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安徽省宿州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科)


安徽省宿州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 2 2 1. (5 分)双曲线 2x ﹣y =8 的实轴长是() A.2 B. 2 C. 4 2. (5 分)“x>3”的一个必要不充分条件是() A.x>4 B.x<4 C.x>2

D.4

D.x<2


3. (5 分)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所, 则该几何体的俯视图为()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)设 m 为直线,α、β、γ 为三个不同的平面,下列说法正确的是() A.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β B. 若 m?α,α∥β,则 m∥β C. 若 m⊥α,α⊥β,则 m∥β D.若 α⊥β,α⊥γ,则 β∥γ 5. (5 分)已知原命题:若 a+b>2,则 a,b 至少有一个大于 1,那么原命题与其逆命题的 真假情况是() A.原命题真,逆命题假 B. 原命题假,逆命题真 C. 原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 6. (5 分)已知直线 l1:x+my+6=0 与直线 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0 垂直,则实数 m 的值为 () A.﹣1
2

B.

C. 3

D.2

7. (5 分)抛物线 y =12x 被直线 x﹣y﹣3=0 截得弦长的值为() A.21 B.16 C.24 8. (5 分)曲线 y=e lnx 在 x=1 处的切线方程是() A.y=2e(x﹣1) B.y=ex﹣1 C.y=x﹣e 9. (5 分)函数 f(x)=lnx﹣x 的单调减区间为()
x

D.30

D.y=e(x﹣1)

A.(﹣∞,0) , (1,+∞) (0,1)

B.(1,+∞)

C. (﹣∞,0)

D.

10. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)=sinx+2xf′( ﹣ ,b=log32,则下列关系正确的是() A.f(a)+f(b)<0 B.f(﹣a)+f(b)>0 D.f(﹣a)+f(﹣b)<0

) ,f′(x)为 f(x)的导函数,令 a=

C.

f(a)+f(﹣b)<0

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)已知命题 p:存在 n∈N,使得 2 >1000,则 p 的否定为. 12. (5 分)已知球的表面积为 16π,则该球的体积为.
n

13. (5 分)椭圆

=1 的离心率为 ,则实数 k 的值为.

14. (5 分)函数 y=﹣

在 x=1 处的导数为.

15. (5 分)已知曲线 C: (t ﹣1)x +t y =t ﹣t (t≠0,t≠±1)以下结论正确的是(写出所有 正确结论的序号) ①曲线 C 有可能是圆; ②曲线 C 有可能是抛物线; ③当 t<﹣1 或 t>1,曲线 C 是椭圆; ④若曲线 C 是双曲线,则 0<t<1; ⑤不论 t 为何值,曲线 C 有相同的焦点.

2

2

2 2

4

2

三、解答题 2 2 2 16. (12 分)已知 p:a∈{a|对任意 x∈R,不等式 x +ax+a>0 恒成立},q:a∈{a|方程 x +ay =a 表示的是焦点在 x 轴上的椭圆},如果命题“p 且 q”为假命题,命题“p 或 q”为真命题,求实 数 a 的取值范围. 17. (12 分)已知点 P(2,0)及圆 C:x +y ﹣6x+4y=0,若过点 P 的直线 l 与圆 C 交于 M, N 两点,且|MN|=4 ,求直线 l 的方程. 18. (12 分)已知圆 x +y ﹣6x﹣7=0 与抛物线 C:y =2px(p>0)的准线相切 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程 (Ⅱ)过抛物线 C 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=7,求线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离.
2 2 2 2 2

19. (12 分)已知函数 f(x)=x +3ax +3bx+c 在 x=2 处有极值,其图象在 x=1 处的切线与 直线 6x+2y+5=0 平行. (Ⅰ)求 a,b 的值和函数 f(x)的单调区间; 2 (Ⅱ)当 x∈时,f(x)>1﹣4c 恒成立,求实数 c 的取值范围. 20. (13 分)已知多面体 ABDEC 中,底面△ ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,DB⊥平面 ABC,且 EC,DB 在平面 ABC 的同侧,M 为 EA 的中点,CE=CA=2DB=2 (Ⅰ)求证:DM∥平面 ABC; (Ⅱ)求证:平面 DEA⊥平面 ECA; (Ⅲ)求此多面体 ABDEC 的体积.

3

2

21. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,过点(1, )作圆 x +y =1 的切线,切

2

2

点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆 C 的右焦点和上顶点 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率; (Ⅱ)点 P 为椭圆 C 上任意一点,求△ PAB 面积的最大值.

安徽省宿州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)双曲线 2x ﹣y =8 的实轴长是() A.2 B. 2 C. 4 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 化简双曲线方程为标准方程,求出 a 即可.
2 2

D.4

解答: 解:双曲线 2x ﹣y =8 的标准方程为:

2

2

,可得 a=2,双曲线 2x ﹣y =8

2

2

的实轴长是:4. 故选:D. 点评: 本题考查双曲线的简单性质的应用,基本知识的考查. 2. (5 分)“x>3”的一个必要不充分条件是() A. x>4 B.x<4 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:x>4 是 x>3 的充分不必要条件, x<4 是 x>3 的既不充分也不必要条件, x>2 是 x>3 的必要不充分条件, x<2 是 x<2 的既不充分也不必要条件, 故选:C 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 3. (5 分)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所, 则该几何体的俯视图为()

C. x>2 D. x<2

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 立体几何. 分析: 从正视图和侧视图上分析, 去掉的长方体的位置应该在的方位, 然后判断俯视图的 正确图形. 解答: 解: 由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向, 从侧视图可以看出去掉的长方体 在原长方体的左侧, 由以上各视图的描述可知其俯视图符合 C 选项. 故选:C. 点评: 本题考查几何体的三视图之间的关系,要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相 等”的含义. 4. (5 分)设 m 为直线,α、β、γ 为三个不同的平面,下列说法正确的是()

A.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β C. 若 m⊥α,α⊥β,则 m∥β

B. 若 m?α,α∥β,则 m∥β D.若 α⊥β,α⊥γ,则 β∥γ

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位 置关系与距离. 分析: 根据线面平行、面面平行、面面垂直等性质定理和判定定理对选项分别分析选择. 解答: 解:对于 A,若 m∥α,α⊥β,则 m 与 β 的位置关系不确定;故 A 错误; 对于 B,若 m?α,α∥β,根据面面平行的性质定理可得 m∥β;故 B 正确; 对于 C,若 m⊥α,α⊥β,则 m∥β 或者 m?β;故 C 错误; 对于 D,若 α⊥β,α⊥γ,则 β 与 γ 可能相交;故 D 错误; 故选 B. 点评: 本题考查了线面平行、面面平行、面面垂直等性质定理和判定定理的运用. 5. (5 分)已知原命题:若 a+b>2,则 a,b 至少有一个大于 1,那么原命题与其逆命题的 真假情况是() A.原命题真,逆命题假 B. 原命题假,逆命题真 C. 原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 考点: 四种命题间的逆否关系. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据题意,写出逆否命题,据不等式的性质判断出逆否命题是真命题,所以原命题 是真命题;写出逆命题,通过举反例,说明逆命题是假命题. 解答: 解:逆否命题为:a,b 都不大于 1,则 a+b≤2 是真命题 所以原命题是真命题 逆命题为:若 a,b 至少有一个大于 1,则 a+b>2,例如,当 a=2,b=﹣2 时,满足条件,当 a+b=2+(﹣2)=0,这与 a +b>2 矛盾,故为假命题 故选 A 点评: 判断一个命题的真假问题, 若原命题不好判断, 据原命题与其逆否命题的真假一致, 常转化为判断其逆否命题的真假 6. (5 分)已知直线 l1:x+my+6=0 与直线 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0 垂直,则实数 m 的值为 () A.﹣1 B. C. 3 D.2

考点: 专题: 分析: 解答 :

直线的一般式方程与直线的垂直关系. 直线与圆. 直接利用直线垂直的充要条件列出方程求解即可. 解:直线 l1:x+my+6=0 与直线 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0 垂直, ,

又知直线 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0 的斜率存在,所以 解得 m= . 故选:B.

点评: 本题考查直线的垂直的充要条件的应用,判断直线 的斜率是否存在是解题的关键. 7. (5 分)抛物线 y =12x 被直线 x﹣y﹣3=0 截得弦长的值为() A.21 B.16 C.24 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接把直线方程和抛物线方程联立,利用弦长公式求解. 解答: 解:直线方程为:x﹣y﹣3=0, 假设两个交点(x1,y1) (x2,y2) 由
2 2

D.30

,得

x ﹣18x+9=0, ∴x1+x2=18,x1?x2=9, ∴弦长等于 ? = × =24.

故选:C. 点评: 本题考查了直线与圆锥曲线 的关系,考查了弦长公式的应用,是中档题. 8. (5 分)曲线 y=e lnx 在 x=1 处的切线方程是() A.y=2e(x﹣1) B.y=ex﹣1 C.y=x﹣e
x

D.y=e(x﹣1)

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求导函数,切点切线的斜率,求出切点的坐标. ,即可得到切线方程. 解答: 解:求曲线 y=e lnx 导函数,可得 f′(x)=e lnx+ ∴f′(1)=e, ∵f(1)=0,∴切点(1,0) . ∴函数 f(x)=e lnx 在点(1,f(1) )处的切线方程是:y﹣0=e(x﹣1) , 即 y=e(x﹣1) 故选:D. 点评: 本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基本知识的考查. 9. (5 分)函数 f(x)=lnx﹣x 的单调减区间为() A.(﹣∞,0) , (1,+∞) B.(1,+∞) (0,1)
x x x

C. (﹣∞,0)

D.

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出函数 f(x)的定义域与导函数,令导函数小于 0,求出 x 的范围,即为 f(x) 的单调递减区间. 解答: 解:函数 f(x)=lnx﹣x 的定义域为 x>0,

可得 f′(x)= ﹣1= 令 f′(x)<0,得 x>1. ∴函数 f(x)=lnx﹣x 的单调减区间是(1,+∞) 故选:B. 点评: 求函数的单调区间, 应该先求出函数的导函数, 令导函数大于 0 得到函数的递增区 间;令导函数小于 0 得到函数的递减区间.注意函数的定义域. 10. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)=sinx+2xf′( ﹣ ,b=log32,则下列关系正确的是() A.f(a)+f(b)<0 B.f(﹣a)+f(b)>0 D.f(﹣a)+f(﹣b)<0 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求出原函数的导函数,取 x= 求出 f′( ) ,代入原函数解析式后求出 f(x) ,求 C. f(a)+f(﹣b)<0 ) ,f′(x)为 f(x)的导函数,令 a=

导函数判断原函数的单调性,比较 a 与 b 的大小后运用单调性判断 f(a)与 f(b)的大小, 再判断出函数的奇偶性,再判断各个选项. 解答: 解:由题意得,f(x)=sinx+2xf′( 则 f′(x)=cosx+2f′( 令 x= ) , )=cos +2f′( ) , ) ,

代入 f′(x)得,f′( )=

解得 f′(

,所以 f(x)=sinx﹣x,

由 f′(x)=cosx﹣1≤0,得到 f(x)为递减函数, 因为 a=﹣ <b=log32,则 f (a)>f (b) , 即 f (a)﹣f (b)>0①,或 f (b)﹣f (a)<0②, 因为函数 f(x)=sinx﹣x 是奇函数, 所以①等价于 f (a)+f (﹣b)>0,则 C 错误; ②等价于 f (﹣a)+f (b)<0,则 B 错误; 因为﹣a= = <b=log32,则 f (﹣a)>f (b) ,

即 f (﹣a)﹣f (b)>0,所以 f (﹣a)+f (﹣b)>0,则 D 错误; 由 f (﹣a)+f (﹣b)>0 得﹣f (a)﹣f (b)>0, 即 f (a)+f (b)<0,则 A 正确; 故选:A. 点评: 本题考查了导数的运算,函数的奇偶性的定义、性质,利用导函数判断一个函数的 单调性,由单调性比较两个函数值的大小,考查转化思想,属于中档题.

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)已知命题 p:存在 n∈N,使得 2 >1000,则 p 的否定为任意 n∈N,都有 2 ≤1000. 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用特称命题的否定是全称命题,写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题 p:存在 n∈N,使得 2 >1000, n 则 p 的否定为:任意 n∈N,都有 2 ≤1000; n 故答案为:任意 n∈N,都有 2 ≤1000. 点评: 本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.
n n n

12. (5 分)已知球的表面积为 16π,则该球的体积为



考点: 专题: 分析: 解答:

球的体积和表面积. 计算题;空间位置关系与距离. 通过球的表面积求出球的半径,然后求出球的体积 解:一个球的表面积是 16π,所以球的半径为:2, = .

所以这个球的体积为: 故答案为: .

点评: 本题是基础题,考查球的表面积、体积的计算,考查计算能力,公式的应用.

13. (5 分)椭圆

=1 的离心率为 ,则实数 k 的值为 3 或



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分类讨论,利用椭圆的离心率公式,即可求出 k 的值. 解答: 解:k>4,则 0<k<4 时,则 故答案为:3 或 . ,∴k= ;

= ,∴k=3,

点评: 本题考查椭圆的简单性质,考查离心率是计算,考查分类讨论的数学思想,比较基 础.

14. (5 分)函数 y=﹣

在 x=1 处的导数为



考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据求导公式和复合函数的求导法则求函数的导数,再把 x=1 代入求值即可. 解答: 解:由题意得,y=﹣ =﹣ ,

所以 y′=﹣ 则函数在 x=1 处的导数为 故答案为: . = ,

=2x×

=



点评: 本题考查求导公式和复合函数的求导法则,属于基础题. 15. (5 分)已知曲线 C: (t ﹣1)x +t y =t ﹣t (t≠0,t≠±1)以下结论正确的是③⑤(写 出所有正确结论的序号) ①曲线 C 有可能是圆; ②曲线 C 有可能是抛物线; ③当 t<﹣1 或 t>1,曲线 C 是椭圆; ④若曲线 C 是双曲线,则 0<t<1; ⑤不论 t 为何值,曲线 C 有相同的焦点. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 将曲线 C 化为标准方程,对分母考虑,由于 t ≠t ﹣1,则曲线 C 不表示圆,即可判 2 2 断①;由于 t ≠0,t ﹣1≠0, 2 2 即可判断②;若为椭圆,则有 t >0,且 t ﹣1>0,解不等式即可判断③;若曲线 C 表示 2 2 双曲线,则 t >0 且 t ﹣1<0,解不等式即可判断④;分别讨论椭圆方程和双曲线方程,求 得焦点,即可判断⑤. 解答: 解:曲线 C: (t ﹣1)x +t y =t ﹣t (t≠0,t≠±1) , 即为 + =1,
2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2

对于①,由于 t ≠t ﹣1,则曲线 C 不表示圆,则①错; 2 2 对于②,由于 t ≠0,t ﹣1≠0,则曲线 C 不可能表示抛物线,则②错; 2 2 对于③,若为椭圆,则有 t >0,且 t ﹣1>0,解得 t>1 或 t<﹣1,则③对; 2 2 对于④,若曲线 C 表示双曲线,则 t >0 且 t ﹣1<0,解得﹣1<t<0 或 0<t<1,则④错; 2 2 对于⑤,若曲线 C 表示椭圆,由 t >t ﹣1,则焦点在 x 轴上,且为(±1,0) , 若曲线 C 为双曲线,则方程为 故答案为:③⑤. ﹣ =1,则焦点在 x 轴上,且为(±1,0) ,则⑤对.

点评: 本题考查方程表示的曲线的形状, 考查圆的方程以及圆锥曲线的方程和性质, 考查 不等式的解法,考查运算能力,属于基础题和易错题. 三、解答题 2 2 2 16. (12 分)已知 p:a∈{a|对任意 x∈R,不等式 x +ax+a>0 恒成立},q:a∈{a|方程 x +ay =a 表示的是焦点在 x 轴上的椭圆},如果命题“p 且 q”为假命题,命题“p 或 q”为真命题,求实 数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 2 分析: 命题 p: 对任意 x∈R, 不等式 x +ax+a>0 恒成立. 可得△ <0, 解得 a 的取值范围. 命 题 q:方程 x +ay =a 表示的是焦点在 x 轴上的椭圆,得
2 2

,可得 a>1.

由于命题“p 且 q”为假命题,命题“p 或 q”为真命题,可得 p、q 必然一真一假. 2 解答: 解:命题 p:对任意 x∈R,不等式 x +ax+a>0 恒成立. 2 则△ =a ﹣4a<0,解得 0<a<4,可得 a 的取值范围是 0<a<4. 命题 q:方程 x +ay =a 表示的是焦点在 x 轴上的椭圆,得 ∵命题“p 且 q”为假命题,命题“p 或 q”为真命题, ∴p、q 必然一真一假, ∴ 或 ,
2 2

,解得 a>1.

解得 0<a≤1,或 a≥4. ∴实数 a 的取值范围是 0<a≤1,或 a≥4. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、 椭圆的标准方程及其性质、 简 易逻辑的判定,属于基础题. 17. (12 分)已知点 P(2,0)及圆 C:x +y ﹣6x+4y=0,若过点 P 的直线 l 与圆 C 交于 M, N 两点,且|MN|=4 ,求直线 l 的方程. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出圆的标准方程, 利用直线和圆相交的弦长公式求出圆心到直线的距离即可求出 直线方程. 解答: 解:由圆 C:x +y ﹣6x+4y=0,即(x﹣3) +(y+2) =9, 故圆心 C(3,﹣2) ,半径 r=3,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 因为|MN|=4 ,设圆心到直线的距离为 d, 由|MN|=4 = ,得 d=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)
2 2 2 2 2 2

(1)当 l 的斜率 k 存在时,设直线方程为 y﹣0=k(x﹣2) . 又圆 C 的圆心为(3,﹣2) ,半径 r=3, 由 ,解得 k=﹣ .

所以直线方程为 y=﹣ (x﹣2) , 即 3x+4y﹣6=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) (2)当 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=2,经验证 x=2 也满足条件.﹣﹣(11 分) 综上直线 l 的方程为 3x+4y﹣6=0 或 x=2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题主要考查直线方程的求解,根据直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键. 18. (12 分)已知圆 x +y ﹣6x﹣7=0 与抛物线 C:y =2px(p>0)的准线相切 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程 (Ⅱ)过抛物线 C 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=7,求线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离. 考点: 圆与圆锥曲线的综合;抛物线的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: (Ⅰ)求出圆的圆心与半径,利用 y =2px(p>0)的准线相切,求出 p,得到抛物 线方程. (Ⅱ)求出抛物线 C 的焦点坐标为(1,0) ,准线方程为 x=﹣1,求出抛物线定义知线段 AB 的中点 M 到准线的距离,然后求解线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离. 2 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)圆 x +y ﹣6x﹣7=0,即(x﹣3) +y =16,所以圆心(3,0) ,半径为 4, 抛物线的准线方程为 x=
2 2 2 2

,依题意,有 3﹣(﹣ )=4,得 p=2,

故抛物线方程为 y =4x;﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,抛物线 C 的焦点坐标为(1,0) ,准线方程为 x=﹣1, 由抛物线定义知线段 AB 的中点 M 到准线的距离为 故线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离 d= ,

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题考查圆的方程与抛物线方程的综合应用, 点到直线的距离, 考查分析问题解决 问题的能力. 19. (12 分)已知函数 f(x)=x +3ax +3bx+c 在 x=2 处有极值,其图象在 x=1 处的切线与 直线 6x+2y+5=0 平行. (Ⅰ)求 a,b 的值和函数 f(x)的单调区间; 2 (Ⅱ)当 x∈时,f(x)>1﹣4c 恒成立,求实数 c 的取值范围. 考点: 导数在最大值、 最小值问题中的应用; 函数恒成立问题; 利用导数研究函数的极值; 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先对函数进行求导,根据函数 f(x)在 x=2 取得极值,说明导函数在 x=2 时值为 0,再根据其图象在 x=1 处的切线斜率为﹣3,列出方程组即可求出 a、b 的值,进而 可以求出函数的单调区间; 2 (Ⅱ)可以求出函数在闭区间 x∈上的最小值,这个最小值要大于 1﹣4c ,解不等式可以得 出实数 c 的取值范围. 2 解答: 解:f′(x)=3x +6ax+3b,由该函数在 x=2 处有极值,
3 2

故 f′(2)=3?2 +6a?2+3b=0 即 4a+b+4=0…① 又其图象在图象在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行 2 所以 f′(1)=3?1 +6a?1+3b=﹣3 即 2a+b+2=0…② 由①,②,解得 a=﹣1,b=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ∴f′(x)=x ﹣3x +c 2 (Ⅰ)∵f′(x)=3x ﹣6x=3x(x﹣2) 由 f′(x)=0 得 x1=0,x2=2. 列表如下 x (﹣∞,0)0 (0,2)2 (2,+∞) f′(x)+ 0 ﹣ 0 + f(x) ↗ 极大值↘ 极小值↗ 故 f(x)的单调递增区间是(﹣∞,0) , (2,+∞)单调递增区间是(0,2)﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) (Ⅱ)由(1)可知列表如下 x 1 (1,2)2 (2,3)3 f′(x) ﹣ 0 + f(x) ﹣2+c↘ ﹣4+c↗ c ∴f(x)在的最小值是﹣4+c 2 ∴c﹣4>1﹣4c 解得 c>1 或 c<﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义, 以及利用导数解决函 数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题,综合性较强,属于难题. 20. (13 分)已知多面体 ABDEC 中,底面△ ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,DB⊥平面 ABC,且 EC,DB 在平面 ABC 的同侧,M 为 EA 的中点,CE=CA=2DB=2 (Ⅰ)求证:DM∥平面 ABC; (Ⅱ)求证:平面 DEA⊥平面 ECA; (Ⅲ)求此多面体 ABDEC 的体积.
3 2

2

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: (Ⅰ)取 AC 的中点 N,连接 MN,BN,利用三角形中位线定理与平行四边形的 判定与性质定理可得 DM∥BN,再利用线面平行的判定定理可得:DM∥平面 ABC. (Ⅱ)由 EC⊥平面 ABC,可得 EC⊥BN,利用△ ABC 为正三角形,可得 BN⊥AC,可得 BN⊥平面 ECA,利用 DM∥BN,可得 DM⊥平面 ECA,即可证明. (Ⅲ)取 BC 的中点 O,连接 AO,利用等边三角形的性质可得:AO⊥BC.利用面面垂直 的性质定理可得: AO⊥平面 BDEC. 利用此多面体 ABDEC 的体积 V=VA﹣BDEC= 可得出. 解答: (Ⅰ)证明:取 AC 的中点 N,连接 MN,BN, ∵ ∴ , DB, , 即

故四边形 BDMN 为平行四边形, 由 DM∥BN,DM?平面 ABC,BN?平面 ABC, ∴DM∥平 面 ABC. (Ⅱ)证明:∵EC⊥平面 ABC,BN?平面 ABC, ∴EC⊥BN, 又∵△ABC 为正三角形, N 为 AC 的中点, ∴BN⊥AC, 又 AC∩EC=C, ∴BN⊥平面 ECA, ∵DM∥BN, ∴DM⊥平面 ECA, 又 DM?平面 DEA, ∴平面 DEA⊥平面 ECA. (Ⅲ)解:取 BC 的中点 O,连接 AO, ∵△ABC 是边长 为 2 的等边三角形, ∴AO⊥BC,AO= . ∵平面 BDEC⊥平面 ABC,平面 BDEC∩平面 ABC=BC, ∴AO⊥平面 BDEC. SBDEC= =3, = = .

∴此多面体 ABDEC 的体积 V=VA﹣BDEC=

点评: 本题考查了线面面面平行与垂直的判定性质定理、 三角形的中位线定理、 四棱锥的 体积计算公式、平行四边形的判定与性质定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

21. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,过点(1, )作圆 x +y =1 的切线,切

2

2

点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆 C 的右焦点和上顶点 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率; (Ⅱ)点 P 为椭圆 C 上任意一点,求△ PAB 面积的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质 . 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由题意可知:c=1,kOQ= ,则 kAB=﹣2,由此能求出椭圆的标准方程. (Ⅱ)设与直线 AB 的平行的直线方程为 y=﹣2x+t,代入椭圆方程,由△ =0 得 t=±2 当 t=﹣2 时,求出点 P 到直线 AB 的最大距离,即可求△ PAB 面积的最大值. ,故

解答: 解: (Ⅰ)由题意,Q(1, ) ,可知:c=1,kOQ= ,则 kA B=﹣2,…(3 分) 所以直线 AB 的方程是 y=﹣2(x﹣1) ,即 y=﹣2x+2,即 b=2.…(5 分) 所以 a =b +c =5, 故椭圆的标准方程为 .
2 2 2

椭圆的离心率 e= =
2

﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)
2

(Ⅱ)设与直线 AB 的平行的直线方程为 y=﹣2x+t, 代入椭圆方程得 24x ﹣20tx+5t ﹣20=0, 由△ =0 得 t=±2 , 故当 t=﹣2 时,点 P 到直线 AB 的最大距离为 d= ,

又因为 A(1,0) ,B( , ) ,所以|AB|= 故△ PAB 积的最大值 = × = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分)

点评: 本题考查椭圆的方程与性质, 考查三角形面积的计算, 考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题.


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