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2011年全国各地高中数学竞赛试题(不含答案)


目录
2011 年北京市数学竞赛初赛(高一) .................................................................................. 2 2011 年北京市数学竞赛复赛(高一) ..........................................................

........................ 3 2011 年江苏赛区初赛试题...................................................................................................... 4 2011 年江苏赛区复赛试题...................................................................................................... 5 2011 年湖北省预赛试题(高一).......................................................................................... 6 2011 年湖北省预赛试题(高二).......................................................................................... 7 2011 年河南省预赛试题(高一).......................................................................................... 8 2011 年河南省预赛试题(高二)........................................................................................ 10 2011 年福建省竞赛试题(高一)........................................................................................ 11 2011 年福建省预赛试题........................................................................................................ 13 2011 年天津市预赛试题........................................................................................................ 15 2011 年安徽省预赛试题........................................................................................................ 17 2011 年辽宁省预赛试题........................................................................................................ 19 2011 年四川省预赛试题........................................................................................................ 21 2011 年甘肃省预赛试题........................................................................................................ 23 2011 年内蒙古预赛试题........................................................................................................ 24 2011 年湖南省预赛试题........................................................................................................ 25 2011 年河北省预赛试题........................................................................................................ 26 2011 年浙江省预赛试题........................................................................................................ 28 2011 年陕西省预赛试题........................................................................................................ 30 2011 年山东省预赛试题........................................................................................................ 32 2011 年吉林省预赛试题........................................................................................................ 34 2011 年山西省预赛试题........................................................................................................ 36

2011 年北京市数学竞赛初赛(高一) 一. 选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 设函数()是偶函数,且(?3) = ?2。则 2 (3) ? 5(3) + 2的值为() 。 (A) -12 (B) 16 (C) 17 (D)8 2. 若图中给出的函数 = 2 + + 的图像与轴只有一个公共点, 则为() (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 3. 函数() = log 1 ? ? ? 的零点个数为() 16
16

y

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 4. 定义在实数集上的函数,对于每一个 ∈ 和常数 > 0,都满 5. 设为正方形内一点, = 1, = 2, = 3。则△ 的面积为() (A) (A) 2 +
?(2)+(2)?+((?2)+(?2)) 2 (20(2)) √2 2

1

足( + ) = 2 + ?() ? 2 ()若函数的值域记为,则()
7

∈ (B)

1

O

x

6. 函数()是上的奇函数,()是上周期为 4 的周期函数。已知(?2) = (?2) = 6,且 (A) 2 (B)1 (C) 0 (D) -1 二. 填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 计算tan 22.5° =___________. 2. 设 函 数 = () 的 定 义 域 为 , 且 对 任 意 ∈ 都 有 2( 2 + ) + ( 2 ? 3 + 2) = 9 2 ? 3 ? 6.则(60)的值为__________. 3. []表示不超过实数的最大整数。则在平面直角坐标系中 满足[][] = 2011的所有点(, )组成的图形的面积为________. 5. 已 知 () =
1+ 2 1 1
A D

(B) 2 ?

√2 3

∈ (C)
√2 2

= 则(0)的值为()
1 2

(C)2 + √2 (D) 2 ? √2

√2 2

∈ (D)

3



4. 如图, 两同心圆的半径分别为 6、 矩形的边、分 10, 别为两圆的弦。当矩形面积最大值时,其周长为_________. ?3? + ? + ?2011? =_____.
1 1

6. 已知直角三角形的两条直角边的长为二次方程 2 + + = 0的两个根。则该直角三 角形外接圆的面积为(结果用含, , 和圆周率的式子表示) 。 2 7. 若二次函数() = ? 2 ? 满足(2) < (1) < (3) < (0),则实数的取值范围 为________. 8. 设为△ 内一点, 使得∠ = ∠, 且∠ = 90°。 已知 = 5, = 6,为 的中点。则 =_________.

, 则 (1) + (2) + ? + (2011) + ? ? + 2

B

C

2011 年北京市数学竞赛复赛(高一) 一. 填空题(每小题 8 分,共 40 分) 1. 二次三项式 2 + + (, ∈ )的根是实数,且 = 22011 。则这样的二次三项式共有 __________个。 2. 在半径为 1 的⊙中内接有锐角△ ,是△ 的垂心,角平分线垂直于。则 =_________. 3. 已知定义在上的函数() = 2 和() = 2 + 2.若() = ?()? ? (())的最小 4. tan 37.5° =________. 5. 设 () =
1?3 1+ 1 4

值为 ,则 =_________. 2011 (2011) =_________. 。





二. (15 分)已知是正△ 边上一点,设△ 、 △ 的内心分别为1 、2 外心 2 2 2 分别为1 、2 证明:1 1 + 2 2 = 1 2 . 三. (15 分) 设是正整数, 记! = 1 × 2 × ? × .求方程? ? + ? ? + + ?
1! 2! 11!

1 () = ?()?, () = (?1 ())( = 2,3, ? )

.



正整数解([]表示不超过实数的最大整数) 。 四. (15 分)平面上的个点,若其中任三个点中必有两个点的距离不大于 1,则称这样 的个点为“标准点组”。要使一个半径为 1 的圆纸片对任意标准点组都能至少盖住其中的 25 个点,试求的最小值。 五. (15 分)已知函数: → ,使得对任意实数, , 都有 求[1 × (1)] + [2(2)] + ? + [2011(2011)]的值([]表示不超过实数的最大整数) 。
1 2

? = 2011的所有

() + () ? ()() ≥ .
1 2 1 4

2011 年江苏赛区初赛试题 一、 填空题(本体共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分。要求直接将答案写在横线上) 1. 复数(1 + )4 + (1 ? )4 =_________. 2. 已知直线 ? + 1 = 0是圆: 2 + 2 ? 4 + 4 ? 5 = 0的一条对称轴,则实数 =_________. 3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率是 _________.(结果用最简分数表示) 4. 已知cos 4 = ,则sin4 + cos 4 =________.
1 5 3

5. 已知向量, 满足|| = || = 2, < , >= ,则以向量2 + 与3 ? 表示的有向线段为邻

10. 已知是正整数,且方程2 ? √10 ? ? + 10 = 0有整数解,则所有可能的值是 ___________. 二、 解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11. 已知 2 + 2 = 1圆与抛物线 = 2 + ?有公共点,求实数?的取值范围。 12. 设() = 2 + + (, ∈ )。若|| ≥ 2时,() ≥ 0且在区间(2,3]上的最大值为 1,求 2 + 2的最大值和最小值。 A 13. 如图,是△ 内一点。 (1)若是△ 的内心,证明:∠ = 90° + ∠; 是△ 的内心。
1 2 1 2 1 2

边的平行四边形的面积为________. 6. 设数列{ }的前项和为 。若{ }是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{ 3 }的前项和 等于_______. 7. 设函数() = | 2 ? 2|。若() = (),且0 < < ,则的取值范围是_______. 8. 设()为数列{ }中小于的项的个数,其中 = 2 , ∈ ? ,则[(2011)] =_____. 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角形的 斜边长是

证明: (2) 若∠ = 90° + ∠且∠ = 90° + ∠, 使得√ + α为有理数。

P B C

14. 已知α是实数, 且存在正整数0 , 使得?0 + 为正有理数。 证明: 存在无穷多个正整数,

2011 年江苏赛区复赛试题 1. 已知集合 = {|| ? 1| < 3}, = ?? ? ? < 1, ∈ ?,则 ∩ 的子集的个数是_______. 2 一. 填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 2. 已知函数() =
√ 2 +2+4
2 2

3. 在△ 中,已知 = 2√3, = √7 + 1, = √7 ? 1,则边上的高的长度为______. 4. 设 ∈ {0,1,2, ,9},其中 = 1,2,3,4,则排列1 , 2 , 3 , 4中,至少有两个 9 相邻的排列的个数 为_______. ,则()的值域为________.
?????? ?????? ?????? ?????? 5. 已知, , 是椭圆25 + 16 = 1的三点,点(3,0),若 + ?????? + = ,则?? + ?? +



1

7. 已知2 ( + ) = 2 ( + ) = 2011,且 ≠ ,则 =________. 8. 若直线系: cos + ( + 1)sin = 2中的三条直线围成正三角形区域,则区域的面积为 _______. 二. 解答题 项公式 .
2 2 1 2

6. 设, 为正实数,记 = ?

?????? ? ? =________.

2 +42

,

4

, >

≤ 2 +42
4 4

2 +42

,则的最大值是_______.

点, 为椭圆上异于的点, 且 ⊥ , 与的交点为, 当沿椭圆运动时, 求动点的 轨迹方程。 11. (本题满分 20 分)三次函数() = 3 + 2 + + 的图 y 像如图所示,直线 ∥ ,且直线与函数()的图像切于 D B 点、交于点,直线与函数()的图像切于、交于点。 设 , , , 分别为点, , , 的横坐标,求证:( ? ): ( ? ): ( ? ) = 1: 2: 1.
x C A

9. (16 分)设数列{ }的前项和为 ,如果1 = , = ?5 ?1 ( ≥ 2),求数列{ }的通

10. (20 分)设是椭圆: 48 + 16 = 1上的一点,, , 分别为点关于轴、原点、轴的对称

2011 年湖北省预赛试题(高一) 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 2 2 2 2 1.计算:sin 10° + sin 20° + sin 30° + ? + sin 90° =_______. 2.设等差数列{ }的前项和为 ,已知12 = 21,则3 + 4 + 9 + 10 =______________. ?????? ?????? ?????? ?????? 则△ 与△ 的面积之比为________. 3. 已知是△ 所在平面上一点, 满足 + + 2 = 3, 4.? ? 5.满足方程 2 + 8() + 16 = 0( ∈ , ∈ [0,2))的实数对(, )的个数为_________. 6.已知函数() = 2 ? 2|| + 2的定义域为[, ](其中 < ) ,值域为[2, 2],则符合条件的数组 (, )为__________. 7.设集合 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.如果方程 2 ? ? = 0(, ∈ )至少有一个根0 ∈ ,就称该方程 为合格方程,则合格方程的个数为____________. ____________. 二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)
1 2 +

? ? ? ++? ? ? ? +++?+? =______________.


8.已知关于的方程| ? | =

√2 √在区间[ 2

? 1, + 1]上有两个不相等的实根,则实数的取值范围是

(1)求()的解析式; (2) 函数 = ()的图像上是否存在这样的点, 其横坐标是正整数, 纵坐标是一个完全平方数?如果存在, 求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由. 10.已知, ∈ ,关于的方程 4 + 3 + 2 2 + + 1 = 0有一个实根,求2 + 2 的最小值. 11.已知数列{ }满足1 = , +1 = + ( ∈ ? ).证明:对一切 ∈ ? ,有 2 (1) < +1 < 1; (2) > ?
1 2 1 3 4 1 2

9.已知二次函数 = () = 2 + + 的图像过点(1,13),且函数 = ( ? )是偶函数.



6

2011 年湖北省预赛试题(高二) 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) ?????? + + 2 = 3, ?????? ?????? 则△ 与△ 的面积之比为________. ?????? 1. 已知是△ 所在平面上一点, 满足 2 . 已 知 数 列 { } 满 足 : 1 = 2, 2 = 1, +1 +2 = + +1 + +2 ( ∈ ? ) , 则 1 + 2 + ? + 2011 =________. 3.已知 ∈ ,如果集合{sin , cos 2} = {cos , sin 2},则所有符合要求的角构成的集合为______. 4.满足方程 2 + 8() + 16 = 0( ∈ , ∈ [0,2))的实数对(, )的个数为_________. 5.设是模为 2 的复数,则? ? ?的最大值与最小值的和为____________.
1 3 2

6. 对一切满足|| + || ≤ 1的实数, , 不等式?2 ? 3 + ? + | ? 1| + |2 ? ? 3| ≤ 恒成立, 则实数的 最小值为_____________. 7.设集合 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.如果方程 2 ? ? = 0(, ∈ )至少有一个根0 ∈ ,就称该方程 为合格方程,则合格方程的个数为____________. ____________. 二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)
1 2

8.已知关于的方程| ? | =

√2 √在区间[ 2

? 1, + 1]上有两个不相等的实根,则实数的取值范围是

(1)求()的解析式; (2)函数 = ()的图像上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如果 存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由. 10.已知数列{ }满足1 = , +1 = + ( ∈ ? ).证明:对一切 ∈ ? ,有 2 (1) < +1 < 1; 11.已知椭圆:
2 4

9.已知二次函数 = () = 2 + + 的图像过点(1,13),且函数 = ( ? )是偶函数.
1 3 2

(1)求∠; (2)记△ 的面积为,证明: < 3.

+

2 2

= 1,过点( 3 , ? )而不过点(√2, 1)的动直线交椭圆于, 两点.
√2 1 3

(2) > ?
1 2

4

1



7

2011 年河南省预赛试题(高一) 一. 填空题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. 已 知 集 合 = {|3 + 4 > 5 , ∈ } , 若 集 合 使 得 (?) ? (?) 成 立 , 则 集 合 =_______. ?4 ≤ (1) ≤ ?1 ,则(3)的取值范围是________. 2. 若一元二次函数() = 2 ? 满足? ?1 ≤ (2) ≤ 5 4. 已知函数() = ? ?log√2 ?, 0 < ≤ 8 ? 4 + 8, > 8
1

3. 若圆: ( ? 3)2 + ( + 5)2 = 2 上有且只有两个点到直线: 4 ? 3 = 2的距离为 1, 则的 取值范围是__________.

6. 设函数() = √ 2 + + ( < 0)的定义域为,若所有点(, ())(, ∈ )构成一 个正方形区域,则 =___________. 7. 定义在(0, +∞)上的单调函数()满足: ?() + ? = ,(1) > 0,则(1) =_______. ()
2 1

则的取值范围是________. 5. 底面半径为2的圆柱形容器内放有四个半径为1的实心铁球,四个球两两相切,其中 底 层两 球与容 器底 面相切 ,现 往容器 内注水 ,使 水面 恰好浸 没所有 铁球 ,则 需注水 _________3.

, 若, , 是互不相当的实数, 且() = () = (),

10. 集合 = {?2011, ?2010, ? , ?1,0,1,2, ? ,2011}, 将 4023 的所有非空子集记为 ( ∈ , 1 ≤ ≤ 2 ? 1)。若 每一个非空子集 中所有元素的乘积记为 ,其中,单 元素集。若每一个非空子集中所有元素的乘积记为,其 中,单元素集合的所有元素之积定义为此元素的值,则 所有的 的和1 + 2 + ? + 24023 ?1 =_________. 二. (本题满分 20 分)如图所示,, , 分别为锐 角△的边, , 上的高,交△过点的外 接圆切线于, 交于。 证明: (1) = ;(2) = . 三. (本题满分 15 分) 如图所示, 四边形是矩形, ⊥平面,其中 = 3, = 4。 (1)若在线段上存在点使得 ⊥ ,求线段的 长度的取值范围;
8

8. 在1,2,3, ? ,100这个 100 个整数中,能表示为?[]?形式的整数有________个,其中,是 实数,[]表示不超过实数的最大整数。 9. (以下两题请同学们任选一题作答,若两题都做,则按上面一题正误判分) (必修 3)甲乙两人相约在 20 时至 21 时之间在某德克士餐厅见面,早到者到达后应等 15 分钟方可离去。 假设两人到达的时刻是互不影响的, 20 时至 21 时之间的任何时刻到达相 且 约地点都是等可能的,则他们两人见面的概率为 A ________. M (必修 4)在△中, = 2, = 4, 是△的外 ?????? ?????? 心,则 ? =_______.
F N E

B

D

C

P

A

D

B

C

其中, ∈ ,且 + 206 = 103。求cos ∠的值。 五. (本题满分 20 分)定义在上的函数()满足以下三个条件: (ⅰ)(0) = 0;
1 1

(2)当线段上有且只有一个点使得 ⊥ 时,求二面角 ? ? 正切值的大小。 四. (本题满分 15 分) (以下两题请同学们任选一题作答,如两题都做,则按上面一题正 误判分) (必修 3)骰子是一个质地均匀的正方体,6 个面上分别刻有1,2,3,4,5,6,现桌子上有 2 只完 全相同的骰子, 定义一次操作如下: 将桌子上的骰子全部掷出, 然后去掉那些奇数点的骰子。 若果桌子上还有骰子,则重复上面的操作。求操作 3 次后桌面上至少还有一个骰子的概率。 ?????? ?????? ?????? (必修 4)已知是锐角△的外接圆圆心, = 2011, = 515,若 = + ,
+

(ⅱ)对任意的, ∈ (?∞, ?1) ∪ (1, +∞),都有 ? ? + ? ? = ( ); 1+ (ⅲ)当 ∈ (0,1)时,() < 0。 求证: (1)()在(?1,1)上是单调递减的奇函数; (2)对任意的, ∈ (0,1)且 + ∈ (0,1)都有() + () > ( + ); (3) ? ? + ? ? + ? + ? 2 ? > (3)。 13 21 +5+7
1 1 1 1

六. (本题满分 20 分)给定集合 = {1,2,3, ? , }。若集合 ? ,且对于中任意两个元 素, 可以相同, ( 都有 + ? , 则称集合为“不和谐的”。 已知集合是的不和谐子集, 求||的最大值。其中,||表示集合的元素的个数。

9

2011 年河南省预赛试题(高二) 一. 填空题(共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分) 1. 如图所示,程序框图(算法流程图) 2. 若 =
ln2 2

为____________. 3. 若是方程 ? 10 = 2011的解,是方程 ? lg = 2011的解,则 ? =______. 4. 已知 > 0, > 0,若表示1, 及
2 +2

, =

ln3 3

, =

ln

, =

ln2.72 2.72

, =

√10ln10 ,则, , , , 的大小(按从小到大)顺序 20

8. 函数 = √ 4 + 3 2 ? 6 + 10 ? √ 4 ? 3 2 + 2 + 5的最大值为__________. 二. (本题满分 16 分)设 > 0,函数() = 3 ? 在[1, +∞)上是单调函数。 (1)求的取值范围; (2)若0 ≥ 1,并满足(0) ≥ 1, ?(0 )? = 0 .求证:(0 ) = 0. 三. (本题满分 20 分) 如图, 已知四棱锥 ? , 底面为菱形, ⊥平面, ∠ = 60°。, 分别是, 的中点。 P (1)证明: ⊥ ; (2) 若为上的动点, 与平面所成最大角的正切值为 , 2
√6
F

_________. 5. 已知在半径为 5 的球面上有, , , 四点,若 = 6, = 8,则四面体的体积的 最大值为_______. 6. 若 ∈ ,且 10 = 1,则1 + + 2 + 3 + ? + 2009 + 2010 =______________. 7. 在棱长为 1 米的正四面体中,有一小虫从顶点处开始按一下规则爬行,在每一顶 点处以同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一, 并一直爬到这条棱的尽头。 记小虫爬了 米后重新回到点的概率为 ,则4 =__________.

这三个数中的最小者,当, 变化时,的最大值为

(2)若数列{ }满足1 = , +1 = ( )( ∈ + ). (1)求()的解析式; 求证: (ⅰ)+1 > ( ∈ + );
1
1

∈ (0, 2 )。


求二面角 ? ? 的余弦值。 A D 四. (本题满分 20 分)在平面直角坐标系中,以原点为圆 C E 心,分别以, ( > > 0)为半径作两个圆。点是大圆半径与 B 小圆的交点, 过点作 ⊥ 垂足为, 过点作 ⊥ , 垂足为, 记当半径绕点旋 转时点的轨迹为曲线。 (1)求曲线的方程; ?????? ?????? ?????? 0 (2)设, , 为曲线上的三点,且满足 + + = ??,求△的面积。 五. (本题满分 20 分)已知tan = √2 ? 1,函数() = 2 tan 2 + sin(2 + ),其中
4 1 2

(ⅱ)1 < 1+ + 1+ + ? + 1+ < 2( ≥ 2, ∈ + ).
1
2

1



10

2011 年福建省竞赛试题(高一) 一. 选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 已知集合 = {|| ? 1| ≤ 3}, = {| < },若 ? ,则的取值范围是() (A) [4, +∞)(B)(4, +∞)(C)(?∞, 2](D)(?∞, 2) 2. 若直线1 : (2 + 1) ? 4 + 3 = 0与直线2 : + ( + 5) ? 3 = 0平行, 则的值为 () 2 3. 已知函数() = ? 2 + 4 + 2
2 12 9 9 19

(A)? 2 或 ? 1(B)? 2(C)? 2 (D)?1

(3)1与底面所成角的正切值是√2; (4)二面角 ? 1 1 ? 1的正切值是√2; C D (5)过点1 与异面直线和1 成70°角的直线只 A B 有 2 条。 其中正确的命题有() (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 6. 已知函数()是定义在上的偶函数,对于任意 ∈ 都有( + 6) = () + (3)成立, 且()在区间[0,3]上是增函数,则方程() = 0在区间[0,2011]内的实根个数为() (A) 334 (B) 335 (C) 668 (D) 770 二. 填空题(每小题 6 分,共 36 分) 7. 若点(1,3)与点(?2, )( > 0)关于直线: 6 + ? 5 = 0对称,则 + =______. 8. 已知正三棱锥 ? 的底面正三角形的边长为 3, 若三棱锥 ? 外接球的球心在平 面内,则三棱锥 ? 的体积为________. 9. 已知 > > 0, = 1,则 围是________. 10. 已知函数() = 2 ? ,其中 > 1。若 ∈ (?1,1)时,() < 恒成立,则的取值范 2 + 2 ≤ 4 的点(, )所成的集合为,则区域的面积为____. 11. 设符合条件? ( ? 4)2 + 2 ≤ 12 13. 已知() = √1 + ? √1 ? , () = () + √1 ? 2
11
1 1 2 1 1 2 + 2 ?

5. 如图, ? 1 1 1 1 为正方体,给出下列 5 个命题: (1) ∥平面1 1; (2)1 ⊥平面1 1;

4. 若直线 ? + 3 ? 2 = 0与曲线 = √4 ? 2 有公共点,则的取值范围是() (A)(?∞, 5? ∪ ? 5 , +∞)(B)(?∞, 5?(C)? 5 , +∞)(D)?5 , 5 ?
2 12 2 12

的取值范围是() (A)[?1,2)(B)[?1,2](C)[2,+∞)(D)(?∞,?1]

> ,若关于的方程() = 恰有三个不同的实根,则 ≤

D1 A1 B1

C1

的最小值为_________.

12. 已知, , 为正整数, > > > 1, ( ? )( ? )( ? )为整数, + + =______. 且 则 三. 解答题(第 13、14、15、16 题每题 16 分,第 17 题 14 分,满分 78 分)


(1)求函数()的值域; (2)求函数()的最小值?() 14. 已知动直线: ( + 1) + (1 ? 2) ? 6 = 0( ∈ )与圆: ( ? 2)2 + ( ? 1)2 = 4交于 , 两点。 (1)若点, 分圆所得两段弧的长度之比为2: 1,求的值; (2)过点作 ⊥ 于点,求点的轨迹方程。 15. 已知抛物线: = 2 2 + (2 + 1) + + 1与射线: = + ( > ?)交于不同的两点 , 。 A (1)求的取值范围; (2)若△ (为坐标原点)的面积为√2,求的 E I 值。 D 16. 如图,在△ 中, > ,点在边上,且 C = , 为△ 外接圆的 切线,且直线 过 B △ 的内心。求证: = . 17. 对一个3 × (3 行,列)的格阵中的每一个方格 用红、 蓝两种颜色中的一种染色。 如果对任意一种染色方案总可以找到由 2 行 3 列相交处的 同色的 6 个方格(2 行可以不相邻,3 列也可以不相邻) ,求的最小值。

12

2011 年福建省预赛试题 一. 填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1. 函数() = sin4 + sincos + cos4 的最大值为___________. 2. 已 知 , 分 别 是 等 差 数 列 { } 与 { } 的 前 项 的 和 , 且 =
3 +18 10

的实数, 均有( + ) ? ( ? ) = 2(1 ? )()。则 ?3? =_______.
1

4. 如图,在四面体 ? 中,已知 ⊥平面,△ 是边长为 2 的正三角形。则当二 面角 ? ? 的正切值为 2 时,四面体 ? 的体积 =_______. 5. 已知定义在上的函数满足: (1)(1) = 1;(2)当0 < < 1时,() > 0;(3)对任意

3. 若函数() = log (4 + )在区间[1,2]上为增函数,则的取值范围是_____.


+

6 +15

11

=_________.





2+1 4?2

( = 1,2, ? ) , 则

10. 在平面直角坐标系中,已知点集 = ?(, )?, 为整数, 且 0 ≤ ≤ 5,0 ≤ ≤ 5?,则以集 合中的点为顶点且位置不同的正方形的个数为______. 二. 解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11. 已知1 , 2 分别是椭圆:
2 1 ???????? ???????? 1 + 2 = ,且2 = 2 ,求的值。 2 4

6. 已知实数, 满足条件3 2 + 4 2 = 48,则? 2 + 2 ? 4 + 4 + ? 2 + 2 ? 2 + 4 + 5 的最大值为_______. 7. 已 知 正 整 数 , , 满 足 条 件 = (14 ? )(14 ? )(14 ? ) , 且 + + < 28 , 则 2 + 2 + 2的最大值为_______. 8. 有 5 个乒乓球,其中有 3 个是新球,2 个是旧球(即至少用过一次的球) 。每次比赛,都 拿其中的 2 个球用,用完后全部放回。设第二次比赛时取到新球的个数为,则的数学期望 =________. 9. 对正整数,设 是关于的方程 3 + 2 ? = 0的实数根,记 = [( + 1) ]( = 2,3, ? )([]符号表示不超过的最大整数) 。则 +
2 3 1005 1

(2 + 3 + 4 + ? + 2011 ) =________.

12. 已知二次函数() = 2 + 2 + ( > > ),其图像过点 (1,0),并与直线 = ?有公共点。求证:0 ≤


= 1的左、右焦点,点(1 , 1 ), (2 , 2 )在椭圆上。若
A

14. 已知() = ? ? 1(为自然对数的底数) 。 (1)求证:() ≥恒成立; 求证: (1)
13

13. 如图,设锐角△ 的外接圆为圆,过点, 作圆的两条 切线, 相交于点。 连接交于点, 点, 分别在边, 上, B 使得 ∥ , ∥ . = 2,(2)∠ = ∠.
2

< 1.

F O E

D

C

P

(2)求证:? ? + ? ? + ? ? + + ? 2 2 2
1 3 5

15. 已知1 , 2 , 3 , ? , 35是平面内凸三十五边形的 35 个顶点,且1 , 2 , 3 , ? , 35中任何两点

2?1 2

? < ?1对一切正整数均成立。


之间的距离不小于√3。求证:从这 35 个点中可以选出 5 个点,使得这 5 个点中任意两点之 间的距离不小于 3.

14

2011 年天津市预赛试题 1. 如果 ∈ (0, )时总有sin > 成立,则实数的取值范围是 一. 选择题(每小题 6 分,共 36 分)
2 2 2 2

2. 已知函数 = ()有反函数 = ?1 (),将 = ()的图像绕(1, ?1)逆时针旋转90°,所得曲 线的方程是 (A) = ?1 (?) ? 2(B) = ? ?1 (?) ? 2 (C) = ?1 (? + 1) ? 1(D) = ?1(? + 1) + 1 ?????? 5. 在半径为 1 的?上,取一个定点和一个动点。设点满足 ∥ 且 ? ?????? = 1,则点 的轨迹是 (A)椭圆(B)抛物线(C)双曲线(D)以上都有可能 6. 将( + + + )9展开之后再合并同类项,所得的多项式的项数是 3 3 4 4 (A)9 (B)9 (C)12(D)12 二. 填空题(每小题 9 分,共 54 分) 等于________.
3 4

(A)(?∞, ](B)(?∞, )(C)(?∞, ](D)(?∞, )
2

(A) > (B) = (C) < (D)以上都有可能 4. 若直线 = ? 3与曲线 = + 相切,则实数的值是 (A)-4(B)-2(C)2(D)4 则

3. 设为正整数, = ?1 + ? , = ?1 + ?
1

1 +1

1. 九个正实数1 , 2 , ? , 9 构成等比数列,且1 + 2 = , 3 + 4 + 5 + 6 = 15.则7 + 8 + 9 3. 若实数, , 满足 = log3 tan = ? log3 tan ,且 ? = ,则的值是______.
6 1

2. 设 ? 是正四棱锥,其中 = √3, = 2。以为球心,以 1 为半径作一个球,则这个 球与正四棱锥相交部分的体积是_________.

4. 设, 是双曲线的两个焦点, 在双曲线上。 已知△ 的三边长成等差数列, 且∠ = 120°, 则双曲线的离心率为_________. 5. 函数()的定义域为(0, ∞), 且满足() ? 2 ? ? + 3 2 = 0, 则()的最小值是__________. 6. 复数满足||(3 + 2) = 2( ? 6),则||等于_________. 三. 解答题(每小题 20 分,共 60 分。每小题只设 0 分,5 分,10 分,15 分,20 分五档) 1. 在四面体中, ⊥平面, ∠ = ∠ = < 45°。已知是上一点,满足 ⊥ 且 = = 1. (1)证明:∠ = . 2. 设, , , , , 为实数,且 2 + + ≥ | 2 + + |对任意实数成立,证明: 4 ? 2 ≥ |4 ? 2 |
13 4

(2)若点到平面的距离为 ,求cos 的值。

15

2 3. 设数列{ }定义为1 = 1, +1 = 2 + ?3 + 1, ≥ 1. (1)证明:当 > 1时,+1 + ?1 = 4 ;

(2)证明:

1

1

+

2

1

+ ?+



1

<

1+√3 2

.

16

2011 年安徽省预赛试题 1. 以||表示集合 的元 素个数 . 若有限 集合, , 满足| ∪ | = 20,| ∪ | = 30, 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 2. 设是正实数. 若() = √ 2 ? 6 + 102 + √ 2 + 2 + 52 , ∈ 的最小值为 10, 则 =________. (0) + (4)的所有可能值集合为___________. 4. 设 展 开 式 (5 + 1) = 0 + 1 + ? + , ≥ 5. 在如图所示的长方体 ? 中,设 P 是矩形 | ∪ | = 40,则| ∩ ∩ |的最大可能值为_________. 3. 已知实系数多项式() = 4 + 3 + 2 + + 满足(1) = 2, (2) = 4, (3) = 6, 则 2011. 若2011 = max(0 , 1 , ? , ),则 =_______.
A D E H G
r

B C F

的 中 心 , 线 段 交 平 面 于 点 . 若 = 3, = 2, = 1,则 =________. 过区域的面积为_________.

6. 平面上一个半径的动圆沿边长的正三角形的外侧滚动,其扫 7. 设直角坐标平面上的点(, )与复数 + 一一对应. 若点, 分别对应复数, ?1 ( ? ),则直线与轴的交点对应复数________(用表示).
1 +?+?2 4

a

8. 设是大于 4 的偶数. 随机选取正边形的 4 个顶点构造四边形,得到矩形的概率为 ________. 9. 已知数列{ }满足1 = 1 = 1, = 1 ? 二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 分) 10.已知正整数1 , 2 , ? , 都是合数,并且两两互素,求证: 值.
1 1

11.设() = 3 + + (, , 是实数),当0 ≤ ≤ 1时,0 ≤ () ≤ 1. 求的最大可能 12.设点(?1,0), (1,0), (2,0),在双曲线 2 ? 2 = 1的左支上, ≠ ,直线交双曲 线 2 ? 2 = 1的右支于点. 求证:直线与的交点在直线 = 上.
1 2

( ≥ 3),求 的通项公式. +
2 1

+ ?+



1

< .
1 2

17

y

P B A E

C x

D

18

2011 年辽宁省预赛试题 1. 已知 ∈ , ∈ 。则"|| < 1, 且|| < 1"是"| + | + | ? | < 2"的 (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 (D)即非充分条件也非必要条件 一. 选择题(每小题 6 分,共 36 分) (A)?1, √2?(B)?1, ?(C)?1, √3?(D)[1,2]
3 2 3 5 4 7 1 2 3 7

2. 函数() = √ ? 3 + √12 ? 3的值域为

3. 一个盒子里有 3 个黑球和 4 个白球,现从盒子里随机每次取出一个球,取出后不再放回, 每个球被取出的可能性相等, 知道某种颜色的球全部被取出。 则最后取出的是黑球的概率为 (A) (B) (C) (D)


4. , 是互相垂直的异面直线,与平面平行, ′在平面内。则在平面内到, ′距离相等的 点的轨迹是 (A)直线(B)椭圆(C)抛物线(D)双曲线 5. 设正数数列{ }的前项和为 , 数列{ }的前项积为 ,且 + = 1。则数列? ?中最接近 2011 的数是
1

(A) (B) (C)1(D)√2 3 2

(A)1980(B)2010(C)2040(D)2070 6. 如图,正方体 ? 1 1 1 1的棱长为 1,在侧面对 角线1 上取点,1上取点,使得线段平行于对 角面1 1。则这样的长度的最小值为 二. 填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7. 设(1 + ? 2 )10 = 0 + 1 + ? + 20 20。则0 + 1 + 22 + +2020 =_____. 10. 函数 = sin + √2 + cos2 的最大值与最小值之和为_____________. 11. 设函数() = + log2
1 2 1? √3 √2

8. 已知直线√3 ? ? √3 = 0与抛物线 2 = 4交于, 两点(点在轴上方) ,与轴交于 ?????? = + ,则2 ? 2 =________. ?????? ?????? 点。若 9. 设正实数集合 = {1 , 2 , ? , 100 },集合 = {(, )| ∈ , ∈ , ? ∈ }。则集合中 的元素最多有_________个。 ,定义 = ? ? + ? ? + ? + (
1 2 ?1

=___________. 12. 将凸五边形的每个顶点染上五种颜色之一, 使每条对角线的两个端点颜色不同的 染色方式共有___________种(用数字作答) 。 三. 解答题(每小题 15 分,共 60 分) 13. 求曲线 = 2 ? √1 ? 4 和 = 2 ( ∈ )的交点。 14. 已知椭圆
2 2

)其中 ∈ + , ≥ 2。则

+

2 2

= 1( > > 0)的离心率为 ,1 , 2 为左、右焦点,过2 的直线与椭圆交
1 2

19

(ⅰ) (0) = 2
1

于, 两点。若1 面积的最大值为 6,求椭圆的方程。 15. 如图,四边形为⊙的内接四边形,对边, 交于点, 交于点.△的外接圆与⊙的另一交 , 点为, 与交于点, 与⊙交于点。 证明: 1) ( 为的中点; (2), , , 四点共圆。 16. 已知定义在上的函数 ()具有下列性质: 0,1, ? ) ( ⅱ ) ? ?
+1

A

G

O

D

(2)对 ∈ + ,证明: < (1) ≤ .
1 4 1 3

(1)当为定值时,记 =

? ? ()? = ( ?? ? 1) (
( )


+1

1

,求 的表达式;

)( =

B C E

H F M

20

2011 年四川省预赛试题 一. 选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
2 2

焦点) ,则该双曲线的离心率等于 (A) (B)√3(C) 2
√6 3√3 2

1. 双曲线2 ? 2 = 1的左、右准线1 , 2将线段1 2三等分(其中1 , 2分别为双曲线的左、右 (D)2√3

2. 已知三次函数() = 3 + 2 + + , (, , , ∈ ), 命题: = ()是上的单调函数; 命题: = ()的图像与轴恰有一个交点。 则是的 (A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 3. 甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏。每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、 布”中的一种手势, 且时相互独立的。 设在一局中甲赢的人数为ξ, 则随机变量ξ的数学期望ξ 的值为 (A) (B) (C) (D)1 4. 函数() = √ ? 5 + √24 ? 3的最大值为 (A)√3(B)3(C)2√3(D)3√3 5. 如图, 边长为 2 的正方形和正方形所在的面成60°角, 分别是线段和 , 上的点,且 = ,则线段的长的取值范围是 lim→∞
1 2 1 3 4 9 2 3

6. 设数列{ }为等差数列,数列{ }满足:1 = 1 , 2 = 2 + 3 , 3 = 4 + 5 + 6 , ?,若


(A)?2 , 2?(B)[1,2](C)?√2, 2?(D)?√3, 2?
1 3

(A) (B)1(C)2(D)4

= 2,则数列{ }的公差为

相垂直的所有实数之和为___________. 9. 记实数等比数列{ }的前项和为 ,若10 = 10, 30 = 70,则40 =__________. 10. 设为实数,定义??为不小于的最小整数,例如?? = 4, ??? = ?3。关于实数的方程 11. 已知?1 + √3? = + √3,其中 , 为整数,则lim→+∞


二. 填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7. 已知实数满足|2 + 1| + |2 ? 5| = 6,则的取值范围是___________. ?? ? ?? 8. 设平面内的两个非零向量 ??相互垂直, ??? = 1, ?与 且? 则使得向量 + 与 + (1 ? )互 ? ?3 + 1? = 2 ? 的全部实根之和等于_____________.
1 2

12. 已知三棱锥 ? 的底面是以为斜边的等腰直角三角形,且 = = = = 2, , , 四点均在以为球心的某个球面上, 设, 则点到平面的距离为______________. 三. 解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分)
21



=_________.

13. 已知 > 0,若函数() = + √100 ? 的最大值为(),求()的最小值。 值。 15. 抛物线 = 2 与过点(?1,1)的直线交于1 , 2两点 (ⅰ)求直线的斜率的取值范围; (ⅱ)求在线段1 2上满足条件
1 1 2

14. 已知函数() = 2(sin4 + cos 4 ) + (sin + cos)4在 ∈ ?0, ?有最大值 5, 求实数的 +
1

何的正整数恒成立。

16. 已知为实数,数列{ }的前项和为 ,满足: = ? × 3 + ,且 ≥
8 9 4 3

2

=



2

的点的轨迹方程。

64 3

对任

22

2011 年甘肃省预赛试题 一. 填空题(每小题 7 分,共 56 分) 1. 已 知 集 合 = {||( ? 2)( ? 6)| ≥ 3, ∈ , 0 ≤ ≤ 7} . 则 的 非 空 子 集 的 个 数 为 ________. 2. 若?()? = sin2, () = tan (0 < < ),则 ? 2 ? =______________.
2 1 2 √2

4. 在平面直角坐标系中,点(1,2), (4,1),圆 2 + 2 = 25上的动点(, )与点, 形成三角 形。则△ 的最大值为_______________. 5. 将正整数1,2, ? ,7任意分成两组,使得每组至少有一个数。则第一组数的和与第二组数的 和相等的概率是__________. 7. 四次多项式()的四个实根构成公差为 2 的等差数列。则 ′ ()的所有根中最大根与最下 根之差是_____________. 8. []表示不超过实数的最大整数。在平面上由满足[]2 + []2 = 50的点所形成的图形的
2 6. 数列满足0 = ,及对于自然数, +1 = + 。则∑2011 =0 1 4 +1 1

3. 若底边长为 2 的正四棱锥恰内切一半径为 的球,则此正四棱锥的体积是_______.

的整数部分是________.

面积是_______________. 二. 解答题(共 64 分) 9. (14 分)已知正项数列{ }满足: (1)1 = 2012; (2)2 , 3 是整数; (3)数列{ ? 2 }是公比不大于 10 的等比数列。 求数列{ }的通项公式。

10. 已知1 , 2 为双曲线: 2 ? 2 = 1的左、右焦点,点在曲线上。若△1 2 = √3,求 ∠1 2。 11. 设1 , 2 , ? , 为正数,且1 + 2 + ? + = 1。证明:∑ ( + )2 ≥ =1
1 2 +1

12. 设( ≥ 11)是正整数。由不大于的连续 10 个正整数的和组成集合,由不大于的连 续 11 个正整数的和组成集合。若 ∩ 的元素个数是 181,求的最大值和最小值。

.

23

2011 年内蒙古预赛试题 1. 函数() = √? 2 + 10 ? 9 + √? 2 + 50 ? 184的最大值为___________. 2. 各位数字之和等于 11 的四位数的个数为_________. 一. 填空题 3. 数列{ }前项和 为,且1 = 1,3 = ( + 2) ( = 2,3, ? ),则∑ =1 4. 方程 2 ? 8[] + 7 = 0的所有解为_______.
3 1

5. 已知正四棱锥中 ? 的侧面与底面所成的角都为 ,由它的外接球半径与内切球半 0 = ? +
1 3 √2 ,则三角形的面积为__________. 3

=______.

径的比为__________. 6. 若在复平面上三个点(0), (0 ? ), (0 + )构成以为顶点的等腰直角三角形,其中

9. 已知椭圆过点(2,1), 两个焦点分别为??√6, 0?和?√6, 0?,为坐标原点, 平行于的直 线交椭圆于不同的两点, ,求△ 面积的最大值。 10. 已知实数 , = 1,2, ? , 满足| | ≤ 1且∑ = 0,求证:对于满足|| ≤ 1任意实数均 =1 有∑ | ? | ≤ =1 11. 如图, 在△ 中, 点为其垂心, = 60°, ∠ 直线, 分别交△ 的外接圆于, 两 点,求证: = .
E A

7. ( + )100 的展开式中,各项系数和为________. 8. 设为正实数,若满足条件( ? ) ≤ ( ? )的点(, )都被单位圆覆盖,则的最大值 为____________. 二. 解答题

D H B C

24

2011 年湖南省预赛试题 1. 已知函数() = 3 + 2 + + 1( ∈ )在区间?? , ? ?内为减函数,在区间?? , +∞? 3 3 3 一、填空题(本大题共 10 小题, 每小题 7 分,满分 70 分).
2 1 1

内为增函数,则 =__________. 2. 设, 是两个集合,称(, )为一个“对子”.当 ≠ 时,将(, )与(, )视为不同的“对子”. 满足条件 ∪ = {1,2,3,4}的不同的对子(, )的个数为______. 3. 设函数() = 2 + + ( ∈ + ),若() < 0,则你对函数 = ()在区间(, + 1)中 零点存在情况的判断是_________.
2 2

取值是_________. 7. 过函数() = + cos ? √3sin 的图像上一点的切线的斜率为 ,则 的取值范围是 _________. ?????? ?????? ?????? 8. 已知平面内三点, , 满足?? = 3, ? ? = 4, ?? = 5, ?????? ? + ? + ? 则 ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? 的值为__________. 9. 边长为 4 的正方形沿折成60°的二面角,则 BC 中点与 A 的距离为_____. 10. 规定一双筷子由同色的 2 支组成.现有黑、白、黄筷子各 8 支,不用眼睛看,任意地取 出筷子来,使得至少有两双筷子不同色,则至少要取出________支筷子才能做得到. 二、解答题(大本题共 4 个小题,满分 80 分) 11. (本小题满分 20 分) 如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部,试问:在允许将抛物线平移或旋转的条件 下,平面内 2011 条抛物线的内部能否盖住整个平面?请作判断,并证明你的结论. 12. (本小题满分 20 分) (1) 设实数 > 0,求证:?1 + ? ln(1 + ) > 2。 13. (本小题满分 20 分)
2

2 4. 已 知 椭 圆 : 2 + 2 = 1 的 两 个 焦 点 分 别 为 1 , 2 点 (0 , 0 ) 满 足 0 < 20 + 0 ≤ 1 , 则 |1 | + |2 |的取值范围是__________. 5. 已知复数1满足(1 ? 2)(1 + ) = 1 ? 为虚数单位),复数2的虚部为 2,则1 ? 2 为实数 ( 的条件是2 =_________. + 6. 已知数列{ }满足递推关系式+1 = 2 + 2 ? 1( ∈ + )且? ?为等差数列,则的 2

设 =

2

1

+

2 +1

1

+

2 +2

1

+ ?+

(+1)2 ?1

1

,求证:2011 ∈ ?

2010

2



2011

2

?.

(2) 从编号为 1 到 100 的 100 张卡片中,每次随机地抽取 1 张,然后放回,用这种方式连续 1 抽取 20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为,求证: < 2. 14. (本小题满分 20 分) 如图所示,已知由△ 的顶点引出的两条射线, 分 别交 于点, .求证:2 ? ? = 2 ? ? 成立 的充要条件是∠ = ∠.


A

B

X

Y

C

25

2011 年河北省预赛试题 一. 填空题(将每小题的答案填在题后的横线上,本大题共 8 小题,每小题 9 分,满分 72 分) 2. 若, 均为正整数,且 5 ? 5的值恰好是由一个 2,一个 0,两个 1 组成的四位数,则满 足条件的所有四位数是_________. 3. 已知2 + 2 + 2 = 1,则 + + 的值域为____________. 4. 标号1,2, ? ,13号共 4 中颜色的卡片共计 52 张,加上两张空白卡片,平均放入三个不同的 盒子, 若某个盒子中有两张空白卡片, 张 1, 4 且2,3, ? ,13号卡片各一张, 称该盒是“超级盒”。 则出现超级盒的概率为___________(列出算式即可) 。 5. 已知1 = 1, 2 = 3, +2 = ( + 3)+1 ? ( + 2) , 当 ≥ 时, 的值都能被 9 整除, 则的最小值为___________. 6. 函数() = 7. 6 名大学毕业生到 3 个用人单位应聘,若每个单位至少录用其中一人,则不同的录用情况 的种数是__________. 8. 已知为坐标原点, (4,0), (5,0), 过作轴的垂线, 是这垂线上的动点, 以为圆心, 为半径作圆,1 , 2 是圆的切线,则△ 1 2垂心的轨迹方程是______. 二. 解答题(本大题共 6 小题,每题的解答均要求有推理过程,9、10、11、12 小题各 12 分。13、14 小题各 15 分。共 78 分) 10. 如图:已知, 是圆 2 + 2 = 4与轴的两个交点, 为直线: = 4上的动点。, 与圆 2 + 2 = 4的另 一个交点分别为, 求证:直线过定点。 11. 求证: ≥ 23时, 总有2 < 1 +
1 2 +1

1. 已知数列{ }满足:+1 ≤

+2 + 2

, 1 = 1, 403 = 2011,则5 的最大值为________.

+

+1 +2

+

+2 +3

+ ?+

+2010 +2011

的图像的对称中心为_________.

9. 解不等式? +

2

1

? ? ?

2

1

< .
1

y P M

3成立。 12. 已知: (, ) = 3 + 3 + 2 + 2 ? 3( 2 + 2 + ) + 3( + ),且, ≥ ,求(, )的最小值。

√23

1

+

√33

1

+ ?+

√3

1

<

A N

B x=4

x

13. (1)在△ 中,∠ = 90°,则有 2 + 2 = 2;类比到三维空间中,你能得到 什么结论?请给出证明。 (2)在△ 中,∠ = 90°,若点到的距离为?,△ 的内切圆半径为,求 的
? 1 2


最小值。 (3)推广(2)的结论到三维空间,并证明之。 (1)求数列{ }的通项;

14. 已知数列{ }、{ }满足:1 = 2, +1 = ? + ? , = ? ( ∈ ? , > 0) 2
+


26

(2)证明:

理由。

(3)设 是数列{ }的前项和,当 ≥ 2时, 与? + 18? 的大小关系是否确定?请说明
23

+1 ?

?

= 32

?1

+ 1;

27

2011 年浙江省预赛试题 一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后 的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1.已知 ∈ ? A.2sin A. 2
5 3 4 2

3. 设 , 为两个互不相同的集合,命题: ∈ ∩ ,命题: ∈ 或 ∈ ,则是的() A. 充分且必要条件 C. 必要非充分条件
2√6 3 2 2 4√6 3

2.如果复数( + 2)(1 + )的模为4,则实数的值为() B. 2√2 C. ±2 D. ±2√2 B. 充分非必要条件

B. ?2sin

,

?,则√1 ? 2 ? √1 + 2可化简为() C. ?2cos D. 2cos

4. 过椭圆 A.

1 ? 5? ≥ 0 ,则该函数为() 5. 函数() = ? 5 ? 1 < 0 A. 单调增加函数、奇函数 C. 单调增加函数、偶函数

+ 2 = 1的右焦点2 作倾斜角为45°弦,则||为() B. C.
4√2 3

D. 非充分且非必要条件
4√3 3

D.

B. 单调递减函数、偶函数

D. 单调递减函数、奇函数

6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为() 2 2 2 2 2 2 3 A.4 +
5 2

1 B.4 + 正视图
3 2

1

7.某程序框图如右图所示,现将输出(, )(值依 次记为:(1 , 1 ), (2 , 2 ), ? , ( , ), ?若程序运行中 输出的一个数组是(, ?10),则数组中的 =() A.64 B.32 C.16 D.8 8. 在平面区域{(, )||| ≤ 1, || ≤ 1}上恒有 ? 2 ≤ 2, 则动点(, ) 所形成平面区域的面积为() A. 4 B.8 C. 16 D. 32


C.4 +

2

侧视图

D.4 +

俯视图(圆和正方形)

9. 已知函数() = ?2 ? ? ? 在?0, ?上有两个零点,则的取值范 6 2 围为()
28

A. ? , 1? 2
1

10. 已知 ∈ [?1,1],则 2 + ( ? 4) + 4 ? 2 > 0的解为() 11.函数() = 2 ? √3的最小正周期为__________。
2

A. > 3或 < 2 B. > 2或 < 1 C. > 3或 < 1 D. 1 < < 3

B ? , 1?
1 2

C. ? , 1)
1 2

D. ? , 1] 2
1

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分)

12.已知等差数列{ }前 15 项的和15 = 30,则1 + 8 + 15 =__________. ?? 13.向量 = (1, sin ), = ?, √3?, ∈ ,则? ? ?的取值范围为____________。 ? ? ?? 14.直三棱柱 ? 1 1 1, 底面△是正三角形, 分别为1 , 1 上的动点 , (含端点) , 为边上的中点,且 ⊥ 。则直线, 的夹角为_____________。 15.设, 为实数,则max52 +42 =10 ( 2 + 2 ) =_____________。

点,连、分别交椭圆左准线于, 。若以为直径的圆恰好过1 ,求的值。 四、 附加题 (本大题共 2 小题, 每小题 25 分, 共计 50 A 分) 21. 在锐角三角形中,∠ = ,设在其内部同时满
3 1 3

对于任意的自然数,都存在自然数 ,使得 = . 20.已知椭圆
2 52

19.给定两个数列{ }, { }满足0 = 0 = 1, = +
2 42

16.马路上有编号为1,2,3, ? ,2011的2011只路灯, 为节约用电要求关闭其中的300只灯, 但不 能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有__________种。 (用组合数符号表示) 17.设, , 为整数, + + = 3, 3 + 3 + 3 = 3, 2 + 2 + 2 =_______________。 且 则 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) 18.设 ≤ 2,求 = ( ? 2)||在[, 2]上的最大值和最小值。 = 1,过其左焦点1 作一条直线交椭圆于, 两点,(, 0)D 为1 右侧一
2+?1 ?1

( ≥ 1), =

1+2?1

2 ?1

( ≥ 1)。证明

足 ≤ 和 ≤ 的点的全体形成的区域的面 形。
+

E O B M D

F

积为三角形面积的 。证明三角形为等边三角

2++

22. 设, , ∈ + ,且√ + √ + √ = 3。求证: +
2++ +

+

2++

+

≥ ,并指明等号成立的条件。
3 2

C

29

2011 年陕西省预赛试题 第一试

填空题(每小题 8 分,共 80 分) 1. 已知集合 = {2,0,11}。 若 ? , 且的元素中至少含有一个偶数, 则满足条件的集合的 个数为___________. 2. 设, 都是正实数, = 3. 满足
1?sin+cos 1?sin?cos √2

4. 设斜率为 2 的直线与椭圆2 + 2 = 1( > > 0)交于不同的两点, 。若点, 在轴上
2 2

+

1?sin+cos

1?sin?cos

+ 2

, = 1 1,若 + = ? ,则 =________. = 2的最大负角的弧度数为_________.


+

2



的射影恰好为椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率是__________. 5. 在数阵中, 11 ?21 31 12 22 32 13 23 ? 33

每行的三个数依次成等差数列,每列的三个数也依次成等差数列。若22 = 2,则所有这九 个数的和等于_________. 6. 如图,矩形 的四个顶点的坐标依次为(0,0), (2, 0), (2, 2), (0,2),记边 与函数 = 1 + (0 ≤ ≤ 2)的图像围成的区域为Ω。 若向矩形内任意投一点, 则点落 在区域Ω内的概率是___________. 7. 设函数() = ?
1

质 , 且 ≥ 2 。 则 满 足 ∈ [0,1] 且



1

8. 已知, 都是质数,且7 + , 2 + 11也都是质数。则 + =_________. 9. 在侧棱长和底面边长都是 4 的正四棱锥 ? 的表面上与顶点的距离为 3 的动点所 形成的所有曲线段的长度之和为__________. 10. 现代社会对破译密码的要求越来越高。在密码学中,直接可以看到的内容为明码,对明 码进行某种处理后得到的内容为密码。有一种密码将英文的 26 个字母, , ? , (不论大小 写)依次对应1,2, ? ,26这 26 个自然数,见表 1. 表1 _____________.

() > 5 的 值 的 个 数 是

0, ≠

, =

,其中, 互



yC

B

Ω
O A

x

a

b

c

d

e r

f

g t

h

i

j

k x

l

m z

1 n 14

2 o 15

3 p 16

4 q 17

5 18

6 s 19

7 20

8 u 21

9 v 22

10 w 23

11 24

12 y 25

13 26

给出明码对应的序号和密码对应的序号的变换公式:

30

利用它可将明码转换成密码,如5 →

+ 1 , 为奇数,且 1 ≤ x ≤ 26; = ? 2 + 13, 为偶数,且 1 ≤ x ≤ 26. 2
5+1 2 8 2

上述公式,若将某明码译成的密码是?,则原来的明码是____________. 第二试 一. (20 分)设函数 其中 ∈ , 0 < < 。已知当 = 时,()取得最大值。
3 3 2 3

= 3,即变成;8 → + 13 = 17,即?变成。按

1 () = cos ? cos( ? ) ? cos 2

(2)设() = 2( ),求函数()在?0, ?上的最小值。 (1)求的值; (1)证明:直线过定点; (2) 过△面积的最小值, 以及取得最小值 时点的坐标。 三. (20 分) 如图, 在圆内接四边形中, 对角线与交于点,且∠ = 60°, = 。延长, 交于点。证明:为△的 外心。 四. 如图, 为△的中线的中点, 过的 直线分别与边, 交于点, . ?????? ?????? ?????? ?????? 设 = , = ,记 = ()。 (1 ) = (2 )成立,求实数的取值范围。 五. (30 分)设正整数 ≥ 4。证明: 0< 任 意 1 ∈ ?3 , 1? , 总 存 在 2 ∈ [0,1] , 使 得
1

二. (20 分) 设为直线 = ? 2上的动点, 过作抛物线 = 2的切线, 切点分别为, 。
1 2

D

C E A

(1)求函数 = ()的表达式; (2) 设() = 3 = 32 + 2( ∈ [0,1])若对 (?1)?√4? (?1)?√5? (?1)?√? + + ?+ <1 4 5 其中,[]表示不超过实数的最大整数。

A B

F

P

M

Q

B

D

C

31

2011 年山东省预赛试题 一. 选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1. 已知集合 = {|( ? 1)( ? 3)( ? 5) < 0, ∈ } = {|( ? 2)( ? 4)( ? 6) < 0, ∈ } 则 ∩ =() (A)(2,3)(B)(3,4)(C)(4,5)(D)(5,6)

2. 已知 = (√3 ? 3) 。若为实数,则最小的正整数的值为() (A)3(B)4(C)5(D)6 3. 已知条件: , , , 成等比数列;条件: = 。则条件是条件的()条件。 (A)充分不必要(B)必要不充分(C)充分且必要(D)既不充分也不必要 4. 函数() = log0.3 ( 2 + ? 2)的单调递增区间是() (A)(?∞, ?2)(B)(?∞, 1)(C)(?2,1)(D)(1, +∞) (A)2(B) (C)4(D) 5. 已知, ∈ + 。则
2 3 2+

+

6. 直线 = 5与 = ?1在区间?0,
3 2 5 2

4 3

+2



的最大值为()

4

7. 有六名同学咨询成绩。老师说:甲不是六人中成绩最好的,乙不是六人中成绩最差的,而 且六人的成绩各不相同。则他们六人的成绩不同的可能排序共有()种。 (A)120(B)216(C)384(D)504 8. 若点在曲线 = ? 2 ? 1上,点在曲线 = 1 + 2上,则||的最小值是() 9. 已知函数() = ? (A)3√2(B)
3√2 2

(A) ≤ , = (B) ≤ 3, = 2(C) > , = (D) > 3, = 2 不为零。则下列描述正确的是()
3 2 5 2

?上截曲线 = sin + (, > 0)所得的弦长相等且
2

(C)
1

(A)1(B)10(C)19(D)20 二. 填空题(每小题 6 分,共 24 分) 11. 已 知 () = cos2 + + ( ∈ ) . 记 () 的 最 大 值 为 ?() 。 则 ?() 的 表 达 式 为 _____________. 12. 已知sin( + sin) = cos( ? cos),其中, ∈ [0, ].则 =___________. ?????? 13. 设, 为抛物线 2 = 2( > 0)上相异两点。 ?????? + ? ? ?? 的最小值为_______. 则? ?????? ?????? ?????? 14. 在△中,已知是重心,三内角∠, ∠, ∠的对边分别为, , ,且56 + 40 +
32
2 2

若 10. 在等差数列{ }中, 11 < ?1, 且其前项和 有最大值。 则当 取最小正值时, = ()

10

(lglg2)的值是() (A)8(B)4(C)?4(D)?8

?1

3√2 4

+ ? 2 + + 6,其中, 为常数, > 1,且(lg log8 1000) = 8.则 2
1

(D)

3√2 8

?????? 35 = .则∠ =_______________。 三. 解答题(共 66 分)

若⊙1和⊙2均与直线: = 及轴相切,求直线 的方程。 18. (15 分)甲乙两人进行某种游戏比赛,规定:每 一次胜者得 1 分, 负者得 0 分; 当其中一人的得分比 另一人的得分多 2 分时即赢得这场游戏, 比赛随之结 束。同时规定:比赛次数最多不超过 20 次,即经 20 次比赛,得分者赢得这场游戏,得分相 等为和局。已知每次比赛甲获胜的概率为(0 < < 1),乙获得的概率为 = 1 ? 。假定各 次比赛的结果是相互独立的,比赛经次结束。求的期望的变化范围。 19. (15 分)集合 ? {1,2, ? ,2011}。如果满足:其任意三个元素, , ,均有 ≠ , 则称具有“性质”。为方便起见,简记 ∈ 。具有性质的所含元素最多的集合称为“最 大集”。试问:具有性质的最大集共有多少个?并给出证明。

立。求实数的取值范围。 16. (12 分)如图,已知在正方体 ? 1 1 1 1 中,, , , 分别为, 1 , 1 1 , 1 1 的中点,且 = 1。求四面体的体积。 17. (12 分)在平面直角坐标系中,已知⊙1与⊙2 交于点、, 的坐标为(3,2),两圆半径的乘积为 。
13 2

15. (12 分)不等式sin2 ? (2√2 + √2 )sin ? + ? ? 4


cos?? ?
4

2√2

> ?3 ? 2对 ∈ ?0, ?恒成
2

33

2011 年吉林省预赛试题 一. 选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 设集合 = ?? = = ?? = ±

7 5 + 2 = + 2, ∈ ? 6 6 7 + 2, ∈ ? 6

??????? 点(, )满足( + 5)2 + ( + 5)2 = 1,则??的最小值为 (A)2√2 ? 1(B)4√2 ? 1(C)6√2 ? 1(D)√61 ? 1 6. 已知1 , 2 , ? , 2011 是一列互不相等的正整数。若任意改变这 2011 个数的顺序,并记为 1 , 2 , ? , 2011 。则数 = (1 ? 1 )(2 ? 2 ) ? (2011 ? 2011 )的值必为 (A)0(B)1(C)奇数(D)偶数 二. 填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7. 现有 5 双不同号码的鞋,从中取出 4 只,恰能配成一双的概率为____________. 8. 正四面体与正四面体1 1 1 1和一个正八面体(如图)的棱长都相等,把 它们拼接起来,使表面, 1 11 分别与表面, 重合。则所得多面体的面数有 ____________个。 9. 现有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡够多) ,要在三棱柱 ? 1 1 1 各顶点上装一个 灯泡, 要求同一条棱两端点的灯泡颜色不相同, 且每种颜色的灯泡都至少有一个的安装方法 共有_______种。 10. 能同时表示成连续 9 个整数之和、连续 10 个整数之和及连续 11 个整数之和的最小正整 数为_________. ?????? ?????? ??????? , 分别是双曲线和椭圆上不同于, 的两动点,且满足 + = ( + ??????? )其中
34
2 2 2 2

(A)12(B)14(C)13(D)8 ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? 4. 在△中,已知6 ? = 2 ? = 3 ? .则∠ = (A)30°(B)45°(C)60°(D)135° 5. 点(, )满足平面区域 cos ≤ ≤ 3 cos ? ( ∈ ) sin ≤ ≤ 3 sin

lg, ≠ 0 () = ? ,则函数() = () ? ()在区间内零点的个数为 1, = 0

则与的关系是 (A) ? (B) ? (C) = (D)以上都不对 2. 在正五棱柱 ? 1 1 1 1 1的侧棱1上有一点,若截面1 与侧面1 1互相 垂直,则这样的点 (A)有且仅有一个 (B)有时有两个,有时有一个 (C)恰有两个 (D)有时不存在 3. 设 函 数 = ()( ∈ ) 满 足 ( + 2) = () , 且 当 ∈ (?1, 1] 时 , () = 1 ? 2 , 函 数

11. 设, 分别为椭圆2 + 2 = 1( > > 0)和双曲线2 ? 2 = 1( > 0, > 0)的公共顶点,

∈ , || > 1 。 设 直 线 , , , 的 斜 率 分 别 为 1 , 2 , 3 , 4 , 且 1 + 2 = 5 。 则 3 + 4 =____________. 12. △是⊙内接三角形, > > ,点在弧上,过点分别作, 的垂线与 交于点, ,射线, 交于点。若 = + ,则∠ =___________. 三. 解答题(每小题 15 分,共 60 分) 13. 已知函数 () = 4 sin ? sin2 ( + ) + cos 2 4 2 (2)集合 (1)设 > 0,且为常数,若函数 = ()在区间?? , = ??
+2 2

2 ≤ ≤ ? 6 3 = {||() ? | < 2} 若 ∪ = ,求实数的取值范围。 14. 已知数列{ }满足1 = 0, +1 =
1

2 3

?上是增函数,求的取值范围;

15. 求正实数的最大值,使得对于任意实数, , ,不等式 4 + 4 + 4 + 2 + 2 + 2 ? ( + + )2 ≥ 0成立 16. 是否存在 2011 个不同的正整数, 使得任取其中的两个数, , 均有| ? | = (, )成立?

+ .求数列{ }的通项公式。

35

2011 年山西省预赛试题 一. 填空题(每小题 10 分,共 80 分) 1. 在集合 = {1,2, ? ,2011}中,末位数字为 1 的元素个数为____________. 3. 数列{ }满足1 = 1, ___________.
2 2 2?1 2

2. 椭圆 52 + 32 = 1的焦点为1 , 2 。若椭圆上的一点使1 ⊥ 2 ,则△1 2 的面积为 4. 若4 + 1,6 + 1都是完全平方数,则正整数的最小值是______________. = 2,
2+1 2

5. 函数 = 2 ? 5 + √11 ? 3的最大值是_________. 6. 如图, 在单位正方体 ? 1 1 1 1中, , 分别是棱1 , 1 1 , 1 1的中点。 , 则点1 到△所在平面的距离为____________. 7. sin2 130° + sin70° ? cos80° =_____________. ??????? 8. 若四位数 的四个数码满足 + = + ,则称其为“好数”(如 2011 就是一个好数) 。 那么,好数的个数是_______________. 二. 解答题(共 70 分) 9. △ 三 个 内 角 的 度 数 满 足
∠ ∠

= 3( ≥ 1)则其前项的和100 =__________.

= cos + cos + cos的值。 10. 如图,, , 分别是△的边, , 上的 点, 且与交于点0 , 与交于点0, 与 交于点0 。证明:, , 三线共点,当且仅 当0 , 0 , 0 三点共线。 11. (25 分)20 个巫师孤岛聚会。在此期间,任何 三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师。证明: 其中必存在某个巫师, 他至少受到过其余九个巫师 的诅咒。

=

∠ ∠

= .求
1 3

A

E F C D0 B D

F0

E0

36


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