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2016年全国高中数学联赛(四川)选填解析


2016 年全国高中数学联赛 (四川) 初赛选填 解析 时间匆忙若错误,欢迎斧正,谢谢! (FHR 供解答,RC 编辑 QQ:386405230)
1.在 ABC中,设内角A, B, C的对边分别为a, b, c.命题P : B ? C ? 2 A, 且b ? c ? 2a; 命题Q: ABC为等边三角形,则命题P是命题Q的 ? A充要条件 B充分不必要条件 解:P ?

Q:易得:A ?

?
D既不充分也不必要条件

C必要不充分条件

?
3

,sin B ? sin C ? 2sin A ? 3

3 ?? ? ? 2? ? 3 ? ? sin B ? sinC ? sinB? sin ? ? B ? ? sin B ? cos B ? 3 sin ? B ? ? ? 3 ? B ? ; 2 6? 3 ? 3 ? 2 ? P ? Q : ABC为等边三角形, 显然有B ? C ? 2 A, 且b ? c ? 2a ? P ? Q,选A

2.若i为虚数单位,复数z ? A. ? 1 B. ? i
?? ? i? ? ?? ?6? =?e ? ? ? ? ?

3 1 + i, 则z 2016的值 ? 2 2 C.i
4?504

?
D.1

解:? 考察复数旋转 ? z ?e 6,z
i

?

2016

2016

?i

2016

?i

2016

,z

2016

? i? ? =?e 6 ? ? ?

? 1.选D

3.已知函数f ? x ? ? x 2 ? 2tx ? t , 当x ? ? ?1,1? 时,记f ? x ?min ? m,则m的最大值为 ? A. ? 2 B.0 C. 1 4 ? t, D.1

?

解:f ? x ? ? x 2 ? 2tx ? t,x对称

?1 ? t , ? t ? 1? ? ? f ? x ?min ? ?t ? t 2 ? ?1,1? ? 画出大致图像: ? ?1 ? 3t ? t ? ?1? 1 故m的最大值为 ,选C. 4

?n? 4.对于任意正整数n和k ? k ? n ? , f ? n, k ? 表示不超过 ? ? , 且与n互质的正整数的个数,则f ?100,3? ?k ? 为? B.13 C.14 D.19 ? A.11 ?100 ? 解: =33,由题符合条件的有 ?1,,,, 3 7 9 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33? 共14个,选C ? ? 3 ? ?

3 ?5 ? 5.设数列?an ? 满足a1 ? 6, an ?1 ? ? an ? an 2 ? 2 ? , n ? N ? , 其中? x ? 为高斯取整函数, 4 ?4 ? S n为 ?an ? 前n项和,则S 2016的个位数字为 ? ? A.1 B.2 C.5 D.6 解:考查取整函数,等比求和 ? ? ? ? x ? 1 ? ? x ? ? x ? ?? ? x?n ? x ?n ? ? ? ?? ? 先补充取整函数几个常用性质: ? n为正整数 ? ? n ? x ? ? nx ? ?? x ? ? ? y ? ? ? x ? y ? ? lim ? x ? ? 0;lim ? x ? ? ?1 ? ? x ? 0? ? x ?o 3 3 ?5 ? ?5 ? ?5 ? a1 ? 6, an ?1 ? ? an ? an 2 ? 2 ? , n ? N ? , ? an ?1 ? ? an ? an 2 ? 2 ? ? ? an ? ? ? a n ? ; 4 4 ?4 ? ?4 ? ?4 ? ? an ? 6, 因此可有 : 2an ? 1 ? 5 3 3 ?5 ? an ? an 2 ? 2 ? 2an ? an ?1 ? ? an ? an 2 ? 2 ? ? 2 a n ? 1 4 4 4 ?4 ?

? an ?1 ? 2an ? 1 ? an ?1 ? 1 ? 2 ? an ? 1? ? an =5 ? 2n ?1 ? 1 ? S 2016 ?

an ? 1 ? 5 ? 0,故 ?an ? 1? 是首项为5公比为2的等比数列

5 ? 5 ? 22016 ? 2016=5 ? 22016 +2011.故个位数为1.选A. 1? 2

4 ? ? 7.在 ? x ? ? 4 ? 的展开式中x 3的系数为 x ? ?
3 解:C5 ? ?4 ? ? C54 ? 4 ? 180 2

5

? 用数字作答 ?? 属于容易题 ?

8.若实数?,?,? 构成以2为公比的等比数列, sin ?, sin ? ,sin ? 构成等比数列,则 cos ?的值为 ? sin 2 2? = sin ? sin 4? =2sin ? sin 2? cos 2? ? 2sin ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ?1? ? 2sin ? cos ? sin 2? ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 2 解:易知:构成等比数列?,? =2?,? =4? . ?? ? 0 ? 又 sin 2 ? = sin ? sin ?

9.已知正四棱锥S ? ABCD侧棱长为4,?ASB ? 30。 , 过点A做截面SB, SC , SD分别交于 E , F , G, 则截面AEFG周长的最小值为 解: 如图所示 :最小值4 3 .

10.已知ABC的外心为O,且2OA ? 3OB ? 4OC ? 0, 则 cos ?BAC ? 解: ?1? 先固定A, A ?1, 0 ? ? B ? cos ? ,sin ? ? , C ? cos ? ,sin ? ?? 0 ? ? ? ? ? 2? ? ? cos ?BAC ? cos

.

.又2OA ? 3OB ? 4OC ? 0 2 ? 7 ? ?? 7 ?3cos ? +4 cos ? +2=0 ?1? ?? , ?1?2 ? ? 2 ?2 得: ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? 2 cos 2 ?1 ? ? 8 2 8 ? ?2sin ? +4sin ? ? 0 ? 2 ? ? cos ?BAC ? 1 1 or ? ? 舍 ?,故 cos ?BAC ? 4 4
2 2

? ??

1 ? 给种坐标法,当然奔驰定理也可 ? ? ? ? 4? ? sin 2 A : sin2B : sin 2C ? 2 : 3 : 4 ? 2 ? ?
2

? 3? 2OA ? 3OB ? 4OC ? 0 ? 4OA

? 9OB ? 16OC ? 24OB ? OC ? 设R外 ? 1? 1 ? ? ?BOC =2?BAC ?圆周角= 圆心角? 2 ? ?

7 ? 4=9+16+24cos?BOC ? cos?BOC ? ? 又 8 7 ? cos 2?BAC ? ? ? cos ?BAC ? 8 1? 7 8 ?1 2 4

11.实数x, y, z , w满足? x ? 1, 则M ? xw ? 2 yw ? 3xy ? 3zw ? 4 xz ? 5 yz的最大值
cyc

.

解: x ? y ? z ? w ? 1 ? w ? 1 ? x ? y ? z , 于是: M ? x ? x 2 ? 2 y ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 3z ? 3 ? 1? 1? 1? 3? 1 ? ? ? ? ? x ? ? ? 2 ? y ? ? ? 3 ? z ? ? ? ? 当x ? y ? z ? ? w ? , 等号可取 ? 2 ? 2? 2? 2? 2? 2 ? ? ?
2 2 2

12.定义:对于任何集合S , 用 S 表示集合S中的元素个数,用n ? S ? 表示集合S的子集个数.若 A, B, C是三个有限集合,且满足 ?1? A ? B ? 2016; ? 2 ? n ? A ? ? n ? B ? ? n ? C ? ? n ? A ? B ? C ? , 则 A ? B ? C max ? .
A B C A ? B ?C

解:法一: ? ?由? 2 ? n ? A? ? n ? B ? ? n ? C ? ? n ? A ? B ? C ? ? 2 ? 2 +2 ? 2 ? A ? B ? C ? A ? B ? 2016



A ? B ? 2016

若 A ? B ? C =2016 ? A ? B ? C ? A ? B ? C =C与 ? 2 ? n ? A ? ? n ? B ? ? n ? C ? ? n ? A ? B ? C ? 矛盾, 故 A ? B ? C ? 2015

? 法一:枚举法 ?
? A ? ?1, 2,3, , 2015, 2016? ? ? ? ? ? A ? B ? C =2018 构造 ? B ? ?1, 2,3, , 2015, 2017? ; 满足 ?1?? 2 ?,此时 A ? B ? C =2015 ? 显然有 ? ? A ? B ? 2016 ? ? ? ?C ? ?1, 2,3, , 2015, 2016, 2018?? ? 法三:福建泉州林乐乐提供的逼格方法: ? 不妨设 C ? x ? N ? , A ? B ? C ? n ? N ? , 根据 ? 2 ? n ? A ? ? n ? B ? ? n ? C ? ? n ? A ? B ? C ? ? 22016 +22016 +2 x ? 2 n ? 2 2017 ? 2 x ? 2 n ? 2 2017 ? x ? 1 ? 2 n ? x ? n ? x ?? ? ? ?2017 ? x ? 0 ? x =2017 注意到要使 ? ? ? 成立,只需 ? ?? 接下来同 ? 二 ? 即可. ?n ? x ? 1 ?n ? 2018


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