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竞赛难题10道


竞赛难题 10 道
考场纪律:正常( ) 不正常( ) ―――――-―――――――――――――――装――――――订――――――线―――――――――――――――――――――――

本卷满分 150 分,答题时间 2.5h
1.如图 ABC,AB:BC:AC=2 5: 13: 37作AB边上的中线OC。求证AB=OC(5分)

B O C

座位号

A

学号

姓名

2.(10 分)如图,是矩形 ABCD,AB=6,AD=8,BE=2,做平行四边形 EFGH,使点 H 在 BC 上,点 F 在 AD 上,且 F 为 AD 的中点,连结 DG,CG,求: (1)△DFG,△HCG 的面积和的取值范围(6 分) (2)求点 G 运动轨迹的长度(4 分)

A

F G

D

班级

E B H C

3.(20 分)已知 P 为平面内任意一点,平行四边形 ABCD 在这个平面内,连结 AC,BD,CP,BP,O 为 AC 与 BD 的交点,M、N 分别为 PB,PC 的中点,连结 AN,BM,Q 为 AN 与 DM 的交点, 求证: (1)O,P,Q 三点共线(8 分) (2)PQ=2OQ.(2 分)

变式:如图,已知线段 AB,C 是它的三等分点,BC=2AC,D,E 是平面内任意两 点(起码有一点不在直线 AB 上) ,连结 BD,BE,DE,作 BD,BE 的中点 M,N,作射 线 DA,MC 交于点 F,作射线 EA,NC,交于点 G,连结 DG,GF,FE。求证四边形 DEFG 是平行四边形。 (10 分)

4.定义:对角线相等的四边形为等对角线四边形(10 分) (1)当四边形 ABCD 为等对角线四边形时,且对角线的夹角为 60°,且交于点为 E 求边 AD 与 BC 之和与其中一条对角线的大小关系(4 分) (2)当四边形 ABCD 为等对角线四边形时,且对角线的夹角为θ ,且交于点为 E 求边 AD 与 BC 之和与其中一条对角线的大小关系(6 分)

A D E

B

C

5.如图是正三角形阵,其中△A1B1B2 的周长为 3,△A2B3B2 是△A1B1B2 周长的 2 背以此类推,问△AnBn-5Bn+7 的周长是多少?(5 分)

6. (15 分) 问题 1 如图三已知两个共一个顶点的等腰 Rt△ABC, Rt△CEF, ∠ABC= ∠CEF=90°,连接 AF,M 是 AF 的中点,∠BCE=45°,连接 MB、ME.延长 AB 交 CE 于点 G,延长 BM 交 CF 于点 D. (1)证明 M 是 BD 的中点(3 分) (2)证明四边形 BGFD 是平行四边形。 (2 分) (3)图中有几个等腰直角三角形请写出(3 分)

问题二:(7 分)如图 2△ABC 与△ECF 均为等腰直角三角形,∠CEF=∠ABC=90°, C 是它们的公共顶点连结 AF,M 是 AF 的中点, 连结 BM,EM,请证明无论∠BCE 的度数为多少时 BM 始终等于 EM,且∠BME=90°

7.(20 分)如图, 已知正△ABC,△ABM 是正△ABC 中最大的底角为 30°的等腰三角 形,AM=BM,正△EFM 是△ABM 中最大的正三角形,延长 EM 交底边 AC 于点 G, 作正△AGH,连结 BG,BH,CH。点 I 是 HB 上一动点,作正△GIJ (1)当点 I 运动时,问点 J 是否在直线上运动,并证明为什么(5 分) (2)当∠AGJ 等于多少度时△EFC?△JIG(4 分) (3)当 GI 和 GM 满足什么关系时 C,I,J,C 四点共圆(2 分) 点 K 是当点 I 动到 H 点时点 J 到的点。 (4)△GJK 可能?△CGH 吗?若可能请说明当△GJK?△GJK 时∠JGH 的度数 若不可能请证明为什么?(4 分) (5)请问△GJK 可能与△CGH 面积相等吗,若可能请写出此时∠JGH 的度数, 若不可能说明。 (5 分)

8.(20 分) 如图在 RT△ABC 中,∠A=90°,∠ABO=30°,OB=

,边 AB 的垂

直平分线 CD 分别与 AB,x 轴,y 轴交于点 C,G,D (1)求点 C 的坐标(4 分) (2)求直线 CD 的解析式(4 分) (3)在直线 CD 上和平面内是否存在点 Q,P 使得以 O,D,P,Q 为顶点的四边形是菱 形,若存在求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由(12 分)

9.(20 分)如图直线 y=-2x+3 交 y 轴于 A,x 轴于 C,B 是双曲线 y= 上的点, 且 B(2,2)在平面内有一点 D,AB=AD,且 D,C,B 三点共线 (1)求点 D 的坐标(8 分) (2) 若在双曲线上有一点 G, 作 GF⊥x 于点 F, 作 DE⊥x 于点 E, 试问四边形 DEFG 的面积可能为 3 吗?若能求出点 G 的坐标如不能请说明理由(12 分)

10.(20 分)木匠黄师傅用长 AB=4,宽 BC=3 的矩形木板做成一个尽可能大的菱形 (不为正方形)桌面,但胶水只够用来粘一边,于是他设计了五种方案 方案一: 锯一个最大的菱形; 方案二:在 AB,CD 上各取一点 E,F 连结 DE,BF 使 BE=DE=DF=BF,锯出菱形: 方案三: 在 CD,AB 上各取一点 E,F 使 DE=BF, 作等腰三角形 EGC 和等腰三角形 AHF 并使所得三角形全等,拼成一个菱形,使该菱形面积最大; 方案四: 沿对角线 AC 将矩形锯成两个三角形, 适当平移三角形 ABC 至三角形 EFG (G 在 AC 上且 G 不与 A,C 重合), 并锯一个最大的一个菱形; 方案五: 锯一块小矩形 BCEF 拼到矩形 AFED 的下面,利用拼成的木板锯一个尽可 能大的菱形 (1)写出方案一中的菱形边长(2 分) (2)通过计算说明方案二和方案三中,哪一个菱形的边较长(3 分) (3)在方案四中,设 CG=x ,菱形边长为 y。 (本小题不考虑在三角形中作菱形) 1.求 y 关于 x 的函数解析式(5 分) 2.当 x 取何值时菱形面积最大,最大面积是多少?(2 分) (4)在方案五中,设 CE=x(0<x<1) 。圆的半径为 y。 1.求 y 关于 x 的函数解析式(5 分) 2.当 x 取何值时菱形面积最大,最大面积是多少? 并说明四种方案中哪一个菱 形桌面的面积最大。 (3 分)

答案的公布将在 2014 年 8 月底,若需要答案的人可加 qq965143539 或在 8 月底 搜索“竞赛难题十道的解答” (八月底不见不散)


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