当前位置:首页 >> 数学 >>

2015年浙江省衢州市高考数学二模试卷(文科)解析


2015 年浙江省衢州市高考数学二模试卷(文科)
(扫描二维码可查看试题解析)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1. (5 分) (2015?衢州二模) 已知 a, b 为正实数, 则“a>1 且 b>1”是“ab>1”的 ( A.必要不充分

条件 C. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件



2. (5 分) (2015?衢州二模)下列函数中既是奇函数又是增函数的是( A.y=x3+x B.y=logax C.y=3x D. y=﹣



3. (5 分) (2015?衢州二模)若 l、m、n 是互不相同的空间直线,α、β 是不重合的 平面,则下列结论正确的是( A.α∥ β,l?α,n?β?l∥ n C. l⊥ n,m⊥ n?l∥ m ) B . α∥ β,l?α?l⊥ β D.l⊥ α,l∥ β?α⊥ β 后,

4. (5 分) (2015?衢州二模)将函数 y=cos(2x+φ)的图象沿 x 轴向右平移 得到的图象关于原点对称,则 φ 的一个可能取值为( A. B. C. ﹣ ) D.

5. (5 分) (2015?衢州二模) 若直线 ax﹣by+2=0 (a>0, b>0) 被圆 x +y +2x﹣4y+1=0 所截得的弦长为 4,则 A.10 的最小值为( B.4+2 ) C.4+2 D.4

2

2

6. (5 分) (2015?衢州二模) 在△ ABC 中, 若 则 A. ﹣ =( ) B. ﹣ C.
第 1 页(共 23 页)







D.

7. (5 分) (2015?衢州二模)已知 a∈R,若函数 f(x)= x ﹣|x﹣2a|有三个或者四 个零点,则函数 g(x)=ax +4x+1 的零点个数为( ) A.1 或 2 B.2 C.1 或 0
2

2

D.0 或 1 或 2

8. (5 分) (2015?衢州二模)设点 P(x,y)是曲线 a|x|+b|y|=1(a≥0,b≥0)上任意 一点,其坐标(x,y)均满足 围为( ) A.(0,2] ,则 a+b 取值范

B.[1,2]

C.[1,+∞)

D.[2,+∞)

二、填空题:本大题共 7 小题,第 9,10 每题三空,每空 2 分,第 11,12 题每题两空,每 空 3 分,第 13,14,15 每空 4 分,共 36 分.
2

9. (6 分) (2015?衢州二模)设全集 U=R,集合 A={x|x+1≤0},B={x|x ﹣2<0},则 A∩ B= ,A∪ B= ,?RB= . ,则该函数的最小 ,单调递增区间为 .

10. (6 分) (2015?衢州二模)设函数 正周期为 ,值域为

11. (6 分) (2015?衢州二模)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何 体的体积为 cm ,外接球的表面积为
3

cm .

2

12. (6 分) (2015?衢州二模)设不等式组 域 D 的面积为 是 .

所表示的平面区域为 D,则区

;若直线 y=ax﹣1 与区域 D 有公共点,则 a 的取值范围

第 2 页(共 23 页)

13. (4 分) (2015?衢州二模)F1,F2 分别是双曲线

=1 的左右焦点,P 为双

曲线右支上的一点,⊙ A 是△ PF1F2 的内切圆,⊙ A 与 x 轴相切于点 M(m,0) ,则 m 的值 为 .

14. (4 分) (2015?衢州二模)定义在(﹣∞,0)∪ (0,+∞)上的函数 f(x) ,如果 对于任意给定的等比数列{an},{f(an)},仍是等比数列,则称 f(x)为“等比函数”.现有 定义在(﹣∞,0)∪ (0,+∞)上的如下函数: ① f(x)=3 ; 3 ② f(x)=x ; ③ f(x)= ; ④ f(x)=log2|x|. 则其中是“等比函数”的 f(x)的序号为
x



15. (4 分) (2015?衢州二模)在△ ABC 中, ,则 cos∠ MAB 的最小值为 .

,点 M 在 BC 边上,且满足

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.

16. (15 分) (2015?衢州二模)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且满足 csinA=acosC. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )当 cosA+cosB 取得最大值时,试判断△ ABC 的形状.

17. (15 分) (2015?衢州二模)已知数列{an}是首项为 2 的等差数列,其前 n 项和 Sn 满足 4Sn=an?an+1.数列{bn}是以 为首项的等比数列,且 b1b2b3= (Ⅰ )求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ )设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若对任意 n∈N 不等式 成立,求 λ 的取值范围.
*





18. (15 分) (2015?衢州二模)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行 四边形,PA⊥ 平面 ABCD,点 M,N 分别为 BC,PA 的中点,且 PA=AD=2,AB=1,AC= (Ⅰ )证明:MN∥ 平面 PCD;
第 3 页(共 23 页)



(Ⅱ )求直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值.

19. (15 分) (2015?衢州二模)如图,设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,过 点 F 的直线 l1 交抛物线 C 于 A,B 两点,且|AB|=8,线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 3. (Ⅰ )求抛物线 C 的方程; (Ⅱ )若直线 l2 与圆 x +y = 切于点 P,与抛物线 C 切于点 Q,求△ FPQ 的面积.
2 2

2

20. (14 分) (2015?衢州二模)已知函数 f(x)=ax +2bx+c(x∈R,a≠0) (Ⅰ )若 a=﹣1,c=0,且 y=f(x)在[﹣1,3]上的最大值为 g(b) ,求 g(b) ; (Ⅱ )若 a>0,函数 f(x)在[﹣8,﹣2]上不单调,且它的图象与 x 轴相切,求 小值. 的最

2

第 4 页(共 23 页)

2015 年浙江省衢州市高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015?衢州二模)已知 a,b 为正实数,则“a>1 且 b>1”是“ab>1”的( ) A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:若 a>1 且 b>1,则 ab>1 成立,
菁优网版权所有

若 a=4,b= ,满足 ab>1,但 a>1 且 b>1 不成立, 故“a>1 且 b>1”是“ab>1”的充分不必要条件, 故选:B 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件,根据不等式的关系是解决本题的关键. 2. (5 分) (2015?衢州二模)下列函数中既是奇函数又是增函数的是( 3 A.y=x +x B.y=logax C.y=3x D. ) y=﹣

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性和单调性, 即可得到既是奇函数又是增函数的 函数. 3 解答: 解:对于 A.定义域为 R,f(﹣x)=﹣x ﹣x=﹣f(x) ,即有 f(x)为奇函数, 2 又 f′ (x)=3x +1>0,则 f(x)在 R 上递增,故 A 满足条件; 对于 B.则为对数函数,定义域为(0,+∞) ,则函数没有奇偶性,故 B 不满足条件; 对于 C.则为指数函数,f(﹣x)≠﹣f(x) ,则不为奇函数,故 C 不满足条件; 对于 D.则为反比例函数,定义域为(﹣∞,0)∪ (0,+∞) ,f(﹣x)=﹣f(x) ,则 f(x)为奇函数, 且在(﹣∞,0)和(0,+∞)均为增函数,故 D 不满足条件. 故选 A. 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断, 注意运用定义法和常见函数的奇偶性和单调 性,属于基础题和易错题.
菁优网版权所有

3. (5 分) (2015?衢州二模)若 l、m、n 是互不相同的空间直线,α、β 是不重合的平面, 则下列结论正确的是( ) A.α∥ β,l?α,n?β?l∥ n B . α∥ β,l?α?l⊥ β
第 5 页(共 23 页)

C. l⊥ n,m⊥ n?l∥ m

D.l⊥ α,l∥ β?α⊥ β

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: A 根据面面平行的性质进行判断. B 根据面面平行的性质以及线面垂直的判定定理进行判断. C 根据直线垂直的性质进行判断. D 根据线面垂直和平行的性质进行判断. 解答: 解:对于 A,α∥ β,l?α,n?β,l,n 平行或 异面,所以错误; 对于 B,α∥ β,l?α,l 与 β 可能相交可能平行,所以错误; 对于 C,l⊥ n,m⊥ n,在空间,l 与 m 还可能异面或相交,所以错误. 故选 D. 点评: 本题考查了空间直线和平面,平面和平面位置关系的判断,要求熟练掌握相应的定义 和判断条件,比较基础.
菁优网版权所有

4. (5 分) (2015?衢州二模)将函数 y=cos(2x+φ)的图象沿 x 轴向右平移 象关于原点对称,则 φ 的一个可能取值为( ) A. B. C. ﹣

后,得到的图

D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的图象的对称性, 求得 φ 的值,可得结论. 解答: 解:将函数 y=cos(2x+φ)的图象沿 x 轴向右平移 后,
菁优网版权所有

得到的图象对应的解析式为 y=cos[2(x﹣ 再根据得到的图象关于原点对称,则﹣ 即 φ=kπ+ ,k∈z.

)+φ]=cos(2x﹣ +φ=kπ+ ,k∈z,

+φ) .

结合所给的选项, 故选:D. 点评: 本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的图象的对称 性,属于基础题. 5. (5 分) (2015?衢州二模)若直线 ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆 x +y +2x﹣4y+1=0 所 截得的弦长为 4,则 A.10 的最小值为( B.4+2 ) C.4+2
第 6 页(共 23 页)
2 2

D.4

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;不等式的解法及应用;直线与圆. 2 2 分析: 由已知中圆的方程 x +y +2x﹣4y+1=0 我们可以求出圆心坐标,及圆的半径,结合直
菁优网版权所有

线 ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆 x +y +2x﹣4y+1=0 所截得的弦长为 4,我们易得 到 a,b 的关系式,再根据基本不等式中 1 的活用,即可得到答案. 2 2 解答: 解:圆 x +y +2x﹣4y+1=0 是以(﹣1,2)为圆心,以 2 为半径的圆, 又∵ 直线 ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆 x +y +2x﹣4y+1=0 所截得的弦长为 4, ∴ 直线过圆心, ∴ a+2b=2, ∴ ∴ = ( ) (a+2b)= (8+ , + )≥ (8+4 )=4+2 ,
2 2

2

2

的最小值为 4+2

故选:C. 点评: 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质,基本不等式,其中根据已知条件,分析出 圆心在已知直线上,进而得到 a,b 的关系式,是解答本题的关键. 6. (5 分) (2015?衢州二模)在△ ABC 中,若





,则

=( A. ﹣

) B. ﹣ C. D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 运用向量的三角形法则和向量垂直的条件,以及向量的数量积的定义,结合直角三角 形的勾股定理和锐角三角函数的定义,计算即可得到. 解答: 解:由于 , = ﹣ ,
菁优网版权所有

即有|

+

|=|

﹣ ?

|, =0,

两边平方可得 即有 ⊥ ,

由勾股定理得| 则 =

|=

=2,

第 7 页(共 23 页)

=﹣|

|cos∠ ABC=﹣1× =﹣ .

故选 B. 点评: 本题考查向量的三角形法则和向量垂直的条件,同时考查向量的数量积的定义,属于 基础题和易错题. 7. (5 分) (2015?衢州二模)已知 a∈R,若函数 f(x)= x ﹣|x﹣2a|有三个或者四个零点, 则函数 g(x)=ax +4x+1 的零点个数为( A.1 或 2 B.2
2 2

) C.1 或 0

D.0 或 1 或 2

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 2 2 函数 f(x)= x ﹣|x﹣2a|有三个或者四个零点可化为函数 m(x)= x 与函数 h(x)
菁优网版权所有

=|x﹣2a|有三个或者四个不同的交点,作图象确定 a 的取值范围,从而确定函数 g(x) 2 =ax +4x+1 的零点个数. 解答: 2 解:∵ 函数 f(x)= x ﹣|x﹣2a|有三个或者四个零点, ∴ 函数 m(x)= x 与函数 h(x)=|x﹣2a|有三个或者四个不同的交点, 作函数 m(x)= x 与函数 h(x)=|x﹣2a|的图象如下,
2 2

, 结合图象可知,﹣0.5≤2a≤0.5, 故﹣ ≤a≤ , 当 a=0 时,函数 g(x)=ax +4x+1 有一个零点, 当 a≠0 时,△ =16﹣4a>0,
第 8 页(共 23 页)
2

故函数 g(x)=ax +4x+1 有两个零点, 故选 A. 点评: 本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与方程的根的关系应用,属于基础题. 8. (5 分) (2015?衢州二模)设点 P(x,y)是曲线 a|x|+b|y|=1(a≥0,b≥0)上任意一点, 其坐标(x,y)均满足 ( ) A.(0,2] ,则 a+b 取值范围为

2

B.[1,2]

C.[1,+∞)

D.[2,+∞)

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 曲线 a|x|+b|y|=1(a≥0,b≥0) ,对 x,y 分类讨论.画出图象:表示菱形 ABCD.由
菁优网版权所有

,即 + .设 M(﹣1,0) ,N(1,0) ,可得:

2|PM|≤2 ,|BD|≤2 ,解出即可. 解答: 解:曲线 a|x|+b|y|=1(a≥0,b≥0) , 当 x,y≥0 时,化为 ax+by=1;当 x≥0,y≤0 时,化为 ax﹣by=1;当 x≤0,y≥0 时,化 为﹣ax+by=1;当 x≤0,y≤0 时, 化为﹣ax﹣by=1.画出图象:表示菱形 ABCD. 由 即 + , .

设 M(﹣1,0) ,N(1,0) , 则 2|PM|≤2 ,|BD|≤2 , ∴ , ,

解得 b≥1, , ∴ a+b≥1+1=2. ∴ a+b 取值范围为[2,+∞) . 故选:D.

第 9 页(共 23 页)

点评: 本题考查了直线方程、分类讨论思想方法、两点之间的距离公式,考查了数形结合思 想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 二、填空题:本大题共 7 小题,第 9,10 每题三空,每空 2 分,第 11,12 题每题两空,每 空 3 分,第 13,14,15 每空 4 分,共 36 分. 2 9. (6 分) (2015?衢州二模)设全集 U=R,集合 A={x|x+1≤0},B={x|x ﹣2<0},则 A∩ B= (﹣ ,1] ,A∪ B= (﹣∞, ) ,?RB= (﹣∞,﹣ ]∪ [ ,+∞) . 考点: 交集及其运算;并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出 A 与 B 的交集,并集,B 的补 集即可. 解答: 解:由 A 中不等式解得:x≤﹣1,即 A=(﹣∞,﹣1], 由 B 中不等式解得:﹣ <x< ,即 B=(﹣ , ) , 则 A∩ B=(﹣ ,1],A∪ B=(﹣∞, ) ,?RB=(﹣∞,﹣ ]∪ [ ,+∞) , 故答案为: (﹣ ,1]; (﹣∞, ) ; (﹣∞,﹣ ]∪ [ ,+∞) 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
菁优网版权所有

10. (6 分) (2015?衢州二模)设函数 为 4π ,值域为 [﹣2,2] ,单调递增区间为 [4kπ﹣

,则该函数的最小正周期 ,4kπ﹣ ],k∈z .

考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的周期性、值域和单调性,可得结论. 解答: 解:函数 的该函数的最小正周期为 =4π,值域为[﹣2,
菁优网版权所有

2] . 令 2kπ﹣π≤ x+ ≤2kπ,求得 4kπ﹣ ≤x≤4kπ﹣ ,

第 10 页(共 23 页)

故函数的减区间为[4kπ﹣ 故答案为:

,4kπ﹣

],k∈z. Z.

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的周期性、值域和单调性,属于基础题. 11. (6 分) (2015?衢州二模)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体 积为 cm ,外接球的表面积为 12π cm .
3 2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;作图题;空间位置关系与距离. 分析: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直 观图,该几何体为正方体截去一角. 解答: 解:该几何体为正方体截去一角,如图 原正方体的体积为 2×2×2=8;
菁优网版权所有

而截去部分是原正方体的 , 故该几何体的体积 V=(1﹣ )×8= 故其外接球是原正方体的外接球, 其直径长为 =2 , ,

故其半径 r= ; 2 故外接球的表面积为 4π×r =12π; 故答案为: ;12π.

第 11 页(共 23 页)

点评: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直 观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力.

12. (6 分) (2015?衢州二模)设不等式组 面积为

所表示的平面区域为 D,则区域 D 的 [ ,+∞) .

;若直线 y=ax﹣1 与区域 D 有公共点,则 a 的取值范围是

考点: 简单线性规划;二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,根据线性规划的性质即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 则对应的区域为三角形 ABC, 其中 A(0,2) ,B(0,4) ,
菁优网版权所有



,解得

,即 C( , ) ,

则△ ABC 的面积 S= 直线 y=ax﹣1 过定点 E(0,1) , 要使线 y=ax﹣1 与区域 D 有公共点, 则满足 C 在直线的下方,

= ,

第 12 页(共 23 页)

此时 = a﹣1, 解得 a= .则满足 a≥ . , 故答案为:

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

13. (4 分) (2015?衢州二模)F1,F2 分别是双曲线

=1 的左右焦点,P 为双曲线右

支上的一点,⊙ A 是△ PF1F2 的内切圆,⊙ A 与 x 轴相切于点 M(m,0) ,则 m 的值为 4 . 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意,利用切线长定理,再利用双曲线的定义,把|PF1|﹣|PF2|=8,转化为|AF1| ﹣|HF2|=8,从而求得点 A 的横坐标. 解答: 解:如图所示:F1(﹣5,0) 、F2(5,0) , 内切圆与 x 轴的切点是点 M,PF1、PF2 与内切圆的切点分别为 N、H, ∵ 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=8 由圆的切线长定理知,|PN|=|PH|,故|NF1|﹣|HF2 |=8, 即|MF1|﹣|HF2|=8, 设内切圆的圆心横坐标为 x,则点 M 的横坐标为 x, 故(x+5)﹣(5﹣x)=8,∴ x=4. 故答案为:4.
菁优网版权所有

第 13 页(共 23 页)

点评: 本题考查双曲线的定义、切线长定理,体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思 想,正确运用双曲线的定义是关键. 14. (4 分) (2015?衢州二模)定义在(﹣∞,0)∪ (0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任 意给定的等比数列{an},{f(an)},仍是等比数列,则称 f(x)为“等比函数”.现有定义在 (﹣∞,0)∪ (0,+∞)上的如下函数: x ① f(x)=3 ; 3 ② f(x)=x ; ③ f(x)= ; ④ f(x)=log2|x|. 则其中是“等比函数”的 f(x)的序号为 ② ③ . 考点: 等比数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 2 分析: 根据新定义,结合等比数列中项的定义 an?an+2=an+1 ,逐一判断四个函数,即可得到 结论. 2 解答: 解:由等比数列性质知 an?an+2=an+1 , x an an+2 an+an+2 2an+1 2 ① 当 f(x)=3 时,f(an)f(an+2)=3 ?3 =3 ≠3 =f (an+1) ,故① 不正确; 3 3 3 3 2 2 ② 当 f(x)=x 时,f(an)f(an+2)=an an+2 =(an+1 ) =f (an+1) ,故② 正确;
菁优网版权所有

③ 当 f(x)= 时,f(an)f(an+2)=
2

=
2

=f (an+1) ,故③ 正确;

2

④ f(an)f(an+2)=log2|an|log2|an+2|≠log2|an+1| =f (an+1) ,故④ 不正确 故答案为:② ③ . 点评: 本题考查等比数列性质及命题的真假判断与应用,正确运算,理解新定义是解题的关 键,属中档题.

第 14 页(共 23 页)

15. (4 分) (2015?衢州二模)在△ ABC 中, 则 cos∠ MAB 的最小值为 .

,点 M 在 BC 边上,且满足



考 平面向量数量积的运算. 点: 专 平面向量及应用. 题: 分 根据已知条件知 AC⊥ BC,并且 析:
菁优网版权所有



,∠ MAB 是向量



夹角,所以根据向量夹角的余弦公式即可得到 cos∠ MAB=

,而根

据 cos∠ MAB= 的最小值. 解 解:如图, 答: ; ∴ AC⊥ BC; ∵ ; , ∠ MAB 是向量

,设|

|=

,带入上式即可得到 ,所以由基本不等式即可求得 cos∠ MAB

; 的夹角;

∴ cos∠ MAB=

=

=



∵ ∴ 设

; , ( ) ;

∴ cos∠ MAB=

=

=

第 15 页(共 23 页)

=

,当

时取“=”

∴ cos∠ MAB 的最小值为 故答案为: .



点 考查两非零向量垂直的充要条件,直角三角形边的关系,向量加法的几何意义,数乘的 评: 几何意义,数量积的运算,求向量 的长度: ,两向量夹角的余弦公式,以 及基本不等式求最值. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 16. (15 分) (2015?衢州二模)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )当 cosA+cosB 取得最大值时,试判断△ ABC 的形状. 考 正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 点: 专 解三角形. 题: 分 (Ⅰ )由正弦定理化简已知等式可得 析: (Ⅱ )由(1)知 围可求 解 解: (Ⅰ )由 答: 从而 ∵ 0<C<π,∴ (Ⅱ )由(1)知 则
第 16 页(共 23 页)

菁优网版权所有

,结合角 C 的范围即可得解. 可得 ,结合 A 的范

,则化简

取得最大值 1 时 A,B,C 的值,从而得解. 结合正弦定理变形得: , ,…(6 分) (3 分)

; …(7 分) …(8 分)

= = ∵ 当 此时 ,∴ 时, , (11 分)

=

=

…(12 分) 取得最大值 1,…(13 分) ,…(14 分)

故此时△ ABC 为等腰三角形.…(15 分) 点 本题主要考查了正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,解题时注意分析角的范围,属 评: 于基本知识的考查. 17. (15 分) (2015?衢州二模)已知数列{an}是首项为 2 的等差数列,其前 n 项和 Sn 满足 4Sn=an?an+1.数列{bn}是以 为首项的等比数列,且 b1b2b3= (Ⅰ )求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ )设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若对任意 n∈N 不等式 成立,求 λ 的取值范围. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (II)利用“裂项求和”可得
*





菁优网版权所有

,利用等比数列的前 n 项和公式可得 Tn,

利用数列的单调性即可得出. 解答: 解: (Ⅰ )设等差数列{an}的公差为 d,由题意得, 4a1=a1(a1+d) ,解得 d=2, ∴ an=2n, 由 ,

从而公比





. , ,

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 ∴

第 17 页(共 23 页)





∴ 对任意 n∈N*, ∵ ∴ ∴ 对 n∈N*递增, ,

等价于



.即 λ 的取值范围为(﹣∞,3].

点评: 本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、“裂 项求和”、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (15 分) (2015?衢州二模)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, PA⊥ 平面 ABCD,点 M,N 分别为 BC,PA 的中点,且 PA=AD=2,AB=1,AC= . (Ⅰ )证明:MN∥ 平面 PCD; (Ⅱ )求直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )取 PD 中点 E,连结 NE,CE,可证 MNEC 为平行四边形,由 MN∥ CE 即可判 定 MN∥ 平面 PCD. (其它证法酌情给分) (Ⅱ )方法一:可证平面 PAD⊥ 平面 ABCD,过 M 作 MF⊥ AD,则 MF⊥ 平面 PAD,连 结 NF.则∠ MNF 为直线 MN 与平面 PAD 所成的角,解三角形可得解; 方法二:PA⊥ AB,PA⊥ AC,又可证 AB⊥ AC,分别以 AB,AC,AP 为 x 轴,y 轴,z
菁优网版权所有

轴,建立空间直角坐标系 A﹣xyz,设平面 PAD 的一个法向量为



则设 MN 与平面 PAD 所成的角为 θ,则由夹角公式即可求得 MN 与平面 PAD 所成角 的正切值. 解答: 解: (Ⅰ )证明:取 PD 中点 E,连结 NE,CE.∵ N 为 PA 中点,∴ NE , 又 M 为 BC 中点,底面 ABCD 为平行四边形,∴ MC
第 18 页(共 23 页)



∴ NE

MC,即 MNEC 为平行四边形,…(4 分)

∴ MN∥ CE∵ EC?平面 PCD,且 MN?平面 PCD,∴ MN∥ 平面 PCD. …(7 分) (其它证法酌情给分) (Ⅱ )方法一:∵ PA⊥ 平面 ABCD,PA?平面 ABCD,∴ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD, 过 M 作 MF⊥ AD,则 MF⊥ 平面 PAD,连结 NF. 则∠ MNF 为直线 MN 与平面 PAD 所成的角,…(10 分) 由 AB=1, ,AD=2,得 AC⊥ CD, 由 AC?CD=AD?MF,得 , .

在 Rt△ AMN 中,AM=AN=1,得

在 Rt△ MNF 中,

,∴



直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值为

. …(15 分)

方法二:∵ PA⊥ 平面 ABCD,PA⊥ AB,PA⊥ AC, 2 2 2 又∵ AB=1, ,BC=AD=2,∴ AB +AC =BC ,AB⊥ AC. 如图,分别以 AB,AC,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系 A﹣xyz, 则 ∴ 分) 设平面 PAD 的一个法向量为 ,则 ,N(0,0,1) ,P(0,0,2) , , ,

…(9 分)

, ,…(11



,令 y=1 得

,…(13 分)

设 MN 与平面 PAD 所成的角为 θ,则 ,∴ MN 与平面 PAD 所成角的正 切值为 .…(15 分)

第 19 页(共 23 页)

点评: 本题主要考查了线与平面平行的判定,求直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值,关 键在于熟练掌握平面垂直的性质与直线与平面平行的判定定理及其应用, 考查了空间 想象能力和转化思想,属于中档题. 19. (15 分) (2015?衢州二模)如图,设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,过点 F 的 直线 l1 交抛物线 C 于 A,B 两点,且|AB|=8,线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 3. (Ⅰ )求抛物线 C 的方程; (Ⅱ )若直线 l2 与圆 x +y = 切于点 P,与抛物线 C 切于点 Q,求△ FPQ 的面积.
2 2 2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)利用中点坐标公式、焦点弦长公式即可得出; 2 2 2 2 (Ⅱ ) 设 l2: y=kx+m, 由 l2 与⊙ O 相切可得 2m =1+k , 直线与抛物线方程联立可得 k x + 2 (2km﹣4)x+m =0,利用直线 l2 与抛物线相切,可得△ =0 可得 km=1,联立解出 k, m.得出 Q 坐标,|PQ|,直线 l2 方程,利用点到直线 l2 的距离公式可得 F(1,0)到 的距离. 解答:
菁优网版权所有

解: (Ⅰ )设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 AB 中点坐标为 由题意知 ,∴ x1+x2=6,



又|AB|=x1+x2+p=8,∴ p=2, 2 故抛物线 C 的方程为 y =4x;
第 20 页(共 23 页)

(Ⅱ )设 l2:y=kx+m,由 l2 与⊙ O 相切得

① ,



?k x +(2km﹣4)x+m =0, (*)

2 2

2

∵ 直线 l2 与抛物线相切, 2 2 2 ∴ △ =(2km﹣4) ﹣4k m =0?km=1② 由 ① ,② 得 k=m=±1, 2 ∴ 方程(*)为 x ﹣2x+1=0,解得 x=1, ∴ Q(1,±1) , ∴ 此时直线 l2 方程为 y=x+1 或 y=﹣x﹣1, ∴ 令 F(1,0)到 l2 的距离为 , ∴ . ;

点评: 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、直线与圆及其抛物线相切转 化为方程联立可得△ =0、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式, 考查了推理能力与计算能力,属于难题. 20. (14 分) (2015?衢州二模)已知函数 f(x)=ax +2bx+c(x∈R,a≠0) (Ⅰ )若 a=﹣1,c=0,且 y=f(x)在[﹣1,3]上的最大值为 g(b) ,求 g(b) ; (Ⅱ )若 a>0,函数 f(x)在[﹣8,﹣2]上不单调,且它的图象与 x 轴相切,求 小值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;二次函数的性质. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ )求出 a=﹣1,c=0 时的 f(x)解析式,配方求出对称轴,讨论区间[﹣1,3]与对 称轴的关系,运用单调性即可得到最大值 g(b) ; (Ⅱ )由图象与 x 轴相切,可得判别式为 0,由 f(x)在[﹣8,﹣2]上不单调,可得对
菁优网版权所有

2

的最

称轴介于﹣8 和﹣2 之间,再对所求式子整理变形,令 t= ∈[2,8],结合基本不等式, 即可得到最小值 4. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ )a=﹣1,c=0 时,f(x)=﹣x +2bx=﹣(x﹣b) +b , ∴ 对称轴是直线 x=b, ① b<﹣1 时,[﹣1,3]为减区间,即有 f(x)max=f(﹣1)=﹣1﹣2b; ② 当﹣1≤b≤3 时,即有 ;

③ 当 b>3 时,[﹣1,3]为增区间,即有 f(x)max=f(3)=﹣9+6b.

第 21 页(共 23 页)

综上所述,



(Ⅱ )∵ 函数 f(x)的图象和 x 轴相切, ∴ ∵ f(x)在[﹣8,﹣2]上不单调, ∴ 对称轴 ∴ , , ,

即有









= ∴

=4, ,此时当且仅当 t﹣2=4∈(0,6)?t=6.

点评: 本题考查二次函数的最值求法,主要考查函数的单调性的运用,注意分类讨论的思想 方法的运用和基本不等式的运用,同时考查化简整理的运算能力,属于中档题和易错 题.

第 22 页(共 23 页)

参与本试卷答题和审题的老师有:maths;双曲线;changq;caoqz;刘长柏;lgh;孙佑中; sllwyn;wkl197822;w3239003(排名不分先后) 菁优网 2015 年 5 月 19 日

第 23 页(共 23 页)


相关文章:
2015年浙江省衢州市高考数学二模试卷(文科)解析
(共 23 页) 2015 年浙江省衢州市高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个...
浙江省衢州市2015年高考数学二模试卷(文科)
[﹣8,﹣2]上不单调,且它的图象与 x 轴相切,求 最小值. 的 2 2015 年浙江省衢州市高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 8 ...
2015年衢州市二模试卷(文科)
2015年衢州市二模试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。衢州市 2015 年 4 月高三年级教学质量检测试卷 数学(文科) 注意事项: 请用 2B 铅笔将答卷Ⅰ上的准考证...
浙江省衢州市2015年高考数学二模试卷(理科)
2015 年浙江省衢州市高考数学二模试卷(理科)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.设集合 P={x|x>1},Q={x||x|>0},则下列结论...
浙江省衢州市2015年高考数学二模试卷(理科)
2015 年浙江省衢州市高考数学二模试卷(理科)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.设集合 P={x|x>1},Q={x||x|>0},则下列结论...
2015年衢州市二模试卷(理科)
2015年衢州市二模试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。衢州市 2015 年 4 月高三年级教学质量检测试卷 数学(理科) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 ...
浙江省杭州市2015年高考数学二模试卷理(含解析)
(x+1)|2b﹣a|恒成立, 求实数 m 的最大值. 3 2015 年浙江省杭州市高考数学二模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5...
浙江省杭州市2015年高考数学二模试卷(文科)
(x0)≥k 成立,求实 数 k 的取值范围. 2 2 2015 年浙江省杭州市高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 ...
浙江省湖州市2015年高考数学二模试卷(文科)
2015 年浙江省湖州市高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(本...2015年浙江省衢州市高考... 暂无评价 23页 1下载券 浙江省杭州市2015年高考...
更多相关标签:
浙江省衢州市 | 浙江省衢州市龙游县 | 浙江省衢州市江山市 | 浙江省衢州市柯城区 | 浙江省衢州市房价 | 浙江省衢州市常山县 | 浙江省衢州市衢江区 | 浙江省衢州市邮编 |