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指数对数幂函数知识点总结


高考数学(指数、对数、幂函数)知识点总结 2 整理人:沈兴灿
一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1. 根式的概念: 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n >1, n ∈ N . 且
n
*

审核人:沈兴灿

?

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。

当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
m ? n



?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

?

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R) . (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R) .(3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R) .
3.实数指数幂的运算性质(1) (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量, 函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ;
x

(2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (一)对数
x

1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对 . ..
x

数,记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式) 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 1
x 2 ○ a ? N ? loga N ? x ;规律:底数 a 保持不变 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 1

2 ○ 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ? 指数式与对数式的互化。规律:底数 a 保持不变 幂值 真数

ab = N ? log a N = b
底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 (1)负数和零没有对数; (2)1 的对数是 0,即 loga 1 ? 0 ( a >0,且 a ≠1);特殊地: ln1 ? 0 (3)底的对数是 1,即 loga a ? 1 ( a >0,且 a ≠1);特别地: ln e ? 1 (三)对数运算法则。若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (3) loga M n ? n loga M (n ? R) . (5)对数的换底公式 (2) log a

M ? log a M ? log a N ; N 1 (4) log a n N ? log a N n

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m 1 ( a >0,且 b >0). loga b ? logb a log a N ?
(6)指数恒等式: a (由 a
b
lg N oa

?N
a

lg ? N ①,b ? loga N ② ,将②代入①得 ao N ?N )

(7) 对数恒等式: loga a ? n loga a ? n(n ? R)
n

(四)对数值的正负判断规律: 对数 loga N 的底数 a 与真数 N 同属于区间(0,1)或(1,+∞)时 loga N ? 0 例: log0.3 0.8 ? 0; 例: log0.3 8 ? 0;

log3 2 ? 0 log1.6 0.7 ? 0

对数 loga N 的底数 a 与真数 N 分别属于区间(0,1)或(1,+∞)时 loga N ? 0 (五)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,

函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: y ? 2 log2 x , 1
y ? log 5

2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 3、对数函数的性质: a>1 0<a<1
3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5

x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)
2

注:设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .若 f (x) 的定义域为

R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要
单独检验. 4.几个特殊值为底数的函数图象:

三、幂函数 1 定义:形如 y ? x (? ? R) 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数。 注意:幂函数与指数函数有何不同? 【提示】 本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自 变量在指数位置. 2.由具体幂函数的图像和性质:
?

y?x

y ? x2

y ? x3

y ? x2

1

y ? x ?1

图像

定义域 值域 奇偶性

R R 奇

R

R R 奇

(0, ??)

(??,0) ? (0, ??) (??,0) ? (0, ??)


[0, ?? )


[0, ?? )
非奇非偶

(0, ??) 上减
单调性 在 R 上增 在 R 上增

[0, ?? ) 上增 (??,0) 也是减

公共点

恒过(1,1)

归纳:幂函数在第一象限的性质:

? ? 0 ,图像过定点(0,0) (1,1) ,在区间 (0, ??) 上单调递增。 ? ? 0 ,图像过定点(1,1) ,在区间 (0, ??) 上单调递减。
附:拓展探究*(有余力的同学可以思考):
m n 整数 m,n 的奇偶与幂函数 y ? x (m, n ? Z , 且m, n互质) 的定义域以及奇偶性有什么关

系?(先转化为根式再判断) 结果:形如 y ? x (m, n ? Z , 且m, n互质) 的幂函数的奇偶性(1)当 m,n 都为奇数时,f(x) 为奇函数,图象关于原点对称; (2)当 m 为奇数 n 为偶数时,f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称; (3)当 m 为偶数 n 为奇数时,f(x)是非奇非偶函数,图象只在第一象限内.
m n


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