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8.5 直线与圆锥曲线的位置关系


§8.5

直线与圆锥曲线的位置关系

知识诠释

思维发散

一、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线相交、相切、相离,解题的方法是 将问题转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组 次)方程解的情况去研究. ax2+bx+c=0 ,进而转化为一元 (一次或二

/>
(1)若 a=0,直线与圆锥曲线有一个公共点,但并不相切.此时,圆锥曲线不会是椭圆.当圆锥 曲线为双曲线时,直线 l 与双曲线的渐近线 对称轴 . .当圆锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物线的

(2)若 a≠0,设Δ =b2-4ac,

①Δ >0 时,直线与圆锥曲线相交于 ②Δ =0 时,直线与圆锥曲线 ③Δ <0 时,直线与圆锥曲线
; .

;

另外,还能利用数形结合的方法,迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系. 二、直线与圆锥曲线相交的弦长计算 (1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间的距离公式求弦长. (2)解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于 x(或 y)的一元二次方程,设直线

与圆锥曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线斜率为 k,则弦长公式为

|AB|=



|AB|=

(k≠0).

1.过点(2,4)作直线与抛物线 y2=8x 只有一个公共点,这样的直线有 (A)0 条. (B)1 条. (C)2 条. (D)3 条.

(

)

2.过原点的直线 l 与双曲线 - =1 有两个交点,则直线 l 的斜率的取值范围是

(

)

(A)(- , ).

(B)(0, )∪( ,+∞).

(C)[- , ].

(D)(-∞,- ]∪[ ,+∞).

3.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 且倾斜角等于 的直线与抛物线在 x 轴上方的曲线交于点 A, 则 AF 的长为 (A)2. (B)4. (C)6. (D)8. ( )

4.直线 y=kx-2 与椭圆 + =1 相交于不同的两点 P、 Q,若 PQ 的中点的横坐标为 2,则弦长|PQ| 等于 .

核心突围

技能聚合

题型 1 直线与圆锥曲线的关系问题

例1 (A)2 个.

(1)直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的公共点个数有 (B)1 个. (C)0. (D)不确定.

(

)

(2)过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等 于 2,则这样的直线 (A)有且仅有一条. (B)有且仅有两条. (C)有无穷多条. (D)不存在. ( )

(3)设离心率为 e 的双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k, ( )

则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是 (A)k2-e2>1. (C)e2-k2>1. 变式训练 1 (B)k2-e2<1. (D)e2-k2<1.

(1)已知双曲线的方程为 x2- =1,若过点 P(1,1)的直线 l 与双曲线只有一个公 ( (C)2. (D)1. ( ) )

共点,则直线的条数为 (A)4. (B)3.

(2)直线 y=kx+2 与椭圆 + =1 至多一个交点的充要条件是

(A)k∈[- , ].

(B)k∈(-∞,- ]∪[ ,+∞).

(C)k∈[- , ].

(D)k∈(-∞,- ]∪[ ,+∞).

题型 2 中点弦及对称问题 例2 直线的方程. (2)在抛物线 y=x2 上存在两个不同的点 M、N 关于直线 y=-kx+ 对称,求 k 的取值范围. (1)过椭圆 + =1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被 M 点平分,求这条弦所在

变式训练 2 已知椭圆的两个焦点分别为 F1(0,-2 (1)求椭圆方程;

),F2(0,2

),离心率为 e=

.

(2)一条不与坐标轴平行的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、 N,且线段 MN 中点的横坐标 为- ,求直线 l 的倾斜角的取值范围.

题型 3 直线或点的存在性问题 例3 试问能否找到一条斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 +y2=1 交于两个不同点

M、N,使 M、N 到点 A(0,1)的距离相等?若存在,试求出 k 的取值范围;若不存在,请说明理由.

变式训练 3 如图,P 为抛物线 y= x2 上的一点,抛物线的焦点为 F,PC 垂直于直线 y=- ,

垂足为 C,已知直线 AB 垂直 PF 分别交 x、y 轴于 A、B. (1)求使△PCF 为等边三角形的点 P 的坐标. (2)是否存在点 P,使 P 平分线段 AB?若存在,求出点 P,若不存在,说明理由.

1.直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系 (1)对于椭圆来说,直线与椭圆有一个公共点 ,直线与椭圆必相切 ;反之,直线与椭圆相切 , 则直线与椭圆必有一个公共点. (2)对于双曲线来说,当直线与双曲线有一个公共点时,除了直线与双曲线相切外,还有直 线与双曲线相交,此时直线与双曲线的渐近线平行. (3)对于抛物线来说,当直线与抛物线有一个公共点时,除了直线与抛物线相切外,还有直 线与抛物线相交,此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. (4)联立直线方程与双曲线方程消去 x(或 y)后,判别式Δ >0,则直线与双曲线相交,但直线 与双曲线相交不一定有Δ >0;当直线与双曲线的渐近线平行时 ,直线与双曲线相交且只有一 个交点.所以Δ >0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件. (5)联立直线方程与抛物线方程消去 x(或 y)后,判别式Δ >0,则直线与抛物线相交,但直线 与抛物线相交不一定有Δ >0,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时 ,直线与抛物线相交且 只有一个交点.所以Δ >0 是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件. 2.直线与圆锥曲线相交的问题 (1)直线与圆锥曲线相交问题是解析几何中一类重要问题,注意应用根与系数间的关系、 “设而不求”的技巧来解决直线与圆锥曲线的综合问题.

(2)运用“点差法”解决弦的中点问题 涉及弦的中点问题,可以利用判别式和韦达定理的方法加以解决,也可利用“点差法”的 方法解决此类问题.若知道中点,则利用“点差法”的方法可得出过中点弦的直线的斜率.比较 两种方法,用“点差法”的方法的计算量较少,此法在解决有关存在性问题时,要结合图形和判 别式Δ 加以检验. (3) 弦 长 公 式 |AB|= 或

|AB|=

(k≠0)中,k 指的是直线 AB 的斜率.在计算弦长时要特别注意

一些特殊情况:①直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的情况,一般要首先验证;②直线过圆 锥曲线的焦点,在出现这些情况时可以直接计算或利用曲线的定义把弦长进行转化. 3.已知弦 AB 的中点,研究 AB 的斜率和方程 (1)AB 是椭圆 + =1(a>b>0)的一条弦,M(x0,y0)是 AB 的中点,则 kAB=差法求弦的斜率的步骤是: ,kAB·kOM=- .点

①将端点坐标代入方程: + =1, + =1;

②两等式对应相减: - + - =0;

③分解因式整理: kAB=

=-

=-

.

(2)运用类比的方法可以推出:已知 AB 是双曲线 - =1(a>0,b>0)的弦,弦 AB 的中点为

M(x0,y0),则 kAB=

;已知抛物线 y2=2px(p>0)的弦 AB 的中点为 M(x0,y0),则 kAB= .

例 过点(0,3)的直线 l 与抛物线 y2=4x 只有一个公共点,求直线 l 的方程.

【 错 解 】 设 直 线 l 的 斜 率 为 k, 则 l 的 方 程 为 y=kx+3, 将 其 代 入 y2=4x, 整 理 得 k2x2+(6k-4)x+9=0.由于Δ =(6k-4)2-4×9k2=16-48k=0,解得 k= ,故直线 l 的方程为 y= x+3. 【剖析】 上述解法只考虑了直线的斜率 k 存在的情况,而忽视了 k 不存在以及直线 l 平行 抛物线对称轴时的两种情形. 【正解】当斜率 k 存在且 k≠0 时,直线 l 的方程为 y= x+3,

当 k=0 时,直线 l:y=3,此时 l 平行于对称轴,且与抛物线只有一个交点( ,3), 当 k 不存在时,直线 l 与抛物线也只有一个公共点,此时 l 的方程为 x=0. 综上,过点(0,3)且与抛物线 y2=4x 只有一个公共点的直线的方程为 y= x+3,y=3,x=0.

基础·角度·思路

“课时训练”见《精练案》P297

参考答案 §8.5 直线与圆锥曲线的位置关系
知识梳理 一、解的个数 (1)平行 平行或重合 (2)①两个点 ②相切 ③相离 基础自测 1.C 2.A 3.B 4.6 典例剖析 例 1 ( 1) A ( 2) A ( 3) C 变式训练 1 (1)A (2)A

例 2 (1)x+2y-4=0 (2)(-∞,- )∪( ,+∞)

变式训练 2 (1)x2+ =1 (2)( , )∪( ,

)

例 3 存在,k∈(-1,0)∪(0,1)

变式训练 3 (1)(±

, ) (2)存在,P(±

, )


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