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陕西省渭南市澄城县寺前中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)


陕西省渭南市澄城县寺前中学 2015 届高三上学期第二次 月考数学试卷(文科)
一.选择题 2 1.设集合 A={﹣2,0,2,4},B={x|x ﹣2x﹣3<0},则 A∩B=( A.{0} B.{2} C.{0,2}

) D.{0,2,4}

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出

A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 B 中的不等式变形得: (x﹣3) (x+1)<0,[来源:学科网] 解得:﹣1<x<3,即 B=(﹣1,3) , ∵A={﹣2,0,2,4}, ∴A∩B={0,2}. 故选:C. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.设 f(x)是周期为 4 的奇函数,当 0≤x≤2 时,f(x)=x(2﹣x) ,则 f(﹣5)等于( A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣3 考点:函数的周期性;函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用.[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 分析:根据函数的奇偶性和周期性即可进行求值. 解答: 解:当 0≤x≤2 时,f(x)=x(2﹣x) , ∴f(1)=1×(2﹣1)=1 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数, ∴f(﹣5)=﹣f(5)=﹣f(2×2+1)=﹣f(1)=﹣1. 故选 B. 点评:本题主要考查函数奇偶性和周期的应用,综合考查函数性质的综合应用. 3.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是( A.2 B. C.2sin1 D.sin2 ) )

考点:弧长公式. 专题:计算题. 分析:解直角三角形 AOC,求出半径 AO,代入弧长公式求出弧长的值. 解答: 解:如图:∠AOB=2,过点 0 作 OC⊥AB,C 为垂足,并延长 OC 交 于 D,

∠AOD=∠BOD=1,AC= AB=1, Rt△ AOC 中,AO= 从而弧长为 α?r= 故选 B. , = ,

点评: 本题考查弧长公式的应用, 解直角三角形求出扇形的半径 AO 的值, 是解决问题的关键. [来源:学科网] 4.“ A.充分不必要条件 C.充分条件 ”是“ tanx=1”成立的( )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;正切函数的值域. 专题:简易逻辑. 分析: 得出 件;举反例 解答: 解: 如 x= ,不满足“ 推出“ ,“ ”是“tanx=1”成立的充分条 ”是“tanx=1”成立的不必要条件. , 所以充分; 反之, 若 tanx=1, 则 x=kπ+ (k∈Z) , ”,故“ ”是“tanx=1”的充分不

必要条件. 故选:A. 点评:本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断.充分条件与必要条件是中学数 学最重要的数学概念之一,要理解好其中的概念. 5.已知命题 p:“?x∈[1,2],x ﹣a≥0”,命题 q:“?x∈R,x +2ax+2﹣a=0”.若命题 “p 且 q” 是真命题,则实数 a 的取值范围为( ) A.﹣2≤a≤1 B.a≤﹣2 或 1≤a≤2 C.a≥1 D.a≤﹣2 或 a=1 考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑.
2 2

分析:根据二次函数的最小值,一元二次方程有解时判别式△ 的取值情况求出命题 p,q 下 a 的取值范围,而根据 p 且 q 是真命题知道 p,q 都为真命题,所以求出前面求得的 a 的取值范 围的交集即可. 2 解答: 解:?x∈[1,2],x ﹣a≥0; 2 即?x∈[1,2],a≤x ; 2 x 在[1,2]上的最小值为 1; ∴a≤1; 即命题 p:a≤1; 2 ?x∈R,x +2ax+2﹣a=0; 2 ∴方程 x +2ax+2﹣a=0 有解; 2 ∴△=4a ﹣4(2﹣a)≥0,解得:a≤﹣2,或 a≥1; 即命题 q:a≤﹣2,或 a≥1; 若“p 且 q”是真命题,则 p,q 都为真命题; ∴ ;

∴a≤﹣2,或 a=1. 故选 D. 点评:考查根据二次函数的单调性求最小值,以及一元二次方程有解时判别式△ 的取值情况, p 且 q 的真假和 p,q 真假的关系,并注意符号“?”,“?”所表达的意思. 6.已知函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值 10,则 f(2)等于( A.11 或 18 B.11 C.18 D.17 或 18 考点:函数在某点取得极值的条件. 专题:计算题. 分析:根据函数在 x=1 处有极值时说明函数在 x=1 处的导数为 0,又因为 f′(x)=3x +2ax+b, 所以得到:f′(1)=3+2a+b=0,又因为 f(1)=10,所 以可求出 a 与 b 的值确定解析式,最终 将 x=2 代入求出答案. 2 解答: 解:f′(x)=3x +2ax+b, ∴
2 2 3 2 2

)



①当 ②当 ∴x∈( ∴

时,f′(x)=3(x﹣1) ≥0,∴在 x=1 处不存在极值; 时,f′(x)=3x +8x﹣11=(3x+11) (x﹣1) ,1) ,f′(x)<0,x∈(1,+∞) ,f′(x)>0,符合题意. ,∴f(2)=8+16﹣22+16=18.
2

故选 C. 点评: 本题主要考查导数为 0 时取到函数的极值的问题, 这里多注意联立方程组求未知数的思 想, 本题要注意 f ( ′ x0) =0 是 x=x0 是极值点的必要不充分条件, 因此对于解得的结果要检验. [来 源:学科网 ZXXK]

7.下列函数中,在定义域内是减函数的是( A. B. C.

) D.f(x)=tanx

考点:函数单调性的判断与证明. 专题:常规题型. 分析:常见函数单调性的判断,采用排除法即可. 解答: 解: A D 两选项里的函数图象在定义域内是不连续的,因此不能说在定义域内具有什 么样的单调性,故排除. B 选项该函数是幂函数,它的图象在定义域内是单调递增的,故排除. 故选 C. 点评:做这类题应该掌握住常用函数的图象及性质.

8.函数 y=ln(x+1)与 y= 的图象交点的横坐标所在区间为( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3)

)

D. (3,4)

考点:函数零点的判定定理. 专题:转化思想;函数的性质及应用. 分析:该问题可转化为方程 ln(x+1)= 的解的问题,进一步可转化为函数 f(x)=ln(x+1) ﹣ 的零点问题. 解答: 解:令 f(x)=ln(x+1)﹣ , ∵f(2)=ln3﹣ 0,f(1)=ln2﹣1<lne﹣1=0,

又函数 f(x)在(1,2)上的图象是一条连续不断的曲线, ∴函数 f(x)在区间(1,2)内有零点,即 ln(x+1)= 有解, 此解即为函数 y=ln(x+1)与 y= 的图象交点的横坐标. 故选:B. 点评:本题考查函数零点的存在问题,本题中函数 y=ln(x+1)与 y= 的图象交点的横坐标, 可转化为函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点.注意函数与方程思想、转化与化归思想的运用.

9.已知曲线 A.3 B.2

的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( C.1 D.

)

[来源:学科网 ZXXK]

考点:导数的几何意义. 分析:根据斜率,对已知函数求导,解出横坐标,要注意自变量的取值区间. 解答: 解:设切点的横坐标为(x0,y0) ∵曲线 的一条切线的斜率为 ,

∴y′=



= ,解得 x0=3 或 x0=﹣2(舍去,不 符合题意) ,即切点的横坐标为 3

故选 A. 点评:考查导数的几何意义,属于基础题,对于一个给定的函数来说,要考虑它的定义域.比 如,该题的定义域为{x>0}. 10.函数 f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

考点:函数的图象. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:函数是偶函数,图象关于 y 轴对称,x>0 时,单调递减;x<0 时,单调递增,且图象 过(1,1) 、 (﹣1,1) ,由此得出结论. 解答: 解:由于函数 f(x)=loga|x|+1(0<a<1)是偶函数,图象关于 y 轴对称. 当 x>0 时,f(x)=loga x+1,是减函数. 当 x<0 时,f(x)=loga (﹣x )+1,是增函数. 再由图象过(1,1) 、 (﹣1,1)可得,应选 A, 故选 A. 点评:本题主要考查函数的图象特征,函数的奇偶性的应用,属于基础题. 11.已知命题 p:?x∈R,sin(π﹣x)=sinx;命题 q:α,β 均是第一象限的角,且 α>β,则 sinα>sinβ.下列命题是真命题的是( ) A.p∧¬q B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧q 考点:全称命题;复合命题的真假. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:我们先判断命题 p:?x∈R,sin(π﹣x)=sinx 与命题 q:α,β 均是第一象限的角,且 α >β,则 sinα>sinβ 的真假,进而根据复合命题的真值表,易判断四个结论的真假,最后得到 结论. 解答: 解:由三角函数的诱导公式知 sin(π﹣x)=sinx,得命题 p:?x∈R,sin(π﹣x)=sinx 为真命题, 又∵取 α=420°,β=60°,α>β,但 sinα>sinβ 不成立,q 为假命题, 故非 p 是假命题,非 q 是真命题; 所以 A:p∧¬q 是真命题,B:¬p∧¬q 是假命题,C:¬p∧q 假命题,D:命题 p∧q 是假命题,

故选 A. 点评: 本题考查的知识点是复合命题的真假, 其中根据三角函数的诱导公式及三角函数的性质, 判断命题 p 与命题 q 的真假是解答的关键. 12.已知 a=log20.3,b=2 ,c=0.3 ,则 a,b,c 三者的大小关系是( A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a
0.3 0.2

)

考点:对数值大小的比较. 专题:计算题. 0.3 0 0.2 0 分析:由 a=log20.3<log21=0,b=2 >2 =1,0<c=0.3 <0.3 =1,知 b>c>a. 解答: 解:∵a=log20.3<log21=0, 0.3 0 b=2 >2 =1, 0.2 0 0<c=0.3 <0.3 =1, ∴b>c>a. 故选 C. 点评:本题考查对数值和指数值大小的比较,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意 函数函数和指数函数性质的应用. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) x x 14.①任取 x∈R 都有 3 >2 ; ﹣x x ②当 a>1 时,任取 x∈R 都有 a >a ; ﹣x ③y=( ) 是增函数; |x| ④y=2 的最小值为 1; ⑤在同一坐标系中,y=x 与 y= 以上说法正确的是④⑤. 考点:命题的真假判断与应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:举出反例 x=0,可判断①②的真假;根据指数函数单调性与底数的关系,可判断③的 真假;根据指数函数的图象和性质,求出 y=2 的最小值,可判断④的真假;根据互为反函数 的两个函数的图象关于 y=x 对称,可判断⑤ x x 解答: 解:当 x=0 时,3 >2 不成立,故①错误; ﹣x x 当 x=0 时,a >a 不成立,故②错误; y=( ) =
|x|
﹣x

3

的图象关于 y=x 对称.

|x|

为减函数,故③错误;

当 x=0 时,y=2 的最小值为 1,故④正确; y=x 与 y=
3

互为反函数,故在同一坐标系中,图象关于 y=x 对称,故⑤正确.

故答案为:④⑤ 点评:本题以命题的真假判断为载体,考查了指数函数的图象和性质,反函数的图象关系,是 函数图象和性质的简单综合考查,难度不大.

15.若

=1,则 f′(x0)等于 .

考点:极限及其运算. 专题:计算题. 分析: 根据极限的定义 一个整体除以 3 再乘以 3 同时当△ x→0 时 3△ x→0 即可得到 可以联想到将 3△ x 看做 即可得解.

解答: 解:∵

=1



∴ ∴ 故答案为: 点评:本题住考查了利用极限的定义求极限值.关键是分母成以 3 分母乘以 然后根 据极限的 定义即可求出 f′(x0) .

16.设 α 是第三象限角,且 tanα=2,则

=﹣



考点:运用诱导公式化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析:原式利用诱导公式变形,约分后计算即可得到结果. 解答: 解:∵α 是第三象限角,且 tanα=2, ∴cosα=﹣ =﹣ ,

原式= 故答案为:﹣

=cosα=﹣



点评:此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

17.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,观察下表:[来源:Z§xx§k.Com]

函数 f(x)在区间[﹣2,2]上的零点至少有 3 个. 考点:函数零点的判定定 理. 专题:应用题. 分析:看区间端点值,只要在区间两端 点处函数值异号,由零点存在性定理即可解决问题. 解答: 解:由题中表得,f(﹣2)<0,f(﹣1)>0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0, 由零点存在性定理可得 f(x)在区间[﹣2,﹣1],[﹣1,0],[1,2]上个有一个零点,故函数 f (x)在区间[﹣2,2]上的 零点至少有 3 个. 故答案为:3. 点评:本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理.是道 基础题.在判断函数在某一 连续区间内有无零点时,先看区间两端点处函数值是否异号,只要异号,就可下结论有零点. 三、解答题(共 65 分) 18.已知 x 是第三象限角,且 cosx﹣sinx (1)求 cosx+sinx 的值; 2 2 (2)求 2sin x﹣sinxcosx+cos x 的值. 考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析: (1)对已知等式等号两边平方求得 2sinxcosx 的值,进而根据配方法求得(cosx+sinx) 2 ,进而 x 的范围确定 cosx+sinx 的值,最后求得 cosx+sinx 的值. 解答: 解: (1) (cosx﹣sinx) =1﹣2sinxcosx= , ∴2sinxcosx= , ∴(cosx+sinx) =1+2sinxcosx= , ∵x 是第三象限, ∴cosx+sinx<0, ∴cosx+sinx=﹣ .
2 2



(2)由(1)得

,求得 cosx=﹣

,sinx=﹣

,[来源:Zxxk.Com]

∴2sin x﹣sinxcosx+cos x=2× ﹣

2

2

×

+ = .

点评:本题主 要考查了同角三角函数基本关系的应用.解题过程中特别注意三角函数的符号.

[来源:学科网] 19.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 x≥0 时, (Ⅰ)求 f(﹣1)的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的值域 A; (Ⅲ)设函数 范围. 考点:偶函数;集合的包含关系判断及应用;函数的值域;函数的值. 专题:计算题. 分析: (I)根据函数是偶函数,把﹣1 转化到给出解析式的范围上,代入解析式可求. (II)因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以 x≥0 时函数值的取值集合就是函数 f(x)的 值域 A,求出 (x≥0)的取值集合即可. 的定义域为集合 B,若 A?B,求实数 a 的取值 .

(III)先写出 x 所要满足的一元二次不等式,因为 A=(0,1]?B, 法一:把不等式分解因式,很容易看出两根,一根为﹣1 又 B 中含有正数,所以另一根一定大 于﹣1 得定义域 B=[﹣1,a],得实数 a 的取值范围; 法二:设为函 数,利用函数图象, (0,1]在图象与 x 轴的两交点之间,图象开中向上,x=0, x=1 时对应的函数小于等于 0,得不等式组,可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: ( I)∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数 ∴f(﹣1)=f(1)[来源:学科网] 又 x≥0 时, ∴ ,即 f(﹣1)= .

(II)由函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 可得函数 f(x)的值域 A 即为 x≥0 时,f(x)的取值范围, 当 x≥0 时, 故函数 f(x)的值域 A=(0,1]. (III)∵ 定义域 B={x|﹣x +(a﹣1)x+a≥0}={x|x ﹣(a﹣1)x﹣a≤0} 2 方法一:由 x ﹣(a﹣1)x﹣a≤0 得(x﹣a) (x+1)≤0 ∵A?B∴B=[﹣1,a],且 a≥1 ∴实数 a 的取值范围是{a|a≥1} 2 方法二:设 h(x)=x ﹣(a﹣1)x﹣a A?B 当且仅当 即
2 2

∴实数 a 的取值范围是{a|a≥1}

点评:本题考查函数的奇偶性,集合包含关系的判断,函数值域,函数的奇偶性在求相反两个 自变量的函数值时很好用, 在求值域上也可只求 y 轴一侧的, 由集合的包含关系求参数范围时, 用端点比较法,结合图象,更好理解. 20.已知定义域为 x∈R|x≠0 的函数 f(x)满足; ①对于 f(x)定义域内的任意实数 x,都有 f(﹣x)+f(x)=0; ②当 x>0 时,f(x)=x ﹣2. (Ⅰ)求 f(x)定义域上的解析式;[来源:学科网] (Ⅱ)解不等式:f(x)<x. 考点:一元二次不等式的解法;函数解析式的求解及常用方法;奇函数. 专题:计算题;分类讨论. 分析: (I)根据条件①变形,得到 f(x)在定义域内是奇函数,设 x 小于 0,得到﹣x 大于 0, 代入②中 f(x)的解析式中化简后即可得到 x 小于 0 时 f(x)的解析式,综上,得到 f(x) 在 x 大于 0 和小于 0 上的分段函数解析式; (II)当 x 大于 0 时和小于 0 时,把(I)得到的相应的解析式代入不等式中,分别求出相应的 解集,然后求出两解集的并集即为原不等式的解集. 解答: 解: (I)∵对于 f(x)定义域内的任意实数 x,都有 f(﹣x)+f(x)=0, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 故 f(x)在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数 ∵当 x>0 时,f(x)=x ﹣2, 设 x<0,所以﹣x>0, ∴f(﹣x)=﹣f(x)=x ﹣2,即 f(x)=2﹣x , 则
2 2 2 2 2



(II)∵当 x>0 时,x ﹣2<x, 化简得(x﹣2) (x+1)<0, 解得:﹣1<x<2, 所以不等式的解集为 0<x<2; 当 x<0 时,2﹣x <x, 化简得: (x﹣1) (x+2)>0, 解得:x>1 或 x<﹣2, 所以不等式的解集为 x<﹣2, 综上,不等式 f(x)<x 的解集为{x|0<x<2 或 x<﹣2}. 点评:此题要求学生掌握奇函数的性质及确定方法,考查了一元二次不等式的解法,考查了分 类讨论的数学思想,是一道中档题. 21.已知函数 f(x)=x ﹣3x ﹣9x+a. (Ⅰ)求 f(x)=的单调区间及极值; (Ⅱ)若 f(x) 在[﹣2,2]上有最小值﹣20,求 f(x)在[﹣2,2]上的最大值. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极 值.
3 2 2

专题:导数的概念及应用. 分析: (1)先求导数,令导数为零,求出根后列表,则单调区间、极值点一目了然; (2)利用闭区间上的最值得求法来求,即先求极值,再求端点值,大中取大,小中取小. 2 解答: 答案解析解: (1)f′(x)=3x ﹣6x﹣9=3(x+1) (x﹣3) 令 f′(x)=0,解得 x=﹣1 或 x=3, 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,﹣1) ﹣1 (﹣1,3) 3 (3,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ↑ 极大值 a+5 ↓ 极小值 a﹣27 ↑ ∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1)和(3,+∞) ;单调递减区间为(﹣1,3) . 在 x=﹣1 时,f(x)有极大值 5+a,在 x=3 时,f(x)有极小值﹣27+a. (2)∵f(﹣2)=﹣2+a,f(2)=﹣22+a. ∴f(﹣2)>f(2)∴最小值 f(2)=﹣22+a=﹣20, ∴a=2, 故最大值 f(﹣1)=5+a=7. 点评:利用导数求极值一般采用列表法. 22.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为 4 元,并且每件商品需向总店交 a(1≤a≤3) 2 元的管理费,预计当每件商品的售价为 x(7≤x≤9)元时,一年的销售量为(10﹣x) 万件. (1)求该连锁分店一年的利润 L(万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L(x) ; (2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值. 考点:函数最值的应用. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)根据条件建立利润 L(万元)与每件商品的售价 x 的函数关系 式 L(x) ; (Ⅱ)利用导数求利润函数的最值即可. 解答: 解: (Ⅰ)由题得该连锁分店一年的利润 L(万元)与售价 x 的 函数关系式为 L(x)=(x﹣4﹣a) (10﹣x) ,x∈[7,9]. 2 (Ⅱ)求函数的导数 L'(x)=(10﹣x) ﹣2(x﹣4﹣a) (10﹣x)=(10﹣x) (18+2a﹣3x) , 令 L′(x)=0,得 ∵1≤a≤3, ∴ ①当 . ,即 时, 或 x=10,
2

∴x∈[7,9]时,L'(x)≤0,L(x)在 x∈[7,9]上单调递减, 故 L(x)max=L(7)=27﹣9a. ②当 ∴ ,即 时,

时,L′(x)>0; 时,L'(x)<0,

∴L(x)在 故 答:当 万元; 当

上单调递增;在 .

上单调递减,

每件商品的售价为 7 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 27﹣9a

每件商品的售价为 万元.

元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为

点评:本题主要考查函数的应用问题,利用导数解决生活中的优化问题,考查学生应用能力.


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