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宁夏固原市第一中学2015届高三第二次模拟数学(理)试题


固原一中 2015 届高考数学(理科)模拟试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.如图,在复平面内,已知复数 z1、z 2、z3 ,对应的向量分别是 OA, OB, OC , ( i 是虚数单 位) ,已知 z ?

11 z1 ? z 2 i |? ( A )

, 则| z ? 2 z3
B. 10 ? 11 D.

A. 3 C. 6 ? 11

3 2

2.设 x, y 是两个实数,命题“ x, y 中至少有一个数大于 1 ”成立的充分不必要条件是( B ) A. x ?

y?2

B. x ?

y?2

C. x 2 ? y 2 ? 2

D. xy

?1

3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时恒有 f(x+2)=f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=ex ? 1,则 f(2014)+f(-2015)=( B ) A.e-1 B.1-e C.-1-e D.e+1 中 4.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图 的 x 的值是( D ) A.2 B.

9 2

C.

3 2

D.3

5.已知双曲线 ax2–by2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 x– 3 y=0,它的一个焦点在 抛物线 y2=–4x 的准线上,则双曲线的方程为( D ) . A.4x2–12y2=1 B.4x2–

4 2 y =1 3

C.12x2–4y2=1
3 cos x

D.

4 2 2 x –4 y =1 3

6.定义:

a1

a2

a3 a 4

? a1 a 4 ? a 2 a 3 ,若函数 f ( x) ?

1 , 将其图象向左平移 m(m ? 0) 个单 sin x

位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 ( B ) A.
?
3

B. ?

2 3

C.

?
6

D. ?

5 6

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 7.若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 | x | ? y 的取值范围是( D ) ? y ? ?1, ?
A. [?1,3] B. [1,11] C. [1,3] D. [?1,11]

8.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。已

知:①食物投掷地点有远、近两处;②由于 Grace 年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但 此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;③所有参与搜寻任务的 小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处,那么不同的搜寻方案有( C ) A.80 种 B.70 种 C.40 种 D.10 种

9.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b2=a2+bc,A= A.

?
6

,则角 C=( B ) .

?
6

B.

?
4

C.

3? 4

D.

?
4



3? 4

10. 一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , 以顶点 A 为端点的三条棱长都相等, 且它们彼此的夹角都是 60? ,则 A. 3 11.如图,已知双曲线 B. 2

AC1 . ?( D ) AB
C. 5 D. 6

=1(a>0,b>0)上有一点 A,它关于原点的对称点为 B,点 , ,则双曲线离心率 e 的 ]

F 为双曲线的右焦点,且满足 AF⊥BF,设∠ABF=α,且 α∈[ 取值范围为( B ) A.[ C.[ ,2+ , ] ] B. [ D.[ , , +1] ]

12.若函数 y1 ? sin 2 x1 ? 小值为( B ) A.

3 ( x1 ? ? 0, ? ?) ,函数 y2 ? x2 ? 3 ,则 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 的最 2

2? 12

B.

(? ? 18) 2 72

C.

(? ? 18) 2 12

D.

(? ? 3 3 ? 15) 2 72

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若二项式(

m 5 2 1 6 x ? ) 的展开式中的常数项为 m,则 ? ( x 2 ? 2 x)dx = 1 5 x
3 2

.

2 3

14.如图所示的程序框图,若输入 n ? 2015 ,则输出的 s 值为__________.

15. 已知正三角形ABC的边长为2, 点D, E分别在边AB, AC上, 且 AD =? AB ,AE =? AC . 若 点F为线段BE的中点,点O为△ADE的重心,则 OF ? CF = .0
2 x

16.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x+5)=16,当 x∈(-1,4]时,f(x)=x -2 , 则函数 f(x)在[0,2013]上的零点个数是______.604 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设数列{an}满足: a1=1, an+1=3an, n∈N . 设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和, 已知 b1≠0, 2bn–b1=S1 ?Sn,n∈N . (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=bn?log3an,求数列{cn}的前 n 项和 Tn; (Ⅲ)证明:对任意 n∈N 且 n≥2,有
* * *

1 1 1 3 + +?+ < . 2 a 2 ? b2 a3 ? b3 a n ? bn

(17)解: (Ⅰ)∵an+1=3an,∴{an}是公比为 3,首项 a1=1 的等比数列, ∴通项公式为 an=3n–1. ∵2bn–b1=S1?Sn,∴当 n=1 时,2b1–b1=S1?S1, ∵S1=b1,b1≠0,∴b1=1. ∴当 n>1 时,bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1,∴bn=2bn–1, ∴{bn}是公比为 2,首项 a1=1 的等比数列, ∴通项公式为 bn=2n–1. (Ⅱ)cn=bn?log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1, ????5 分 ???? 6 分 ??① ???? 3 分 ???? 2 分

Tn=0?20+1?21+2?22+?+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 2 T n=

0?21+1?22+2?23+??+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ??②

①–②得:–Tn=0?20+21+22+23+??+2n–1–(n–1)2n

=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n
∴Tn=(n–2)2n+2. (Ⅲ) ???? 10 分

1 1 1 1 1 = n ?1 = = n ?2 ≤ n ?2 n ?1 n ?2 n ?1 n ?2 n ?2 3? 3 ? 2 a n ? bn 3 ? 2 3 ? 2( 3 ? 2 ) 3

1 1 1 + +?+ a 2 ? b2 a3 ? b3 a n ? bn

1 1 1 < 0 + 1 +?+ n ? 2 = 3 3 3

1 1 ? ( ) n ?1 3 1 1? 3
????14 分

=

1 3 3 (1– n ?1 )< . 2 2 3

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD / / BC , ?ADC ? 90? ,平面

PAD ⊥底面 ABCD ,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA ? PD ? AD ? 2 ,BC ? 1 ,

CD ? 3 .
(Ⅰ)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ;
? (Ⅱ)若二面角 M ? BQ ? C 为 30 ,设 PM ? t ? MC ,试确定 t 的值.

【知识点】平面与平面垂直的证明; 实数的取值 G10 G11 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2) t ? 3

1 解析: (1)证法一:∵AD∥BC,BC= 2 AD,Q 为 AD 的中点,
∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ. ???????1 分 ∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD. ???????2 分 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,???????4 分 ∴BQ⊥平面 PAD. ???????5 分 ∵BQ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. ???????6 分

1 证法二:AD∥BC,BC= 2 AD,Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形,
∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD. ∵PA=PD,∴PQ⊥AD. ∵PQ∩BQ=Q PQ、BQ ? 平面PBQ , ???????1 分 ???????2 分 ???????3 分 ???????4 分

∴AD⊥平面 PBQ. ???????5 分 ∵AD? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. ???????6 分 (2)法一:∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD. ∵面 PAD⊥面 ABCD,且面 PAD∩面 ABCD=AD,∴PQ⊥面 ABCD.?????7 分

? n 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.则平面 BQC 的法向量为 ? (0, 0,1) ;??8 分
Q(0, 0, 0) , P(0, 0, 3) , B(0, 3, 0) , C (?1, 3, 0) .
设 M ( x, y, z ) ,则

???? ? ???? ? PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z ) ??9 分

t ? ?x ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ? 3t ? ? y ? t ( 3 ? y) ? ? y ? 1? t ? ? ? z ? 3 ? t (? z ) ? 3 ???? ? ???? ? ? z? 1 ? t ,???10 分 ? ? PM ? t ? MC ,∴
???? ? ? t 3t 3? QM ? ? ??? ? ? ? 1? t ,1? t ,1? t ? ? ? ?, 在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3, 0) ,
?? m ∴平面 MBQ 法向量为 ? ( 3, 0, t ) .??12 分 ? ?? n?m t 3 cos 30? ? ? ?? ? ? 2 2 n?m 3? 0?t ∵二面角 M ? BQ ? C 为 30°,∴ ,得 t ? 3 ??14 分
法二:过点 M 作 MO // PQ 交 QC 于点 O ,过 O 作 OE ⊥ QB 交于点 E ,连接 ME , 因为 PQ ? 面 ABCD ,所以 MO ⊥面 ABCD ,由三垂线定理知 ME ⊥ QB , 则 ?MEO 为二面角 M ? BQ ? C 的平面角。????9 分(没有证明扣 2 分) 设 CM ? a ,则 PM ? a ? t , PC ?

7,

3a MO CM 1 ? ? MO ? CP ,1 ?t 7 ?????10 分 ? PQ ?

OE ⊥ QB , BC ⊥ QB ,且三线都共面,所以 BC // OE
EO QO PM t t ?a ? ? ? EO ? PC ,? 1? t 7 ????11 分 ? BC QC
E E

O

在 Rt?MOE 中

tan ?MEO ? tan 30 ? ?

MO EO ,???13 分

MO 3 3 ? ? t 3 ? EO

解得 t ? 3

?????14 分

【思路点拨】 (Ⅰ)法一:由 AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点,知四边形 BCDQ 为平行四边 形,故 CD∥BQ.由∠ADC=90°,知 QB⊥AD.由平面 PAD⊥平面 ABCD,知 BQ⊥平面 PAD.由 此能够证明平面 PQB⊥平面 PAD. 法二: 由 AD∥BC, BC= AD, Q 为 AD 的中点, 知四边形 BCDQ 为平行四边形,故 CD∥BQ.由∠ADC=90°,知∠AQB=90°.由 PA=PD,知 PQ⊥AD,故 AD⊥平 面 PBQ.由此证明平面 PQB⊥平面 PAD. (Ⅱ)由 PA=PD,Q 为 AD 的中点,知 PQ⊥AD.由平 面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,知 PQ⊥平面 ABCD.以 Q 为原点建立空间 直角坐标系,利用向量法能够求出 t=3. 19. (本题满分 12 分) 国务院总理李克强在 2015 年 4 月 14 日的经济形势座谈会上就“手机流量资费和网速”问题做出 重要指示,工信部回应,将加大今年宽带专项行动中“加快 4G 建设”、“大幅提升网速”等重点 工作的推进力度,为此某移动部门对部分 4G 手机用户每日使用流量(单位:M)进行统计, 得到如下记录: 流量(x) 0 ? x ? 5 5 ? x ? 10
[]

10 ? x ? 15 15 ? x ? 20 20 ? x ? 25 x ? 25

频率

0.05

0.25

0.30

0.25

0.15

0

将手机日使用流量统计到各组的频率视为概率,并假设每天手机日使用流量相互独立. (Ⅰ)求某人在未来连续 4 天里,有连续 3 天的手机日使用流量都不低于 15M,且另 1 天的 手机日使用流量低于 5M 的概率; (Ⅱ)用 X 表示某人在未来 3 天时间里手机日使用流量不低于 15M 的天数,求 X 的分布列 和期望.

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知圆 E : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 16 ,点 F ( 3, 0) , P 是圆 E 上任意一点,线段 PF 的垂直 平分线和半径 PE 相交于 Q。 (Ⅰ)求动点 Q 的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与(1)中轨迹 ? 相交于 A、B 两点,直线 OA,l ,OB 的斜率分别为 k1 , k , k2 (其 中k ? 0) , ?OAB 的面积为 S ,以 OA、OB 为直径的圆的面积分别为 S1 , S 2 ,若 k1 , k , k2 恰好 构成等比数列,求

S1 ? S 2 的取值范围。 S

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线和圆的方程的应 用.H4 H8 【答案】 【解析】 (1) (2) ?

? 5? ? , ?? ? ? 4 ?

解析: (Ⅰ)连接 QF,根据题意,|QP|=|QF|, 则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4 , 故动点 Q 的轨迹 Γ 是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. 设其方程为 ,

可知 a=2, ∴点 Q 的轨迹 Γ 的方程为为

,则 b=1, .

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 联立 ,化为(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0,
2 2 2

∴△=16(1+4k ﹣m )>0,x1+x2=﹣ ∵k1,k,k2 构成等比数列, ∴k =k1k2=
2

2

2

,x1x2=



,化为:km(x1+x2)+m =0,

2



+m =0,解得 k = .∵k>0,∴k= .
2

2

2

此时△=16(2﹣m )>0,解得



又由 A、O、B 三点不共线得 m≠0,从而 故 S= = |x1﹣x2| =

. |m|= ,

又 S1+S2=

,则 = = +

=

为定值.∴

=

×

,当且仅当 m=±1 时等号成立.

综上:



【思路点拨】 (Ⅰ)连接 QF,根据题意,|QP|=|QF|,可|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4 , 故动点 Q 的轨迹 Γ 是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆.解出即可. (Ⅱ)设直线 l 的方程 2 2 2 为 y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) .与椭圆的方程联立可得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0,利 用根与系数的关系及其 k1,k,k2 构成等比数列,可得 km(x1+x2)+m =0,解得 k = ,k= .利 用△>0,解得 ,且 m≠0.利用 S= = |x1﹣
2 2

x2|

=

,又

,可得

S1+S2= 取值范围. 21. (本小题满分 12 分)

=

为定值.代入利用基本不等式的性质即可得出



已 知 函 数 f ( x ) ? x ? a ln x 在 x ? 1 处 的 切 线 l 与 直 线 x ? 2 y ? 0 垂 直 , 函 数

g ( x) ? f ( x) ?

1 2 x ? bx . 2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ? 21 题解

7 ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值. 2

? ln

x1 1 2 x 1? x x ? 2 ? ? x1 ? x2 ? ? b ? 1?? x1 ? x2 ? ? ln 1 ? ? 1 ? 2 ? ? 0 ? x1 ? x2 ? x2 2 x2 2 ? x2 x1 ?
x1 1 1? ? 0 ? t ? 1? h ? t ? ? ln t ? ? ? t ? ? ? 0 ? t ? 1? x2 2? t ?
2

所以设 t ?

? t ? 1? ? 0 ,所以 h t 在 0,1 单调递减, 1 1? 1? h? ? t ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?? ? ? t 2? t ? 2t 2
?x ? x ? 1 25 7 25 2 2 即 ? x1 ? x2 ? ? 1 2 ? t ? ? 2 ? 又b ? ? ? b ? 1? ? x1 ? x2 t 4 2 4
2

1 ? 1 ? 15 ? 0 ? t ? 1,? 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0,? 0 ? t ? , h ? t ? ? h ? ? ? ? 2 ln 2 , 4 ?4? 8
故所求的最小值是

15 ? 2 ln 2 8

????12 分

请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E,EF∥CB,EF 交 AD 的延长线于点 F,FG 切圆 O 于点 G. (Ⅰ)求证:△DEF∽△EFA; (Ⅱ)如果 FG=1,求 EF 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标系与参数方程

在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2a cos ? ( a ? 0) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴 建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 3t ? 1 (t 为参数) ? y ? 4t ? 3

(Ⅰ)求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求实数 a 的取值范围。 【知识点】参数方程化成普通方程.N3 【答案】 【解析】 (1) (x﹣a) +y =a (2)
2 2 2



解析: (Ⅰ)由

得,

,则



∴直线 l 的普通方程为:4x﹣3y+5=0,?(2 分) 2 由 ρ =2acosθ 得,ρ =2aρ cosθ 2 2 2 又∵ρ =x +y ,ρ cosθ =x 2 2 2 ∴圆 C 的标准方程为(x﹣a) +y =a ,?(5 分) (Ⅱ)∵直线 l 与圆 C 恒有公共点,∴ 两边平方得 9a ﹣40a﹣25≥0,∴(9a+5) (a﹣5)≥0 ∴a 的取值范围是
2 2 2 2

,?(7 分)

.?(10 分)

【思路点拨】 (Ⅰ)根据 ρ =x +y ,x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ 把圆 C 的极坐标方程,由消元法把 直线 l 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)根据直线 l 与圆 C 有公共点的几何条件,建立关于 a 的不等式关系,解之即可。 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ,不等式 f ( x) ? 4 的解集为 M . (Ⅰ)求 M ; (Ⅱ)当 a, b ? M 时,证明: 2 a ? b ? 4 ? ab .


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