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高三数学二轮复习教学案一体化:导数的综合应用


专题三、导数的综合应用 高考趋势 导数作为进入高中考试范围的新内容,在考试中占比较大.常常运用导数确定函数的单调性,进而研究函数的最 值、极值,方程及不等式的解等. 导数是研究函数的工具,导数进入新教材之后,给函数问题注入了生机和活力,开辟了许多解题新途径,拓展了 高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情,对函数的命题已不再拘泥于一次函数, 二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等,对研究函数的目标也不仅限于求定义域,值域,单调性,奇偶性, 对称性,周期性等,而是把高次多项式函数,分式函数,指数型,对数型函数,以及初等基本函数的和、差、积、商 都成为命题的对象,试题的命制往往融函数,导数,不等式,方程等知识于一体,通过演绎证明,运算推理等理性思 维,解决单调性,极值,最值,切线,方程的根,参数的范围等问题,这类题难度很大,综合性强,内容新,背景新, 方法新,是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 考点展示 1.设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? 6 ) ? 1(? ? 0)的导数 f ?( x) 的最大值为 3,则 f(x)的图象的对称轴的方程是 2 2.已知函数 f ?x ? 的导函数为 f ' ? x ? ,且满足 f ?x? ? 3x ? 2 xf ' ?2? ,则 f ' ?5? ? 3.曲线 y ? sin x 在点( 6 。 ? 3 , 3 )处的切线方程为 2 x ? 2y ? 3 ? ? 3 ?0 4.设 a ? R ,函数 f ( x) ? e x ? a ? e? x 的导函数是 f ?( x ) ,且 f ?( x ) 是奇函数 . 若曲线 y ? f ( x) 的一条切线的斜率是 则切点的横坐标为 3 , 2 , ln 2 时 5.函数 f ( x) 在定义域 R 内可导, 若 f ( x) ? f ( 2 ? x) , 且当 x ? (??, 1) ( x ? 1) f ?( x) ? 0 c?a?b , 设 1 a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3). 2 则 6.函数 f ( x) 的定义域为(a,b) ,其导函数 f ?( x)在(a, b) 内的图象如 1 y 图 所 示,则函数 f ( x) 在区间(a,b)内极小值点的个数是 3 2 7.如图为函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象,f '( x) 为函数 f ( x ) 的导函 数,则不等式 o x x ? f '( x) ? 0 的解集为___ (??, ? 3) ? (0, 3) ___ ______. 样题剖析 例 1、 (2008 浙江)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? ⑴求函数 f(x)的单调区间; ⑵设 g(x)为 f(x)在区间 ?0,2? 上的最小值.(i)写出 g(a)的表达式; (ii)求 a 的取值范围,使得 ? 6 ? g (a) ? ?2 . - 3 3 x ( x ? a) . ? ?) , (1)解:函数的定义域为 [0, f ?( x) ? x ? x ? a 3x ? a ? (x ? 0) . 2 x 2 x 若 a ≤ 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 有单调递增区间 [0, ? ?) . 1 若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ? 当x?

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