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陕西省西工大附中2012届高三第六次适应性训练 数学文


2 01 2 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 西 工 大 附 中 第 六 次 适 应 性 训 练

数 学(文科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。 考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合 A={1, 2, 4, 6}, B={2, 3, 5}, 则韦恩图中阴影部分表示的集合为 ( ) A.{2} B.{3,5} C.{1,4,6} D.{3,5,7,8} 2.某人向一个半径为 6 的圆形标靶射击,假设他每次 射 击 必定会中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射击中靶点与靶心的距离小 于 2 的概率为 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 13 9 4 2 3.下列推理是归纳推理的是 ( ) A. A, B 为定点,动点 P 满足 PA ? PB ? 2a ? AB (a ? 0) ,则动点 P 的轨迹 是以 A, B 为焦点的双曲线; B.由 a1 ? 2, an ? 3n ?1 求出 S1 , S2 , S3 , 猜想出数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 的表达式; C.由圆 x2 ? y 2 ? r 2 的面积 S ? ? r 2 ,猜想出椭圆 D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇. 4.命题“存在 x ? R , 使x2 ? ax ? 4a ? 0 ”为假命题是命题“ ? 16 ? a ? 0 ”的( A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) )
x2 y 2 ? ? 1 的面积 S ? ? ab ; a 2 b2

5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 A. 若l ? ? , m ? ? , 则l / / m C. 若m / /l , l / /? , 则m / /? B. 若m ? l , l ? ? , 则m ? ? D. 若l ? m, m ? ? , 则l / /? )

2 3 2 3 5 2 5 2 5 ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( ) 6.设 a ? ,则 a, b,c 的大小关系是( 5 5 5

A.b>c>a

B.a>b>c

C.c>a>b

D.a>c>b

7.已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0) 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离

等于

? ? , 若将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 个单位长度得到函数 y ? g ( x) 的 2 6
) B. y ? 2sin 2 x D. y ? 2sin 4 x )

图象,则 y ? g ( x) 的解析式是(

? A. y ? 2sin(2 x ? ) 6 ? C. y ? 2sin(4 x ? ) 6

8.已知 P 是边长为 2 的正 ?ABC 边 BC 上的动点,则 AP ? ( AB ? AC) ( A.最大值为 8 B.最小值为 2 C.是定值 6
?2 x ? y ? 0 ? 9.实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 ,且 z ? ax ? y ? a ? 0? ?6 x ? 3 y ? 18 ?

D.与 P 的位置有关 取最小值的最优解

有无穷多个, 则实数 a 的取值是 ( ) 4 A. ? B.1 C.2 5

D.无法确定

10. 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d , g ( x) ? ax2 ? 2bx ? 3c(a ? 0), 若 y ? g ( x) 的图像如下 图所示,则下列图像可能为 y ? f ( x) 的图像是( )

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线 上. 11.设 i 为虚数单位,则 1 ? i ? i 2 ? i3 ? i 4 ?
? i 20 =___.

12.若函数 f (x ) ? a log2 x ? b log3 x ? 2 ,且 f ( 则 f (2012) 的值为_ .

1 )?5, 2012

13. 某程序图如图所示,该程序运行后输出的结果 是 . 14. 斜率为 2 的直线 l 过双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右 a 2 b2

焦点且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线的离心率 e 的取值范围___ .

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评 阅记分) (A) . (选修 4—4 坐标系与参数方程)已知点 A 是曲线 ? ? 2sin ? 上任意一点,则 ? 点 A 到直线 ? sin(? ? ) ? 4 的距离的最小值是 . 3 (B).(选修 4—5 不等式选讲)已知 2 x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0, x ? 2y 则 的最小值是 . xy (C) .(选修 4—1 几何证明选讲)如图, ?ABC 内接于 圆 O , AB ? AC ,直线 MN 切 O 于点 C , BE // MN 交 AC 于点 E .若 AB ? 6, BC ? 4, 则 AE 的长为 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)的图象如图所示。

(1)求 A,? 及 ? 的值;

? (2)若 tan?=2,求 f (? ? ) 的值. 8
17. (本小题满分 12 分)某班级共有 60 名学生,先用抽签法从中抽取部分学生调 1 查他们的学习情况,若每位学生被抽到的概率为6. (1)求从中抽取的学生数; (2)若抽查结果如下,先确定 x,再完成频率分布直方图; 每周学习时间 (小时) 人数

[0,10) 2

[10,20) 4

[20,30) x

[30,40] 1

(3) 估计该班学生每周学习时间的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点 值作代表).

18. (本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , D 为侧棱 PC 上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明: AD ? 平面 PBC ; (2)求三棱锥 D ? ABC 的体积;

(3)在 ?ACB 的平分线上确定一点 Q ,使得 PQ ∥平面 ABD ,并求此时 PQ 的长.
P D
4 2 2 2 4 2 2 2

A B

C

4

正(主)视图

侧(左)视图

19.. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a2 ? 1) x ? b(a , b ? R) (1)若 y ? f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,求 f ( x) 在区 间 [?2, 4] 上的最大值; (2)当 a ? 0 时,若 f ( x) 在区间 ( ?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. 20. (本小题满分 13 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1) ,焦点在 x 轴上,若 右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3。 (1)求椭圆的方程; (2)设直线 y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆相交于不同的两点 M,N,当|AM|=|AN| 时,求 m 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? mx (m 为常数,m>0 且 m≠1) . 设 f (a1 ), f (a2 ),... f (an )... (n∈ N * )是首项为 m2,公比为 m 的等比数列. (1)求证:数列 ?an ? 是等差数列; (2)若 bn ? an ? f (an ) ,且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn,当 m=2 时,求 Sn; (3)若 cn ? f (an ) ? lg f (an ) ,问是否存在 m,使得数列 ?cn ? 中每一项恒小于它 后面的项?若存在,求出 m 的范围;若不存在,请说明理由.

1 3

2012 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 西 工 大 附 中 第 六 次 适 应 性 训 练

数学(文科)参考答案

一.选择题: BBBAA 二.填空题: 11. 1. 15. A.
5 2

DBCBC

12.-1
B.9

13. 5
C.

14. e ? 5
10 3

三.解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由图知 A=2, T=2( ∴?=2,
5? ? ? )=?, 8 8

∴f(x)=2sin(2x+?)

? ? 又∵ f ( ) =2sin( +?)=2, 8 4 ? ? ? ? ∴sin( +?)=1, ∴ +?= ? 2k? ,?= + 2k? ,(k?Z) 2 4 4 4 ? ? ? ∵ 0 ? ? ? ,∴?= 由(Ⅰ)知:f(x)=2sin(2x+ ), 2 4 4 ? ? ∴ f (? ? ) =2sin(2?+ )=2cos2?=4cos2?-2 8 2 1 ∵tan?=2, ∴sin?=2cos?, 又∵sin2?+cos2?=1, ∴cos2?= , 5 ? 6 ∴ f (? ? ) = ? 8 5
17. (本小题满分 12 分) (1)设共抽取学生 n 名, 则 即共抽取 10 名学生. (2)由 2+4+x+1=10, 得 x=3, 频率分布 直方图如下: (3)所求平均数为=0.2×5+0.4×15+0.3×25+0.1×35=18, 故 估计该班学生每周学习时间的平均数为 18 小时. 18. . (本小题满分 12 分) (1)因为 PA ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC , 又 AC ? BC ,所以 BC ? 平面 PAC ,所以 BC ? AD . n 1 = , ∴n=10, 60 6

由三视图可得,在 ?PAC 中, PA ? AC ? 4 , D 为 PC 中点,所以 AD ? PC , 所以 AD ? 平面 PBC , (2)由三视图可得 BC ? 4 , 由⑴知 ?ADC ? 90? , BC ? 平面 PAC , 又三棱锥 D ? ABC 的体积即为三棱锥 B ? ADC 的体积, 所以,所求三棱锥的体积 V ? ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ?
1 1 3 2 1 2 16 . 3

(3)取 AB 的中点 O ,连接 CO 并延长至 Q ,使得 CQ ? 2CO ,点 Q 即为所求.
P D

A
Q O

C B

因为 O 为 CQ 中点,所以 PQ ∥ OD , 因为 PQ ? 平面 ABD , OD ? 平面 ABD ,所以 PQ ∥平面 ABD , 连接 AQ , BQ ,四边形 ACBQ 的对角线互相平分, 所以 ACBQ 为平行四边形,所以 AQ ? 4 ,又 PA ? 平面 ABC , 所以在直角 ?PAD 中, PQ ? AP2 ? AQ2 ? 4 2 . 19. (本小题满分 12 分)解: (1)∵ (1, f (1)) 在 x ? y ? 3 ? 0 上.∴ f (1) ? 2
1 3 2 ? 又 f (1) ? ?1 ,∴ 1 ? 2a ? a ? 1 ? ?1 8 ∴ a2 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1, b ? 3 1 2 8 ∴ f ( x) ? x ? x2 ? , f ?( x) ? x2 ? 2x 3 3 由 f ?( x) ? 0 可知 x ? 0 和 x ? 2 是 f ( x) 的极值点. 8 4 ∵ f (0) ? , f (2) ? , f (?2) ? ?4, f (4) ? 8 3 3 ∴ f ( x) 在区间 [?2, 4] 上的最大值为 8.

∵ (1, 2) 在 y ? f ( x) 上,∴ 2 ? ? a ? a2 ? 1 ? b

(2)因为函数 f ( x) 在区间 ( ?1,1) 不单调,所以函数 f ?( x) 在 ( ?1,1) 上存在零点. 而 f ?( x) ? 0 的两根为 a ? 1 , a ? 1 ,区间长为 2 , ∴在区间 ( ?1,1) 上不可能有 2 个零点. 所以 f ?(?1) f ?(1) ? 0 ,即 a2 (a ? 2)(a ? 2) ? 0 . ∵ a2 ? 0 ,∴ (a ? 2)(a ? 2) ? 0, ? 2 ? a ? 2 .

又∵ a ? 0 ,∴ a ? (?2, 0) (0, 2) . 20. (本小题满分 13 分) 解: (1)依题意可设椭圆方程为
x2 ? y2 ? 1 , 则 右 焦 点 F 2 a

?

a2 ? 1 , 0 由 题 设

?

| a 2 ? 1? 2 2 | x2 ? 3 ,解得 a 2 ? 3 , 故所求椭圆的方程为 ? y 2 ? 1. 3 2

(2)设 p( xp , y p ) , M ( xM , yM ) , N ( xN , yN ) .P 为弦 MN 的中点,
? y ? kx ? m ? 由 ? x2 得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6mkx ? 3(m2 ?1) ? 0 2 ? ? y ?1 ?3

因直线与椭圆相交,故 ? ? (6mk )2 ? 4(3k 2 ? 1) ? 3(m2 ?1) ? 0 即 m2 ? 3k 2 ? 1 (! ) 故 xp ?
xM ? xN 3mk ?? 2 2 3k ? 1 y p ? kxP ? m ? m 3k 2 ? 1

所以 k AP

yP ? 1 m ? 3k 2 ? 1 ? ?? xP 3mk

又 AM ? AN

所以 AP ? MN

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? 即 2m ? 3k 2 ? 1 (2) 则? 3mk k

把(2)代入 (1)得 m2 ? 2m解得0<m<2 由(2)得 k 2 ?
2m ? 1 ?0 3

解得 m ?
1 ?m?2 2

1 2

综上求得 m 的取值范围是 21. (本小题满分 14 分)

.解: (1)由题意 f(an)= m2 ? mn?1 ? mn?1 ,即 man ? mn ?1 . ∴an=n+1, (2 分) ∴an+1-an=1, ∴数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列. (4 分) (2)由题意 bn ? an ? f (an ) =(n+1)· mn+1, 当 m=2 时,bn=(n+1)· 2n+1 ∴Sn=2· 22+3· 23+4· 24+…+(n+1)· 2n+1 ①(6 分) ①式两端同乘以 2,得 2Sn=2· 23+3· 24+4· 25+…+n· 2n+1+(n+1)· 2n+2 ② ②-①并整理,得 Sn=-2· 22-23-24-25-…-2n+1+(n+1)· 2n+2

=-22-(22+23+24+…+2n+1)+(n+1)· 2n+2 22(1-2n) =-22- +(n+1)· 2n+2 1-2 =-22+22(1-2n)+(n+1)· 2n+2=2n+2· n. (9 分) (3)由题意 cn ? f (an ) ? lg f (an ) =mn+1· lgmn+1=(n+1)· mn+1· lgm, 要使 cn<cn+1 对一切 n∈N*成立, 即(n+1)· mn+1· lgm<(n+2)· mn+2· lgm,对一切 n∈N*成立, ①当 m>1 时,lgm>0,所以 n+1<m(n+2)对一切 n∈N*恒成立; (11 分) ②当 0<m<1 时,lgm<0,所以等价使得 n+1 >m 对一切 n∈N*成立, n+2

因为

n+1 1 2 2 =1- 的最小值为3,所以 0<m<3. n+2 n+2

2 综上,当 0<m<3或 m>1 时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项. (14 分)


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