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高二下学期数学理科期中考试及答案


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高二数学理科试题
范围:选修 2-2 全部,2-3 的排列组合结束(第一章) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 若复数 z ? (a ? i) 2 是纯虚数,则实数 a 为( ) 1 3 则第 n 个三角形数为( A. n B.
2



6 ) C. n ? 1
2

10

15

学 校



A.1 B. ? 1 C.0 D. ? 1 “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度” 时, 2. 用反证法证明命题: 正确的反设是 ( C ) A.假设三内角都不大于 60 度 B.假设三内角至多有一个大于 60 度 C.假设三内角都大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度 3. 某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成, 其中 4 个数字互不相同的牌照 号码共有( )
1 2 4 A. (C26 ) A10 个
2 4 B. A26 个 A10

n( n ? 1) 2

D. ) D.8

10.若函数 f ( x) ? 3sin (2 x ? A.11 B.5

?

线

3

) ? 5 ,则 f / (

? ) 的值为( 12
C.0

n( n ? 1) 2

___________

班 级



C. C26
2

? ? 10
1 2

4



2 D. A26 104 个

11.设 f(x), g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x <0 时,f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ) B.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(0,3) )

4.与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行的抛物线 y ? x 的切线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0

) D. 2 x ? y ? 3 ? 0

A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

姓 名
___________



n?N , 5. 设 f 0 ( x) ? sin x ,f1 ( x ) ? f 0? ( x ) ,f 2 ( x ) ? f1? ( x ) , …,f n ?1 ( x ) ? f n? ( x ) , 则1 f102
=( ) A.- cos x B. cos x C.- sin x D. sin x 6.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x)、g(x)满足 f ′(x)=g′(x),则 ( A.f(x)=g(x) B.f(x)-g(x)为常数函数 C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数 7.函数 f ( x) ? x 2 ? e x?1 , x ? ?? 2,1? 的最大值为( A. 4e
?1

( x)

12. 若函数 f ( x) ? x 3 ? 12x在区间 则实数 k 的取值范围 ( (k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数, A. k ? ?3或 ? 1 ? k ? 1或k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2 B. ? 3 ? k ? ?1或1 ? k ? 3 D.不存在这样的实数 k



)

得 分
__________

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.若复数 z 满足 (1 ? i) z ? 3 ? i ,则 z ?



)

B. 1

C. e

2

D. 3e

2

14.若 (2 x ? k )dx ? 2 ? k ,则实常数 k 为
0



?

1

15.设平面内有 n 条直线 (n ? 3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一 8.对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,则必有( A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) ) 点 . 若 用 f ( n) 表 示 这

n 条 直 线 交 点 的 个 数 , 则 f (4) =____________ ; 当 n ? 4 时 ,

(用 n 表示) f (n) ? __________________________. 16.设 f ( x) ?

1 2 ? 2
x

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得

9.在古希腊,毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28,…这些数叫做三角形数,因为 这些数对应的点可以排成一个正三角形

f (?5) ? f (?4) ? ? ? ? ? f (0) ? ? ? ? ? f (5) ? f (6) 的值是________________。
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)



17.(本小题满分 10 分)从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: ①能组成多少个没有重复数字的七位数? ②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? ③在①中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?

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设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意的 n ? N 都有 Sn ? 2an ? n ,
*

(1)求数列 {an } 的前三项 a1 , a2 , a3 ; (2)猜想数列 {an } 的通项公式 an ,并用数学归纳法证明;

学 校



18. (本小题满分 12 分) 若 a 、 b 、 c 均为实数,且 a ? x ? 2 y ?
2

(3)求证:对任意 n ? N 都有
*

?
2

, b ? y ? 2z ?
2

?
3

, c ? z ? 2x ?
2

?
6

1 1 1 1 ? ? ??? ? 1. a2 ? a1 a3 ? a2 a4 ? a3 an?1 ? an

___________

.

线

求证: a 、 b 、 c 中至少有一个大于 0.

班 级



19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax4 ? ln x ? bx 4 ? c 在 x ? 1 处取得极值 ? 3 ? c , (1)试求实数 a , b 的值; 22. (本小题满分 12 分) (2)试求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? ?2c 2 恒成立,求实数 c 的取值范围. 已知 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

姓 名
___________





1 2 7 x ? mx ? (m ? 0) ,直线 l 与函数 f ( x) 的图象相切,切点的 2 2

得 分
__________

横坐标为1,且直线 l 与函数 g ( x) 的图象也相切. (1)求直线 l 的方程及实数 m 的值;



20. (本小题满分 12 分) 有 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内: (1)共有几种放法 种放法 (2)恰有一个空盒,有几种放法 (3)恰有两个盒子不放球,有几

(2)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) (其中 g ?( x ) 是 g ( x) 的导函数),求函数 h( x) 的最大值; (3)当 0 ? b ? a 时,求证: f ( a ? b) ? f (2a ) ?



b?a . 2a

21. (本小题满分 12 分)

高二理科数学答案
1.D 2.C 13. 1 ? 2i 3.A 4.A 5.A 6.B 7.C 8.D 9.B 10.C 1 n 1 1 1 1 14. 15. 16. 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 n ?1 h a b c 11.D 12.B

(3)由(2)知, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值也是最小值,要使

f ( x) ? ?2c2 ( x ? 0 )恒成立,只需 ?3 ? c ? ?2c2 ,
即 2c 2 ? c ? 3 ? 0 ? (c ? 1)(2c ? 3) ? 0 ,解得 c ? ?1 , 或 c ? ∴实数 c 的取值范围为 ( ??,? 1] ? [ ,? ? ) .…………12 分 20. 解:假设这样的点 P 存在,由题意可设点 P 坐标为 P(m, m ? 2) ,又设所作的两条切线为 PA,PB,其中 A,B 为切点,且点 A,B 的坐标分别为: A( a,

3 17. 解:①分步完成:第一步在 4 个偶数中取 3 个,可有 C 4 种情况; 4 第二步在 5 个奇数中取 4 个,可有 C 5 种情况; 7 A7

3 . 2

3 2

第三步 3 个偶数,4 个奇数进行排列,可有

种情况,

3 4 7 C5 A7 ? 100800个.………3 分 所以符合题意的七位数有 C 4 3 4 5 3 C5 A5 A3 ? 14400……6 分 ②上述七位数中,三个偶数排在一起的有个. C 4

1 2 1 a ) , B (b, b 2 ) . …………2 分 2 2

因为函数 y ?

1 2 x 的导函数为 y ' ? x , 2

所以由两切线垂直可得 ab ? ?1 ,…………4 分

③上述七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的有

C C A A A ? 5760 个.……………………………………………10 分
4 5 3 4 4 4 3 2 3 2

. 18. 证明:假设 a 、 b 、 c 都不大于 0,即 a ? 0, 、 b ? 0 、 c ? 0 ,…………2 分
2 由此可得, a ? b ? c ? 0 ,而 a ? b ? c ? x ? 2 y ?

?

2 ? ( x ? 2x ) ? (y ? 2y )? z ( ? 2 z ?) ?
2 2 2 2 2 2

2 + y ? 2z ?

?

3

2 + z ? 2x ?

?

6

?1 2 ? 2 a ? (m ? 2) ?a ? ? a?m 且: ? ? 1 b 2 ? (m ? 2) ?2 ?b ? b?m ?
即 , ?

? (x ?1 ) ( ? y ?1 ) +( z ?1 ) ??

…………10 分 ? 3

∴ a ? b ? c ? 0 ,这与 a ? b ? c ? 0 矛盾,所以 a 、 b 、 c 中至少有一个大于 0. …12 分 19 .解: (1) 由题意知 f (1) ? ?3 ? c ? b ? c ? ?3 ? c ,∴ b ? ?3 ;对 f ( x) 求导可得:

?a 2 ? 2ma ? 2(m ? 2) ? 0 ? . 故 a , b 是 方 程 x2 ? 2mx ? 2(m ? 2) ? 0 的 两 实 数 2 ? ?b ? 2mb ? 2(m ? 2) ? 0

根, …………9 分 从 而 有 : ab ? 2(m ? 2) ? ?1 . 解 得 : m ?

1 f '( x) ? 4ax3 ? ln x ? ax 4 ? ? 4bx3 ? x3 (4a ln x ? a ? 4b) . 由 题 意 , 得 f ?(1) ? 0 , 即 x

3 . 所 以 , 存 在 这 样 的 点 P, 其 坐 标 为 2

3 1 P ( , ? ) .…………12 分 2 2
21.解: (1)令 n ? 1 得, S1 ? 2a1 ?1 ? a1 ,故 a1 ? 1 ; 令 n ? 2 得, S2 ? 2a2 ? 2 ? a1 ? a2 ? 1 ? a2 ,故 a2 ? 3 ; 令 n ? 3 得, S3 ? 2a3 ? 3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 1 ? 3 ? a3 ,故 a3 ? 7 ;…………3 分 (2)由(1)可以猜想 an ? 2n ? 1 ,下面用数学归纳法进行证明: ①当 n ? 1 时,结论显然成立;

a ? 4b ? 0 , ∴ a ? 12 ;即实数 a ? 12 , b ? ?3 .…………4 分
3 (2)由(1)知 f ?( x) ? 48x ln x ( x ? 0) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ,

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为减函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为增函数. ∴函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0, 1) , f ( x) 的单调递增区间为 (1,? ∞) ;…………8 分

② 假 设 当 n ? k 时 结 论 成 立 , 即 ak ? 2k ? 1 , 从 而 由 已 知 Sn ? 2an ? n 可 得 :

∴当 x ? 0 时, h( x) 取最大值,其最大值为 2. (3) f (a ? b) ? f (2a ) ? ln(a ? b) ? ln 2a ? ln

…………7 分

Sk ? 2ak ? k ? 2(2k ?1) ? k ? 2k ?1 ? k ? 2 .故 Sk ?1 ? 2k ?2 ? k ? 3 .
∴ ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? (2k ?2 ? k ? 3) ? (2k ?1 ? k ? 2) ? 2k ?1 ?1 . 即,当 n ? k ? 1 时结论成立. 综合①②可知,猜想 an ? 2n ? 1 成立.即,数列 {an } 的通项为 an ? 2n ? 1 .……8 分 (3)∵ an ? 2n ? 1 ,∴ an?1 ? an ? (2n?1 ?1) ? (2n ?1) ? 2n , ∴

a?b b?a ? ln(1 ? ). 2a 2a 1 b?a ? 0 ? b ? a , ? ?a ? b ? a ? 0 , ? ? ? ? 0. 2 2a
由(2)知当 x ? (?1, 0) 时, h( x) ? h(0) ∴当 x ? (? 1 , 0时, ) l n (? 1x ? ) x,

? ln(1 ?

b?a b?a )? . 2a 2a

∴ f ( a ? b) ? f (2a ) ?

b?a 2a

…………12 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2 ? 3 ?? ? n ? 1? n ? 1 a2 ? a1 a3 ? a2 a4 ? a3 an?1 ? an 2 2 2 2 2
*

∴对任意 n ? N 都有 22.解:(1)? f ?( x ) ?

1 1 1 1 ? ? ??? ? 1 .…………12 分 a2 ? a1 a3 ? a2 a4 ? a3 an?1 ? an

1 ,? f ?(1) ? 1 .∴直线 l 的斜率为 1,且与函数 f ( x) 的图象的切点 x
…………2 分

坐标为 (1, 0) . ∴直线 l 的方程为 y ? x ? 1 . 又∵直线 l 与函数 y ? g ( x) 的图象相切,

?y ? x ?1 ? ∴方程组 ? 1 7 有一解. 由上述方程消去 y ,并整理得 y ? x 2 ? mx ? ? ? 2 2
x2 ? 2(m ? 1) x ? 9 ? 0

2

依题意,方程①有两个相等的实数根,? ? ? ? 2( m ? 1) ? ? 4 ? 9 ? 0

?m ? 0 ?m ? ? 2 . …………4 分 1 2 7 (2)由(1)可知 g ( x ) ? x ? 2 x ? ,? g ?( x) ? x ? 2 2 2 1 ?x ?1 ? . ? h( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2( x ? ?1) . ? h?( x) ? x ?1 x ?1
∴当 x ? (?1, 0) 时, h ?( x) ? 0 ,当 x ? (0, ??) 时, h ?( x) ? 0 .

解得 m ? 4 或 m ? ?2


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