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湖北省八校2014届高三第一次联考数学试题(理)及答案


湖北省

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八校

2014 届高三第一次联考 数学试题(理科)
考试时间 :2013 年 12 月 13 日下午 15︰00—17︰00 试卷满分 150 分 考试用时 120 分钟

A.充分不必要条

件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 在弹性限度内,弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按 胡克定律 F ? kl 计算.今有一弹簧原长 80cm , 每压缩 1cm 需 0.049N 的压缩力,若把这根弹簧从 70cm 压缩至 50cm (在弹性限度内) ,外力克服弹簧 的弹力做了( )功(单位: J ) A. 0.196 B. 0.294 C.0.686 D.0.98 9.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 BCC1 B1
[来源:学科网]

内的动点 ,且 A1 F ∥平面 D1 AE ,记 A1 F 与平面 BCC1 B1 所成的角为 ? , 下列说法错误的是( ) A.点 F 的轨迹是一条线段 B. A1 F 与 D1 E 不可能平行 D. tan ? ? 2 2 1 1 10. 若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ?| x ? | ? | x ? | 有四个公共点,则 k 的取值 x x 集合是( ) 1 1 1 1 A. {0, ? , } B. [? , ] 8 8 8 8 1 1 1 1 C. (? , ) D. {? , } 8 8 8 8 C. A1 F 与 BE 是异面直线 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必考题(11—14 题) 11. 平面向量 a, b 满足 | a |? 1,| b |? 2 ,且 (a ? b) ? (a ? 2b) ? ?7 ,则向量 a, b 的夹角为______. 1 12. 已知正三角形内切圆的半径 r 与它的高 h 的关系是:r ? h ,把这个结论推广到空间正四面体, 则正四 3 面体内切球的半径 r 与正四面体高 h 的关系是_________. ? 4? 13. 将函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象向左平移 个单位后得到的函数图象关于点 ( ,0) 成中心对称,那么 4 3 | ? | 的最小值为________. 1 14. 无穷数列 {an } 中, a1 , a2 ,?, am 是首项为 10,公差为 ?2 的等差数列; am?1 , am? 2 ,?, a2m 是首项为 ,公 2 1 1 比为 的等比数列(其中 m ≥ 3, m? N* ) ,并且对于任意的 n ? N* ,都有 an? 2m ? an 成立.若 a51 ? , 2 64 则 m 的取值集合为____________.记数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则使得 S128m?5 ≥ 2013
( m ≥ 3, m ? N* ) 的 m 的取值集合为____________. (二)选考题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答.如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15.(选修 4—1:几何证明选讲) 已知⊙O1 和⊙O2 交于点 C 和 D,⊙O1 上的点 P 处 的切线交⊙O2 于 A、B 点,交直线 CD 于点 E,M 是⊙O2 上的一点,若 PE=2,EA=1, ?AMB ? 45? , 那么⊙O2 的半径为 . 16.(选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,曲线 C1 : ? ? 4 上有 3 个不同的点到曲线
[来源:Z_xx_k.Com]

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟.

★ 祝考试顺利 ★
注意事项: 1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效. 3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内. 答在试题卷上无效.

第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 方程 x2 ? 2x ? 5 ? 0 的一个根是( ) A. 1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i 2. 集合 P ? {3,log2 a} , Q ? {a, b} ,若 P ? Q ? {0} ,则 P ? Q ? ( ) A. {3,0} B. {3,0, 2} C. {3,0,1} D. {3,0,1, 2} 3. 下列命题,正确的是( ) A.命题: ?x ?R ,使得 x2 ? 1 ? 0 的否定是 : ?x ?R ,均有 x2 ? 1 ? 0 . B.命题:若 x ? 3 ,则 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的否命题是:若 x ? 3 ,则 x2 ? 2x ? 3 ? 0 . C.命题:存在四边相等的四边形不是正方形,该命题是假命题. D.命题: cos x ? cos y ,则 x ? y 的逆否命题是真命题.
?2 x ? y ? 2 ≥ 0 ? 4. 已知 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ≥ 0 ,则关于 x 2 ? y 2 的说法,正确的是( ? 3x ? y ? 3 ≤ 0 ?



[来源:学§科§网]

4 C.有最大值 13 5 5. 函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0, x ? R) 有极值点,则( )

A.有最小值 1

B.有最小值

D.有最小值

2 5 5

A. b2 ≤ 3ac B. b2 ≥ 3ac 2 C. b ? 3ac D. b2 ? 3ac 6. 一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( 2 1 A. B. 3 3 C. 2 D. 1 7. △ ABC 中,角 A, B, C 成等差数列是
sin C ? ( 3 cos A ? sin A) cos B 成立的(



? C2 : ? sin(? ? ) ? m 的距离等于 2,则 m ? ______ . 4



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2? 17.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (2sin(? x ? ), 2) , b ? (2cos ? x,0) (? ? 0) ,函数 f ( x) ? a ? b 的图 3 象与直线 y ? ?2 ? 3 的相邻两个交点之间的距离为 ? . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [0, 2? ] 上的单调递增区间.

20. (本小题满分 12 分)如图,山顶有一座石塔 BC ,已知石塔的高度为 a . (Ⅰ)若以 B, C 为观测点,在塔顶 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ? ,在塔底 C 处测得 A 处的俯角 为 ? ,用 a,? , ? 表示山的高度 h ; (Ⅱ)若将观测点选 在地面的直线 AD 上,其中 D 是塔顶 B 在地面上的射影. 已知石塔高度 a ? 20 , 当观测点 E 在 AD 上满足 DE ? 60 10 时看 BC 的视角(即 ?BEC )最大,求山的高度 h .

18.(本小题满分 12 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足: a2 ? a4 ? 18, S7 ? 91 .递增的等比数 列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,满足: b1 ? bk ? 66, b2bk ?1 ? 128, Tk ? 126 . (Ⅰ)求数 列 {an } , {bn } 的通项公式; c c c (Ⅱ)设数列 {cn } 对 ?n ?N* ,均有 1 ? 2 ? ? ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ? ? c2013 . b1 b2 bn

21.(本小题满分 13 分)已知 an 是关于 x 的方程 xn ? xn?1 ? xn?2 ? ? ? x ? 1 ? 0 ( x ? 0, n ?N且n ≥ 2) 的根, 1 1 1 证明: (Ⅰ) ? an ?1 ? an ? 1 ; (Ⅱ) an ? ( )n ? . 2 2 2

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 底面△ ABC 为等腰直角三角形, ABC ? 90? , ?

D 为棱 BB1 上一点,且平面 DA1C ⊥平面 AAC1C . 1
(Ⅰ)求证: D 为棱 BB1 的中点; (Ⅱ)

AA1 为何值时,二面角 A ? A1 D ? C 的平面角为 60? . AB

22.(本小题满分 14 分)已知 函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f ( x) ≥ 0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值;
? ? ? 2?3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 3n ? (Ⅲ)求证: ln ?1 ? ? ? ln ?1 ? (32 ? 1)2 ? ? ? ? ln ?1 ? (3n ? 1)2 ? ? 2 . 2 ? (3 ? 1) ? ? ? ? ?

湖北省八校 2014 届高三第一次联考 理科数学参考答案及评分细则
一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题) 1—5 A C B B D 10. 答案: 0, , ? ? ? 6—10 B A A B A

(Ⅱ) f ( x) ? 2 cos(2 x ? 故 2x ?

?
6

)? 3,

x ? ? 0 , 2 ? 时, 2 x ? ?

?

? 1 ? 8

1? 8?

注意到 f ( x) ? x ?

1 1 ? x ? 是偶函数, x x

?2 x(0 ? x ? 1) ? 考察 x ? 0 的情形, y ? ? 2 ,作图 ? x ( x ? 1) ? k ? 0 时,直线 y ? kx ? 1 与曲线有四个交点,满足题意 2 2 1 k ? 0 时,若直线 y ? kx ? 1 与 y ? 相切,由 kx ? 1 ? 得: kx 2 ? x ? 2 ? 0 ,△=0, k ? ? x 8 x
直线绕(0,1)逆时针旋转,开始出现 5 个交点;顺时针旋转,3 个交点

? ?3? , 4? ? 时, f ( x) 单调递增 6 ? 5? 11? ? ?17? 23? ? 即 f ( x) 的单调增区间为 ? 和 , , ? 12 12 ? ? 12 12 ? ? ? ? a2 ? a4 ? 2a3 ? 18 ? ? 18. (Ⅰ)由题意 ? 得 a3 ? 9, a4 ? 13 ,则 an ? 4n ? 3 7(a1 ? a7 ) S7 ? ? 7 a4 ? 91 ? ? 2 ? b2bk ?1 ? b1bk ,? b1 , bk 方程 x 2 ? 66 x ? 128 ? 0 的两根,得 b1 ? 2, bk ? 64 6
b1 (1 ? q k ?1 ) b1 ? bk q ? ? 126 , b1 ? 2, bk ? 64 代入求得 q ? 2 , 1? q 1? q ? bn ? 2n c c c c c1 c2 ? ? ? ? n ?1 ? an (n ? 2) (Ⅱ)由 1 ? 2 ? ? ? n ? an ?1 ; b1 b2 bn b1 b2 bn ?1 c n?2 相减有 n ? an ?1 ? an ? 4 ? n ? 2, cn ? 4bn ? 2 , bn ? 10( n ? 1) c cn ? ? n ? 2 又 1 ? a2 ,得 c1 ? 10 b1 ? 2 ( n ? 2) ? Sk ?
? c1 ? c2 ? ? ? c2013 ? 10 ? 24 ? 25 ? ? ? 22015 ? 22016 ? 6
19.解: (Ⅰ)过点 D 作 DE ⊥ A1 C 于 E 点, 取 AC 的中点 F,连 BF ﹑EF ∵面 DA1 C⊥面 AA1C1C 且相交于 A1 C, DA1 C 内的直线 DE ⊥ A1 C 面 故直线 DE ? 面 ACC1 A1 3分 又∵面 BA C⊥面 AA1C1C 且相交于 AC,易知 BF⊥AC, ∴BF⊥面 AA1C1C 由此知:DE∥BF ,从而有 D,E,F,B 共面, 又易知 BB1∥面 AA1C1C,故有 DB∥EF ,从而有 EF∥AA1, 1 1 又点 F 是 AC 的中点,所以 DB = EF = AA1 = BB1, 2 2 即 D 为 BB1 的中点 6分 (Ⅱ)解法 1:建立如图所示的直角坐标系, 设 AA1 = 2b ,AB=BC = a ,则 D(0,0,b), A1 (a,0,2b), C (0,a,0) 所以, DA1 ? (a,0, b), DC ? (0, a,?b) 设面 DA1C 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 则

?

? ?? , 2? ? 或 2 x ?

?

?? ?? ? ? , 4? ? ? 6 ?6 6?
9分 12 分

2分 4分

1 1 k ? ? 符合题意. 根据对称性, k ? 也满足题意. 8 8
二.填空题(每小题 5 分,共 5 小题) 11. 15.

6分

? 2

12. r ?

1 h 4

13. 16.

? 6

14.

?45,15,9? ; ?6?

第一个空 2 分,第二个空 3 分

9分

14. 答案: ?45,15,9? ; ?6?

3 2 2

m ? ?2

12 分

1 1 ? ( )6 ,等比数列部分最少 6 项,即 m ? 6 64 2 由 m ? 6 ? 2m ? k ? 51 ,得 (2k ? 1)m ? 45 ? k ? 0,1, 2 时, m ? 45,15,9 ; a51 ?
S128m?5 ? 64S2 m ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 64S2 m ? 30 ;

1 S2 m ? ?m2 ? 1 m ?1 ?m 1 2

? g ( m) ,

? g (m ? 1) ? g (m) = 10 ? 2m ?
故 S128 m?5 ? 2013 ,则 m ? 6 三、解答题(共 5 小题,共 75 分) 17. (Ⅰ) f ( x) ? 4sin(? x ?

1 2
m ?1

,?3 ? m ? 5 时 , g (m ? 1) ? g (m)

即 m ? 6 时, S2m 最大,? S128m?5 ? 64 g (6) ? 30 ? 2013

2? 1分 ) cos ? x 3 ? 1 3? 2 ? 4 ?sin ? x ? (? ) ? cos ? x ? ? cos ? x ? 2 3 cos ? x ? 2sin ? x cos ? x 2 2 ? ?

? 3(1 ? cos 2? x) ? sin 2? x ? 2cos(2? x ? ) ? 3 6 2? 由题意, T ? ? ,? ? ? ,? ? 1 2?

?

5分 6分

ax ? 0 ? y ? bz ? 0, 0 ? x ? ay ? bz ? 0

可取 n ? (b,?b,? a )

8分

又可取平面 AA1DB 的法向量 m ? BC ? (0, a,0)

u r r n ? m b ? 0 ? ba ? a ? 0 cos m, n ? ? ??

b 2b 2 ? a 2
12 分

n?m

2b 2 ? a 2 ? a 2

据题意有:

b 2b 2 ? a 2

?

1 2

? f (an?1 ) ? f (an ) ? 0 ,矛盾,故 an ?1 ? an
(Ⅱ) f (an ) ? f ( 1 ) ? an n ? an n ?1 ? ? ? an ? 1 ? ?( 1 ) n ? ( 1 ) n ?1 ? ? ? ( 1 ) ? 1? ? ?
2 ? 2 2 2 ?

8分

解得:

AA1 2b ? 2 = a AB

(Ⅱ)解法 2:延长 A1 D 与直线 AB 相交于 G,易知 CB⊥面 AA1B1B, 过 B 作 BH⊥A1 G 于点 H,连 CH,由三垂线定理知:A1 G⊥CH, 由此知∠CHB 为二面角 A -A1D - C 的平面角; 设 AA1 = 2b ,AB=BC = a ;在直角三角形 A1A G 中,易知 AB = BG. b?a BD ? BG 在 Rt? DBG 中,BH = = , DG a2 ? b2 在 Rt? CHB 中,tan∠CHB = 解得:

9分

BC = BH

a2 ? b2 a2 ? b2 ,据题意有: b b

= tan600 = 12 分

3 ,

2b AA1 = 2. ? 2 所以 a AB
?

1 1 1 1 1 (? an ? ) (an n ? ( ) n ) ? (an n ?1 ? ( ) n ?1 ) ? ? ? (an ? ) ? an ? 2 2 2 2 2 1 1 n 1 n 1 ? f (an ) ? 0 , f ( ) ? ?( ) 13 分 ? an ? ( ) ? 2 2 2 2 n n ?1 2 方法二:?1 ? an ? an ? an ? ? ? an 1 1 1 1 1 n n n ?1 2 由(Ⅰ) 1 ? an ? an ? an ? ? ? an ? ( )n ? ( ) n?1 ? ? ? ( ) 2 = ? ( ) 2 2 2 2 2 1 1 ? an ? ( )n ? 2 2 ' x 22 (Ⅰ) f ( x) ? e ? a 1分
2分 ?a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递增。 ' a ? 0 时, x ? (??,ln a) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 4分 x ? (ln a, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ) a ? 0 时, f ( x) min ? f (ln a) , 5分 ? f (ln a) ? 0 即 a ? a ln a ?1 ? 0 ,记 g (a) ? a ? a ln a ? 1 (a ? 0 ) ? g ' (a) ? 1 ? (ln a ? 1) ? ? ln a ? g (a) 在 (0,1) 上增,在 (1, ??) 上递减? g (a) ? g (1) ? 0 故 g (a) ? 0 ,得 a ? 1 8分 (Ⅲ)由(Ⅱ) e ? x ? 1 ,即 ln(1 ? x) ? x ( x ? ?1) ,则 x ? 0 时, ln(1 ? x) ? x
x
n 2 ? 3k 3k ? 2 ,即证: ? k ?1 ? (3k ? 1)2 2 k ?1 k ?1 (3 ? 1) n

20. 解: (1)在△ ABC 中, ?BAC ? ? ? ? , ?BCA ? 90 ? ? ,
? as i n ( 9? ? ) a ? o s 0 c BC AB ? AB ? ? 由正弦定理得: ? s i n? ? ? ) ( s? n (? i? ) sin ?BAC sin ?BCA a cos ? sin ? a ? cos ? sin ? 则 h ? AB ? sin ? ? a ? 4分 ?a= sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) h ? 20 h (2)设 DE ? x ,? tan ?BED ? , tan ?CED ? x x 20 10 tan ?BED ? tan ?CED 20 x ? ? tan ?BEC ? ? ? (h ? 20)h (h ? 20)h 1 ? tan ?BED ? tan ?CED h(h ? 20) 1? x? 2 x x (h ? 20)h 当且仅当 x ? 即 x ? h(h ? 20) 时, tan ?BEC 最大,从而 ?BEC 最大 x 由题意, h(h ? 20) ? 60 10 ,解得 h ? 180 12 分

要证原不等式成立,只需证: 下证

3k 2 2 ? k ? k ?1 k 2 (3 ? 1) 3 ?1 3 ?1



9分

?

21. (Ⅰ)设 f ( x) ? x ? x
n '

n ?1

? x n?2 ? ? ? x ? 1 ,则 f ' ( x) ? nx n?1 ? (n ? 1) x n?2 ? ? ? 2 x ? 1

3k 4 ? 3k ? 4(32 k ? 2 ? 3k ? 1) ? 3 ? 32 k ? 4 ? 3k ? 1 ? 2k k 2k k 3 ? 2 ? 3 ?1 3? 3 ? 4 ? 3 ?1 ? 32k ? 4 ? 3k ? 3 ? 0 ? (3k ? 1)(3k ? 3) ? 0 ①中令 k ? 1, 2,?, n ,各式相加,得
3k 2 2 2 2 2 2 ? (3k ? 1)2 ? ( 31 ? 1 ? 32 ? 1) ?( 32 ?1 ? 33 ?1) ?? ? ( 3n ? 1 ? 3n?1 ? 1) k ?1 2 2 ? 1 ? n?1 ? 1 成立, 3 ?1 3 ?1
n

? 显然 f ( x) ? 0 ,? f ( x) 在 R 上是增函数

1 1 (1 ? ( )n ) 1 2 ? 1 ? ? 1 )n ? 0 ? f (1) ? n ? 1 ? 0(n ? 2) ( f( )? 2 1 2 2 1? 2 1 1 ? f ( x) 在 ( ,1) 上有唯一实根,即 ? an ? 1 2 2 k k * 假设 an ?1 ? an ,? an ?1 ? an (k ? N )
则 f (an ?1 ) ? an ?1
n ?1

故原不等式成立。 4分 方法二: n ? 1 时,
n n

14 分

2?3 2?3 2?3 2?3 3 1 1 ? n ? n ? 2 时, n 2 ? n ? n ?1 ? n n n ?1 n 2 (3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 3) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ? 1 3 ? 1 (3 ? 1) 2
n n

n ?1

? an?1n ? ? ? an?1 ? 1 ? an?1n ?1 ? an n ? an n ?1 ? ? ? an ? 1

3k 3 1 1 ? ? ? n n ? 2 时, ? k ?2 2 2 2 3 ?1 k ?1 (3 ? 1)

? an n ? an n ?1 ? ? ? an ? 1 ? f (an )


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