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高三数学检测题


高三数学检测题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.
1 1.设随机变量 ? 的分布列为 P(? ? i) ? a( ) i , i ? 1,2,3 则 a 的值是(D 3

)
27 13

A.1

B.

9 13

C.

1 13

D.

2.若函数 f ( x) ? cos 2 x ? 1 的图像按向量 a 平移后,得到的图像关于原点对称,向量 a 可以 是(C) A. (1, 0) B. (

?
2

, ?1)
2 120 125

C. (

?
4

, ?1)
4 116 122

D. (

?
4
5

,1)
6 117 120

3.高三(10)班甲、乙两位同学 6 次数学测试的成绩如下表:A 1 甲 乙 A.甲稳定 122 118 3 125 120 120 115

仅从这 6 次考试成绩来看,甲、乙两位同学数学成绩稳定的情况是 B.乙稳定 C.甲与乙一样稳定 D.不能确定

4.在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第 25 项为 ( C ) . A.25 B.6 C.7 D.8

5.在 ?ABC 中,已知 tan A. tan A cot B ? 1. C. sin A ? cos B ? 1
2 2

A? B ? sin C ,则 D 2 1 B. ? sin A ? sin B ? 1 . 2
D. cos A ? cos B ? sin C
2 2 2

6. 函数 f(x)=( 3 sinx-cosx)cosx 的值域是 A A.[-

3 1 , ] 2 2

B.[-

3 ,0] 2

C.[- 3 ,

1 ] 2

D.[- 3 ,0]

7. 某人的密码箱上的密码是一种五位数字号码, 每位上的数字可在 0 到 9 这 10 个数字中选 取,该人记得箱子的密码 1,3,5 位均为 0,而忘记了 2,4 位上的数字,只要随意按下 2, 4 位上的数字,则他按对 2,4 上的数学的概率是 D A.

2 5

B.

1 5

C.

1 10

D.

1 100

8 定义运算 a ? b ?

a 2 ? b 2 , a ? b ? (a ? b) 2 , 则函数f ( x) ?

2? x ( x ? 2) ? 2

A

A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.既非奇函数又非偶函数 9. 先将一个棱长为 3 的正方体木块的六个面分别都涂上颜色,再将该正方体均匀切割成棱长 为 1 的小正方体,现从切好的小正方体中任取一块,所得正方体的六个面均恰有一面涂有颜色 的概率是(A)

A.

2 9

B.

1 9

C.

4 27

D. D

8 27

10.设方程 2x ? l o g2 x ? 1的两根为 x1 , x2 ( x1 < x2 ) ,则 A. x1 ? 0, x2 ? 0 B. 0 ? x1 ? 1, x2 ? 2 C. x1 x2 ? 1

D. 0 ? x1 x2 ? 1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.一工厂生产了某种产品 180 件,它们来自甲、乙、丙 3 条生产线,为检查这批产品的质 量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成 一个等差数列,则乙生产线生产了 件产品.60 . 12.若不等式|x-4|+|3-x|<a 的解集是空集,则实数 a 的取值范围是 (-∞,1] 13.等比数列 {an } 中,已知 a1 ? a 2 ? a3 ? 8, a1 ? a 2 ? ?? a6 ? 7, 记S n ? a1 ? a 2 ? ?? a n ,

则 lim S n =
n ??

.

64 9

14.若函数 f ( x) 满足: 对于任意 x1 , x2 ? 0, 都有f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, 且f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) 成立, 则 称函数 f ( x) 具有性质 M.
3 x 给出下列四个函数:① y ? x ,② y ? log2 ( x ? 1), ③ y ? 2 ? 1 ,④ y ? sin x .

其中具有性质 M 的函数是

. ①③

(注:把满足题意的所有 函数的序号都 填上) .. . 15. 已知函数 f ( x) ?| x ? a | x ? b , 给出下列命题: ①当 a ? 0 时,f ( x) 的图像关于点 (0, b) 成中心对称;②当 x ? a 时, f ( x) 是递增函数;③ f ( x) ? 0 至多有两个实数根;④当

0 ? x ? a 时, f ( x) 的最大值为 a ? b ,其中正确的序号是___ 4
三、解答题:

2

____.

①、④

16 .已知 ?A, ?B, ?C 为 ?ABC 的三个内角 , 且 f ( A, B) ? sin 2 2 A ? cos2 2B ? 3sin 2 A

?c o s B 2?

2

(Ⅰ)若 ?ABC 为正三角形,求 f ( A, B) 的值; (Ⅱ)当 A ? B ?

?
2

时,求 f ( A, B) 的取值范围.

16.解: (Ⅰ) f ( A, B) ? sin 2 120 ? cos2 120 ? 3sin120 ? cos120 ? 2 ? 2 . (Ⅱ) B ?

?
2

? A, f ( A, B) ? sin 2 2 A ? cos 2 (? ? 2 A) ? 3 sin 2 A ? cos ? ? 2 A ? 2

? sin 2 2 A ? cos2 2 A ? 3 sin 2 A ? cos 2 A ? 2 ? cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 3

? ? ? ? 4? ? 1 ? 2 cos(2 A ? ) ? 3 , 0 ? A ? ,? ? 2 A ? ? ,??1 ? cos(2 A ? ) ? , 3 2 3 3 3 3 2
??2 ? 2 cos(2 A ? ) ? 1,?1 ? f ( A, B) ? 4 . 3
17.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 6x 在 x ? ?1处取得极值; (1)求常数 a , b 的值; (2)过点 A(0,-32)作曲线 y ? f ( x ) 的切线,求此切线方程。
? 2 解: (1) ? f ' ( x) ? 3ax ? 2bx ? 6 ,又 f ( x) 在 x ? ?1处取得极值,所以 ? f ' (1) ? 0 ? f ' (?1) ? 0

?

即? ?

?3a ? 2b ? 6 ? 0 ?3a ? 2b ? 6 ? 0

解得 a ? 2, b ? 0

(2)由(1)得 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x , ? A(0,?32) 不在曲线上, 设过点 A 的切线切曲线于点 P( x? , 2 x?3 ? 6 x? ) ,? f ' ( x) ? 6x2 ? 6 则 斜率k ? f( ' x? ) ? 6x?2 ? 6

? 切线方程为: ? y ? 2x?3 ? 6x? ? (6x?2 ? 6)(x ? x? )
因为点 A 在切线上,所以 ? 32 ? 2x?3 ? 6x? ? (6x?2 ? 6)(0 ? x? ) 解得 x?3 ? 8得x? ? 2

? 切线方程为: y ? 4 ? 18( x ? 2)

即18 x ? y ? 32 ? 0

18.袋中有大小相同的三个球,编号分别为 1、2 和 3,从袋中每次取出一个球,若取到的 球的编号为偶数,则把该球编号加 1(如:取到球的编号为 2,改为 3)后放回袋中继续取 球;若取到球的编号为奇数,则取球停止,用 ? 表示所有被取球的编号之和. (Ⅰ)求 ? 的概率分布; (Ⅱ)求 ? 的数学期望与方差. 18.解: (Ⅰ)在 ? ? 1 时,表示第一次取到的 1 号球,

1 P (? ? 1) ? ;在 ? ? 3 时,表示第一次取到 2 号球,第二次取到 1 号球,或第一次取到 3 3 1 1 1 4 号球, P(? ? 3) ? ? ? ? ;在 ? ? 5 时,表示第一次取到 2 号球,第二次取到 3 号球, 3 3 3 9 1 2 2 P(? ? 5) ? ? ? . 3 3 9

? 的概率分布为
?
1 3 5

P

1 3

4 9

2 9

(Ⅱ) E? ? 1 ? ? 3 ?

4 2 25 1 4 2 8 2 ? 5? ? , E? ? 1 ? ? 9 ? ? 25 ? ? 9 9 9 9 3 9 9 9 8 25 176 D? ? E? 2 ? ( E? ) 2 ? 9 ? ( ) 2 ? 9 9 81

1 3

16. (本小题满分 13 分) 已知各项都不相等的等差数列 {an } 的前六项和为 60, 且 a6为a1和a21 的等比中项. (I)求数列 {an } 的通项公式 an 及前n项和S n ;
?

(II)若数列 {bn }满足bn ?1 ? bn ? a n (n ? N ),且b1 ? 3, 求数列 { 16. (本小题满分 13 分) 解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则

1 } 的前 n 项和 Tn. bn

?6a1 ? 15d ? 60, ? 2 ?a1 (a1 ? 20d ) ? (a1 ? 5d )
解得 ?

…………2 分

?d ? 2, ?a1 ? 5.

…………4 分

? an ? 2n ? 3 .
Sn ? n(5 ? 2n ? 3) ? n(n ? 4) 2

…………5 分 …………6 分

(II)由 bn?1 ? bn ? an ,

?bn ? bn?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N ? ).

当n ? 2时, bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ? ? ((b2 ? b1 ) ? b1 ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a1 ? b1 ? (n ? 1)(n ? 1 ? 4) ? 3 ? n(n ? 2). 对b1 ? 3也适合,

?bn ? n(n ? 2)(n ? N ? )
? 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). bn n(n ? 2) 2 n n ? 2

…………8 分 …………10 分

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ( ? ? ) 2 3 2 4 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2

?

3n 2 ? 5n 4(n ? 1)(n ? 2)

…………13 分

19. (12 分)有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积为 V 立方米,每天流入流出湖泊的水量 都是 r 立方米,现假设下雨与蒸发正好平衡,且污染物质与湖水能很好地混合,用 g(t)表示 第 t 天每立方米湖水所含污染物质的克数,我们称 g(t)为第 t 天的湖水污染质量分数,已知 目前每天流入湖泊的水中有 p 克的污染物质污染湖水,湖水污染物质分数满足关系式:

g (t ) ?

p p ? rt ? [g (0) ? ]e v (p? 0),其中g (0) 是湖水污染的初始质量分数 . 。 r r

?1? 当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染的初始质量分数;
? 2?
当 g (0) ? A 时,湖泊的污染程度越来越严重,求 A。

(3)如果政府加大治污力度,使得流入湖泊的所有污染停止,那么需要经过多少天才能使 湖水的污染水平下降到开始时的污染水平的 5%?(可以不是整数)

r p ? rt 解: g ' (t ) ? ? [ g (0) ? ]e v (p ? 0) v r

(1) 由g ' (t ) ? 0 ? g (0) ? (2)由 g (0) ?

p r

p r p ? rt 知 g ' (t ) ? ? [ g (0) ? ]e v ? 0 ,所以 g(t)为增函数,湖泊的污 r v r

染程度越来越严重。
(3)由 p=0 及 g (t ) ?

p p ? rt v ? [ g (0) ? ]e v =g (0) ? 5% ? t ? ln 20 r r r

v 所以需要经过 ln 20 天才能使湖水的污染水平下降到开始时的污染水平的 5%。 r
2 21. (本题满分 16 分)已知数列{an}满足 8an?1 ? m ? an , n ? N , a1 ? 1 , m 为正数 .
*

(1)若 an?1 ? an 对 n ? N 恒成立,求 m 的取值范围;
*

(2)是否存在 m ,使得对任意正整数 n 都有 若不存在,请说明理由。 21.(1)∵ m 为正数, 8an?1 ? m ? an
2

9 ? an ?1 ? 2007 ?若存在,求出 m 的值; 4

①, a1 =1,∴ an >0(n∈N*) ,……… 1 分

2 又 8an ? m ? an ?1 ②,①—②两式相减得 8(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 )(an ? an ?1 ) ,

∴ an?1 ? an 与 an ? an?1 同号,

---------------------4 分

∴ an?1 ? an 对 n∈N*恒成立的充要条件是 a2 ? a1 >0. 由 a2 ? a1 =

---------------------7 分 ---------------------8 分

m ?1 ? 1 >0,得 m >7 . 8

(2)证法 1:假设存在 m ,使得对任意正整数 n 都有 则 a2 ?

9 ? an ?1 ? 2007 4

.

9 ,则 m >17 . --------------------9 分 4 1 1 m ? 16 m ? 16 2 2 ? 另一方面, an?1 ? an = ( m ? an ) ? an = ( an ? 4) ? ,---------11 分 8 8 8 8 m ? 16 m ? 16 m ? 16 ∴ a2 ? a1 ? , a3 ? a2 ? ,……, an ? an?1 ? , 8 8 8 m ? 16 m ? 16 m ? 16 (n ? 1) ,∴ an ? a1 ? (n ? 1) = 1 ? ( n ? 1) , ① ∴ an ? a1 ? 8 8 8
--------------------------------14 分 当 m>16 时,由①知, an ? ?? ,不可能使 an?1 ? 2007 对任意正整数 n 恒成立, --------------------------------15 分 ∴m≤16,这与 m >17 矛盾,故不存在 m,使得对任意正整数 n 都有

9 ? an ?1 ? 2007 4
.

.

--------------------------------16 分 (2)证法 2:假设存在 m,使得对任意正整数 n 都有 则 a2 ?

9 ? an ?1 ? 2007 4

9 ,则 m >17 . 4

--------------------9 分

另一方面,

an?1 1 m 1 m ? ( ? an ) ? ? 2 m ? ?0, an 8 an 8 4

------------------11 分



a a a2 m m m ? ?0, 3 ? ? 0 ,……, n ? ?0, a1 4 a2 4 an?1 4
m n?1 an m n?1 ) ?( ) , an ? ( 4 a1 4
① -----------------14 分



当 m>16 时,由①知, an ? ?? ,不可能使 an?1 ? 2007 对任意正整数恒成立, --------------------------15 分 ∴m≤16, 这与 m >17 矛盾, 故不存在 m, 使得对任意正整数 n 都有 -----------------------------16 分

9 ? an ?1 ? 2007 4




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