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东北三省四市教研联合体2015届高考数学三模试卷(理科)


东北三省四市教研联合体 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4},A={1,4},B={2,4},则(?UA)∩B=() A.? B.{2} C.{4} D.{2,3,4} 2. (5 分)若复数 A.﹣2 是纯虚数(i

是虚数单位,b 是实数) ,则 b=() B. ﹣ C. D.2

3. (5 分)执行下面的程序框图,那么输出的 S 等于()

A.42

B.56

C.72

D.90

4. (5 分)设 a=log3 A.c>b>a

,b=ln2,c=5 B.b>a>c
n *

,则() C.a>c>b D.a>b>c

5. (5 分)已知(1+x) (n∈N )的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等,则这两项的 二项式系数为() A.36 B.45 C.55 D.120 6. (5 分)已知{an}为等差数列且公差 d≠0,其首项 a1=20,且 a3,a7,a9 成等比数列,Sn 为{an} * 的前 n 项和,n∈N ,则 S10 的值为() A.﹣110 B.﹣90 C.90 D.110 7. (5 分)某抛物线的通径与圆 x +y ﹣4x+2y﹣11=0 的半径相等,则该抛物线的焦点到其准 线的距离为()
2 2

A.2

B. 4

C. 6

D.8

8. (5 分)某数学教师一个上午有 3 个班级课,每班一节.如果上午只能排 4 节课,并且不能 连上 3 节课,则这位教师上午的课表有()种可能的排法. A.6 B. 8 C.12 D.16 9. (5 分)函数 f(x)=Asin(?x+φ) (A>0,?>0)的一个最高点坐标为(2,2) ,相邻的 对称轴与对称中心之间的距离为 2,则 f=() A.1 B. C . ﹣1 D.

10. (5 分)偶函数 f(x)=loga|x+b|在(﹣∞,0)上单调递减,则 f(a+1)与 f(2﹣b)的大 小关系是() A.f(a+1)>f(2﹣b) B. f(a+1)=f(2﹣b) C. f(a+1)<f(2﹣b) D.不能确定

11. (5 分)F 为双曲线 满足 OF=OP= A.



=1 的右焦点,点 P 在双曲线右支上,△ POF(O 为坐标原点)

PF=2,则双曲线的离心率为() B. 2 C. D. +1
x

12. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x)+1,且 x∈[0,1]时,f(x)=4 ,x∈ (1,2)时,f(x)= 点个数为() A.6 ,令 g(x)=2f(x)﹣x﹣4,x∈[﹣6,2],则函数 g(x)的零

B. 7

C. 8

D.9

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. (5 分)边长为 2 的正方形 ABCD,对角线的交点为 E,则( + )? =.

14. (5 分)如图是一个空间几何体的三视图(俯视图外框为正方形) ,则这个几何体的表面积 为.

15. (5 分) 甲乙两位同学约定早上 7 点至 12 点之间在某地会面, 先到者等一个小时后即离去. 设 两人在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响,则二人能会面的概率为. 16. (5 分)棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 M,N,P 分别为 AB1,BC1,DD1 的中点,给出下列结论: ①MN⊥AA1 ②直线 C1M 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ③MN⊥BP ④四面体 B﹣DA1C1 的体积为 则正确结论的序号为.

三、解答题 17. (12 分)已知 f(x)= sin2x+2cos x,△ ABC 的三边 a,b,c 对应的角分别为 A,B,C, 其中 f(A)=2. (1)求角 A 的大小; (2)当 a=2 时,求△ ABC 面积的最大值. 18. (12 分)全国学生的体质健康调研最新数据表明,我国小学生近视眼发病率为 22.78%, 初中生为 55.22%, 高中生为 70.34%. . 影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素. 主 要原因是环境因素,学生长时期近距离的用眼状态,加上不注意用眼卫生、不合理的作息时 间安排很容易引起近视.除了学习,学生平时日常爱看电视、上网、玩电子游戏,不喜欢参 加户外体育活动都是造成近视情况日益严重的原因.为了解情况现从哈市某中学随机抽取 18 名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点的前一位数 字为茎,小数点后的一位数字为叶)如图: (1)求这 18 名学生视力的平均数(精确到 0.1)和中位数; (2)若视力测试结果不低于 5.0,则称为“正常视力”, ①求校医从这 18 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“正常视力”的概率; ②以这 18 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选 3 人,记 ξ 表示抽到“正常视力”学生的人数,求 ξ 的分布列及数学期望.
2

19. (12 分)如图:四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,平面 PCD⊥底 面 ABCD,且 PC=PD=a. (1)求证:PD⊥BC; (2)若二面角 A﹣PC﹣B 的大小为 ,求 a 的值.

20. (12 分)已知椭圆

+y =1, (a>1) ,过点 A(﹣a,0)斜率为 k(k>0)的直线交椭圆

2

于点 B.直线 BO(O 为坐标原点)交椭圆于另一点 C. (1)当 a=2 时是否存在 k 使得|AC|=|BC|? (2)若 k∈[ ,1],求△ ABC 的面积的最大值.

21. (12 分)已知函数 f(x)=aln(1+x)﹣aln(1﹣x)﹣x﹣ (1)当 0<x<1 时,f(x)<0,求实数 a 的取值范围; (2)证明: ln2+ ln +…+(n+ )ln <n+ ? (n∈N ) .
*



四、 选做题: 请考生在 22, 23, 24 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 作 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.请考生在第 22、23、24 题中任选 一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (10 分)如图,AD 是△ ABC 的高,AE 是△ ABC 的外接圆的直径,过点 A 作圆的切线交 BC 的延长线于点 F. (1)求证:△ ABE∽△ADC; (2)若 BD=4CD=4CF=8,求△ ABC 的外接圆的半径.

23.直角坐标系中曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数) .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)经过点 M(2,1)作直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,若 M 恰好为线段 AB 的三等分点, 求直线 l 的斜率. 24.已知 a>1,b>1,c>1,且 ab=10. (1)求 lga?lgb 的最大值; (2)求证:logac+logbc≥4lgc.

东北三省四市教研联合体 2015 届高考数学三模试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4},A={1,4},B={2,4},则(?UA)∩B=() A.? B.{2} C.{4} D.{2,3,4} 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 计算题;集合. 直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案. 解:由 U={1,2,3,4},集合 A={1,4},

∴?UA={2,3},又 B={2,4}, ∴(?UA)∩B={2,3}∩{2,4}={2}. 故选 B. 点评: 本题考查了交、并、补集的混合运算,是基础的会考题型.

2. (5 分)若复数 A.﹣2

是纯虚数(i 是虚数单位,b 是实数) ,则 b=() B. ﹣ C. D.2

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的除法运算法则化简复数为 a+bi 的形式,利用复数是纯虚数求解 m 即可. 解答: 解:复数 复数 = = ,

为纯虚数,可得 2+b=0,

解得 b=﹣2. 故选:A. 点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,考查计算能力. 3. (5 分)执行下面的程序框图,那么输出的 S 等于()

A.42

B.56

C.72

D.90

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图, 依次写出每次循环得到的 S, K 的值, 当 K=9 时不满足条件 K≤8, 退出循环,输出 S 的值为 72. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 K=1,S=0 满足条件 K≤8,S=2,K=2 满足条件 K≤8,S=6,K=3 满足条件 K≤8,S=12,K=4 满足条件 K≤8,S=20,K=5 满足条件 K≤8,S=30,K=6 满足条件 K≤8,S=42,K=7 满足条件 K≤8,S=56,K=8 满足条件 K≤8,S=72,K=9 不满足条件 K≤8,退出循环,输出 S 的值为 72. 故选:C. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的 S,K 的值是解 题的关键,属于基础题.

4. (5 分)设 a=log3 A.c>b>a

,b=ln2,c=5 B.b>a>c

,则() C.a>c>b D.a>b>c

考点: 对数值大小的比较.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 比较和 的关系即可得到答案.

解答: 解:a=log3

= ,b=ln2>ln

= ,c=5

=

< ,

所以 b>a>c, 故选:B. 点评: 本题考查了数的大小比较,属于基础题. 5. (5 分)已知(1+x) (n∈N )的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等,则这两项的 二项式系数为() A.36 B.45 C.55 D.120 考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 分析: 直接利用二项式定理的形式的性质,列出方程求解即可. 解答: 解: (1+x) (n∈N )的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等, 可得 解得 n=9. 这两项的二项式系数为: =36. ,
n * n *

故选:A. 点评: 本题考查二项式定理的应用,考查计算能力. 6. (5 分)已知{an}为等差数列且公差 d≠0,其首项 a1=20,且 a3,a7,a9 成等比数列,Sn 为{an} * 的前 n 项和,n∈N ,则 S10 的值为() A.﹣110 B.﹣90 C.90 D.110 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的性质建立条件关系,求出等差数列的公差,即可得到结论. 解答: 解:由 a3,a7,a9 成等比数列, 2 则 a3a9=(a7) , 2 即(a1+2d) (a1+8d)=(a1+6d) , 2 化简可得 2a1d+20d =0, 由 a1=20,d≠0,解得 d=﹣2. 则 S10=10a1+ ×(﹣2)=110,

故选 D. 点评: 本题主要考查等差数列的性质和等差数列的求和,根据等比数列的性质求出等差数 列的公差是解决本题的关键.

7. (5 分)某抛物线的通径与圆 x +y ﹣4x+2y﹣11=0 的半径相等,则该抛物线的焦点到其准 线的距离为() A.2 B. 4 C. 6 D.8 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定圆的半径,可得抛物线的通径,即可求出抛物线的焦点到其准线的距离. 解答: 解:圆 x +y ﹣4x+2y﹣11=0 可化为(x﹣2) +(y+1) =16,半径为 4, 所以抛物线的通径为 4,即 2p=4, 所以 p=2, 所以该抛物线的焦点到其准线的距离为 2, 故选:A. 点评: 本题考查抛物线的焦点到其准线的距离,考查圆的方程,求出圆的半径是关键. 8. (5 分)某数学教师一个上午有 3 个班级课,每班一节.如果上午只能排 4 节课,并且不能 连上 3 节课,则这位教师上午的课表有()种可能的排法. A.6 B. 8 C.12 D.16 考点: 专题: 分析: 解答: 排列、组合及简单计数问题. 排列组合. 列举出教师上课的节次,然后给班级排序可得. 解:由题意该教师的 3 节课的节次为一、二、四或一、三、四, =12 种方法,
2 2 2 2

2

2

给班级顺序全排列可得 2

故选:C 点评: 本题考查排列组合及简单计数问题,属基础题. 9. (5 分)函数 f(x)=Asin(?x+φ) (A>0,?>0)的一个最高点坐标为(2,2) ,相邻的 对称轴与对称中心之间的距离为 2,则 f=() A.1 B. C . ﹣1 D.

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 依题意得 A=2, T=8, ω= , 又图象的一个最高点为 (2, 2) , 由 2× +φ=2kπ+ (k∈Z) ,

可求得:φ=2kπ(k∈Z) ,于是可得其解析式即可得解. 解答: 解:依题意得 A=2,T=8,ω= ∴2sin(2× +φ)=2, , =2sin( )=﹣2sin =﹣ . +φ=2kπ+ ,又图象的一个最高点为(2,2) ,

(k∈Z) ,解得:φ=2kπ(k∈Z) ,

∴f(x)=2sin ∴f=2sin

故选:D. 点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,着重考查正弦函数的单调性 与闭区间上的最值,考查运算求解能力,属于中档题. 10. (5 分)偶函数 f(x)=loga|x+b|在(﹣∞,0)上单调递减,则 f(a+1)与 f(2﹣b)的大 小关系是() A.f(a+1)>f(2﹣b) B. f(a+1)=f(2﹣b) C. f(a+1)<f(2﹣b) D.不能确定 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件利用函数的奇偶性的性质、函数的单调性的性质,判断函数的奇偶性和单调 性. 解答: 解:根据函数 f(x)=loga|x+b|为偶函数,可得 f(﹣x)=fx) ,即 loga|﹣x+b|=loga|x+b|, b=0,故 f(x)=loga|x|. 再根据 f(x)=loga|x|在(﹣∞,0)上单调递减,可得 a>1,∴(a+1)>2﹣b=2. 由偶函数的性质可得 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,∴f(a+1)>f(2﹣b) , 故选:A. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用,属于基础题.

11. (5 分)F 为双曲线 满足 OF=OP= A.



=1 的右焦点,点 P 在双曲线右支上,△ POF(O 为坐标原点)

PF=2,则双曲线的离心率为() B. 2 C. D. +1

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 运用余弦定理可得 cos∠OFP,求得 sin∠OFP,求得 P 的坐标,代入双曲线方程,结 合 a,b,c 的关系,求得 a,再由离心率公式,计算即可得到. 解答: 解:由余弦定理可得 cos∠OFP= 则 sin∠OFP= = , = ,

可设 P 为第一象限的点, 即有 P( ﹣2cos∠OFP,2sin∠OFP) , 即为 P( , ) ,

代入双曲线方程,可得 ﹣
2 2

=1,

又 a +b =5,

解得 a=1,b=2, 则离心率为 e= = .

故选:C. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,同时考查余弦定 理和任意角的三角函数的定义,考查运算能力,属于中档题. 12. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x)+1,且 x∈[0,1]时,f(x)=4 ,x∈ (1,2)时,f(x)= 点个数为() A.6 ,令 g(x)=2f(x)﹣x﹣4,x∈[﹣6,2],则函数 g(x)的零
x

B. 7

C. 8

D.9

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 由 x∈[0,1]时,f(x)=4 ,可得 f(1)=4,x∈(1,2)时,f(x)=
x

= ,而

由函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x)+1,即自变量 x 每增加 2 个单位,函数图象向上平移 1 个 单位,自变量每减少 2 个单位,函数图象向下平移 1 个单位,画出函数图象,结合函数的图象 可求 解答: 解:∵x∈[0,1]时,f(x)=4 , ∴f(1)=4 ∴x∈(1,2)时,f(x)= = ,
x

∵g(x)=2f(x)﹣x﹣4,x∈[﹣6,2], 令 g(x)=2f(x)﹣x﹣4=0, 即 f(x)= x+2 ∵函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x)+1,即自变量 x 每增加 2 个单位,函数图象向上平移 1 个 单位,自变量每减少 2 个单位,函数图象向下平移 1 个单位, 分别画出函数 y=f(x)在 x∈[﹣6,2],y= x+2 的图象, ∴y=f(x)在 x∈[﹣6,2],y= x+2 有 8 个交点, 故函数 g(x)的零点个数为 8 个.

故选:C 点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质,利用转化思想,将函数的零点个数问 题,转化为函数图象交点个数问题,是解答本题的关键 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. (5 分)边长为 2 的正方形 ABCD,对角线的交点为 E,则( + )? =6.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意画出图形,求得 解答: 解:如图, ,然后展开数量积公式得答案.

∵正方形 ABCD 的边长为 2,∴ 则( + )? = =

, = .

故答案为:6. 点评: 本题考查了平面向量的数量积运算,是基础的计算题. 14. (5 分)如图是一个空间几何体的三视图(俯视图外框为正方形) ,则这个几何体的表面积 为 80+4π.

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 空间位置关系与距离. 空间几何体正四棱住内挖空了一个圆柱,利用底面边长高求解即可. 解:空间几何体正四棱住内挖空了一个圆柱,

底面边长为 4,高为 3 的长方体, 圆柱的底面半径为 1, 这个几何体的表面积为 2×4×4﹣2π×1 +4×4×3+2π×1×3=32﹣2π+48+6π=80+4π 故答案为:80+4π 点评: 本题考查了空间组合体的三视图,直观图的性质,空间想象能力,计算能力,属于 中档题. 15. (5 分) 甲乙两位同学约定早上 7 点至 12 点之间在某地会面, 先到者等一个小时后即离去. 设 两人在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响,则二人能会面的概率为 .
2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的所有事件对应的集合是 Ω={(x,y) |0<x<5,0<y<5}做出集合对应的面积是边长为 5 的正方形的面积,写出满足条件的事件对 应的集合和面积,根据面积之比得到概率

解答: 解:由题意知本题是一个几何概型, ∵试验发生包含的所有事件对应的集合是 Ω={(x,y)|0<x<5,0<y<5} 集合对应的面积是边长为 5 的正方形的面积 s=25, 而满足条件的事件对应的集合是 A═{(x,y)|0<x<5,0<y<5,|x﹣y|≤1} 得到 sA=9 ∴两人能够会面的概率是 故答案为: . ;

点评: 本题考查了几何概型;解答本题的难点是把时间分别用 x,y 坐标来表示,从而把时 间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题,转化成面积型的几何概型问题. 16. (5 分)棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 M,N,P 分别为 AB1,BC1,DD1 的中点,给出下列结论: ①MN⊥AA1 ②直线 C1M 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ③MN⊥BP ④四面体 B﹣DA1C1 的体积为 则正确结论的序号为①②③④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 如图所示,建立空间直角坐标系.A(1,0,0) ,A1(1,0,1) ,M N ①只要计算 ,C1(0,1,1) ,B(1,1,0) ,P =0 是否成立,即可判断出正误; . ,

②取平面 ABCD 的法向量 =(0,0,1) ,设直线 C1M 与平面 ABCD 所成角为 θ,利用 sinθ= = ,即可判断出正误;

③只要计算 ④ =

=0 是否成立,即可判断出正误; ﹣4× ,即可判断出正误.

解答: 解:如图所示,建立空间直角坐标系. A(1,0,0) ,A1(1,0,1) ,M 1,0) ,P ① = . , =(0,0,1) ,∴ =0,∴ ,∴MN⊥AA1, ,N ,C1(0,1,1) ,B(1,

正确; ② = , 取平面 ABCD 的法向量 = (0, 0, 1) , 设直线 C1M 与平面 ABCD

所成角为 θ,

则 sinθ=

=

=

=

,正确;

③ ④

= =

,∴ ﹣4×

= =

=0,∴

,∴MN⊥BP,正确; = ,因此正确.

综上可得:①②③④都正确. 故答案为:①②③④.

点评: 本题考查了利用向量垂直与数量积的关系、线面角的计算公式、三棱锥的体积计算 公式,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题 17. (12 分)已知 f(x)= 其中 f(A)=2. (1)求角 A 的大小;

sin2x+2cos x,△ ABC 的三边 a,b,c 对应的角分别为 A,B,C,

2

(2)当 a=2 时,求△ ABC 面积的最大值. 考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)先对 f(A)利用辅助角公式进行化简,结合已知可得 2sin(2A+ A 的范围可求 (2)由余弦定理可得,cosA= 求△ ABC 面积的最大值 解答: 解: (1)∵f(x)= 2 ∴f(A)= sin2A+2cos A= ∴2sin(2A+ ∴sin(2A+ )=1, )= …(3 分) , …(4 分) , sin2x+2cos x, =2…(1 分) ,
2

)=1,结合

,然后利用基本不等式可求 bc 的范围,进而可

又∵0<A<π,∴ ∴ ∴A= ,…(5 分) , …(6 分) ,

(2)∵cosA=
2 2



∴b +c =bc+4…(8 分) , 2 2 又 b +c =bc+4≥2bc(当且仅当 b=c=2 时取等号)…(9 分) , ∴△ABC 面积 = …(10 分) ,

所以△ ABC 面积的最大值为 …(12 分) . 点评: 本题主要考查了三角函数的求值,解题的关键是对三角公式的灵活应用. 18. (12 分)全国学生的体质健康调研最新数据表明,我国小学生近视眼发病率为 22.78%, 初中生为 55.22%, 高中生为 70.34%. . 影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素. 主 要原因是环境因素,学生长时期近距离的用眼状态,加上不注意用眼卫生、不合理的作息时 间安排很容易引起近视.除了学习,学生平时日常爱看电视、上网、玩电子游戏,不喜欢参 加户外体育活动都是造成近视情况日益严重的原因.为了解情况现从哈市某中学随机抽取 18 名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点的前一位数 字为茎,小数点后的一位数字为叶)如图: (1)求这 18 名学生视力的平均数(精确到 0.1)和中位数; (2)若视力测试结果不低于 5.0,则称为“正常视力”, ①求校医从这 18 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“正常视力”的概率;

②以这 18 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选 3 人,记 ξ 表示抽到“正常视力”学生的人数,求 ξ 的分布列及数学期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)根据所给的茎叶图看出 18 个数据,可得平均数和中位数; (2)①由题意知本题是一个古典概型,至多有 1 人是“好视力”包括有一个人是好视力和有零 个人是好视力,根据古典概型公式得到结果. ②由题可知 ξ~B(3, ) ,结合变量对应的事件,算出概率,写出分布列和期望. 解答: 解: (1)由茎叶图这 18 名学生视力的平均数为 ≈4.7;…(2 分) 中位数为 4.65…(4 分) (2)①“正常视力”人数为 4 人,设事件 A 为至多 1 人是“正常视力”, 则 P(A)= = ,

故在 18 人中随机抽 3 人,至多 1 人为“正常视力”的概率为 ②由题可知 ξ~B(3, ) ,故 P(ξ=k)= ξ 的分布列为: ξ 0 1 P …(10 分) E(ξ)=3× = …(12 分)

.…(6 分) (k=0,1,2,3) ,…(8 分)

2

3

点评: 本题考查茎叶图和离散型随机变量的概率.确定变量的取值,正确求概率是关键.属 中档题. 19. (12 分)如图:四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,平面 PCD⊥底 面 ABCD,且 PC=PD=a. (1)求证:PD⊥BC; (2)若二面角 A﹣PC﹣B 的大小为 ,求 a 的值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)通过面面垂直的性质定理可得 BC⊥CD,利用线面垂直的判定定理即得结论; (2)取 CD 的中点为 O,连接 OP,以 D 为原点建立空间坐标系,通过平面 PBC 的法向量与 平面 PAC 的法向量的夹角的余弦值为 ,计算即可.

解答: (1)证明:∵平面 PCD⊥平面 ABCD,平面 PCD∩平面 ABCD=CD,∴BC⊥CD, 又∵BC?平面 ABCD,∴BC⊥平面 PCD, ∵PD?平面 ABCD,∴PD⊥BC; (2)解:取 CD 的中点为 O,连接 OP, ∵平面 PCD⊥平面 ABCD,平面 PCD∩平面 ABCD=CD,PO?平面 PCD, ∴PO⊥CD,∴PO⊥平面 ABCD, 以 D 为原点、射线 DA 方向为 x 轴、射线 DC 方向为 y 轴、平行于 PO 的方向为 z 轴建立空间 坐标系, 设 PO=h,则 A(2,0,0) ,P(0,1, h) ,C(0,2,0) ,B(2,2,0) , ∴平面 PBC 的法向量为(0,h,1) ,平面 PAC 的法向量为(h,h,1) , ∴ = ,解得 h= ,

∴a=

=



点评: 本题考查空间中线线垂直的判定,考查二面角的大小,注意解题方法的积累,属于 中档题.

20. (12 分)已知椭圆

+y =1, (a>1) ,过点 A(﹣a,0)斜率为 k(k>0)的直线交椭圆

2

于点 B.直线 BO(O 为坐标原点)交椭圆于另一点 C. (1)当 a=2 时是否存在 k 使得|AC|=|BC|? (2)若 k∈[ ,1],求△ ABC 的面积的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设直线 AB 的方程为 x+a=my(m= ) ,代入椭圆方程,运用中点坐标公式可得 P 的坐标,再由两直线垂直的条件,可得 m,进而得到 k 的值; (2)求出△ ABC 的面积,化简整理,再令 f(m)=m+ 到最大值,注意讨论 a 的范围. 解答: 解: (1)设直线 AB 的方程为 x+a=my(m= ) , 代入椭圆方程得(m +a )y ﹣2may=0 2 2 将 a=2 代入得(m +4)y ﹣4my=0, 则 AB 的中点坐标为 P(﹣ , ) ,
2 2 2

,求出导数,判断单调性,即可得

B(



) ,C(﹣

,﹣

) ,



=﹣ =﹣m,解得 m=



所以存在 k=

,使得|AC|=|BC|;

(2)由(1)得 B(



) ,C(﹣

,﹣

) ,

△ ABC 的面积 S= a?

=



令 f(m)=m+

,f′(m)=1﹣

=

(1≤m≤2)

当 a≥2 时,f′(m)≤0,f(m)=m+

,在[1,2]上单调递减, ,

所以当 m=2 时,△ ABC 的面积的最大值为

当 1<a<2 时,f(m)=m+

在[1,a]上单调递减,在[a,2]上单调递增,

所以当 m=a 时,△ ABC 的面积的最大值为 a. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆方程的运用,联立直线方程,运用中点 坐标公式,以及直线垂直的条件,同时考查三角形的面积的最值,注意运用函数的导数判断单 调性,属于中档题.

21. (12 分)已知函数 f(x)=aln(1+x)﹣aln(1﹣x)﹣x﹣ (1)当 0<x<1 时,f(x)<0,求实数 a 的取值范围; (2)证明: ln2+ ln +…+(n+ )ln <n+ ? (n∈N ) .
*



考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;不等式的证明. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数,利用判别式分类讨论,结合函数的单调性,即可求实数 a 的取值范围; (2)先确定 ln ﹣ < ,裂项累加可得结论.

解答: (1)解:f′(x)=

,…(1 分)

依题知 f(0)=0,故 f′(x)≤0,则 a≤ .…(2 分) 令 g(x)=﹣2x +(3﹣6a)x+6a﹣3,x∈(0,1],△ =(6a﹣3) (6a+5) ①﹣ 意.…(4 分) ②a<﹣ ,△ >0,而 g(x)对称轴 x= >2,故 g(x)在(0,1)单调递增且 g(1) ,△ ≤0,此时 g(x)≤0,故 f′(x)≤0,而 f(0)=0,所以﹣ 符合题
2

=﹣2,则 g(x)<0,故 f′(x)≤0,而 f(0)=0,所以 a<﹣ 符合题意.…(6 分) 综上,a≤ .…(7 分) (2)证明:由(1)知,当 a= ,0<x<1 时,f(x)<0,

即 ln

﹣x<

.…(8 分)

令 x=

(n∈N ) ,则 ln

*





, (10 分)

裂项累加(n+ )ln

﹣1<

( ﹣ <n+

) ? . (12 分)

所以 ln2+ ln +…+(n+ )ln

点评: 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,正确运用 导数的关键. 四、 选做题: 请考生在 22, 23, 24 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 作 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.请考生在第 22、23、24 题中任选 一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (10 分)如图,AD 是△ ABC 的高,AE 是△ ABC 的外接圆的直径,过点 A 作圆的切线交 BC 的延长线于点 F. (1)求证:△ ABE∽△ADC; (2)若 BD=4CD=4CF=8,求△ ABC 的外接圆的半径.

考点: 相似三角形的判定. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: (1)证明三角形中两对对应角相等,即可证明结论; (2)利用切割线定理,结合三角形相似的性质,即可求△ ABC 的外接圆的半径. 解答: (1)证明:∵AE 是直径,∴ 又∵∠AEB=∠ACD…(2 分) ∴△ABE∽△ADC…(4 分) (2)解:∵过点 A 作圆的切线交 BC 的延长线于点 F, ∴AF =FC?FB ∴FA=2 ,…(5 分) ∴AD=2 …(7 分) ∴AC=2 …(8 分) ∴AB=6 ,…(9 分) 由(1)得 ∴AE=6 ∴△ABC 的外接圆的半径为 3
2

…(1 分)

.…(10 分)

点评: 本题考查三角形相似的判定与性质,考查切割线定理,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题.

23.直角坐标系中曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数) .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)经过点 M(2,1)作直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,若 M 恰好为线段 AB 的三等分点, 求直线 l 的斜率. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程.

分析: (1) 变形曲线 C 的参数方程可得

, 由同角三角函数基本关系消参数可得;

(2)设直线 l 的倾斜角为 θ,可得直线 l 的参数方程为

,代入曲线 C 的直角坐

标方程可得 t 的二次方程,由韦达定理和 t1=﹣2t2 可得斜率 k 的方程,解方程可得.

解答: 解: (1)变形曲线 C 的参数方程可得
2 2



∵cos θ+sin θ=1, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 (2)设直线 l 的倾斜角为 θ, 可得直线 l 的参数方程为 (t 为参数)
2 2 2

+

=1;

代入曲线 C 的直角坐标方程并整理得(cos θ+4sin θ)t +(4cosθ+8sinθ)t﹣8=0 由韦达定理可得 t1+t2=
2

,t1t2=
2

由题意可知 t1=﹣2t2,代入上式得 12sin θ+16sinθcosθ+3cos θ=0, 即 12k +16k+3=0,解方程可得直线的斜率为 k= 点评: 本题考查参数方程和普通方程的关系,涉及三角函数的韦达定理,属中档题. 24.已知 a>1,b>1,c>1,且 ab=10. (1)求 lga?lgb 的最大值; (2)求证:logac+logbc≥4lgc. 考点: 不等式的证明;基本不等式. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
2

分析: (1)运用对数的运算法则和基本不等式,即可得到最大值; (2)运用分析法证明,结合对数的换底公式和基本不等式,即可得证. 解答: (1)解:由题意可知 lgab=lg10=1,lga>0,lgb>0, 即 lga+lgb=1≥2 , 时取等号, 当且仅当 lga=lgb= 即 a=b= 即有 lga?lgb 的最大值为 ; (2)证明:要证:logac+logbc≥4lgc, 即证: + ≥4lgc,

由于 a>1,b>1,c>1 则 lga,lgb,lgc 都大于 0, 即证:lga+lgb≥4lga?lgb, 已知 ab=10 则 lga+lgb=1, 即证:1≥4lga?lgb, 由(1)知成立,所以原不等式成立. 点评: 本题考查基本不等式的运用:求最值和证明不等式,同时考查对数的运算性质,分 析法证明不等式的方法,属于中档题.


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