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圆锥曲线知识点汇编


高二数学
圆锥曲线的方程与性质

王鹭真

1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a (大于 | F1 F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆 的焦点,两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则有 | MF1 | ? | MF2 |? 2 a 。 椭圆的

标准方程为: 上) 。 注:①以上方程中 a , b 的大小 a ? b ? 0 ,其中 b ? a ? c ;
2 2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) (焦点在 x 轴上)或

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1(a ? b ? 0 ) (焦点在 y 轴

②在

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1和 x
2

y a ?

2 2

? y
2

x b

2 2

? 1 两个方程中都有 a ? b ? 0 的条件,要分清焦点的位置,只要看 x 和 y 的分
2
2

母的大小。例如椭圆

m n 表示焦点在 y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质

? 1 ( m ? 0 , n ? 0 , m ? n )当 m ? n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 m ? n 时

? 1 知 | x |? a ,| y |? b ,说明椭圆位于直线 x ? ? a , y ? ? b 所围成的矩形里; 2 2 a b ②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x , y ) 在曲线上时,点 ( x , ? y ) 也在曲线上, 所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ? x 代替 x 方程不变,则曲线关于 y 轴对称。若同时以 ? x 代替 x , ? y 代替 y

①范围:由标准方程

x

2

?

y

2

方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心 叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令
x ? 0 ,得 y ? ? b ,则 B1 (0, ? b ) , B 2 (0, b ) 是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即 A1 ( ? a , 0) ,

A2 ( a , 0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段 A1 A2 、 B1 B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长

半轴长和短半轴长。 | | | 由椭圆的对称性知: 椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ; Rt ? OB 2 F2 中, OB2 |? b , OF2 |? c , B 2 F2 |? a , 在 且 | OF2 | ?| B2 F2 | ? | OB 2 | ,即 c ? a ? b ;
2 2 2
2 2 2

叫椭圆的离心率。∵ a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 ,且 e 越接近 1 , c 就 a 越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时 椭圆越接近于圆。当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a 。 2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线( || PF1 | ? | PF2 ||? 2 a ) 。
2 2 2

④离心率:椭圆的焦距与长轴的比 e ?

c

注 意 : ① 式 中 是 差 的 绝 对 值 , 在 0 ? 2 a ?| F1 F2 | 条 件 下 ; | PF1 | ? | PF2 |? 2 a 时 为 双 曲 线 的 一 支 ;
| PF2 | ? | PF1 |? 2 a 时为双曲线的另一支(含 F1 的一支) ;②当 2 a ? | F1 F2 | 时, || PF1 | ? | PF2 ||? 2 a 表示两条射

线;③当 2 a ? | F1 F2 | 时,|| PF1 | ? | PF2 ||? 2 a 不表示任何图形;④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点,| F1 F2 | 叫做 焦距。

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高二数学
椭圆和双曲线比较: 椭 圆 | PF1 | ? | PF2 |? 2 a (2 a ?| F1 F2 |) 定义 方程
x a
2 2

王鹭真

双 曲 线 || PF1 | ? | PF2 ||? 2 a (2 a ?| F1 F2 |)
x a
2 2

?

y b

2 2

?1

x b

2 2

?

y a

2 2

?1

?

y b

2 2

?1

y a

2 2

?

x b

2 2

?1

F ( ? c , 0) F (0, ? c ) 焦点 注意:如何用方程确定焦点的位置! (2)双曲线的性质

F ( ? c , 0)

F (0, ? c )

? 1 ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线 x ? ? a 的外侧。即 2 2 a b 2 2 x ? a , x ? a 即双曲线在两条直线 x ? ? a 的外侧。

①范围:从标准方程

x

2

?

y

2

②对称性:双曲线 是双曲线
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点

?

y b

2 2

? 1 的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 x a
2 2

③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线

?

y b

2 2

? 1 的方程里,对称轴是 x , y 轴,所 x a
2 2

以令 y ? 0 得 x ? ? a ,因此双曲线和 x 轴有两个交点 A ( ? a ,0 ) A 2 ( a ,0 ) ,他们是双曲线

?

y b

2 2

? 1 的顶点。

令 x ? 0 ,没有实根,因此双曲线和 y 轴没有交点。 1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点) ,双曲线的顶点分别是实轴的两个 端点。 2)实轴:线段 A A 2 叫做双曲线的实轴,它的长等于 2 a , a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段 B B 2 叫做双 曲线的虚轴,它的长等于 2 b , b 叫做双曲线的虚半轴长。 ④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。从 图上看,双曲线
? 1 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。 2 2 a b ⑤等轴双曲线: 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式: a ? b ; 2)等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直。 x
2

?

y

2

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其 他几个亦成立。 3) 注意到等轴双曲线的特征 a ? b , 则等轴双曲线可以设为:x ? y ? ? ( ? ? 0 ) , ? ? 0 时交点在 x 轴, 当 当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上。
2 2

⑥注意

x

2

16

?

y

2

9

?1与

y

2

9

?

x

2

16

? 1 的区别:三个量 a , b , c 中 a , b 不同(互换) c 相同,还有焦点所在的坐标

轴也变了。 3.抛物线 (1)抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做 抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。 方程 y ? 2 px
2

? p ? 0 ? 叫做抛物线的标准方程。
p 2

注意:它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点坐标是 F(

,0) ,它的准线方程是 x ? ?

p 2



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高二数学
(2)抛物线的性质

王鹭真

一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其 他几种形式: y ? ? 2 px , x ? 2 py , x ? ? 2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如
2 2 2

下表: 标准方程
l

y ? 2 px
2

y ? ? 2 px
2

x ? 2 py
2

x ? ? 2 py
2

( p ? 0)

( p ? 0)

y

y
l

( p ? 0) y

( p ? 0)

图形

o F

x

F

o

x

l

F o

x

焦点坐标 准线方程 范围 对称性

(

p 2

, 0) p

(?

p 2

, 0)

(0,

p 2

)
p

(0, ?

p 2 p

)

x??

2 x?0

x?

p

2 x?0

y??

2 y?0
y轴

y?

2 y?0
y轴

(0, 0) (0, 0) 顶点 离心率 e ?1 e ?1 e ?1 e ?1 说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶 点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线; (3)注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线 的距离。

x轴 (0, 0)

x轴 (0, 0)

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