x﹣6>x2,则¬p 是¬q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件



C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】充要条件;四种命题. 【专题】计算题. 【分析】根据所给的两个命题,解不等式解出两个命题的 x 的值,从 x 的值的范围大小上判断出两个命题 之间的关系,从而看出两个非命题之间的关系. 【解答】解:∵p:|x+1|>2, ∴x>1 或 x<﹣3 ∵q:5x﹣6>x2, ∴2<x<3, ∴q?p, ∴﹣p?﹣q ∴﹣p 是﹣q 的充分不必要条件, 故选 A.
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【点评】本题考查两个条件之间的关系,是一个基础题,这种题目经常出现在高考卷中,注意利用变量的 范围判断条件之间的关系.

10.如图是求样本 x1,x2,…,x10 平均数 的程序框图,图中空白框中应填入的内容为(



A.S=S+xn

B.S=S+

C.S=S+n

D.S=S+

【考点】设计程序框图解决实际问题. 【专题】操作型. 【分析】由题目要求可知:该程序的作用是求样本 x1,x2,…,x10 平均数 ,循环体的功能是累加各样本 的值,故应为:S=S+xn 【解答】解:由题目要求可知:该程序的作用是求样本 x1,x2,…,x10 平均数 , 由于“输出 ”的前一步是“ ”,

故循环体的功能是累加各样本的值, 故应为:S=S+xn 故选 A

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【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重 要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前 两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.

11.从装有 3 个红球和 3 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( A.恰有 1 个红球与恰有 2 个红球 B.至少有 1 个黑球与都是黑球 C.至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 D.至多有 1 个黑球与都是红球 【考点】互斥事件与对立事件. 【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计. 【分析】列举每个事件所包含的基本事件,结合互斥事件和对立事件的定义,依次验证即可



【解答】解:对于 A:事件:“恰有一个红球”与事件:“恰有两个红球”不能同时发生,但从口袋中任取两 个球时还有可能是两个都是红球,∴两个事件是互斥事件但不是对立事件,∴A 正确 对于 B:事件:“至少有一个黑球”与事件:“都是黑球”可以同时发生,如:两个都是黑球,∴这两个事件 不是互斥事件,∴B 不正确 对于 C:事件:“至少有一个黑球”与事件:“至少有一个红球”可以同时发生,如:一个红球一个黑球,∴ 这两个事件不是互斥事件,∴C 不正确 对于 D:事件:“至多有一个黑球”与“都是红球”能同时发生,∴这两个事件不是互斥事件,∴D 不正确 故选 A. 【点评】本题考查互斥事件与对立事件.首先要求理解互斥事件和对立事件的定义,理解互斥事件与对立 事件的联系与区别.同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件.属于基础题.

12.如表是一位母亲给儿子作的成长记录: 年龄/周岁3 4 5 6 7 8 9

身高/cm 94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.1 根据以上样本数据,她建立了身高 y(cm)与年龄 x(周岁)的线性回归方程为 =7.19x+73.93,给出下列 结论: ①y 与 x 具有正的线性相关关系; ②回归直线过样本的中心点(6,117.1);
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③儿子 10 岁时的身高是 145.83cm; ④儿子年龄增加 1 周岁,身高约增加 7.19cm. 其中,正确结论的个数是( A.1 B.2 C .3 )

D.4

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】概率与统计. 【分析】本题考察统计中的线性回归分析,在根据题目给出的回归方程条件下做出分析,然后逐条判断正 误. 【解答】解;线性回归方程为 =7.19x+73.93, ①7.19>0,即 y 随 x 的增大而增大,y 与 x 具有正的线性相关关系,①正确; ②回归直线过样本的中心点为(6,117.1),②错误; ③当 x=10 时, =145.83, 此为估计值, 所以儿子 10 岁时的身高的估计值是 145.83cm 而不一定是实际值, ③错误; ④回归方程的斜率为 7.19,则儿子年龄增加 1 周岁,身高约增加 7.19cm,④正确, 故应选:B 【点评】本题考察回归分析的基本概念,属于基础题,容易忽略估计值和实际值的区别.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知点 M 与两个定点 O(0,0),A(3,0)的距离之比为 2,则 M 点轨迹方程是 (x﹣4)2+y2=4 . 【考点】轨迹方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设出 M 的坐标,直接由 M 与两个定点 O(0,0),A(3,0)的距离之比为 2,列式整理得方程. 【解答】解:设 M(x,y),由点 M 与两个定点 O(0,0),A(3,0)的距离之比为 2,得 =2,整理得:(x﹣4)2+y2=4. ∴点 M 的轨迹方程是(x﹣4)2+y2=4. 故答案为:(x﹣4)2+y2=4. 【点评】本题考查了轨迹方程的求法,考查了两点间的距离公式,是中低档题.

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14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最小值为 ﹣3 .

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;综合法;不等式. 【分析】画出满足条件的平面区域,由 z=3x+y 得:y=﹣3x+z,显然直线过(﹣1,0)时,z 最小,求出即 可. 【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:



由 z=3x+y 得:y=﹣3x+z, 显然直线过(﹣1,0)时,z 最小,z=﹣3, 故答案为:﹣3. 【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题.

15.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯 视图如图所示,若该几何体的表面积为 4+5π,则半径 r= 1 .

【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】计算题;方程思想;空间位置关系与距离;立体几何.
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【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球和半个圆柱所成的组合体,根据几何体的表面积,构造关于 r 的方程,计算即可得到答案. 【解答】解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知, 截圆柱的平面过圆柱的轴线, 该几何体是一个半球拼接半个圆柱, ∴其表面积为: ×4πr2+ ×πr2+ ×2r×2πr+2r×2r+ ×πr2=5πr2+4r2, 又∵该几何体的表面积为 4+5π, ∴5πr2+4r2=4+5π,解得 r=1, 故答案为:1

【点评】本题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

16.若曲线 y=

与直线 y= x+b 有公共点,则 b 的取值范围是 ﹣3≤b≤1 .

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;数形结合法;直线与圆. 【分析】曲线 y= 即(x﹣2)2+y2=4(y≥0),表示以 A(2,0)为圆心,以 2 为半径的一个半圆,

由圆心到直线 y= x+b 的距离等于半径 2,解得 b.当直线过点(4,0)时,b=﹣3,可得 b 的范围. 【解答】解:曲线 y= 半圆, 即(x﹣2)2+y2=4(y≥0),表示以 A(2,0)为圆心,以 2 为半径的一个

由圆心到直线 y= x+b 的距离等于半径 2,可得

=2,

∴b=1,或 b=﹣2. 当直线过点(4,0)时,b=﹣3, ∵曲线 y= ∴可得﹣3≤b≤1.
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与直线 y= x+b 有公共点,

故答案为:﹣3≤b≤1. 【点评】本题的考点是直线与圆的位置关系,主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,体现 了数形结合的数学思想,属于中档题.

三、解答题:(共 6 个小题,共 70 分) 17.如图,给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应 y 的值. (1)若视 x 为变量,y 为函数值,写出 y=f(x)的解析式; (2)若要使输入 x 的值与输出相应 y 的值相等,求输入 x 的值为多少.

【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;函数的性质及应用;算法和程序框图. 【分析】(1)利用程序框图,可得分段函数的解析式; (2)利用分段函数,根据使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等,建立方程,即可求得结论. 【解答】(本题满分为 10 分)

解:(1)解析式为:f(x)=

…5 分

(2)依题意可得:

,或

,或



解得:x=0,或 x=1,或 x=3,或 x=10. 故所求 x 的集合为:{0,1,3,10}…10 分 【点评】本题考查程序框图,考查学生的读图能力,考查学生的计算能力,属于基础题.

18.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AC=4,BC=3,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点.
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(1)求证:AC1∥平面 CDB1; (2)求直线 AB1 与平面 BB1C1C 所成角的正切值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;转化思想;综合法;空间角. 【分析】(1)设 BC1∩CB1 于点 O,连结 OD,则 OD ,由此能证明 AC1∥平面 CDB1.

(2)推导出 AC⊥BC,AC⊥C1C,从而∠AB1C 是直线 AB1 与平面 B1BCC1 所成角,由此能求出直线 AB1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 【解答】证明:(1)如图,设 BC1∩CB1 于点 O,连结 OD, ∵O、D 分别是 BC1 和 AB 的中点,∴OD 又∵OD?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. (2)∵AC=4,BC=2,AB=5,∴∠ACB=90°,即 AC⊥BC, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,∴AC⊥C1C, 又 BC∩CC1=C,∴AC⊥平面 BCC1B1, ∴直线 B1C 是斜线 AB1 在平面 B1BCC1 上的射影, ∴∠AB1C 是直线 AB1 与平面 B1BCC1 所成角, 在 Rt△ AB1C 中,B1C=5,AC=4, ∴tan∠AB1C= , 即直线 AB1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 . ,

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【点评】本题考查线面平行的证明,考查直线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 综合法的合理运用.

19.我市三所重点中学进行高二期末联考,共有 6000 名学生参加,为了了解数学学科的学习情况,现从 中随机抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表: 分组 [80,90) [90,100) [100,110) 频数频率 ① ② 0.050 0.200

[110,120)36 0.300 [120,130) [130,140)12 [140,150) 合计 0.275 ③ 0.50 ④ 0.025 、 0.100 、 1 .

(1)根据频率分布表,推出①,②,③,④处的数字分别为: 3 、 (2)在所给的坐标系中画出[80,150]上的频率分布直方图;

(3)根据题中的信息估计总体:①120 分及以上的学生人数;②成绩在[127,150]中的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【专题】计算题;图表型;概率与统计.
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【分析】(1)根据频率分步表中所给的频率和频数,根据样本容量,频率和频数之间的关系得到表中要 求填写的数字. (2)根据所给的频率分布表所给的数据,画出频率分步直方图. (3)用这个区间上的频率乘以样本容量,得到这个区间上的频数,用每一个区间上的中间值,乘以这个 区间的频率,得到平均值,把各个部分的频率相加,得到要求的频率 【解答】解:(1)先做出③对应的数字, =0.1,

∴②处的数字是 1﹣0.05﹣0.2﹣0.3﹣0.275﹣0.1﹣0.05=0.025 ∴①处的数字是 0.025×120=3, ④处的数字是 1, 故答案为:3;0.025;0.1;1 (2)[80,150]上的频率分布直方图如下图所示:

(3)①(0.275+0.1+0.05)×6000=2550, ②0.3×0.275+0.1+0.05=0.2325 【点评】本题考查频率分步直方图,考查画出频率分步直方图,考查利用频率分步直方图,本题是一个基 础题,题目虽然有点大,但是考查的知识点比较简单.

20.投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的数字是 0, 两个面标的数字是 2,两个面标的数字是 3,将此玩具边续抛掷两次,以两次朝上一面出现的数字分别作 为点 P 的横坐标和纵坐标. (1)求点 P 落在区域 C:x2+y2=9 内(不含边界)的概率;
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(2)若以落在区域 C(第 1 问中)上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域 M,在区域 C 上随机撤一 粒豆子,求豆子落在区域 M 上的概率. 【考点】几何概型. 【专题】转化思想;定义法;概率与统计. 【分析】(1)本小题是古典概型问题,利用列举法进行求解即可. (2)本小题是几何概型问题,求出对应区域的面积进行求解即可. 【解答】解:(1)以 0,2,3 为横,纵坐标的点 P 的坐标有:(0,0),(0,2),(0,3),(2,0), (2,2),(2,3),(3,0), (3,2),(3,3),共 9 种, 其中落在区域 x2+y2=9 内(不含边界)内的点 P 的坐标有: (0,0),(0,2),(2,0),(2,2),共 4 种, 故所求的概率 P= . (2)区域 M 为一边长为 2 的正方形,其面积为 4, 区域 C 的面积为 9π,则豆子落在区域 M 上的概率 P= .

【点评】本题主要考查概率的计算,根据古典概型以及几何概型的概率公式是解决本题的关键.

21.已知过点 A(0,﹣1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=4 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若 ? =9,其中 O 为坐标原点,求|MN|.

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】(1)由题意可得,直线 l 的斜率存在,用点斜式求得直线 l 的方程,根据圆心到直线的距离等于 半径求得 k 的值,可得满足条件的 k 的范围.
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(2)由题意可得,经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx﹣1,根据直线和圆相交的弦长公式进行求解. 【解答】解:(1)由题意可得,直线 l 的斜率存在, 设过点 A(0,﹣1)的直线方程:y=kx﹣1,即:kx﹣y﹣1=0. 由已知可得圆 C 的圆心 C 的坐标(2,3),半径 R=2. 故由 <2,解得:k> ;

(2)设 M(x1,y1);N(x2,y2), 由题意可得,经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx﹣1,代入圆 C 的方程(x﹣2)2+(y﹣3)2=4, 可得(1+k2)x2﹣4(2k+1)x+16=0 ∴x1+x2= ,x1?x2= ,

∴y1?y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1 = ?k2+k? +1= ,



?

=x1?x2+y1?y2=17﹣

=9,解得 k=2,

故直线 l 的方程为 y=2x﹣1,即 2x﹣y﹣1=0. 圆心 C 在直线 l 上,MN 长即为圆的直径. 所以|MN|=4. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,以及直线和圆相交的弦长公式的计算,考查学生的计 算能力.

22.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB∥CD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2CD,E 为 PB 的中点. (1)证明:CE⊥AB; (2)若 AB=PA=2,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (3)若∠PDA=60°,求直线 CE 与平面 PAB 所成角的正切值.

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【考点】直线与平面所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】证明题;数形结合;综合法;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(1)作出图形,取 AB 的中点 F,并连接 EF,CF,根据条件可以证明 AB⊥平面 EFC,从而可 以得出 CE⊥AB; (2)根据条件可以求出梯形 ABCD 的面积,而 PA 是四棱锥 P﹣ABCD 的高,从而根据棱锥的体积公式可 求出四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (3)容易说明∠CEF 为直线 CE 和平面 PAB 所成的角,由∠PDA 便可得到 在 Rt△ CEF 中便可求出 tan∠CEF,即求出直线 CE 与平面 PAB 所成角的正切值. 【解答】解:(1)如图,取 AB 的中点 F,连接 EF,CF,则:EF∥PA,CF∥AD; PA⊥平面 ABCD,AB?平面 ABCD; ∴PA⊥AB; ∴EF⊥AB; ∵∠BAD=∠ADC=90°,∴AB⊥AD; ∴AB⊥CF,且 EF∩CF=F; ∴AB⊥平面 EFC,CE?平面 EFC; ∴AB⊥CE,即 CE⊥AB; (2)由题意知,四边形 ABCD 为梯形, ∴ (3)CF⊥AB,CF⊥PA; ∴CF⊥平面 PAB; ∴∠CEF 为 CE 与平面 PAB 所成的角; ∵∠PDA=60°,∴ ∴ ,CF=AD; ; ; ; ,而 CF=AD,这样

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∴直线 CE 与平面 PAB 所成角的正切值为



【点评】考查线面垂直的性质,线面垂直的判定定理,以及线面角的概念及求法,正切函数的定义.

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