当前位置:首页 >> 数学 >>

高考一轮复习:平面向量的概念及线性运算


我爱学习网

在线学习网 分享学习方法

励志人生

第1讲
【2015 年高考会这样考】

平面向量的概念及线性运算

1.考查平面向量的线性运算. 2.考查平面向量的几何意义及其共线条件. 【复习指导】 本讲的复习,一是要重视基础知识,对平面向量的基本概念,加减运算等

要熟练 掌握, 二是要掌握好向量的线性运算,搞清这些运算法则和实数的运算法则的区 别.

基础梳理 1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:长度等于 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量. (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量 共线. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 (1) 交换律: 求两个向量和的运 加法 算 三角形法则 a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+ 平行四边形法则
我爱学习网 http://www.5ixuexi.net

(b+c)

高中数学学习方法 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue/fangfa/

我爱学习网

在线学习网 分享学习方法

励志人生

求 a 与 b 的相反向 减法 量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 3.向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作 λa, 它的长度与方向规定如下: ①|λa|=|λ||a|; ②当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相反;当 λ=0 时, λa=0. (2)运算律:设 λ,μ 是两个实数,则 ①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③ λ(a+b)=λa+λb. 4.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa. 三角形法则 a-b=a+(-b)

一条规律 一般地, 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量 终点的向量. 两个防范 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”, 否则 λ 可能不存在, 也可能有无数个. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的 区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量 平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 双基自测 → 等于( 1. (人教 A 版教材习题改编)D 是△ABC 的边 AB 上的中点, 则向量CD → +1BA → A.-BC 2 → -1BA → C.BC 2 解析 如图, → -1BA → B.-BC 2 → +1BA → D.BC 2 ).

我爱学习网

http://www.5ixuexi.net

高中数学学习方法 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue/fangfa/

我爱学习网

在线学习网 分享学习方法

励志人生

→ =CB → +BD → CD → +1BA → =-BC → +1BA → =CB 2 2 . 答案 A 2.判断下列四个命题: ①若 a∥b,则 a=b;②若|a|=|b|,则 a=b;③若|a|=|b|,则 a∥b;④若 a=b, 则|a|=|b|. 正确的个数是( ). D.4

A.1 B.2 C.3 解析 只有④正确. 答案 A

3.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( → =OF → +OE → A.EF → =OF → -OE → B.EF

).

→ =-OF → +OE → D.EF → =-OF → -OE → C.EF → =EO → +OF → =OF → -OE →. 解析 EF 答案 B → +CD → +EF → =( 4.(2011· 四川)如图,正六边形 ABCDEF 中,BA ).

A.0 → C.AD

→ B.BE → D.CF

→ +CD → +EF → =DE → +CD → +EF → =CE → +EF → =CF →. 解析 BA 答案 D

5.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与 2a-b 共线,则 λ=________.
我爱学习网 http://www.5ixuexi.net 高中数学学习方法 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue/fangfa/

我爱学习网

在线学习网 分享学习方法

励志人生

?1=2k, 解析 由题意知:a+λb=k(2a-b),则有:? ?λ=-k, 1 1 ∴k=2,λ=-2. 1 答案 -2

考向一 【例 1】?下列命题中正确的是(

平面向量的概念 ).

A.a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 [审题视点] 以概念为判断依据,或通过举反例说明其正确与否. 解析 由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量 是自由向量, 所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边 形,所以 B 不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关, 所以 D 不正确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手 考虑,假设 a 与 b 不都是非零向量,即 a 与 b 中至少有一个是零向量,而由零向 量与任一向量都共线,可知 a 与 b 共线,符合已知条件,所以有向量 a 与 b 不共 线,则 a 与 b 都是非零向量,故选 C. 答案 C 解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题,其关键在于 透彻理解平面向量的概念, 还应注意零向量的特殊性,以及两个向量相等必须满 足:(1)模相等;(2)方向相同. 【训练 1】 给出下列命题: → =DC → 是四边形 ABCD 为平行四边形的 ①若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB 充要条件; ②若 a=b,b=c,则 a=c; ③a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b;
我爱学习网 http://www.5ixuexi.net 高中数学学习方法 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue/fangfa/

我爱学习网

在线学习网 分享学习方法

励志人生

④若 a 与 b 均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中正确命题的序号是________. 解析 ①②正确,③④错误. 答案 ①② 考向二 【例 2】?如图, 平面向量的线性运算

D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则( → +BE → +CF → =0 A.AD → -CF → +DF → =0 B.BD → +CE → -CF → =0 C.AD → -BE → -FC → =0 D.BD [审题视点] 利用平面向量的线性运算并结合图形可求. → +BC → +CA → =0,∴2AD → +2BE → +2CF → =0, 解析 ∵AB → +BE → +CF → =0. 即AD 答案 A

).

三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,共起点的 向量,和用平行四边形法则,差用三角形法则. → =c,AC → =b,若点 D 满足BD → =2DC → ,则AD →= 【训练 2】 在△ABC 中,AB ( 2 1 A.3b+3c 2 1 C.3b-3c 5 2 B.3c-3b 1 2 D.3b+3c ).

→ =2DC → ,∴AD → -AB → =2(AC → -AD → ), 解析 ∵BD → =2AC → +AB → ∴3AD
我爱学习网 http://www.5ixuexi.net 高中数学学习方法 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue/fangfa/

我爱学习网

在线学习网 分享学习方法

励志人生

1 → 2→ 1→ 2 ∴AD=3AC+3AB=3b+3c. 答案 A 考向三 共线向量定理及其应用

【例 3】?设两个非零向量 a 与 b 不共线. → =a+b,BC → =2a+8b,CD → =3(a-b). (1)若AB 求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. → → [审题视点] (1)先证明AB,BD共线,再说明它们有一个公共点;(2)利用共线向量 定理列出方程组求 k. (1)证明 → =a+b,BC → =2a+8b,CD → =3(a-b). ∵AB

→ =BC → +CD → =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB →. ∴BD → ,BD → 共线,又它们有公共点,∴A,B,D 三点共线. ∴AB (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线,

∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b. 又 a,b 是两不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=± 1. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系,既可以证明向量共线, 也可以由向量共线求参数.利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点. → =λa+b, → =a+μb(λ, 【训练 3】 (2011· 兰州模拟)已知 a, b 是不共线的向量, AB AC μ∈R),那么 A,B,C 三点共线的充要条件是( A.λ+μ=2 C.λμ=-1 B.λ-μ=1 D.λμ=1 ).

→ =λa+b,AC → =a+μb(λ,μ∈R)及 A,B,C 三点共线得:AB → =t AC →, 解析 由AB ?λ=t, 所以 λa+b=t(a+μb)=ta+tμb,即可得? 所以 λμ=1.故选 D. ?1=tμ, 答案 D
我爱学习网 http://www.5ixuexi.net 高中数学学习方法 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue/fangfa/

我爱学习网

在线学习网 分享学习方法

励志人生

难点突破 11——有关平面向量中新定义问题解题策略 从近两年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考查平面向量中新定义的 问题,一般难度较大.这类问题的特点是背景新颖,信息量大,通过它可考查学 生获取信息、分析并解决问题的能力.解答这类问题,首先需要分析新定义的特 点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,然后应用到具体的解题过程之中,这 是破解新定义信息题难点的关键所在. 【示例 1】? (2012· 泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对 任意的 a=(m,n),b=(p,q),令 a⊙b=mq-np,下面说法错误的是( A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的 λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a· b)2=|a|2|b|2 ).

【示例 2】? (2011· 山东)设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点, → → 若A→ 1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4= 1 1 μA→ 1A2(μ∈R),且 + =2,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2.已知平面上的点 C,D λ μ 调和分割点 A,B,则下列说法正确的是( A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C、D 可能同时在线段 AB 上 D.C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
我爱学习网 http://www.5ixuexi.net 高中数学学习方法 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue/fangfa/

).

我爱学习网

在线学习网 分享学习方法

励志人生

我爱学习网

http://www.5ixuexi.net

高中数学学习方法 http://www.5ixuexi.net/gaozhong/shuxue/fangfa/


相关文章:
高三数学一轮专题复习----平面向量的概念与线性运算(有详细答案)
高三数学一轮专题复习---平面向量的概念线性运算(有详细答案)_数学_高中教育_教育专区。平面向量的概念线性运算 考情分析 ① 了解向量的实际背景;理解平面向量...
高三一轮复习平面向量的概念
高三一轮复习平面向量的概念线性运算、基本定理 平面向量的概念、线性常见题型与结论 一、同步知识梳理 1.向量的有关概念 (1)向量的定义:既有___又有___的...
2014届高考一轮复习教学案平面向量的概念及其线性运算
2014届高考一轮复习教学案平面向量的概念及其线性运算_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014届高考一轮复习教学案平面向量的概念及其...
2015届高考一轮复习 平面向量的概念与线性运算教案 理
2015届高考一轮复习 平面向量的概念线性运算教案 理_数学_高中教育_教育专区。吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考一轮复习 平面向量 的概念线性运算教案 ...
高考一轮复习 考点规范练24 平面向量的概念及线性运算
高考一轮复习 考点规范练24 平面向量的概念及线性运算_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考一轮复习 考点规范练24 平面向量的概念及线性运算 ...
2015高考数学一轮复习_第五篇平面向量第1讲_平面向量的概念及线性运算教案_理
2015高考数学一轮复习_第五篇平面向量第1讲_平面向量的概念及线性运算教案_理_数学_高中教育_教育专区。戴氏教育白马寺总校 高三数学 授课教师:黄静 高考专题一【...
高三一轮复习14平面向量的概念及其线性运算老师版
高三总复习一轮 2014 年高考平面向量的概念及线性运算 一、知识要点梳理 知识点一:向量的概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.向量的表示方法: (1)...
2012年高三理科数学第一轮复习向量(1)平面向量的概念及线性运算
2012年高三理科数学第一轮复习向量(1)平面向量的概念及线性运算_高三数学_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 88份文档 2014年全国注册造价工程师 ...
【步步高】高考数学一轮复习_5.1平面向量的概念及线性运算(生)
【步步高】高考数学一轮复习_5.1平面向量的概念及线性运算(生)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。文档名中的最后,带有“(生)”的没有答案; 带有“(师)”的...
更多相关标签: