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2014年广西高二数学竞赛初赛试卷及答案


2014 年广西高二数学竞赛初赛试卷及答案 9 月 24 日 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数,集合 A ? {x | x2 ? 2[ x] ? 3} , B ? {x | ( B ). A. {1, ? 6} B. {?1, 7} C. {?1, 6} D. {?1, 6, 7} 1 ? 2 x ? 8} ,则 A B

= 8 ? x 2 ? 2[ x] ? 3 x ? A B 解:由 ,知 ? ,所以 [ x ] 只可能取 -3,-2,-1,0,1,2. ??3 ? x ? 3 经检验知, [ x ] 只可能取 -1,2, 故 x ? ?1, 7 . 故选 B. 2、已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若实数 λ 满足: 的值为( C ) AB AB ? ? AC ? ? AP,则 则?值为 A.2 B. 3 2 C.3 D.6 解:由 PA ? PB ? PC ? 0 知,点 P 为△ABC 的重心,故有 AB ? AC ? 3 AP ,所以选 C。 3、已知 {an } 是等比数列, a3 ? 2, a6 ? ( D ). 1 ,则 a1a2 ? a 2a 3 ? 4 128 ) 3 ? anan? 1 (n ? 1, 2, )的取值范围是 A.[128,168) 解:易知公比 q ? B.[ 64 128 , ) 3 3 C.[16, D.[32, 128 ) 3 1 1 2 ,所以 a1 ? 8 ,从而数列 {an an?1} 是以 a1a2 ? 32 为首项, q ? 为公比的等比 2 4 数列. 于是,利用前 n 项和公式不难得出 32 ? a1a2 ? a1a2 ? a2 a3 ? 4、 设a ?s i n ( s i n2 0 1 0) , 大小关系是( B ). ? an an ?1 ? 128 .故选 D. 3 s i n ( c b o s2 ?0 1 0) , c o s ( s i n2 0 1 0c ) ,? c d? o s ( c o s2 0 1 0) , 则 a,b,c,d 的 A. a ? b ? c ? d B. b ? a ? d ? c C. c ? d ? b ? a D. d ? c ? a ? b 解:因 2010 ? 5 ? 360 ? 180 ? 30 ,所以 a ? sin(? sin 30 ) ? ? sin(sin 30 ) ? 0, b ? sin(? cos30 ) ? ? sin(cos30 ) ? 0 1 c ? cos(? sin 30 ) ? cos(sin 30 ) ? 0, d ? cos(? cos30 ) ? cos(cos30 ) ? 0 又 sin 30 ? cos30 ,故 b ? a ? d ? c . 选 B. 5、若关于 x 的方程 x ? ax ? 1 ? a ? 0 在区间 [2, ??) 上有解,则 a 的取值范围是( D ). 2 5 A. (1, ) 3 2 5 B.[ , ] 3 3 4 C. ( , 2] 3 5 D.[ , ??) 3 解:由原方程,有 a ? x2 ? 1 2 ? ( x ? 1) ? ? 2 . 令 t ? x ? 1 ? 3 ,则 x ?1 x ?1 a ? f (t ) ? t ? 2 ? 2 (t ? 3) t 5

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