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山东2016高考数学理科二轮复习课件:专题二第1讲 三角函数的图象与性质


第1讲

三角函数的图象与性质

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高考定位

三角函数的图象与性质是高考考查的重点

和热点内容,主要从以下两个方面进行考查: 1. 三角 函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定 解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查.2.利 用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、 值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.

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真题感悟
1.(2015· 山东卷)要得到函数 数 y=sin 4x 的图象( π A.向左平移12个单位 π C.向左平移3个单位
? π? y=sin?4x-3?的图象,只需将函 ? ?

) π B.向右平移12个单位 π D.向右平移3个单位

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解析

? ? ? π? π ?? ∵y=sin?4x-3?=sin?4?x-12??, ? ? ? ? ?? ? π? y=sin?4x-3?的图象,只需将函数 ? ?

∴要得到

π y=sin 4x 的图象向右平移 个单位. 12

答案 B

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2.(2015· 陕西卷)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲 线近似满足函数
?π ? y=3sin?6x+φ?+k,据此函数可知,这段 ? ?

时间水深(单位:m)的最大值为( C )

A.5

B.6

C.8

D.10

解析

由题干图易得 ymin=k-3=2,则 k=5.

∴ymax=k+3=8.
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3.(2015· 全国Ⅰ卷)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示, 则 f(x)的单调递减区间为(
? 1 3? A.?kπ-4,kπ+4?,k∈Z ? ? ? 1 3? B.?2kπ-4,2kπ+4?,k∈Z ? ? ? 1 3? C.?k-4,k+4?,k∈Z ? ? ? 1 3? D.?2k-4,2k+4?,k∈Z ? ?

)

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解析

1 π T 5 1 由图象知2 =4-4=1, ∴T=2.由 π×4+φ=2+2kπ,

? π? π π ? ? k∈Z,不妨取 φ=4,∴f(x)=cos πx+4 ,由 2kπ<πx+4< ? ?

1 3 2kπ+π,得 2k- <x<2k+ ,D 正确. 4 4

答案 D

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4.(2015· 浙江卷)函数 f(x)=sin2x+sin xcos x+1 的最 小正周期是________,单调递减区间是________.

解析

1-cos 2x 1 π? 3 2 ? ?2x- ?+ , f(x)= + sin 2 x + 1 = sin 4? 2 2 2 2 ?

2π π π 3π ∴T= 2 =π, 由2+2kπ≤2x-4≤ 2 +2kπ, k∈Z, 解得: 3π 7π 8 + kπ≤x≤ 8 + kπ , k∈Z , ∴ 单 调 递 减 区 间 是
?3π ? 7π ? ? ? 8 +kπ, 8 +kπ?,k∈Z. ? ?

答案

π

?3 ? 7 ? π+kπ, π+kπ?(k∈Z) 8 ?8 ?

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考点整合
1.三角函数的图象及常用性质(表中 k∈Z) y=sin x 图象
? π ?- +2kπ, ? 2 ? π ? + 2 k π 2 ? ? π ?- +kπ, ? 2 ? π ? + k π 2 ?

y=cos x

y=tan x

增区间

[-π+ 2kπ, 2kπ]

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减区间

?π ? +2kπ, ?2 ? 3π ? + 2 k π 2 ?

[2kπ,π+2kπ]



π 对称轴 x=kπ+ 2 对称中 心

x=kπ



(kπ,0)

?π ? ? +kπ,0? ?2 ?

?kπ ? ? ,0 ? ?2 ?

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2.三角函数的两种常见变换 (1)y=sin x

y=sin(x+φ)

y=sin(ωx+φ)

y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).

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(2)y=sin x

y=sin ωx

y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). 3.正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的对称中心是函数图象与 x 轴的 交点,对称轴是过函数图象的最高点或者最低点且与 x 轴垂 直的直线;正切型函数 y=Atan(ωx+φ)的图象是中心对称图 形,不是轴对称图形.
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热点一

三角函数的图象 三角函数的图象变换

[微题型 1]

【例 1-1】 (2015· 湖北卷)某同学用“五点法”画函数 f(x)= ? π? Asin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?在某一个周期内的图象时,列表 ? ? 并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ x Asin(ωx+φ) 0 0 π 2 π 3 5 π 3π 2 5π 6 -5 0
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(1) 请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函 数 f(x)的解析式; (2) 将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度, 得到 y=g(x)的图象.若 求 θ 的最小值.
?5π ? y=g(x)图象的一个对称中心为?12,0?, ? ?

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π (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=-6.数据

补全如下表: ωx+φ x Asin(ωx+φ) 0 π 12 0 π 2 π 3 5 π 7π 12 0 3π 2 5π 6 -5 2π 13 12π 0

且函数表达式为

? π? f(x)=5sin?2x-6?. ? ?

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(2)由(1)知

? π? f(x)=5sin?2x-6?,得 ? ?

? π? g(x)=5sin?2x+2θ-6?. ? ?

因为 y=sin x 的对称中心为(kπ,0),k∈Z. π kπ π 令 2x+2θ- =kπ,解得 x= + -θ,k∈Z. 6 2 12
由于函数
?5π ? y=g(x)的图象关于点?12,0?成中心对称, ? ?

kπ π 5π kπ π 令 2 +12-θ=12,解得 θ= 2 -3,k∈Z. π 由 θ>0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值 . 6

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探究提高

三角函数的图象变换,提倡“先平移,后

伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中, 所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变 换总是对字母x而言.

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[微题型 2]

由三角函数图象求其解析式

π 【例 1-2】 (2015· 肥城模拟)函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<2, x∈R)的部分图象如图所示,则函数表达式为(
?π π? A.y=-4sin?8x+4? ? ? ?π π? B.y=4sin?8x-4? ? ? ?π π? C.y=-4sin?8x-4? ? ? ?π π? D.y=4sin?8x+4? ? ?

)

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解析

T 由图象知 =6-(-2)=8,∴T=16,A=4. 2

?π ? 2π 2π π ∴ω= T =16=8.∴y=4sin?8x+φ?, ? ?

π 把点(6,0)代入得: ×6+φ=0, 8
?π 3π? 3π 得 φ=- 4 .∴y=4sin?8x- 4 ?, ? ? ?π π? π 又∵|φ|<2.∴y=-4sin?8x+4?. ? ?

答案 A

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探究提高

已知图象求函数 y=Asin??ωx+φ??(A>0,ω>0)

?

?

的解析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、 最低点或特殊点求 A;由函数的周期确定 ω;确定 φ 常根 据“五点法”中的五个点求解, 其中一般把第一个零点作 为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.

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【训练 1】 已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数 f(x) =a · b,且
?π y=f(x)的图象过点?12, ? ? ?2π ? 3?和点? 3 ,-2?. ? ? ?

(1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函 数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上各最高点到点(0,3) 的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间.

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解 因为

(1)由题意知 f(x)=a· b=msin 2x+ncos 2x.
?π y=f(x)的图象经过点?12, ? ? ?2π ? 3?和? 3 ,-2?, ? ? ?

π π 1 3 ? ? ? 3=2m+ 2 n, ? 3=msin6+ncos 6, 所以? 即? ?-2=msin4π+ncos4π, ?-2=- 3m-1n, 3 3 ? 2 2 ? 解得 m= 3,n=1.

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(2)由(1)知 f(x)= 3 sin 2x+cos 由题意知

? π? 2x=2sin?2x+6?. ? ?

? π? g(x)=f(x+φ)=2sin?2x+2φ+6?. ? ?

设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2), 由题意知 x2 0+1=1,所以 x0=0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). ? π? 将其代入 y=g(x)得 sin?2φ+6?=1, ? ?
? π? π 因为 0<φ<π,所以 φ= .因此 g(x)=2sin?2x+2?=2cos 2x. 6 ? ?

π 由 2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得 kπ-2≤x≤kπ,k∈Z, 所以函数
? ? π y=g(x)的单调递增区间为?kπ-2,kπ?,k∈Z. ? ?
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热点二

三角函数的性质 根据单调性、对称性求参数
? ? π? ?π f(x)=sin?ωx+4?在?2,π?上单调 ? ? ? ?

[微题型 1]

【例 2-1】 已知 ω>0,函数

递减,则 ω 的取值范围是(
?1 5? A.?2,4? ? ? ? 1? C.?0,2? ? ?

)

?1 3? B.?2,4? ? ?

D.(0,2]

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解析

π π 3 由 2kπ+ ≤ωx+ ≤2kπ+ π,k∈Z 且 ω>0, 2 4 2

π? 5 ? 1? 1? 得ω?2kπ+4?≤x≤ω?2kπ+4π?,k∈Z. ? ? ? ?
?π ? π 5π 取 k=0,得4ω≤x≤4ω,又 f(x)在?2,π?上单调递减, ? ?

π π 5π 1 5 ∴4ω≤2,且 π≤4ω,解之得2≤ω≤4.

答案 A

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探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用,解题的关键是 借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式,再根据 参数范围求解.或者,也可以取选项中的特殊值验证. [微题型 2] 考查三角函数的单调性、对称性
【例 2-2】 (2015· 烟台模拟)若函数 f(x)=sin2ax- 3sin ax· cos ax(a π >0)的图象与直线 y=m 相切,相邻切点之间的距离为2. (1)求 m 的值; (2)若点 A(x0,y0)是 y=f(x)图象的对称中心,且 A 的坐标.
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? π? x0∈?0,2?,求点 ? ?

解 (1)f(x)=sin2ax- 3sin axcos ax ? 1-cos 2ax π? 1 3 ?2ax+ ?+ , = - sin 2 ax =- sin 6? 2 2 2 ? 3 1 由题意,知 m 为 f(x)的最大值或最小值,所以 m= 或 m=- . 2 2 π (2)由题设,知函数 f(x)的周期为 ,所以 a=2. 2 ? π? 1 所以 f(x)=-sin?4x+6?+2. ? ? ? π? π ? ? 4 x + 令 sin 6?=0,得 4x+6=kπ(k∈Z), ? kπ π kπ π π 所以 x= 4 -24(k∈Z).由 0≤ 4 -24≤2(k∈Z), 得 k=1 或 k=2, ?5π 1? ?11π 1? 所以点 A 的坐标为?24,2?或? 24 ,2?. ? ? ? ?
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探究提高

对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间

的求解,其基本方法是将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数 增区间 ( 或减区间 ) ,求出的区间即为 y =Asin(ωx +φ) 的增区 间 ( 或减区间 ) ,但是当 A > 0 , ω < 0 时,需先利用诱导公式 变形为 y =- Asin( - ωx - φ) ,则y = Asin( - ωx - φ) 的增区间

即为原函数的减区间,减区间即为原函数的增区间.

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[微题型 3]

考查三角函数在闭区间上的最值(或值域)

【例 2-3】(2015· 济南模拟)设函数 f(x)=sin2ωx+2 3sin ωx· cos ωx -cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为 常数,且
?1 ? ω∈?2,1?. ? ?

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 值域.
?π ? y=f(x)的图象经过点?4,0?, 求函数 ? ?

f ( x) 在

? π? x∈?0,2?上的 ? ?

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(1)因为 f(x)=sin2ωx+2 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx+λ=
? π? 2ωx+λ=2sin?2ωx-6?+λ, ? ?

-cos 2ωx+ 3sin

由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴, 可得
? π? sin?2ωπ-6?=± 1,所以 ? ?

π π 2ωπ- =kπ+ (k∈Z), 6 2

?1 ? k 1 即 ω= + (k∈Z).又 ω∈?2,1?,k∈Z, 2 3 ? ?

5 6π 所以 k=1,故 ω=6.所以 f(x)的最小正周期是 5 .

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(2)由 即

?π ? ?π? y=f(x)的图象过点?4,0?,得 f?4?=0, ? ? ? ?

?5 π π? π ? ? λ=-2sin 6×2-6 =-2sin4=- ? ? ?5 π? f(x)=2sin?3x-6?- ? ?

2,

即 λ=- 2.故

2,

? π? 5 π ? π 2π? ∵x∈?0,2?,∴ x- ∈?-6, 3 ?, 3 6 ? ? ? ?

∴函数 f(x)的值域为[-1- 2,2- 2].

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探究提高

求三角函数最值的两条思路:(1)将问题化

为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,结合三角函数的性质 或图象求解;(2)将问题化为关于 sin x 或 cos x 的二次 函数的形式,借助二次函数的性质或图象求解. 【训练 2】 (2015· 河南名校联考)已知函数 +sin2x-cos2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程; (2)设函数 g(x)=[f(x)]2+f(x),求 g(x)的值域.
? π? f(x)=cos?2x-3? ? ?

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? π? 1 3 (1)f(x)= cos 2x+ sin 2x-cos 2x=sin?2x-6?.则 f(x)的最小正 2 2 ? ?

π π kπ π 周期为 π,由 2x- 6 =kπ+2(k∈Z),得 x= 2 +3(k∈Z), kπ π 所以函数图象的对称轴方程为 x= 2 +3(k∈Z).
? π? 1?2 1 π? π? ? ? (2)g(x)=[f(x)] +f(x)=sin 2x-6?+sin?2x-6?=?sin?2x-6?+2? -4. ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2?

?

当 当

? π? 1 1 sin?2x-6?=-2时,g(x)取得最小值-4, ? ? ? π? ? sin 2x-6?=1 ? ?

时,g(x)取得最大值 2,

所以

? 1 ? g(x)的值域为?-4,2?. ? ?
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1.(1)y=-sin x 与 y=sin x 的单调性正好相反, y=-cos x 与 y=cos x 的单调性也同样相反. (2)y=|sin x|与 y=|cos x|的周期是 π,y=sin|x|不是周期 函数,y=cos|x|是周期函数. (3)对于函数 y=tan x, 不能认为其在定义域上为增函数,
? π π? 而是在每个区间?kπ-2,kπ+2?(k∈Z)上为增函数. ? ?

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2.运用整体换元法求解单调区间与对称性: 类比 y=sin x 的性质,只需将 y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ” 看成 y=sin x 中的“x”,采用整体代入求解. π (1)令 ωx+φ=kπ+ (k∈Z),可求得对称轴方程; 2 (2)令 ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标; (3)将 ωx+φ 看作整体, 可求得 y=Asin(ωx+φ)的单调区间, 注意 ω 的符号.

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3.奇偶性: (1)函数 y=Asin(ωx+φ), x∈R 是奇函数?φ=kπ(k∈Z); π 函数 y=Asin(ωx+φ), x∈R 是偶函数?φ=kπ+ (k∈Z); 2 π (2)函数 y=Acos(ωx+φ),x∈R 是奇函数?φ=kπ +2 (k∈Z);函数 y=Acos(ωx+φ),x∈R 是偶函数?φ= kπ(k∈Z); kπ (3)函数 y=Atan(ωx+φ), x∈R 是奇函数?φ= 2 (k∈Z).

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4.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求 解析式 ymax-ymin ymax+ymin (1)A= ,B = . 2 2 2π (2)由函数的周期 T 求 ω,ω= T . (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 φ.

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