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山东省淄博市三校2015-2016学年高二上学期期末联考数学(文)试题


山东淄博淄川一中 2015-2016 学年度高二第一学期期末学分认定考试

数学试题(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(填空题和解答题)两部分。满分 150 分; 考试 时间 120 分钟.考试结束后,监考教师将答题纸和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷(共 50 分)
注意事项: 本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分, 共

4 页.满分 150 分, 考试用时 120 分钟.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项:
1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第I卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不 能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.抛物线 x2 ? 2 y 的焦点坐标为 A. (0, )

1 2

B. ( , 0)

1 2

C. ? 0,1?

D. ?1,0 ? )条件

2.设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 0 ”是“

1 1 ? ”的( a b

A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 3.在 ?ABC 中,如果 A.等腰三角形

a b = ,则该三角形是 cos B cos A
C.等腰或直角三角形 D.以上答案均不正确

B.直角三角形

4.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,那么 a4 的值为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 )

?x ? y ? 0 5.在平面直角坐标系中,不等式组 ? ? x ? y ? 4 ? 0 表示的平面区域的面积是( ?y ? 0 ?
A. 2
2

B. 4

C. 8

D. 16 )

6.不等式 ax ? 8ax ? 21 ? 0 的解集是 {x ? 7 ? x ? ?1},那么 a 的值是 ( A. 1 B. 2 C. 3 ) D. 4

7.下列命题中,说法正确的是(

http://www.100.com/?source=eduwk

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”
2 2

B.“ 0 ? x ?

1 ”是“ x(1 ? 2 x) ? 0 ”的必要不充分条件 2
2

C.命题“ ?x0 ∈R,使得 x02 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ∈R,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” D.命题“在 ?ABC 中,若 A ? B ,则 sin A ? sin B ”的逆否命题为真命题 8.等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,且 A.

a Sn 2n ,则 5 ? b5 Tn 3n ? 1
D.

2 3

B.

9 14

C.

20 31


7 9

9.在 ?ABC 中, a ? 2, A ? 30? ,C ? 45? , 则 S ?ABC =( A. 2 B. 2 2 C. 3 ? 1

D.

1 2

?

3 ?1

?

10.设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C a 2 b2

相交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D.若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等于 A.

2 2

B.

3 3

C.

3 6

D.

2 4

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题纸中横线上。 11.已知等比数列 {an } 中, a3 ? ?2 ,那么 a2 ? a3 ? a4 的值为 12.如果 a ? 0 ,那么 a ? 13.双曲线 x ?
2



1 ? 2 的最小值是 a



y2 ? 1 的渐近线方程为 4



14. 设 ?ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , 若 a ? 3 , sin B ? 则b ? .

1 π ,C ? , 2 6

15. 已知 f ( x) ? m( x ? m ? 5)( x ? m ? 3) , g ( x) ? x ? 1 .若 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 , 则 m 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。 16.(本小题满分 12 分)
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在△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 a ? 2, c ? 3, cos B ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 sin C 的值.

1 , 4

17. (本小题满分 12 分)已知命题 p :方程

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q : 2 m

对任意实数 x 不等式 x2 ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 恒成立. (Ⅰ)若“ q ”是真命题,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若“ p ? q ”为假命题, “ p ? q ”为真命题,求实数 m 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 已知直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 M , N 两点. (Ⅰ)当直线 l 的斜率为 1 ,求线段 MN 的长; (Ⅱ)记 t ?

1 1 ? ,试求 t 的值. | FM | | FN |

19.(本小题满分 12 分) 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A , B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨, 使用设备 1 小时,获利 1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨,使用设备 1.5 小时,获 利 1200 元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍,设备每天生产 A , B 两种 产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天至多可获取鲜牛奶 15 吨,问该厂每天生产 A , B 两种奶制品各多少吨时,该厂获利最大.

20.(本小题满分 13 分) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? ? ? ? ? na n ? 4 ? (Ⅰ) 求 a3 的值;
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n?2 , n ? N *. 2n ?1

(Ⅱ) 求数列 ?an ? 前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)设 bn ? log 1 a1 ? log 1 a2 ? ...... ?log 1 an , cn ?
2 2 2

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和. bn ?1

21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 E : 为 6. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若椭圆 E 两个不同的点 A , B 关于直线 y ? mx ?

1 x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,直线 y ? 被椭圆 E 截得的线段长 2 2 a b 2

1 对称,求实数 m 的取值范围. 2

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数学试题答案文科
选择题答案 AACDB CDBCB ?8 11. . 12. . 4
13.渐近线方程为 14. b ? 1

y ? ?2x




15. m 的取值范围是

(?4, 0)

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。 16 解: (Ⅰ)由余弦定理, b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,
2 2 2 得 b ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3?

1 ? 10 ,??????????4 分 4
??????????6 分

? b ? 10 .

(Ⅱ)方法 1:由余弦定理,得 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 , 2ab

?

16 ? 40 ? 36 10 , ? 8 2 ? 4 ? 2 10

??????????10 分

∵ C 是 ?ABC 的内角, ∴ sin C ? 1 ? cos 2 C ? 方法 2: ∵ cos B ?

3 6 . ??????????12 分 8

1 ,且 B 是 ?ABC 的内角, 4

∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? 根据正弦定理,

15 . 4

??????????8 分

b c ? , sin B sin C

15 6? c sin B 4 ? 3 6 .??????????12 分 ? 得 sin C ? b 8 2 10
2 17.解: (Ⅰ)因为对任意实数 x 不等式 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 恒成立,

所以 ? ? 4m ? 4(2m ? 3) ? 0 ,解得 ? 1 ? m ? 3  , ????2 分
2

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又“ q ”是真命题等价于“ q ”是假命题, ????3 分 所以所求实数 m 的取值范围是 ?? ?,?1? ? ?3, ? ?? .????4 分 (Ⅱ) 因为方程

x2 y 2 ? ? 1表示焦点在y轴上的椭圆,所以 m ? 2 ,????6 分 2 m

“p ? q”为假命题,“ p ? q”为真命题,等价于 p, q恰有一真一假,???7 分

?m ? 2 当p真q假时, ,则m ? 3 ,????9 分 ? ?m ? ?1或m ? 3
?m ? 2 当p假q真时, ,则 ? 1 ? m ? 2 ,????11 分 ? ?? 1 ? m ? 3

?? 1, .????12 分 综上所述,实数 m的取值范围是 2? ? ?3, ? ?? 
18. 解: (Ⅰ)由题意知,抛物线的焦点 F (1,0) ,准线方程为: x ? ?1 .????1 分 设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,由抛物线的定义知

| MF |? x1 ? 1 , | NF |? x2 ? 1,
于是 | MN |?| MF | ? | NF |? x1 ? x2 ? 2 .??????3 分 由 F (1, 0) ,所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,

解方程组 ?

? y ? x ?1 2 ,消去 y 得 x ? 6 x ? 1 ? 0 .??????4 分 2 ? y ? 4x

由韦达定理得 x1 ? x2 ? 6 , 于是 | MN |? x1 ? x2 ? 2 ? 8 所以,线段 MN 的长是 8 .??????????6 分 (Ⅱ)设 M ( x1, y1 ),N ( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 x ? my ? 1 联立 ?

? x ? my ? 1 2 2 得 y ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? 16m ? 16 ? 0 2 ? y ? 4x
??????????8 分

y1 ? y2 ? 4m , y1 y 2 ? ?4

http://www.100.com/?source=eduwk

因为, y1 y2 ? ?4 ? 0 , ? y1,y 2 异号,又

t?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? | FM | | FN | 1 ? m 2 | y1 | 1 ? m 2 | y2 | 1 ? m 2 y1 y2
1 ( y1 - y2 )2 1 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? ? ? 1 ? m2 ( y1 y2 )2 1 ? m2 ( y1 y2 )2
??????????11 分

?t 2 ?
?

1 16m 2 ? 16 ? ?1 16 1? m2

所以 , 所求 t 的值为 1 . ??????????12 分 方法二:设 M ( x1 , y1 ),N ( x2 , y2 ) , 当直线 l 的斜率不存在时, M (1, 2),N (1, ?2) , t ?

1 1 ? ? 1;???7 分 | FM | | FN |

当直线 l 的斜率不存在时,设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 1)

联立 ?

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 消去 x 得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 , ? ? 16k2 ? 16 ? 0 2 ? y ? 4x

2k 2 ? 4 4 x1 ? x2 ? ? 2 ? 2 , x1 x2 ? 1 ??????????9 分 2 k k

t?

x1 ? x2 ? 2 1 1 1 1 ? ? ? ? | FM | | FN | x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1

4 ?4 2 k ? ? 1 ??????11 分 4 1? 2 ? 2 ?1 k
所以 , 所求 t 的值为 1 . ??????????12 分 19.(本小题满分 12 分) 解:设每天 A , B 两种产品的生产数量分别为 x , y ,相应的获利为 z ,则有

? 2 x ? 1.5 y ? 15, ? x ? 1.5 y ? 12, ? ? ? 2 x ? y ? 0, ? ? x ? 0, y ? 0,
目标函数为 z ? 1000 x ? 1200 y .

????4 分

????5 分
y

http://www.100.com/?source=eduwk 10
8 B ( 3 ,6 )

上述不等式组表示的平面区域如图,阴影部分(含边界)即为可行域.????7 分 作直线 l : 1000 x ? 1200 y ? 0 ,即直线 x ? 1.2 y ? 0 . 把直线 l 向右上方平移 到 l1 的位置, 直线 l1 经过可行域上的点 B , 此时 z ? 1000 x ? 1200 y 取得最大值. ???? 8分 由?

?x ? 2 y ? 0 解得点 M 的坐标为 ? 3,6 ? .????10 分 ?2 x ? 1.5 y ? 15
∴当 x ? 3 , y ? 6 时,

zmax ? 3?1000 ? 6 ?1200 ? 10200 (元).

答:该厂每天生产 A 奶制品 3 吨, B 奶制品 6 吨,可获利最大为 10200 元.?12 分 20.(本小题满分 13 分) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? ? ? ? ? na n ? 4 ? (Ⅰ) 求 a3 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 前 n 项和 Tn ; (Ⅲ) (文科) 设 bn ? log 1 a1 ? log 1 a2 ? ...... ? log 1 an ,cn ?
2 2 2

n?2 , n ? N *. 2n ?1

1 , 求数列 ?cn ? 的前 n bn ?1

项和. 解: (Ⅰ)令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 , 令 n ? 2 ,有 a1 ? 2a2 ? 2 ,得 a2 ? 令 n ? 3 ,有 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4 ?

1 , 2

1 5 ,得 a3 ? .????3 分 4 4 n ?1 (Ⅱ)当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? (n ? 1)an ?1 ? 4 ? n ? 2 , 2 n?2 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? (n ? 1)an ?1 ? nan ? 4 ? n ?1 , 2 n ?1 n ? 2 n ②―①,得 nan ? n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 ,???????5 分 2 2 2
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① ②

所以 an ?

1 , 2 n ?1 1 , 2 n ?1

又当 n ? 1 时, a1 ? 1 也适合 an ? 所以, an ?

1 ( n ? N ? )???????7 分 2 n ?1 (Ⅲ) (文科) bn ? log 1 a1 ? log 1 a2 ? ... ? log 1 an
2 2 2

? 1 ? 2 ? ??? ? (n ? 1)
? n( n ? 1) 2
???????9 分

故 cn ?

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) bn?1 n(n ? 1) n n ?1

???????10 分

1 1 1 1 1 2n c1 ? c2 ? ... ? cn ? 2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ??12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 } 的前 n 项和为 n ?1 bn

???????13 分

21.(本小题满分 14 分) (文科)已知椭圆 E : 的线段长为 6 . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若椭圆 E 两个不同的点 A , B 关于直线 y ? mx ? 解: (Ⅰ)由题设得,椭圆过点 ?

x2 y2 1 2 + 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,直线 y ? 被椭圆 E 截得 2 2 a b 2

1 对称,求实数 m 的取值范围. 2

? 6 1? ? 2 ,2? ? ,????????1 分 ? ?

1 ? 3 ? 2a 2 ? 4b 2 ? 1 ? 2 ? c 所以 ? ? ? 2a 2 2 2 ? a ?b ?c ? ? 解得 a ? 2, b ? 1 ,
所以椭圆的方程为

????????3 分

x2 ? y 2 ? 1. 2

??????????4 分

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(Ⅱ)由(Ⅰ)易得知 m ? 0 ,可设直线 AB 的方程为 y ? ?

1 x ? b .?????5 分 m

1 ? y ? ? x?b ? ? m 由? 2 消去 y 得 ? x ? y2 ? 1 ? ? 2
1 1 2b ( ? 2 ) x2 ? x ? b2 ? 1 ? 0 · 2 m m
因为直线 y ? mx ?
2

????????7 分

x2 1 ? y 2 ? 1有两个不同分交点, 与椭圆 2 2
4 ?0· m2


所以 ? ? ?2b ? 2 ?

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,由韦达定理知, x1 ? x2 ? 于是线段 AB 的中点坐标为 M (

4mb ????????9 分 m2 ? 2

2mb m 2b , ), m2 ? 2 m2 ? 2
②????????11 分

将其代入直线 y ? mx ?

1 m2 ? 2 ,解得 b ? ? 2 2m 2

将②代入①,得

1 1 3 ? 2 ? ?0 4 m m 4
????????13 分

解得 m ? ?

6 6 或m ? . 3 3

因此,所求实数 m 的取值范围 (??, ?

6 6 )?( , ??) .?????????14 分 3 3

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