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【数学】湖南省株洲市第二中学2016届高三上学期第一次月考(理)


株洲市第二中学 2016 届高三上学期第一次月考 数学试卷(理)
时量:120 分钟 分值:150 分 第 I 卷(选择题) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知全集 U={0,1,2}且 CU A ={2},则集合 A 的真子集共有( A.3 个 B.4 个 C.5 个 ) D.6 个 )



2.命题 p : ?x ? 0, x ? ln x ? 0 ,则 ? p 是( A. ?x ? 0, x ? ln x ? 0 C. ?x ? 0, x ? ln x ? 0

B. ?x ? 0, x ? ln x ? 0 D. ?x ? 0, x ? ln x ? 0

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900、 900、 1200 人,现用分层抽样的方法从 该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为 ( A. 15 ) B. 20 C. 25 ) D.10 D. 30

4.等差数列 ?an ?中, a3 ? 7, a9 ? 19 ,则 a5 为( A.13 B.12 C.11

5.设 f(x)= x 2 -2x-3(x∈R) ,则在区间[-π,π]上随机取一个实数 x,使 f(x)<0 的概率为( A. ) B.

1

2

?

?

C.

3

?

D.

3 2?


6.已知函数 f ( x) ? ? A. (?1, 2)

?(2 ? a) x ? 3a, x ? 1 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是( ? log 2 x, x ? 1
C. (??, ?1]
6 7

B. [?1, 2)
5

D. {?1} )

7.观察下列各式: 5 =3125, 5 =15625, 5 =78125, ,则 52015 的末四位数字为( A.3125 B.5625 C.0625 D.8125

8. 如图, 南北方向的公路 l , A 地在公路正东 2 km 处, B 地在 A 东偏北 300 方向 2 3 km 处,河流沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等.现要在曲线 PQ 上 一处建一座码头,向 A、B 两地运货物,经测算,从 M 到 A、M 到 B 修建费用都为 a 万元/km,那么,修建这条公路的总费用最低是( )万元

A.(2+ 3 )a

B.2( 3 +1)a

C.5a

D.6a )

9. 如图, 在 5 个并排的正方形图案中作出一个 ?AOn B ? 135? ( n ? 1, 2,3, 4,5,6 ) , 则n? (

A. 1 , 6

B. 2 , 5

C. 3 , 4

D. 2 , 3 , 4 , 5 ) D. 5

10.若正数 x, y 满足 x ? 3 y ? 5 xy, 则 3 x ? 4 y 的最小值是( A.

24 5

B.

28 5

C. 6

11 .如图, ? ? ?,? ? ? ? l,A ??,B ? ?,A,B 到 l 的距离分别是 a 和 b , AB 与

?,? 所成的角分别是 ? 和 ? , AB 在 ?,? 内的射影长分别是 m 和 n ,若 a ? b ,则(
A. ? ? ?,m ? n C. ? ? ?,m ? n B. ? ? ?,m ? n D. ? ? ?,m ? n

)

12.椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的 4 3


斜率的取值范围是 ? ?2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A. ? , ? 2 4

?1 3? ? ?

B. ? , ? 8 4

?3 3? ? ?

C. ? , 1? 第 II 卷

?1 ? ?2 ?

D. ? , 1?

?3 ? ?4 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
c 13. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 若 b2 ?c2 ?a 2 ?b
? ? ? ?? ? ? ? C A ? B ?? 4 , , 且A

则 ?ABC 的面积等于.

14 .已知 i , j , k 分别是与 x 轴、 y 轴、 z 轴方向相同的单位向量, a ? mi ? 5 j ? k ,

? ? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? b ? 3i ? j ? rk , 若 a // b 则 m + r ? _______. ?? ?? ? ?? ? ?? 15 .设 a1 , a2 , … , an , … 是按先后顺序排列的一列向量,若 a1 ? (?2014,13) ,且 ?? ? ???? an ? an?1 ? (1,1),则其中模最小的一个向量的序号 n ? ______.

? ? x2 ? x ? k x ? 1 x ? (a ? R ) ,若对任 16 .已知函数 f ( x) ? ? 1 , g ( x) ? a ln( x ? 2) ? 2 ? ? log x x ? 1 x ? 1 1 ? 2 3 ?
意的 x1, x2 ??x | x ? R, x ? ?2? ,均有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 k 的取值范围是.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 12 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an ? 2an?1 ? n - ( 2 n ? 2,且n ? n ? ) (1)求 a2 , a3 的值; (2)证明:数列 ?an ? n? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; (3)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

18. (本题满分 12 分)在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形,

AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点, 又 PA ? AB ? 4 ,?CDA ? 120 ? , 点 N 在线段 PB
上,且 PN ? 2 . (Ⅰ)求证: MN // 平面 PDC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.

19. (本题满分 12 分)偏差是指个别测定值与测定的平均值之差,在成绩统计中,我们把某 个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差, 在某次考试成绩统计中, 某老师为 了对学生数学偏差 x (单位:分)与物理偏差 y (单位:分)之间的关系进行分析,随机挑 选了 8 位同学,得到他们的两科成绩偏差数据如下: 学生序号 数学偏差 x 物理偏差 y 1 20 6.5 2 15 3.5 3 13 3.5 4 3 1.5 5 2 0.5 6 ﹣5 ﹣0.5 7 ﹣10 ﹣2.5 8 ﹣18 ﹣3.5

(1)若 x 与 y 之间具有线性相关关系,求 y 关于 x 的线性回归方程;

(2)若该次考试该班数学平均分为 120 分,物理平均分为 91.5 分,试由(1)的结论预测 数学成绩为 128 分的同学的物理成绩. 参考数据:

? x y ? 20? 6.5 ? 15? 3.5 ? 13? 3.5 ? 3?1.5 ? 2 ? 0.5 ? ?? 5?? ?? 0.5? ? ??10?? ?? 2.5? ? ??18?? ?? 3.5? ? 324
i ?1 8 i i

i ?8

?x
i ?1

2

i

? 202 ? 152 ? 132 ? 32 ? 22 ? ?? 5? ? ?? 10? ? ?? 18? ? 1256
2 2 2

附:回归方程

y ? bx ? a 中

^

^

^

n n ? ( x ? x )( y ? y ) xi yi ? nx y ? ? i i ? i ?1 i ?1 ? ? n , ?b ? n 2 2 2 ? ( xi ? x) xi ? nx ? ? ? i ?1 i ?1 ? a ? y ? bx. ? ?

20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,已知点 A(1, 0) ,点 B 在直线 l : x ? ?1上运 动,过点 B 与 l 垂直的直线和线段 AB 的垂直平分线相交于点 M. (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)过(1)中轨迹 E 上的点 P (1,2)作两条直线分别与轨迹 E 相交于 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) 两 点.试探究:当直线 PC,PD 的斜率存在且倾斜角互补时,直线 CD 的斜率是否为定值?若 是,求出这个定值;若不是,说明理由.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? x .
2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? ?

?a ? 2 ? 1? x ? ax ? 1 恒成立,求整数 a 的最小值; ?2 ?

2 2 (Ⅲ)若正实数 x1 , x2 满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 x1 ? x2 ? x1 x2 ? 0 ,证明 x1 ? x2 ?

?

?

5 ?1 . 2

选做题 22. (本小题满分 10 分) 如图, 四边形 ACED 是圆内接四边形, AD、 CE 的延长线交于点 B, 且 AD=DE, AB=2AC. (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=2,BC=4 时,求 AD 的长.

23.(本题满分 10 分) 在直角坐标系 xoy中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2t ? y ? ?1 ? 2t

( t 为参数) ,以原点为极点,

以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? (1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程;

2 1 ? 3 sin 2 ?

(2)设点 M ?2,?1? ,曲线 C1 与曲线 C 2 交于 A, B ,求 MA ? MB 的值.

24. (本小题满分 10 分)
2 2 已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ?

9 ,若 a ? b ? m 恒成立, 2

(1)求 m 的最小值; (2)若 2 x ?1 ? x ? a ? b 对任意的 a , b 恒成立,求实数 x 的取值范围。

参考答案
1.A 【解析】 试题分析:由 U={0, 1, 2},CU A ? {2} 得 A ? {0,1} 故 A 的真子集个数= 22 -1=3 ,选 A. 2.B 【解析】 试题分析:命题 p 是全称命题,对全称命题的否定为特称命题,并且将不等式加以否定, 即 x ? ln x ? 0 改为 x ? ln x ? 0 ,因此 B 正确 3.B 【解析】 试题分析:三个年级的学生人数比例为 3 : 3 : 4 ,按分层抽样方法,在高三年级应该抽取人 数为 50 ? 4.C. 【解析】 试 题 分 析 : 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 a3 ? 7, a9 ? 19 知 ,

4 ? 20 人,故选 B . 3?3? 4

?a3 ? 7 ? a1 ? 2d , , 解 方 程 组 得 , d ? 2, a1 ? 3 . 所 以 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 ? ?a9 ? 19 ? a1 ? 8d
an ? 3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .所以 a5 ? 2 ? 5 ? 1 ? 11.故应选 C.
5. B 【 解 析 】由 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0, 得 ?1 ? x ? 3 , 所以 f (x) <0 的概率为 6.B 【解析】 试 题 分 析 : 当 x ? 1 时 y ? log2 x ? 0 , 所 以 要 使 f ? x ? 的 的 值 域 为 R , 需 满 足

3 ? (?1) 2 ? ? ? (?? ) ?

?2 ? a ? 0 ,解得 ?1 ? a ? 2 , g ? x ? ? ? 2 ? a ? x ? 3a 在 x ? 1 时的值域中包含所有负数,所以 ? ? g ?1? ? 0
故选 B. 7.D

【解析】 试题分析: 55 ? 3125,55 ? 15625,57 ? 78125,58 ? 390625,59 ? 1953125? 周期为 4,所 以 52015 与 57 后四位相同,都为 8125 8.C 【解析】 试题分析:依 题 意 知 曲 线 PQ 是 以 A 为 焦 点 、 l 为 准 线 的 抛 物 线 , 根据抛物线的定义知: 欲 求 从 M 到 A, B 修 建 公 路 的 费 用 最 低 , 只 须 求 出 B 到 直 线 l 距 离 即 可 . 因 B 地 在 A 地 东 偏 北 30 0 方 向 2 3 km 处 , ∴ B 到 点 A 的 水 平 距 离 为 3 ( km ) , ∴ B 到 直 线 l 距 离 为 : 3+2=5 ( km ) , 那 么 修 建 这 两 条 公 路 的 总 费 用 最 低 为 : 5a( 万 元 ) . 故 选 C. 9.C. 【解析】
? 试 题 分 析 : 若 n ? 1 或 n ? 6 , 显 然 ?AOn B ? 90? , 若 n ? 2 , 则 有 ?AO2O1 ? 45 ,

?BO2O6 ? 45? ,
∴ ?AOn B ? 135? ,根据对称性可知,若 n ? 5 , ?AOn B ? 135? ,若 n ? 3 ,则有

1 1 ? tan(?AO3O1 ? ?BO3O6 ) ? 2 3 ? 1 ,又∵ ?AO3O1, ?BO3O6 ? (0, 45? ) , 1 1 1? ? 2 3
∴ ?AO3O1 ? ?BO3O6 ? 45? ,∴ ?AO3 B ? 135? ,同理根据对称性有 ?AO4 B ? 135 .
?

10.D. 【解析】 试题分析:由题知正数 x, y 满足 (

1 1 3 ? ) ? 1 ,所以 5 y x

1 1 3 1 3x 12 y 1 x 4y 3x ? 4 y ? ( ? )(3x ? 4 y) ? (13 ? ? ) ? (13 ? 3 ? 2 ? ) ? 5 ,故选 D. 5 y x 5 y x 5 y x
11.D

【解析】 试题分析:设点 A 在 ? 上的射影为点 C,点 B 在

?

上的射影为点 D,则

? ? ?B A D , ? ? ?B C D , 则 sin ? ?

b a , sin ? ? ,因为 a ? b ,所以 sin? ? sin? , 即 AB AB

? ? ? ; 又因为 AB2 ? b 2 ? m 2 , AB2 ? a 2 ? n 2
,所以 m ? n. 12.B 【解析】 试题分析:设 P ? x, y ? ,直线 PA1 , PA2 的斜率的分别为 ,

3 3 ? x2 y y y2 3 ?3 3? 则 k1k2 ? ? ? 2 ? 2 4 ? ? , 因为 k2 ? ? ?2, ?1? , 所以 k1 ? ? , ? , 故选 x?2 x?2 x ?4 x ?4 4 ?8 4 ?
B. 12.A 【解析】 试题分析: 分成两类: A 和 C 同色时有 4× 3× 3=36 (种) ; A 和 C 不同色时 4× 3× 2× 2=48 (种) , ∴一共有 36+48=84(种) . 13. 2 3 【解析】 试题分析:因为 b2 ? c2 ? a 2 ? bc ,即 b2 ? c 2 -a 2 = ? bc ,
???? ??? ? b2 ? c 2 -a 2 1 3 =- ,所以 sin A= 所以由余弦定理得 cos A= ,又 AC ? AB ? ?4 , 2bc 2 2

即 bc cos A=-4,所以bc=8 。所以 S ?

1 1 3 bc sin A= ? 8 ? =2 3 。 2 2 2

点评: 我们要注意余弦定理的形式, 一般情况下, 有平方关系多想余弦定理。 属于基础题型。 14.

74 5

【解析】 试题分析:若 a // b ,所以 15. 1001 或 1002 .

?

?

m 5 ?1 1 74 ? ? ,解得 r ? ? , m ? 15 ,所以 m ? r ? . 3 1 r 5 5

【解析】 试题分析:设 an ? ( xn , yn ) ,∵ a1 ? (?2014,13) ,且 an ? an?1 ? (1,1) ,∴数列 {xn } 是首项 为 ?2014 , 公 差 为 1 的 等 差 数 列, 数 列 { yn } 是 首 项 为 13 , 公 差为 1 的 等 差 数 列 ,∴

?? ?

??

?? ? ????

xn ? n ? 2015



yn ? n ? 12





?? ? ∴可知当 n ? 1001 或 1002 时, |an |2 ? (n ? 2015)2 ? (n ?12)2 ? 2n2 ? 4006n ? 20152 ?122 ,
?? ? | an | 取到最小值.
16. ? ??, ? ? 4

? ?

3? ?

【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 , 当 x ? (?2, ??) 时 ,

f ( xm ) a ?x

g ( x), m i 由 n 于

x ???

lim ln( x ? 2) ? ??, lim ln( x ? 2) ? ??, 而 ?
x ??2

1 x 1 ? 2 ? ,因此当 a ? 0 时, g ( x) 不存 2 x ?1 2 1 , y ? log 1 x 是减函数, 当 x ?1 2 3

在最小值, 故满足题意的只能是 a ? 0 , 此时 g ( x) min ? ?

时,f ( x) ? ?

1 2 1 1 1 2 当 ?2 ? x ? 1 时,f ( x) ? ? x ? x ? k ? ?( x ? ) ? k ? , ? log 1 1 ? ? , 2 4 2 2 3

?

1 1 1 3 ? k ,所以 ? k ? ? , k ? ? . 4 4 2 4
n ?1

17.(1) a2 ? 6, a3 ? 13 ;(2)证明详见解析, an ? 2 【解析】

(3) S n ? 2 -n;

n?2

n2 ? n ? 8 ? . 2

试题分析:(1)赋值:令 n ? 2, n ? 3 ; (2)涉及到等差数列,等比数列的证明问题,只需按照 定义证明即可,∴利用等比数列的定义证明,利用等比数列通项公式可求出

?an ? n? 的通

项公式,从而求出 an ; (3)根据通项公式求 Sn ,常用方法有裂项相消法,错位相减法,分 组求和法,奇偶并项求和法. 试题解析: (1)令 n ? 2 , a2 ? 2a1 ? 6, 令 n ? 3 , a3 ? 2a2 ? 1 ? 13 . (2)

an ? n 2a ? n - 2 ? n ? n?1 ? 2 ,∴数列 ?an ? n? 是首项为 4, 公比为 2 的等比数列, an?1 ? (n ? 1 ) an?1 ? n ? 1

∴ an ? n ? 4 ? 2 n?1 ? 2 n?1 ,? an ? 2 n?1 ? n . (3)∵数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 n?1 - n ,

2 ∴ S n ? (2 ? 2 ? .........
2 3

n ?1

) ? (1 ? 2 ? .......... .. ? n) ?

4(1 ? 2 n ) n(n ? 1) ? ? 1? 2 2

2 n?2 ?

n2 ? n ? 8 . 2
7 . 7

18. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 【解析】

试题分析: (1)根据条件得出

BN BM ? ,即可说明 MN // PD ,进而证明直线 MN 与平面 NP MD

PDC 平行; (2)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,
从而将几何问题转化为向量问题 .其中灵活建系是解题的关键 .(3)求出平面 APC 与平面

BPC 的法向量,计算法向量夹角的余弦值即可得到二面角 A ? PC ? B 的余弦值.
试题解析: (Ⅰ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC , 所以 AD ? CD , ?CDA ? 120 ? ,所以 DM ? 所以 BM : MD ? 3 : 1 在等腰直角三角形 PAB 中, PA ? AB ? 4, PB ? 4 2 , 所以 BN : NP ? 3 : 1 , BN : NP ? BM : MD ,所以 MN // PD . 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN // 平面 PDC . (Ⅱ)因为 ?BAD ? ?BAC ? ?CAD ? 90? , 所以 AB ? AD ,分别以 AB, AD, AP 为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系,所以

2 3 , 3

B(4,0,0), C (2,2 3,0), D(0, ??? ?

4 3 ,0), P(0,0,4) . 3

由(Ⅰ)可知, DB ? (4, ?

4 3 ,0) 为平面 PAC 的法向量 3

PC ? (2,2 3,?4), PB ? (4,0,?4) ,

设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

?

? ??? ? ? ?2 x ? 2 3 y ? 4 z ? 0 ?n ? PC ? 0 则 ? ? ??? ,即 ? , ? 4 x ? 4 z ? 0 n ? PB ? 0 ? ? ? ? 令 z ? 3 ,则平面 PBC 的一个法向量为 n ? (3, 3,3)
设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? , 所以二面角 A ? PC ? B 余弦值为 (2)94 分 y ? 4 x? 2;
^

则 cos ? ?

n ? DB | n | ? | DB |

?

7 , 7

7 . 7

19. (1) 【解析】

1

1

试题分析:(1)回归分析是针对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有散点图 大致呈线性时, 求出的回归方程才能有实际意义, 否则, 求出的线性回归方程毫无意义; (2) 正确理解计算 (3)根据回归方程进行 b a 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键; 和
? ?

预报,仅是一个预报值,而不是真实发生的值,只有具有线性相关关系,则可通过线性回归 方程来估计和预测. 试题解析:解: (1)由题意, x ?
20 ? 15 ? 13 ? 3 ? 2 ? (?5) ? (?10) ? (?18) 5 ? , 8 2

1分

y?

6.5 ? 3.5 ? 3.5 ? 1.5 ? 0.5 ? (?0.5) ? (?2.5) ? (?3.5) 9 ? , 8 8

2分

?? b
所以

?x y
i ?1 8 i

8

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

2 i

5 9 324 ? 8 ? ? 2 8 ? 1, ? 5 4 1256? 8 ? ( ) 2 2
8分

5分

?x ? 9 ? 1 ? 5 ? 1 , ? ? y ?b a 8 4 2 2
故线性回归方程为

y ? 4 x? 2
10 分 11 分 12 分 13 分

^

1

1

(2)由题意,设该同学的物理成绩为 w ,则物理偏差为: w ? 91 .5 . 而数学偏差为 128-120=8, ∴ w ? 91 .5 ?

1 1 ?8 ? , 4 2

解得 w ? 94 ,

所以,可以预测这位同学的物理成绩为 94 分. 20. (1) y 2 ? 4 x (2)是定值,为-1,过程见解析. 【解析】

14 分

试题分析:对于第一问,根据线段的中垂线上的点满足的条件,可知 MA ? MB ,根据抛物 线的定义,可知所求的动点的轨迹为抛物线,结合着题中所给的量,从而求得轨迹方程;对 于第二问,根据题意可以确定直线 CD 的斜率可以用 C , D 两点的坐标有关,对于直线

PC, PD的倾斜角互补,可知两直线的斜率互为相反数,直线的方程与抛物线的方程联立,
可知对应的坐标为多少,再根据刚刚的条件,从而求得对应的直线的斜率为定值. 试题解析: (1)依题意,得 MA ? MB 1分 3分

∴动点 M 的轨迹 E 是以 A(1,0) 为焦点,直线 l : x ? ?1 为准线的抛物线, ∴动点 M 的轨迹 E 的方程为 y 2 ? 4 x . 5分

(2)∵P (1,2), C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,

由①-②得, ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) , ∴直线 CD 的斜率为 k CD ?

y1 ? y 2 4 ? , x1 ? x2 y1 ? y 2



7分

设直 PC 的斜率为 k,则 PD 的斜率为-k, 可设直线 PC 方程为 y-2=k(x-1),由 ? ky2-4y-4k+8=0,由 2 ? y1 ? 同理可求得 y2=- ∴ kCD ?
4 -2 k
? y2 ? 4x 得: ? y ? kx ? k ? 2,

4 4 ,求得 y1= -2, k k

4 4 ? ? ?1 4 y1 ? y2 ( ? 2) ? (? 4 ? 2) k k

∴直线 CD 的斜率为定值 ?1 .

12 分

21. (1) (1, ??) ; (2)2; (3)证明详见解析. 【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值 和最值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、逻辑思 维能力、计算能力.第一问,先对 f ( x ) 求导,再利用 f ' ( x) ? 0 求出函数的递减区间;第二 问 , 先 将 关 于 x 的 不 等 式 f ? x? ? ?

?a ? 2 ? 1? x ? ax ? 1 恒 成 立 , 转 化 为 ?2 ?

g ( x) ?

1 l n x ? 2

2

a x ?

(? 1 a ) ? x恒成立,对 ? 1 0 g ( x) 求导,对 a ? 0 和 a ? 0 进行讨论,判断

函 数 g ( x) 的 最 小 值 是 否 小 于 等 于 0 ; 第 三 问 , 将 f ( x ,化简为 1 )? f ( x 2 )? x 1 x 2? 0

( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1x2 ? ln( x1x2 ) ,再构造函数 φ(t ) ? t ? ln t ,通过判断函数 φ(t ) 的单
调区间单调最小值,从而得到 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ,通过解不等式得到 x1 ? x2 的范围. 试题解析: (Ⅰ)

f ?( x) ?

1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? 2x ?1 ? ( x ? 0) x x ,

2 ? 由 f ( x) ? 0 ,得 2 x ? x ? 1 ? 0 ,

又 x ? 0 ,所以 x ? 1 .所以

f ( x) 的单调减区间为 (1, ??) .

3分

a 1 g ( x) ? f ( x) ? [( ? 1) x 2 ? ax ? 1] ? ln x ? ax 2 ? (1 ? a) x ? 1 2 2 (Ⅱ)令 ,

g ?( x) ?
所以

1 ?ax 2 ? (1 ? a) x ? 1 ? ax ? (1 ? a) ? x x .

g ?( x) ? 0 . 当 a ≤ 0 时,因为 x ? 0 ,所以
所以

g ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数,

1 3 g (1) ? ln1 ? a ?12 ? (1 ? a) ? 1 ? ? a ? 2 ? 0 2 2 又因为 ,
a ( ? 1) x 2 ? ax ? 1 f ( x ) 所以关于 x 的不等式 ≤ 2 不能恒成立.

5分

1 a( x ? )( x ? 1) ?ax ? (1 ? a) x ? 1 a g ?( x) ? ?? a ? 0 x x 当 时, ,
2



g ?( x) ? 0 ,得

x?

1 a.

1 1 x ? (0, ) x ? ( , ??) g ?( x) ? 0 , a 时, g ?( x) ? 0 ;当 a 所以当 时, 1 1 x ? (0, ) x ? ( , ??) g ( x) 在 a 是增函数,在 a 因此函数 是减函数.
故函数

g ( x) 的最大值为

1 1 1 1 1 1 g ( ) ? ln ? a ? ( ) 2 ? (1 ? a) ? ? 1 ? ? ln a a a 2 a a 2a .
h(a ) ?


7分

1 ? ln a 2a , 1 1 ? 0 h(2) ? ? ln 2 ? 0 h(a) 在 a ? (0, ??) 是减函数. 2 4 , ,又因为

h(1) ?
因为

所以当 a ≥ 2 时,

h( a ) ? 0 .
8分

所以整数 a 的最小值为 2.
2 2 (Ⅲ)由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,



ln x1 ? x12 ? x1 ? ln x2 ? x22 ? x2 ? x1x2 ? 0 , ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 )

从而

t ? x1 ? x2 ,则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, 令
可知, ? (t ) 在区间

? ?(t ) ?

t ?1 t ,

(0,1) 上单调递减,在区间 (1, ??) 上单调递增.

所以 ? (t ) ≥ ? (1) ? 1 , 所以

( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ≥1 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,
5 ?1 成立. 2
12 分

因此 x1 ? x2 ?

选做题 22. (Ⅰ)证明见解析; (Ⅱ) AD ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)通过题意分析可得 ?BDE ? ?BCA, 又 ?DBE ? ?CBA, 可得 △BDE ∽

4 3

BE DE , 又 AB ? 2 AC , 可得 BE ? 2DE , 又 AD ? DE , 从而 BE ? 2 AD. ? BA CA (Ⅱ)由条件得 AB ? 2 AC ? 4 ,设 AD ? t ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC ,可得
△BCA , 则
(4 ? t ) ? 4 ? 2t ? 4 ,解出 t ?

4 即可求出. 3

试题解析: (Ⅰ)证明: 因为四边形 ACED 为圆内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA, 1 分 又 ?DBE ? ?CBA, 所以△BDE ∽△BCA ,则 而 AB ? 2 AC ,所以 BE ? 2DE . 又 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD. (Ⅱ)由条件得 AB ? 2 AC ? 4 . 4分 5分 6分

BE DE . ? BA CA

3分

设 AD ? t ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC , 即 ( AB ? AD) ? BA ? 2 AD ? 4, 所以 (4 ? t ) ? 4 ? 2t ? 4 ,解得 t ?

4 4 ,即 AD ? . 3 3

10 分

x2 8 ? y 2 ? 1 ,(Ⅱ) 23. (I) y ? ? x ? 1, 5 4
【解析】 试题分析:(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;利用 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 把极坐标方程转化为直角坐标系的普通方程; (2) 根据条件将曲线方程联立所得的方程组有 解,利用方程有关知识解决本题.

x2 ? y 2 ? 1 -----------4 分 试题解析: (1)由题意可得: y ? ? x ? 1, 4

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (2)将 ? ?t为参数? 代人 C 2 直角坐标方程得 5t 2 ? 12 2t ? 8 ? 0 ? y ? ?1 ? 2 t ? 2 ?
8 -------------------10 分 5 1 5 24. (1) 3 ; (2) x ? ? 或 x ? . 3 3 t1 ? t 2 ?
【解析】 试题分析:第一问结合柯西不等式,凑成相应的形式,从而求得结果,第二问注意向最值转 换. 试题解析: (1)因为 (a2 ? b2 )(12 ? 12 ) ? (a ? b)2 ,所以 a ? b ? 3 , (当且仅当

a b ? ,即 1 1

? a? ? ? ? ?b ? ? ?

3 2 时取等号) 3 2

又因为 a ? b ? m 恒成立,所以 m ? 3 .故 m 的最小值为 3 . (2)使 2 x ?1 ? x ? a ? b 恒成立,须且只须 2 x ?1 ? x ? 3 .

?x ? 0 ?0 ? x ? 1 ?x ? 1 1 5 ? ? ? x?? x? ?2 x ? 2 ? x ? 3 或 ??2 x ? 2 ? x ? 3 或 ?2 x ? 2 ? x ? 3 ∴ 3或 3. ∴?


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