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绵阳市高中2011级第二次诊断性考试(文科数学)


保密 ★ 启用前 【考试时间:2014 年 1 月 16 日 15:00—17:00】

绵阳市高中 2011 级第二次诊断性考试

数 学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 2 至 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名.考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置. 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸.试题卷 上答题无效. 3.考试结束后,将答题卡收回.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 S={1,2},集合 T={x|(x-1)(x-3)=0},那么 S∪T= A.? C.{1,2} 2.复数(1+i) (1-i)= A.-2-2i C.-2+2i A.4 C.2 4.下列函数中定义域为 R,且是奇函数的是 A. f ( x) =x2+x C. f ( x) =x+sinx B. f ( x) =tanx D. f ( x) = lg B.2+2i D.2-2i B .3 D.
2

B.{1} D.{1,2,3}

开始 输入 x x>1? 否 y=x-1 输出 y 结束 是 y=log2x

3.执行右图的程序,若输入的实数 x =4,则输出结果为

1 4

1? x 1? x

数学(文科)试题第 1 页(共 4 页)

5.已知 l,m,n 是三条不同的直线,α,β 是不同的平面,则下列条件中能推出 α⊥β 的是 A.l ? α,m ? β,且 l⊥m C.m ? α,n ? β,m//n,且 l⊥m 6.抛物线 x2 ? 8 y 的焦点到双曲线 x 2 ? A.1 C. 3 B.l ? α,m ? β,n ? β,且 l⊥m,l⊥n D.l ? α,l//m,且 m⊥β

y2 ? 1 的渐近线的距离是 3
B .2 D.2 3 正视图 侧视图

7.一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视图是一个半圆内 切于边长为 2 的正方形,则该机器零件的体积为 A.8+ C.8+

π 3 8π 3

B.8+ D.8+

2π 3 16π 3
俯视图

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 8.已知 O 是坐标原点,点 A(?1, 上的一个 1) ,若点 M ( x,y) 为平面区域 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
动点,则|AM|的最小值是 A. 2 B.

??? ? ??? ? ???? 9.已知△ ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 3OA ? 4OB ? 5OC =0,则△AOC 的面
积为 A.

3 5 5

C. 5

D. 13

2 5

B.

1 2

C.

3 10

D.

6 5

10.若存在 x 使不等式

x?m > x 成立,则实数 m 的取值范围为 ex 1 B. ( ? , e) e
C. (?? , 0) D. (0 , ? ?)

1 A. (??, ? ) e

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.tan300?=______. 12.若直线 l1:x+(1+k)y=2-k 与 l2:kx+2y+8=0 平行,则 k 的值是_____. 13.右图的茎叶图是甲、乙两人在 4 次模拟测试中的成绩,其中一个数 甲 8 9 乙 5 3 ● 5

9 8 字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率 1 2 为 .
数学(文科)试题第 2 页(共 4 页)

14.已知 A 是抛物线 y2=4x 上一点,F 是抛物线的焦点,直线 FA 交抛物线的准线于点 B (点 B 在 x 轴上方) ,若|AB|=2|AF|,则点 A 的坐标为________. 15.P 是以 F1, F2 为焦点的椭圆 ∠PF2F1=β,且 cosα=

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的任意一点,若∠ PF1F2=α, a 2 b2


3 5 ,sin(α+β)= ,则此椭圆的离心率为 5 5

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知向量 a = (sin x , 2cos x) ,b= (2sin x , sin x) ,设函数 f ( x) =a ? b. (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若将 f ( x) 的图象向左平移

π 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区 6

π 7π 间 [ , ] 上的最大值和最小值. 12 12
17. (本题满分 12 分) 已知首项为

1 的等比数列{an}是递减数列,其前 n 项和为 Sn,且 S1+a1,S2+a2,S3+a3 2

成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)已知 bn ? an ? log 2 an ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn . 18. (本题满分 12 分) 据《中国新闻网》10 月 21 日报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点, 一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在 内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了 3600 人调查(若所选择 的在校学生的人数低于被调查人群总数的 80%,则认为本次调查“失效” ) ,就“是否 取消英语听力”的问题,调查统计的结果如下表: 调查人群 态度 应该取消 2100 人 600 人 应该保留 120 人 x人 无所谓 y人 z人

在校学生 社会人士

已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05. (Ⅰ)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行深入访谈,问应在 持“无所谓”态度的人中抽取多少人? (Ⅱ)已知 y≥657,z≥55,求本次调查“失效”的概率.
数学(文科)试题第 3 页(共 4 页)

19. (本题满分 12 分) 如图, 四边形 ABCD 为矩形, 四边形 ADEF 为梯形, AD//FE, ∠AFE=60? , 且平面 ABCD⊥ 平面 ADEF,AF=FE=AB= 中点. (Ⅰ)求证:EG//平面 ABF; (Ⅱ)求三棱锥 B-AEG 的体积; (Ⅲ)试判断平面 BAE 与平面 DCE 是否垂直?若 垂直,请证明;若不垂直,请说明理由. 20. (本题满分 13 分) 已知圆心为 C 的圆,满足下列条件:圆心 C 位于 x 轴正半轴上,与直线 3x-4y+7=0 相 切,且被 y 轴截得的弦长为 2 3 ,圆 C 的面积小于 13. (Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设过点 M(0,3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A,B,以 OA,OB 为邻边作平 行四边形 OADB.是否存在这样的直线 l,使得直线 OD 与 MC 恰好平行?如果存在, 求出 l 的方程;如果不存在,请说明理由. 21. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 2ax 2 ? (a ? 4) x ? ln x . (Ⅰ)若 f ( x) 在 x= B A G C D

1 AD =2,点 G 为 AC 的 F 2

E

1 处的切线与直线 4x+y=0 平行,求 a 的值; 4

(Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0 ,证 明 f ?( x0 ) ? 0 .

数学(文科)试题第 4 页(共 4 页)

绵阳市高 2011 级第二次诊断性考试

数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DBCCD AABAC 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ? 3 14. (3, ? 2 3) 或( 12.1 13.0.3 15.

1 2 3 , ) 3 3

5 7

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ) f(x)=a?b=2sin2x+2sinxcosx =2? = 2 sin(2x由∴

1 ? cos 2 x +sin2x 2
???????????? 3 分

? )+1, 4

3? ? ? ? ? +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 8 2 4 2 8
f(x)的单调递增区间是[-

3? ? +kπ, +kπ]( k∈Z). ???????? 6 分 8 8

(II)由题意 g(x)= 2 sin[2(x+ 由

? ? ? )- ]+1= 2 sin(2x+ )+1,???? 9 分 6 4 12

7? 5? ? ? ? ≤x≤ 得 ≤2x+ ≤ , 12 4 12 4 12
1 , 2

∴ 0≤g(x)≤ 2 +1,即 g(x)的最大值为 2 +1,g(x)的最小值为 0. ? 12 分 17.解: (I)设等比数列{an}的公比为 q,由题知 a1= 又∵ S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列, ∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3, 变形得 S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3,即得 3a2=a1+2a3, ∴ 3 1 1 q= +q2,解得 q=1 或 q= , 2 2 2 ????????????????4 分

1 又由{an}为递减数列,于是 q= , 2 ∴ an=a1 q n ?1 =( 1 n ). 2 ??????????????????????6 分 1 n ), 2

(Ⅱ)由于 bn=anlog2an=-n?(

数学(文科)试题第 5 页(共 4 页)

1 1 2 1 n?1 1 n ∴ Tn ? ?[1? +2( ? ) +?+ ? n ? 1?( ? ) ? n( ? ) ], 2 2 2 2 1 1 2 1 n 1 n?1 于是 Tn ? ?[1( ? ) +?+ ? n ? 1?( ? ) ? n( ? ) ], 2 2 2 2
1 1 ? [1 ? ( ) n ] 1 1 1 2 1 n 1 n?1 2 2 ? n ?( 1 )n ?1 , 两式相减得: Tn ? ?[ +( ) +?+( ) ? n ?( ) ] = ? 1 2 2 2 2 2 2 1? 2
整理得 Tn ?

n?2 ?2. 2n

?????????????????????12 分

18.解: (I)∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05,

120 ? x =0.05,解得 x=60. ??????????????????2 分 3600 ∴ 持“无所谓”态度的人数共有 3600-2100-120-600-60=720. ??? 4 分 360 ∴ 应在“无所谓”态度抽取 720× =72 人. ?????????? 6 分 3600
∴ (Ⅱ)∵ y+z=720,y≥657,z≥55,故满足条件的(y,z)有: (657,63),(658,62),(659,61),(660,60),(661,59),(662,58),(663,57),(664, 56),(665,55)共 9 种. ??????????? 8 分 记本次调查“失效”为事件 A, 若调查失效,则 2100+120+y<3600×0.8,解得 y<660. ∴ 事件 A 包含:(657,63),(658,62),(659,61)共 3 种. 3 1 ∴ P(A)= = . ??????????????????????? 12 分 9 3 19. (I)证明:取 AB 中点 M,连 FM,GM. ∵ G 为对角线 AC 的中点, 1 ∴ GM∥AD,且 GM= AD, 2 1 又∵ FE∥ AD, 2 ∴ GM∥FE 且 GM=FE. ∴四边形 GMFE 为平行四边形,即 EG∥FM. 又∵ EG ? 平面 ABF, FM ? 平面 ABF, ∴ EG∥平面 ABF.??????????????????????? 4 分 (Ⅱ)解:作 EN⊥AD,垂足为 N, 由平面 ABCD⊥平面 AFED ,面 ABCD∩面 AFED=AD, 得 EN⊥平面 ABCD,即 EN 为三棱锥 E-ABG 的高. ∵ 在△AEF 中,AF=FE,∠AFE=60?,
数学(文科)试题第 6 页(共 4 页)

F

E N G C

A M B

D

∴ △AEF 是正三角形. ∴ ∠AEF=60?, 由 EF//AD 知∠EAD=60?, ∴ EN=AE?sin60?= 3 . ∴ 三棱锥 B-AEG 的体积为

1 1 1 2 3 .????????8 分 VB ? AEG ? VE ? ABG ? S?ABG ? EN ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 3 2 3 (Ⅲ)解:平面 BAE⊥平面 DCE.证明如下:
∵ 四边形 ABCD 为矩形,且平面 ABCD⊥平面 AFED, ∴ CD⊥平面 AFED, ∴ CD⊥AE. ∵ 四边形 AFED 为梯形,FE∥AD,且 ?AFE ? 60° , ∴ ?FAD=120° . 又在△AED 中,EA=2,AD=4, ?EAD ? 60° , 由余弦定理,得 ED= 2 3 . ∴ EA2+ED2=AD2, ∴ ED⊥AE. 又∵ ED∩CD=D, ∴ AE⊥平面 DCE, 又 AE ? 面 BAE, ∴ 平面 BAE⊥平面 DCE.
2 2 2

???????????????????12 分

20.解: (I)设圆 C:(x-a) +y =R (a>0),由题意知

? | 3a ? 7 | ? R, 13 ? 2 2 解得 a=1 或 a= , ? 3 ?4 8 ? 2 a ? 3 ? R , ?
又∵ S=πR2<13, ∴ a=1, ∴ 圆 C 的标准方程为:(x-1)2+y2=4.

??????????????? 3 分

?????????????? 6 分

(Ⅱ)当斜率不存在时,直线 l 为:x=0 不满足题意. 当斜率存在时,设直线 l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2), 又∵ l 与圆 C 相交于不同的两点,

? y ? kx ? 3, 联立 ? 消去 y 得:(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0, ???????9 分 2 2 ( x ? 1) ? y ? 4 , ?
∴Δ =(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0,

数学(文科)试题第 7 页(共 4 页)

解得 k ? 1 ? x1+x2= ?

2 6 2 6 或 k ?1? . 3 3

6k ? 2 2k ? 6 ,y1+ y2=k(x1+x2)+6= , 2 1? k 1? k2 ???? ? ???? 1 ??? ? ??? ? 1 ? 3) , OD ? (OA ? OB) ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) , MC ? (1, 2 2 ???? ???? ? 假设 OD ∥ MC ,则 ?3( x1 ? x2 ) ? y1 ? y2 ,
∴ 3?

6k ? 2 2 k ? 6 , ? 1? k2 1? k2

3 2 6 2 6 ? (??, 1? ) ? (1 ? , ? ?) ,假设不成立. 4 3 3 ∴ 不存在这样的直线 l. ????????????????????13 分
解得 k ? 21.解: (I)由题知 f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx 的定义域为(0,+∞), 且 f ?( x) ?

4ax 2 ? (a ? 4) x ? 1 . x 1 又∵ f(x)的图象在 x= 处的切线与直线 4x+y=0 平行, 4

1 ∴ f ?( ) ? ?4 , 4
解得 a=-6.?????????????????????????? 4 分 (Ⅱ) f ?( x) ? 由 x>0,知

4ax 2 ? (a ? 4) x ? 1 (4 x ? 1)(ax ? 1) , ? x x

4x ? 1 >0. x

①当 a≥0 时,对任意 x>0, f ?( x) >0, ∴ 此时函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞).

②当 a<0 时,令 f ?( x) =0,解得 x ? ? 当0? x ? ?

1 , a

1 1 时, f ?( x) >0,当 x ? ? 时, f ?( x) <0, a a 1 1 ),单调递减区间为( ? ,+∞). a a ???????????????????????

此时,函数 f(x)的单调递增区间为(0, ?

?9 分 (Ⅲ)不妨设 A( x1 ,0),B( x2 ,0),且 0 ? x1 ? x2 ,由(Ⅱ)知 a ? 0 ,

1 x ? x2 1 于是要证 f ?( x) <0 成立,只需证: x0 ? ? 即 1 ?? . a 2 a
数学(文科)试题第 8 页(共 4 页)

∵ f ( x1 ) ? 2ax12 ? ? a ? 4 ? x1 ? ln x1 ? 0 ,



f ( x2 ) ? 2ax2 2 ? ? a ? 4 ? x2 ? ln x2 ? 0 , ②
①-②得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2ax12 ? (a ? 4) x1 ? ln x1 ? 2ax2 2 ? (a ? 4) x2 ? ln x2 ? 0 , 即 a(2 x12 ? 2 x2 2 ? x1 ? x2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? 0 , ∴ ?

2 x12 ? x1 ? 2 x2 2 ? x2 1 , ? a 4 x1 ? ln x1 ? 4 x2 ? ln x2 x1 ? x2 2 x12 ? x1 ? 2 x2 2 ? x2 , ? 2 4 x1 ? ln x1 ? 4 x2 ? ln x2

故只需证

即证明 ( x1 ? x2 )[4 ? x1 ? x2 ? ? ? ln x1 ? ln x2 ?] ? 4 x12 ? 2 x1 ? 4 x2 2 ? 2 x2 ,

即证明 ln x1 ? ln x2 ?

2 x1 ? 2 x2 x ,变形为 ln 1 ? x1 ? x2 x2

2?

x1 ?2 x2 , x1 ?1 x2

设t ?

x1 2t ? 2 , (0 ? t ? 1) ,令 g (t ) ? ln t ? x2 t ?1

(t ? 1) 2 1 4 ? 则 g ?(t ) ? ? , t (t ? 1)2 t (t ? 1) 2
显然当 t>0 时, g ?(t ) ≥0,当且仅当 t=1 时, g ?(t ) =0, ∴ g(t)在(0,+∞)上是增函数. 又∵ g(1)=0, ∴ 当 t∈(0,1)时,g(t)<0 总成立,命题得证.???????????14 分

数学(文科)试题第 9 页(共 4 页)


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