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1极其简单法:对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷——弹簧振动振子机械能守恒问题新解


对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷
——弹簧振动振子机械能守恒问题新解(极其简单法)

李学生 1,师教民 2
(1.山东大学 物理学院,山东 济南 250100; 2.石家庄广播电视大学 科学技术部,河北 石家庄 050081)
摘 要:重新解答了第 26 届全国中学生物理竞赛复赛第三题第一小题,指明了该题的参考解答(标 准答案

)错误. 关键词:物理竞赛试题;弹簧振子;动能;势能;机械能守恒 中图分类号:O 313.1 文献标识码:A

公元 2009 年第 26 届全国中学生物理竞赛复赛三、1.题为: 一质量为 m 的小球与一劲度系数为 k 的弹簧相连组成一体系, 置于光滑水平地面上, 弹簧的另一端与 固定墙面相连,小球做一维自由振动.试问在一沿此弹簧长度方向以正常数 u 的速度做匀速运动的参考 系里观察,此体系的机械能是否守恒,并说明理由. 参考解答:否.原因是墙壁对于该体系而言是外界,墙壁对弹簧有作用力,在运动参考系里此力的作 用点有位移,因而要对体系做功,从而会改变这一体系的机械能. 1)我们重新解答该题 分析:因为地球、墙壁固连在一起,故它们是一个质点,俗称为地面参照系,简称为地面系.弹簧被 视为只有弹力而没有质量的弹簧,叫做轻质弹簧,就像只有质量而没有体积的物体叫做质点一样,因 此,尽管弹簧已没有质量但是仍有弹力.与弹簧相连的小球是另一个质点.质点地面和质点小球通过弹簧 的弹力相互作用.小球与弹簧可伸缩的部分组成弹簧振子体系.因为弹簧没有质量,所以小球的机械能就 是弹簧振子体系的机械能. 解:在地面系观察时,以弹簧未被压缩和拉伸时(弹簧平衡时)的小球所处地面位置 o 为坐标原 点,以弹簧长度方向且向右的直线 ox 为 x 轴,建立直线坐标系;匀速运动系为小车.如图 1. 墙 ?u

T

f
图1

f o

m x

v

小 车 ○ ○
光滑水平地面

u x

弹簧振动振子机械能守恒问题新解

在地面系观察时,在弹簧振子体系中,因为墙壁施与的约束力 T 是弹簧左端的弹力 f 的反作用力,所 以 T??f.因为弹簧圈左与墙壁固连,右与弹簧固连,所以 f 和 T 都作用在弹簧圈即约束力 T 的作用点上 且因 T??f 而成为平衡力,故 f 和 T 在弹簧圈即 T 的作用点处就抵消,从而使 T 加不到小球上(图 1 中 只画出 f 和 T 的两个方向中的一个方向) ,所以 T 不在小球的振动位移上对小球做功,即墙壁不改变小球 的机械能,小球的机械能仅由弹簧右端的弹力 f 来维持.即小球只受到五大常见保守力(参见论文《论 势能》 )之一的弹簧弹力作用,不受任何其他外力和非保守内力作用. 据弹簧振子知识(参见论文《论势能》第 3~4,6~7 页)知,小球做简谐振动.设 0 时刻,小车系和 地面系完全重合;将小球向右拉至最大振幅 B 并放手,则小球便做角频率为 ω 的简谐振动.设 t 时刻,小 球的振幅、速度、加速度、受的力、动能、势能、机械能,在地面系分别为 x,v,a,f,ek,ep,e;在 小车系分别为 X,V,A,F,Ek,Ep,E.则据伽利略变换有:

X?x?ut,V?v?u,A?a?0?a,F?mA?ma?f?保守力.
①数学计算法 据动能定理[参见论文《论势能和动能的对称性》第 9 页(35),(36)式],势能定理[参见论文《论势能 和动能的对称性》第 9 页(33),(34)式]知: 因为 F?f 是保守力,所以:

de?d(ek?ep)?dek?dep?dw?dw?0.dE?d(Ek?Ep)?dEk?dEp?dW?dW?0.
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所以,弹簧振子体系或小球的机械能 e,E 都守恒. ②物理分析法 因为 F?f 是保守力,所以据机械能守恒定律知:弹簧振子体系或小球的机械能 e,E 都守恒. 2)剖析参考解答错误 原清华大学教授、 《大学物理》副主编高炳坤先生在其论文文献[1]中说: “从地面上看,墙对弹簧的 作用力 F(见图 2)的作用点无位移,故 F 不作功,?. 从小车上看,墙对弹簧的作用力 F 的作用点却以恒速?v 移动(图 2) ,故 F 要作负功?. ” 本文研究的竞赛题的参考解答(即标准答案)说: “?墙壁对于该体系而言是外界,墙壁对弹簧有作 用力,在运动参考系里此力的作用点有位移,因而要对体系做功?. ” 从地面上看,振子或小球也有振动位移,但是高炳坤先生和参考解答(即标准答案)都认为,墙壁对 弹簧的作用力 T 不在小球的振动位移上对小球做功.这种认识正确,理由为:墙壁的约束力 T 只是弹簧 左端的弹力 f 的反作用力,所以 T??f.可是又因为弹簧圈左与墙壁固连,右与弹簧固连,所以它是墙壁 和弹簧的中间物,故 f 和 T 都作用在弹簧圈即约束力 T 的作用点上且因 T??f 而成为平衡力,故不论是 从地面系还是从小车系看,f 和 T 在弹簧圈处就抵消,从而使 T 加不到小球上,故 T 不在小球的振动位 移上对小球做功,即墙壁不改变弹簧振子体系的机械能,弹簧振子体系的机械能仅由弹簧右端的弹力 f 来 维持.但是从小车系看,弹簧圈即 T 的作用点和弹簧振子体系一起因为有速度?u 而有位移?ut(从 u 为常 数也可看出 T??f ),故 f 和 T 对弹簧振子体系在位移?ut 上都做功.然而因为 f 和 T 大小相等、方向 相反而使它们做的功也因为大小相等、正负不同而抵消,所以墙壁不能改变弹簧振子体系的机械能,因 此参考解答(即标准答案)说墙壁“会改变这一体系的机械能”是错误的. 参考文献: [1]高炳坤.能量追踪[J].大学物理,2001,(20)3:15?16. [2]赵凯华,罗蔚茵.新概念物理教程 力学[M].北京:高等教育出版社,2000:124.

Our Discussion on A Question from CPHO
——Brand-new explanation of mechanical energy conservation of a spring vibration oscillator

Li Xue-sheng1,Shi Jiao-min2
(1.School of Physics,Shandong University, Jinan 250100, China; 2.Department of Science and Technology, Shijiazhuang Radio and Television University, Shijiazhuang 050081, China) Abstract:This article re-explained the question of III. (1) of the 26th Session of National Physics Contest and pointed out that the key to the problem provided (i.e. the standard key) is wrong. Key words:the physics contest;a spring oscillator;kinetic energy;potential energy;conservation

of mechanical energy
作者简介: 李学生(1969?),男,教授,山东济南人.现从事普通物理的教学与研究.

Email:diancizhiliang@163.com
师教民(1945?),男,教授,河北晋州人.现从事数学、物理、电工、电子的教学与研究.

Email:shijm618@126.com

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