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函数专题


函数专题
一. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义 域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为 同一函数。如若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函 数为“天一函数” ,那么解析式为 y ? x2 ,值域为{4,1}的“天一函数”共有______个 (答:9) 二.求函数定义域的常

用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则) : 1 .根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零,对数 loga x 中 ? ? x ? 0, a ? 0 且 a ? 1 ,三角形中 0 ? A ? ? , 最大角 ? ,最小角 ? 等。如 3 3 (1)函数 y ?
x ?4 ? x? lg ? x ? 3?
2

的定义域是____ (答: (0, 2) ? (2,3) ? (3, 4) );

(2)若函数 y ?

kx ? 7 的定义域为 R,则 k ? _______ kx ? 4kx ? 3
2

? 3? (答: ?0, ? ); ? 4?

(3)函数 f ( x) 的定义域是 [a, b ] , b ? ? a ? 0 ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域 是__________ (答: [a, ?a] ); (4)设函数 f ( x) ? lg(ax2 ? 2x ? 1) ,①若 f ( x) 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围; ②若 f ( x) 的值域是 R,求实数 a 的取值范围 (答:① a ? 1 ;② 0 ? a ? 1 ) 2.根据实际问题的要求确定自变量的范围。 3. 复合函数的定义域: 若已知 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域由 不等式 a ? g ( x) ? b 解出即可;若已知 f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,求 f ( x) 的定义域,相当于 当 x ? [a, b] 时,求 g ( x) 的值域(即 f ( x) 的定义域) 。如
?1 ? (1)若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log2 x) 的定义域为__________ ?2 ?

(答: x | 2 ? x ? 4 ) ; (2)若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的定义域为________
2

?

?

(答:[1,5]) . 三.求函数值域(最值)的方法: 1.配方法――二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间 [ m, n] 上 的最值;二是求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题, 勿忘数形结合,注意“两看” :一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关 系) ,如 (1)求函数 y ? x2 ? 2x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域 (答:[4,8]) ;
-1-

(2)当 x ? (0,2] 时,函数 f ( x) ? ax2 ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取 值范围是___ 1 (答: a ? ? ) ; 2
1 1 1 (3) 设函数 f (x 的值. ) ?x2 ?x? 若定义域限制为 [a,a?1 ]时, f ( x ) 的值域为 [ ? , ] ,求 a 4, 2 16

2.换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函 数解析式含有根式或三角函数公式模型,如 (1) y ? 2sin 2 x ? 3cos x ?1 的值域为_____ 17 (答: [?4, ] ) ; 8 (2) y ? 2 x ? 1 ? x ?1 的值域为_____ (答: (3, ??) ) (3) y ? sin x ? cos x ? sin x? cos x 的值域为____ 1 (答: [ ?1, ? 2] ) ; 2 (4) y ? x ? 4 ? 9 ? x2 的值域为____ (答: [1,3 2 ? 4] ) ; 3.函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定 所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性,如 3x 2 sin ? ? 1 2 sin ? ? 1 求函数 y ? ,y? ,y? 的值域 x 1 ? sin ? 1 ? cos ? 1? 3 1 3 ,] ) (答: ( ??, ] 、 (0,1) 、 ( ?? ; 2 2 4.单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,如 1 9 求 y ? x ? (1 ? x ? 9) , y ? sin 2 x ? , y ? 2x?5 ? log3 x ?1 的值域 x 1 ? sin 2 x 80 11 (答: (0, ) 、 [ ,9] 、 [2,10] ) ; 9 2 5.数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、等 等,如 y (1)已知点 P ( x, y ) 在圆 x2 ? y 2 ? 1上,求 及 y ? 2 x 的取值范围 x?2 3 3 (答: [? ; , ] 、 [? 5, 5] ) 3 3 (2)求函数 y ? ( x ? 2) 2 ? ( x ? 8) 2 的值域 (答: [10, ??) ) ; (3)求函数 y ? x2 ? 6 x ? 13 ? x2 ? 4 x ? 5 及 y ? x2 ? 6 x ? 13 ? x2 ? 4 x ? 5 的值域 (答: [ 43, ??) 、 (? 26, 26) ) 注意:求两点距离之和时,要将函数式变形,使两定点在 x 轴的两侧,而求两点距 离之差时,则要使两定点在 x 轴的同侧。
-2-

6.判别式法――对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时 也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利 用均值不等式: b ①y? 型,可直接用不等式性质,如 k ? x2 3 求y? 的值域 2 ? x2 3 (答: (0, ] ) 2 bx ②y? 2 型,先化简,再用均值不等式,如 x ? mx ? n x (1)求 y ? 的值域 1 ? x2 1 (答: ( ??, ] ) ; 2 x?2 (2)求函数 y ? 的值域 x?3 1 (答: [0, ] ) 2 2 x ? m?x ? n? ③y? 2 型,通常用判别式法;如 x ? mx ? n mx 2 ? 8 x ? n 已知函数 y ? log 3 的定义域为 R,值域为[0,2],求常数 m, n 的值 x2 ? 1 (答: m ? n ? 5 ) 2 x ? m?x ? n? ④y? 型,可用判别式法或均值不等式法,如 mx ? n x2 ? x ? 1 求y? 的值域 x ?1 (答: (??, ?3] ? [1, ??) ) 7.不等式法――利用基本不等式 a ? b ? 2 ab (a, b ? R? ) 求函数的最值,其题型特征解析 式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添 项和两边平方等技巧。如 (a ? a 2 ) 2 设 x, a1 , a2 , y 成等差数列, x, b1 , b2 , y 成等比数列,则 1 的取值范围是__. b1b2 (答: (??, 0] ? [4, ??) ) 。 8.导数法――一般适用于高次多项式函数,如 求函数 f ( x) ? 2x3 ? 4x2 ? 40x , x ?[?3,3] 的最小值。 (答:-48) 提醒: (1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗? (2)函数的最值与值域之间有何关系? 四.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来 表示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 f ( x0 ) 时,一定首 先要判断 x0 属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是
-3-

其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如 2 ? ?( x ? 1) .( x ? 1) (1)设函数 f ( x) ? ? ,则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围是__ 4 ? x ? 1.( x ? 1) ? ? (答: (??, ?2] ? [0,10] ) ; ( x ? 0) ?1   (2)已知 f ( x) ? ? ,则不等式 x ? ( x ? 2) f ( x ? 2) ? 5 的解集_____ ? 1    ( x ? 0) ? 3 (答: ( ??, ] ) 2 五.求函数解析式的常用方法: 1 .待定系数法 ――已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种:一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c ;顶点式: f ( x) ? a( x ? m)2 ? n ;零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) , 要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式) 。如 已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线 段长为 2 2 ,求 f ( x) 的解析式 。 (答: f ( x) ? 2.代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x) 的表达式。如 (1)已知 f (1 ? cos x) ? sin 2 x, 求 f x 2 的解析式
1 2 x ? 2x ? 1) 2

? ?

(答: f ( x2 ) ? ? x4 ? 2x2 , x ?[? 2, 2] ) ;
1 1 (2)若 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ,则函数 f ( x ? 1) =_____ x x

(答: x 2 ? 2 x ? 3 ) ; (3)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,那 么当 x ? (??,0) 时, f ( x) =________ (答: x(1 ? 3 x ) ). 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即 f ( x) 的定义域应是 g ( x) 的 值域。 3. 方程的思想――已知条件是含有 f ( x) 及另外一个函数的等式, 可抓住等式的特征对等 式的进行赋值,从而得到关于 f ( x) 及另外一个函数的方程组。如 (1)已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式 2 (答: f ( x) ? ?3 x ? ) ; 3 1 (2)已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) + g ( x) = ,则 f ( x) = _ x ?1 x (答: 2 )。 x ?1 六.反函数: 1.存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个 y 值,都有唯一的 x 值与之对应, 故单调函数一定存在反函数,但反之不成立;偶函数只有 f ( x) ? 0( x ?{0}) 有反函数; 周期函数一定不存在反函数。如 函数 y ? x2 ? 2ax ? 3 在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是
-4-

A、 a ? ? ??,1?

B、 a ? ? 2, ?? ?

C、 a ? [1, 2]

D、 a ? ? ??,1? ? ? 2, ?? ?

(答:D) 2.求反函数的步骤:①反求 x ;②互换 x 、 y ;③注明反函数的定义域(原来函数的值 域) 。注意函数 y ? f ( x ? 1) 的反函数不是 y ? f ?1 ( x ? 1) ,而是 y ? f ?1 ( x) ?1 。如 设 f ( x) ? (
x ?1 2 ) ( x ? 0) .求 f ( x) 的反函数 f x
?1

( x)

(答: f ?1 ( x) ?

1 ( x ? 1) ) . x ?1

3.反函数的性质: ①反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域。如 单调递增函数 f ( x) 满足条件 f (ax ? 3) = x ,其中 a ≠ 0 ,若 f ( x) 的反函数 f ?1 ( x) 的 ?1 4? 定义域为 ? , ? ,则 f ( x) 的定义域是____________ ?a a? (答:[4,7]). ?1 ②函数 y ? f ( x) 的图象与其反函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,注意函数 y ? f ( x) 的图象与 x ? f ?1 ( y) 的图象相同。如 (1)已知函数 y ? f ( x) 的图象过点(1,1),那么 f ? 4 ? x ? 的反函数的图象一定经过点_ (答: (1,3) ) ; (2)已知函数 f ( x ) ? 对称,求 g (3) 的值 (答: ③ f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a 。如 (1)已知函数 f ( x) ? log3 ( ? 2 ) ,则方程 f ?1 ( x) ? 4 的解 x ? ______ (答:1) ; ?1 (2)设函数 f(x)的图象关于点 (1,2)对称,且存在反函数 f ( x) ,f (4)=0,则 f (4 )
?1

2x ? 3 ,若函数 y ? g ( x) 与 y ? f x ?1

?1

( x ? 1) 的图象关于直线 y ? x

7 ) ; 2

4 x

= (答:-2) ④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如 已知 f ? x ? 是 R 上的增函数,点 A? ?1,1? , B ?1,3? 在它的图象上, f ?1 ? x ? 是它的反函数, 那么不等式 f ?1 ? log2 x ? ? 1的解集为________ (答: (2,8) ) ; ⑤设 f ( x) 的定义域为 A,值域为 B,则有 f [ f ( x)] ? x( x ? B) , f [ f ( x)] ? x ( x ? A) ,但 f [ f ?1 ( x)] ? f ?1[ f ( x)] 。 七.函数的奇偶性。 1.具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶 性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如 若函数 f ( x) ? 2sin(3x ? ? ) , x ?[2? ? 5? ,3? ] 为奇函数,其中 ? ? (0,2? ) ,则 ? ? ? 的 值是
?1 ?1

(答:0) ;
-5-

2.确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇 偶性) : | x ? 4 | ?4 ①定义法:如判断函数 y ? 的奇偶性____(答:奇函数) 。 9 ? x2
变式训练: 判断下列函数的奇偶性. 1-x 1)f(x)=lg ; 1+x 3)f(x)=?
?x +x ?x>0?,? ?
2

(2)f(x)=(x+1)

1-x ; 1+x
2

? ?x -x ?x<0?;
2

lg?1-x ? (4)f(x)= 2 . |x -2|-2 4-x2 . |x+3|-3

(5f(x)= 3-x2+ x2-3;

(6)f(x)=

②利用函数奇偶性定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 或 判断 f ( x) ? x(
x

f (? x) ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) 。如 f ( x)

1 1 ? ) 的奇偶性___.(答:偶函数) 2 ?1 2 ③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称。 3.函数奇偶性的性质: ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关 于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数. ③若 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) .如 1 若 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 在 (??, 0) 上 是 减 函 数 , 且 f ( ) =2 , 则 不 等 式 3 f (lo g 1 x) ? 2 的解集为______.
8

(答: (0, 0.5) ? (2, ??) ) ④若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既 不充分也不必要条件。如 a · 2x ? a ? 2 若 f ( x) ? 为奇函数,则实数 a =____(答:1). 2x ? 1 ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶 函数的和(或差) ” 。如 f ( x) ? f (? x) 设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,G ( x) ? 。①判 2 2 断 F ( x) 与 G ( x) 的奇偶性; ②若将函数 f ( x) ? lg(10x ? 1) ,表示成一个奇函数 g ( x) 和一个 偶函数 h( x) 之和,则 g ( x) =____ 1 (答:① F ( x) 为偶函数, G ( x) 为奇函数;② g ( x) = x ) 2 ⑥复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个( f ( x) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集).
-6-

4.函数的奇偶性应用

(1)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2-x-1,求 f(x)的解析式;

(2)已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数

m 的取值范围.

变式训练 (1)若函数 f(x)=loga(x+ x2+2a2)是奇函数,则实数 a 的值是________.

2)若偶函数 f(x)在(-∞,0)内单调递减,则不等式 f(-1)<f(lg x)的解集是 ( A.(0,10) 1 ? B.? ?10,10? 1 ? C.? ?10,+∞? 1? D.? ?0,10?∪(10,+∞)



3)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D.有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2).

(1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明;(3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,

+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 4)已知函数f(x的 ) 定义域是 (0,?? ) ,且满足 f ( x y ) ? f () x ? f () y, f ( ) ? 1 ,如果对于 0 ? x ? y , 都有 f (x ) ? f (y ),(1)求 f ( 1 ) ; (2)解不等式 。 f ( ? x ) ? f ( 3 ? x ) ? ? 2

1 2

引申拓展: 几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: f ( x) ? kx(k ? 0) --------------- f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ; x f ( x) ②幂函数型: f ( x) ? x2 -------------- f ( xy) ? f ( x) f ( y) , f ( ) ? ; y f ( y) f ( x) ③指数函数型: f ( x) ? a x ------------ f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y ) ? ; f ( y)
-7-

x ④对数函数型: f ( x) ? loga x ----- f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ; y f ( x) ? f ( y ) ⑤三角函数型: f ( x) ? tan x ----- f ( x ? y ) ? 。如已知 f ( x) 是定义在 R 1 ? f ( x) f ( y ) T 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则 f (? ) ? ____(答:0) 2

八.函数的单调性。 1.确定函数的单调性或单调区间的常用方法: ①在解答题中常用: 定义法 (取值――作差――变形――定号) 、 导数法 (在区间 (a, b) 内,若总有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;反之,若 f ( x) 在区间 (a, b) 内为增函数,则 f ?( x) ? 0 ,请注意两者的区别所在。如 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是____ (答: (0,3] )); b ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意 y ? ax ? (a ? 0 x b b ],[ , ??) ,减区间为 b ? 0) 型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为 (??, ? a a

b b , 0), (0, ] .如 a a (1)若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 a 的 取值范围是______ (答: a ? ?3 )); ax ? 1 (2)已知函数 f ( x) ? 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数,则实数 a 的取值范围_____ x?2 1 (答: ( , ??) ); 2 a ? ? (3)若函数 f ? x ? ? log a ? x ? ? 4 ? ? a ? 0, 且a ? 1? 的值域为 R,则实数 a 的取值范围 x ? ? 是______ (答: 0 ? a ? 4 且 a ? 1 )); [?
??上为增函数,则实数 a , b 的取值范围是 x )?ax? b? 2在 x??0, ? 4)若函数 f(


(答: a ? 0, b ? 0 )
1)函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f ( 1 ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是 ( x )

A.(-1,1)

B.(0,1)

C.(-1,0)∪(0,1)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减,如函数 y ? log 1 ? x2 ? 2 x 的单
2

?

?

调递增区间是________ (答:(1,2))。
-8-

a 2. 特别提醒: 求单调区间时, 勿忘定义域, 如若函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 3) 在区间 ( ??, ] 2 上为减函数,求 a 的取值范围(答: (1, 2 3) ); 3.函数单调性与奇偶性的逆用:(①比较大小;②解不等式;③求参数范围).如已知 奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值 1 2 范围。(答: ? ? m ? ) 2 3 九.函数的周期性与对称性
函数 y ? f ? x ? 满足对定义域内任一实数 x (其中 a 为常数), ① 1.几种特殊的抽象函数的周期:

f ?x a ??f ?x? ?,则 y ? f ? x ? 是以 T ? a 为周期的周期函数; x ? a ? f? x ② f? ?? ?,则 f ?x? 是以 T ? 2a 为周期的周期函数;
1 ,则 f ?x? 是以 T ? 2a 为周期的周期函数; f ? x?

③ f ? x ? a? ??

x ? a f? x ? a ④ f? ,则 f ?x? 是以 T ? 2a 为周期的周期函数; ?? ?
⑤ f (x ?a) ?

1? f (x) ,则 f ?x? 是以 T ? 2a 为周期的周期函数. 1? f (x) 1? f (x) ,则 f ?x? 是以 T ? 4a 为周期的周期函数. 1? f (x)

⑥ f (x ?a) ?

⑦函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? 0 ) ,若f(x)为奇函数,则其周期为 T ? 4a , ( a ? x ) ? f( a ? x ) 若f(x)为偶函数,则其周期为 T ? 2a . 2.对称性: 函数关于原点对称即奇函数: f( ? x )? ? f( x ) 函数关于 y 对称即偶函数: f ( ? x )?f(x ) 函数关于直线 x ? a 对称: f 或 f( 或 者 f( ( x ? a ) ? f( a ? x ) x )? f( 2 a ? x ) x ? 2) a? f( ? x ) 3 函数的周期性与对称性的应用: 例 1. 已知 f(x)是 R 上的偶函数, 对 x?R都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立, 若 f(1)=2, 则 f(2011)=( A、2005 B、2 C、1 D、0 (答:B) )

例 2. 设 f(x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且 y=f(x)的图象关 于直线 x=3 对称,则下面正确的结论是 (A) f ; 1 . 5 ? f 3 . 5 ? f 6 . 5 ? ? ? ? ? ? (C) f ; 6 . 5 ? f 3 . 5 ? f 1 . 5 ? ? ? ? ? ? ( ) (B) f ; 3 . 5 ? f 1 . 5 ? f 6 . 5 ? ? ? ? ? ? (D) f 3 . 5 ? f 6 . 5 ? f 1 . 5 ? ? ? ? ? ? (答:B)

例 3.已知定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于 ( ?

3 3 , 0 ) 成中心对称, 1 )? 1, f (0) 且满足 f (x) = ?f (x? ),f (? 4 2

= –2,则 f (1) + f (2) +?+ f (2010)的值为( ) A.–2 B.–1

C.0
-9-

D.1

(答:C)

例4 . 已 知 函 数 定 义 在 实 数 集R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数x 都 有x , 则f ( f ( )) 的 值 是 f(x)是 fx (??? 1 )( 1x )() fx

5 2

5 ,则 f ( f ( ) ) 的值是 x fx (??? 1 )( 1x )() fx 2 1 A.0 B. C.1 2
例 5.

D.

5 2

(答:A)

f x ?1 y ? f ? x ? 定义域为 R,且对任意 x ? R 都有 f ? x ?1? ? ? ? ,若 f ?2? ?1? 2则 f(2009) =_ 1? f ? x?

(答: -1- 2 ) 例 6. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x ? 2 称,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 。
_ _ _ _

1

(答:0) 例 7.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时, f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;

(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式;

(3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011). 例 8 . 设 函 数 满 足f , 且 在 闭 区 间 , 只 有f( . f(x在 ) (??, ??) 上 ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ),f( 7 ? x ) ? f( 7 ? x ) 1 )?f( 3 )? 0 ?0,7 ? 上

(Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性;

2 0 0 5 ,2 0 0 5 (Ⅱ)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 ?? ?上的根的个数,并证明你的结论

(答: (1)函数 y= f(x) 非奇非偶函数不是奇函数; (2)在闭区间[-2005,2005]上的根的个数是 802. )

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初中数学函数三大专题复习
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2015高考函数专题复习5
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