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正态分布


正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布. 德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式,这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广,所以通常称为高 斯分布.

德莫佛

正态分布的定义是什么呢?

对于连续型随机变量,一般是给出 它的概率密度函数。

、正态分布的定义
若r.v X的概率密度为
? 1 2? 2 f ( x) ? e , ( ?? ? x ? ??) ? 2? 2 ? 任意,? >0, 其中 ? 和 ? 都是常数, 2 则称X服从参数为 ? 和 ? 的正态分布. ( x ? ? )2

记作 X ~ N ( ? , ? 2 ) f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.

正态分布有些什么性质呢? 由于连续型随机变量唯一地由它 的密度函数所描述,我们来看看正态 分布的密度函数有什么特点。 请看演示 正态分布

正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定, 当μ和σ不同时,是不同的正 态分布。

下面我们介绍一种最重要的正态分布
标准正态分布

(一)标准正态分布的概率计算

? ? 0,? ? 1 的正态分布称为标准正态分布.
记作:X ~ N (0,1) 其概率密度为:

1 ? ( x) ? e 2?

x2 ? 2

, ??? x ??
? ( x)

其图像是关于y轴 对称的钟罩形曲线, (如右所示)

特点是“两头小,中间大,关于y 轴对称”.
书末附有标准正态分布函数数值表(见 附表三)。 t2

?( x ) ? P ( X ? x ) ?

(0 ? x ? 4.99)

1 2?

?

x

??

e

?

2

dt

表中给的是x >0时, Φ(x)的值. 当-x<0时
?x
x

当-x<0时 ?( ? x ) ? P ( X ? ? x )

? P( X ? x) ? 1 ? P( X ? x)
? 1 ? ?( x ) (0 ? x ? 4.99)

当x ? 5时, ?( x ) ? 1;当x ? ?5时, ?( x ) ? 0
P ( a ? X ? b) ? ? ( b) ? ? ( a)

例1

设X ~ N (0,1), 借助标准正态分布函

数?( x ), 求P ( X ? 2.35), P ( X ? ?2.35), P ( ?1 ? X ? 2), P ( X ? 5.5), P ( X ? 2.35).
解:由附表可直接查得:

P ( X ? 2.35) ? ?( 2.35) ? 0.9906
由标准正态分布图像的对称性得:

P ( X ? ?2.35) ? 1 ? ?(2.35)
? 1 ? 0.9906 ? 0.0094

P ( ?1 ? X ? 2) ? ?( 2) ? ?( ?1)
? ?( 2) ? [1 ? ?(1)]

? 0.9773 ? 1 ? 0.8413
? 0.8186

P ( X ? 5.5) ? 1 ? P ( X ? 5.5)
? 1 ? ?(5.5)

?0

P ( X ? 2.35) ? P (?2.35 ? X ? 2.35)
? ?( 2.35) ? ?( ?2.35)
? ?( 2.35) ? [1 ? ?( 2.35)]
? 2?( 2.35) ? 1
? 2 ? 0.9906 ? 1

? 0.9812

(二)非标准正态分布的概率计算
将标准正态分布概率密度的图形向左(或) 右平行移动 ? 个单位,向上伸长(或压缩)
1

? 图形。

个单位,即可得一般正态分布概率密度的
( x ? ? )2 2? 2

? 1 f ( x) ? e ? 2? ( ?? ? x ? ??)

,

既然标准正态分布是关于y 轴对称的,而一 般正态分布是由标准正态分布平移 ? 个单位 得来的,故f (x)以μ为对称轴,并在x=μ处达到 最大值: 1 f (? ) ? 2? ?



令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得 f (μ+c)=f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)

1 f ( x) ? e ? 2?

( x ? ? )2 ? 2? 2

, ??? x ??

当x→ ?∞时,f(x) → 0, 这说明曲线 f(x)向左右伸展时,越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。

1 f ( x) ? e ? 2?

( x ? ? )2 ? 2? 2

, ??? x ??

用求导的方法可以证明,

x=μ?σ
为f (x)的两个拐点的横坐标。

下面是我们用某大学男大学生的身高 的数据画出的频率直方图。
红线是拟 合的正态 密度曲线

可见,某大学男大学生的身高 应服从正态分布。

人的身高高低不等,但中等身材的占大 多数,特高和特矮的只是少数,而且较 高和较矮的人数大致相近,这从一个方 面反映了服从正态分布的随机变量的特 点。

除了我们在前面提过的身高外,在正常 条件下各种产品的质量指标,如零件的尺 寸;纤维的强度和张力;农作物的产量, 小麦的穗长、株高;测量误差,射击目标 的水平或垂直偏差;信号噪声;学生的成 绩等等,都服从或近似服从正态分布.

服从正态分布 N ( ? ,? 2 ) 的随机变量 X的概率密度是

1 f ( x) ? e ? 2?

( x ? ? )2 ? 2? 2

, ??? x ??

X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢?

设X~ N ( ? , ? ) ,
2

X的分布函数是
( t ?? )2 ? 2? 2

1 F ( x) ? ? 2?

?

x

??

e

dt , ? ? ? x ? ?

设X~ N ( ? , ? ) ,
2

X的分布函数是

1 F ( x) ? P( X ? x) ? ? 2? ( ?? ? x ? ??)

?

x

??

e

?

( t ? ? )2 2? 2

dt ,

正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定, 当μ和σ不同时,是不同的正 态分布。

正态分布 N ( ? ,? 2 ) 的图形特点

? 决定了图形的中心位置,? 决定了图形
中峰的陡峭程度.

请看演示
正态分布

标准正态分布的重要性在于,任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 它的依据是下面的定理: 定理1 设 X ~ N ( ? , ? ) ,则 Y ?
2

X ??

?

~N(0,1)

根据定理1,只要将一般正态分布的分布 函数转化成标准正态分布,然后查表就可解 决一般正态分布的概率计算问题.

设X ~ N ( ? ,? 2 ),Y ~ N (0,1) 其概率密度分别为:

? ( x ),? 0 ( y ) 分布函数分别为: ?( x ), ? 0 ( y )
则(1) ? ( x ) ?

1 e 2? ?
1

?

( x ? ? )2 2? 2

?

1

?

1 e 2?

1 x?? 2 ? ( ) 2 ?

?

?
x

?0 (

x??

?

)?

1

?
x

?0 ( y)
t?? )dt

( 2)?( x ) ? ??? ? ( t )dt ?

? ( 0 ? ? ?? ?

1

( 2)?( x ) ? ??? ? ( t )dt ?
y? t??

x

? ( 0 ? ? ?? ?

1

x

t??

)dt

?

??? ? 0 ( y )dy
?

x??

? ?0 (

x??

?
2

)
X ??

即设X ~ N ( ? ,? ) ,则 Y ?

?

~N(0,1)

因此有:

若 X ~ N ( ? ,? ), Y ?
2

X ??

? X ? Y? ? ?

?

~N(0,1)

? X ? a ? Y? ? ? ? a ? Y ?
? P ( X ? a ) ? P (Y ? a??

a??

?

? ?0 (

a??

?

)

?

)

a ? X ? b ? a ? Y? ? ? ? b

? a ? ? ? Y? ? b ? ? a?? b?? ? ?Y ? ? ?
? P (a ? X ? b) ? P (
a??

?
?

?Y ?

b??

?
?

)
)

? ?0 (

b??

) ? ?0 (

a??

例2 若X ~ N ( 3,4), 求P ( X ? 2), P ( X ? 3),

P ( X ? 3 ? 2).

X ?3 解: ? X ~ N ( 3,4) ?Y ? ~ N (0,1)
2? 3 ) ? P ( X ? 2)? ? 0 ( 2 ? ? 0 (?0.5)

2

? 1 ? ? 0 (0.5)
? 1 ? 0.6915 ? 0.3085

P ( X ? 3 ) ? P ( ?3 ? X ? 3 )
3?3 ?3?3 ? ?0 ( ) ? ?0 ( ) 2 2

? ? 0 (0) ? ? 0 (?3) ? ? 0 (0) ? [1 ? ? 0 (3)]
? 0.5 ? 1 ? 0.998650 ? 0.49865

P ( X ? 3 ? 2) ? P (1 ? X ? 5) 5? 3 1? 3 ? ?0 ( ) ? ?0 ( ) 2 2 ? ? 0 (1) ? ? 0 (?1)

? 2? 0 (1) ? 1

? 2 ? 0.8413 ? 1 ? 0.6826

例3、3 ? 准则 由标准正态分布的查表计算可以求得, 当X~N(0,1)时, P(|X| ?1)=2 ? 0 (1)-1=0.6826
P(|X| ?2)=2 ? 0(2)-1=0.9544 P(|X| ?3)=2 ? 0(3)-1=0.9974 这说明,X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内,超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.

将上述结论推广到一般的正态分布,

Y ~ N ( ? ,? )时, P (| Y ? ? |? ? ) ? 0.6826 P (| Y ? ? |? 2? ) ? 0.9544
2

P (| Y ? ? |? 3? ) ? 0.9974
可以认为,Y 的取值几乎全部集中在 这在统计学上称作“? 3 准则” (三倍标准差原则).

[ ? ? 3? , ? ? 3? ] 区间内.

例4 某科统考成绩服从正态分布N (70,102 ) 及格人数为100人,计算: (1)不及格人数; (2)成绩前20名的人数在考生中所占的比例; (3)第20名考生的成绩。
解:设随机变量X 表示考生该科的统考成绩。 2 则

X ~ N (70,10 )

设参加该科统考的人数为n,首先求n。

P ( X ? 60) ? 1 ? P ( X ? 60)
60 ? 70 ? 1 ? ?0 ( ) 10 ? 1 ? ? 0 (?1) ? 1 ? [1 ? ? 0 (1)]

? ? 0 (1) ? 0.8413
即及格人数占全体考生的84.13%,及格 的有100人,故全体考生人数为

100 n? 0.8413

(1)不及格人数在全体考生中所占比例为 1-84.13%=15.87%,则不及格人数为:

100 ? 19人 15.87%? n ? 15.87% ? 0.8413
(2)前20名考生所占比例为

20 0.8413 ? 0.16826 ? 16.8% ? 20 ? n 100

(3)设第20名考生成绩为 x 0分, 则有

P ( X ? x0 ) ? 0.16826

查表可得: x0 ? 70 ? 0.96 10

? P ( X ? x 0 ) ? 1 ? P ( X ? x0 ) x0 ? 70 ? 1 ? ?0 ( ) ? 0.16826 10 x0 ? 70 ? ?0 ( ) ? 1 ? 0.16826 ? 0.83174 10
? x0 ? 79.6 ? 80分

例5 公共汽车车门的高度是按男人与车门 碰头的机会不超过0.01而设计的. 设男人身高 服从 ? ? 168cm , ? ? 7cm 的正态分布, 即 X ~ N (168,7 2 ) , 问车门的高度应如何确定? 解: 设车门的高度为hcm,由题意知: 即 P ( X ? h) ? ? ( h ? 168 ) ? 0.99 0 7 查表可得

P ( X ? h) ? 0.01

h ? 168 ? 2.33 ? h ? 184cm 7

例6 某凶杀案中有A、B两个嫌疑人,从各 自住处到凶杀现场所需时间X(分钟) 均服从 正态分布。A所用时间服从 N (50,102 ),B所用 2 时间服从 N (60,4 )。如果仅有65分钟可用, 问谁的作案嫌疑较大?

解: A 在65分钟内从住处及时到达凶杀现场的 概率为: 65 ? 50 P ( X ? 65) ? ? 0 ( ) 10

? ? 0 (1.5) ? 0.9332

B 在65分钟内从住处及时到达凶杀现场的 概率为:

65 ? 60 P ( X ? 65) ? ? 0 ( ) 4

? ? 0 (1.25) ? 0.8944
可见,A 作案的嫌疑较大。

上一讲我们已经看到,当n很大,p接 近0或1时,二项分布近似泊松分布; 如果 n很大,而p不接近于0或1,那么可以证明, 二项分布近似于正态分布. 下面我们不加证明地介绍有关二项分 布近似于正态分布的一个定理,称为棣莫 佛-拉普拉斯定理.

二、二项分布的正态近似
定理(棣莫佛-拉普拉斯定理) 设随机变量 X服从参数n, p(0<p<1)的 二项分布,则对任意x,有 t2 x X ? np 1 ?2 lim P{ ? x }? e dt n? ? ?? np(1 ? p) 2?

?

定理表明,当n很大,0<p<1是一个定值 时(或者说,np(1-p)也不太小时),二项变 量 X 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).



X ? np 若X ~ B( n, p), 则近似有 ~ N (0,1) npq (q ? 1 ? p)
实用中,n 似的效果较好.

? 30, np ? 10时正态近

请看演示
二项分布的正态近似

例7 将一枚硬币抛掷10000次,出现正面5800 次,认为这枚硬币不均匀是否合理? 试说明理由.
解: 设X为10000次试验中出现正面的次数, 若硬币是均匀的, X~B(10000,0.5), 采用正态近似, np=5000, np(1-p)=2500, 即
X ? np X ? 5000 ? 50 np(1 ? p)

近似正态分布N(0,1).

X ? np X ? 5000 ? 近似正态分布N(0,1). 50 np(1 ? p)

P(X≥5800) =1-P(X<5800)
5800 ? 5000 ? 1 ? ?0 ( ) 50

=1-Φ0(16) ≈0

此概率接近于0,故认为这枚硬币不均匀 是合理的 .

例5 为保证设备正常工作,需要配备适量的维 修工人 . 设共有300台设备,每台的工作相互独 立,发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况 下,一台设备的故障可由一人来处理 . 问: (3) 若使设备发生故障时不能及时维修的概 率小于0.01,至少应配备多少工人?
解:设X为300台设备同时发生故障的台数, X~B(n,p),n=300﹥10, p=0.01﹤0.1

? ? np ? 300 ? 0.01 ? 3
npq ? 3 ? 0.99 ? 2.97

要使P(X>N) ? 1 ? P ( X ? N ) ? 0.01

即P( X ? N ) ? 0.99
即求使表中 ? ? 3 的那一列中前N项之和 大于0.99的那个N。 经查表得N=8。



X ?3 近似有 ~ N (0,1) 2.97

要使P(X>N) ? 1 ? P ( X ? N ) ? 0.01

即P( X ? N ) ? 0.99
N ?3 ?0 ( ) ? 0.99 ? ? 0 ( 2.33) 2.97



N ?3 ? 2.33 ? N ? 7.015 2.97

故 N ?8


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