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竞赛课件12:机械振动二三事


振动系统1

竖直面内振动的弹簧振子
kx0
x0

k(x0+x)

mg mg

x

平衡位置 所在位置

在平衡位置时:

mg ? kx0

在距平衡位置x处时:

?F

? mg ? k ? x0 ? x ?

则该振动系统做简谐运动,且周期为

? ?kx

m T ? 2? k

振动系统2

F回 ? mg sin?
sin? ? ?

单摆

当θ角很小时

m ?T ? 2? k

?
T

? ? BO ? x BO

?T ? 2?

l g
B
?

l
x
F回

则有 F回 ? mg sin? ? mg? ? BO ? mg ? l x ? mg ? l mg ? ???k x l

O

mg

振动系统3

如图所示,劲度系数为k的弹簧一端固定,另一 端与质量为m的物体a相连,当弹簧处于自然长度时,将a无 初速地放置在匀速运动(速度很大)的足够长的水平传送带 上,弹簧轴线保持水平,设A与传送带间动摩擦因数为μ,试 说明A将做什么运动? 在平衡位置时: ?mg ? kA
在距平衡位置x处时:

a
v

?F ? k ? A ? x ? ? ? mg

? mg ? mg

a
x

k ? A ? x?

? ?kx
该振动系统做简谐运动,且周期为

a
平 衡 位 置

A

kA

m T ? 2? k

专题12-例2 如图所示,密度为ρ的液体注入一弯折细管中,弯折管之两段与
取管之底端一截面积为s的液片

水平面的交角为α、β,液柱总长为l.若对液体平衡状态加一扰动,则管中液柱即 开始往复振动,求证:其属简谐运动并求振动周期.毛细管作用及摩擦忽略不 计.

该液片在平衡位置时:

x h0

x

F左 ? F右 ? ? gh0 s
若液柱向右侧振动,液片在 平衡位置右侧x时:

0 x ? F ? ? gs ? h0 ? x sin ? ? ? ? gs ? h0 ? x sin ? ?

? ? ? gs ? sin ? ? sin ? ?

? ?k x

l ? ls ? 2? T ? 2? g ? sin ? ? sin ? ? ? gs ? sin ? ? sin ? ?

专题12-例3

如图所示,设想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道, 在A处放臵一小球,小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动,忽略一切 摩擦阻力.试求小球的最大速度,以及小球从A到B所需时间.已知地球半径为 R, 地球表面的重力加速度为g,A和B之间的直线距离为L,地球内部质量密度设为均 匀,不考虑地球自转.

r3 M ?m 3 GMm R F ?G ? r 2 3 r R

A

x r F

L

F回


d

B

R GMm x F回 ? r? 3 r R mg GMm 小球过平衡位置时速度最大,为: ? ? ? x ?? ? x R R3 可知小球在隧道中做简谐运动!

R R T ? 2? t ?? g g

v m ? A? L g L g ? R 2 2 R

力心A、B相距l,一质量为m的质点受与距离平方反比的有心斥 专题 12例 5 力作用而平衡于两点连线上的O点,若将质点稍稍偏离平衡位臵,试确定其运动情

况.

R A 质点在平衡位置O时:

K k ? 2 2 R r
FA ? K

則 R?
K ? x? ? 2 ?1 ? ? R? R ?

K l K? k
?2

O x FB

r FA

B

r?
k

k l K? k
k ? x? ? 2 ?1 ? ? r? r ?
?2

质点在距平衡位置x的某位置时:

? R ? x?

2

FB ?

?r ? x?

2

K k? K K ? x? k ? x? K? K k ? k? k ? F ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 32 ? ? 233 ? 3?x x3 x ? R2 ? ? ? ? ?2 ? ? ? 2? 2 R? r ? r ? R ? Rr Kkrl ??R ? r ?
T ? 2?

?

?

4

? 2

m K? k Kkl
3

?

4

?

?

?l
K? k

?

2

2ml Kk

如图所示,甲、乙二摆球质量分别为M、m,以不 计质量的硬杆将二摆球连接在一起,甲球摆长为l,乙球摆线很长, 两球在同一水平面上静止.现使之做小振幅的摆动,它的周期是 .

在振动的某一位置,甲摆线偏离竖直方 向一小角度θ时,乙摆线仍为竖直

由简谐振动周期公式:

Mg F回 ? Mg sin ? ? ? x l
M+m



m T ? 2? k
T ? 2?

? M ? m? l
Mg

F回

?

乙甲

Mg

三根长度均为l=2.00 m,质量均匀的直杆,构成一正三角形 框架ABC,C点悬挂在一光滑水平转轴上,整个框架可绕转轴转动,杆AB是一导 轨,一电动玩具松鼠可在导轨上运动,如图所示.现观察到松鼠正在导轨上运动 而框架却静止不动,试论证松鼠的运动是一种什么样的运动并作描述.

框架处于静止 ,受力如图: 对C点必有:

C

mgx ? f ? l sin 60

?

2mg f ? ?x 3l 对松鼠有: f ? ? ? 2m g ? x 3l
可知松鼠做谐振且有:

A

f

x
mg

f?
Mg

B

T ? 2?

3l ? 2.6s 2g

长度为L的轻铁杆,一端固定在理想的铰链上,另 一端搁在劲度系数为k的弹簧上,如图.试确定铁杆小振动周期与质 量为m的重物在杆上的位臵之关系.

L ? ? 对轻杆有 FN ? ? l ? k ? x0 ? x ? ? L l ? ?
对重物有

振动中重物有一对平衡位置位移x时, 重物受力如图:

有 mg ? l ? kx0 ? L

当重物位置在距铰接点l时 ,系统处于 平衡时,若弹簧形变量为x0受力如图:


l
FN mg

kx0

? F ?mg ? FN

轻杆受力如图:

mg

L ? L ? ? mg ? k ? x0 ? x ? ? l ? l 2? l m L T ? 2? ? ?k 2 ? x L k l

? FN

x
L ? ? k ? x0 ? x ? l ? ?

如图,质量为m 的均匀长木板水平地臵于两个匀速 反向转动的轮上.设轮与木板间摩擦因数为μ,两轮间距离l,平衡 时长木板重心在l/2处.若将木板稍稍拉过一小段后放手,则木板将 在轮上做往复振动,这种振动是简谐运动吗?若是,求其周期. 木板处于平衡位置时,受力如图

有 F左 ? F右

若木板有一位移-重心向右轮移过x时

mg mg ? , f ? f?? ? F 2 2
F左


O

F右 F右

有 ?F ? f ?? f l l ?x ?x 2 2 ?? mg ? ? mg l l

f? f f?
l

x f

mg mg

2 ? mg ?? x l

T ? 2?

l 2? g

如图,质量为m的均匀木板对称地放在两个滚柱上, 两滚柱轴线间的距离为l,其中一个滚柱和板之间摩擦因数为μ,而 在另一个滚柱上,板可无摩擦地滑动.用一劲度系数为k的弹簧将板 连接在竖直墙壁上,当板处于平衡位臵时,使不光滑的滚柱快速旋 转起来.问摩擦因数μ为多大,木板相对平衡位臵有了位移后可做简 O 谐运动?振动的圆频率是多少? ⑴若左轮不光滑且顺时针转动, x0 x F左 kx0 板在平衡位置时有 l f ? x0 l 2 设再向右有一小位移x时 l

l ? x0 ? x mg 2 F ? ? k x ? x ? ? ? mg ? 0 ? ? l
? mg ? ? ? ??k ? ?? x l ? ?

kx0 ? ? ?

mg

此时

??

k ?g ? m l

板在平衡位置时有 l

x0

kx0 ? ? ? 2

? x0 l

mg

f

kx0 l

设再向左有一小位移x时

l ? x0 ? x mg 2 F ? ? k x ? x ? ? ? mg ? 0 ? ? l ? mg ? ?
? ??k ? ?

此时

??

? ? x 若k ? ? mg l ? l k ?g ? mg 若k < ? l m l

右轮不光滑且逆时针转动同⑴ 右轮不光滑且顺时针转动同⑵

x

⑵若左轮不光滑且逆时针转动,

F左

O

质点P以角速度ω沿半径为R的圆轨道做匀速圆周 运动,试证明:质点P 在某直径上的投影的运动为简 谐运动.
P所受向心力Fn

y

Fn ? m? 2 R
P的投影运动所受回复力Fx R Fn

?

P x

Fx ? m? R cos?
2

O Fxx P?

x Fx ? ? m? R ? ? ? m? 2 ? x R
2

? ? ?0 ? ?t

令为k

Fx ? ? kx

x ? R cos ? ? t ? ? 0 ? ? A cos ? ? t ? ? 0 ?

F回 ? ? m? ? x ? ? kx
2

∵参考圆运动的周期

k 而 ?? m ∴简谐运动的周期公式为

2? T? ?
P? v
?t

y

ωA P
A
?t v

P x

简谐运动的位移公式为 简谐运动的速度公式为

m T ? 2? k

O

x

P?

x ? A cos ? ? t ?

ωA

v ? ?? A sin ? ? t ?

质量为10 g的物体做简谐运动,振幅为24 cm,周期为 4 s;当t=0时坐标为+24 cm.试求⑴当t=0.5 s时物体的位臵.⑵当t =0.5 s时作用在物体上力的大小和方向.⑶物体从初位臵到x=-12 cm处所需的最短时间.⑷当x=-12 cm时物体的速度. 根据题给条件,物体振动方程为

?? ? x ? 0.24cos ? t ? m ?2 ? ?? ? ⑴ x1 ? 0.24cos ? ? 0.5 ? m ? 12 2cm ?2 ?
2

2 ? 12 2 3 2 ? ? ? ⑵ F1 ? m? 2 x1 ? 0.010 ? ? ? ? ? N 100 10000 ?2?

?? ? 4 由 ? 12 ? 24cos ? t ? 得 t1 ? s 2 ? ? 3 ⑷ ? 24 3 3? ?? 4? v?? ? sin ? ? ? m/s ? ? m/s 2 100 50 ? 2 3?


一物体在水平面上做简谐运动,振幅为10 cm,当 物体离开平衡位臵6 cm 时,速度为24 cm/s. ⑴问周期是多少?⑵当速度为±12 cm/s时,位移是多少? ⑶如果在振动的物体上加一小物体,当运动到路程的末端时,小物 体相对于物块刚要开始滑动,求它们之间的摩擦因数? ⑴作如图所示谐振参考圆,由图得

v ? ? A sin ? ? ? ? 3rad/s 2? T? s 3 ⑵ 2 ? x? v ? ? A 1 ? ? ? ? x ? 2 21cm ? A?

?

?A
8
?

v
10

O 6

x

⑶路程末端小物体回复力由最大静摩擦力提供:

? mg ? m? A
2

? ? 0.09

由理想单摆周期公式 T ? 2? l ,通常可由三条途径确定T:

★确定等效的重力加速度 g?
⑴确定摆球振动的平衡位置; ⑵确定摆在此位置时摆线上的力FT; ⑶等效的重力加速度 g ? ? FT

g



★确定等效悬点及摆长

m

示例

⑴联结两悬点的直线为转轴; ⑵摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点; ⑶取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长 l ? 示例


★确定等效的圆频率 ? ? ?

l? g

⑴确定摆球振动中的机械能守恒关系 ⑵比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式 ⑶在同一参考圆下提取等效的角速度 ? ?

示例

振动系统4

若单摆在加速度竖直向上的电梯中 做小幅振动,在振动的“平衡位置”

FT

a
mg

由 FT ? mg ? ma ? FT ? m ? g ? a ? 故 g? ? ? g ? a ?
l g?a



T ? 2?

FT

若单摆在加速度水平向左的车厢中 做小幅振动,在振动的“平衡位置”

ma
mg



FT ? ? mg ? ? ma ? FT ? m g 2 ? a2
2 2
2 2

故 g? ? g ? a



T ? 2?

l g 2 ? a2

振动系统5
带正电摆球在水平向右的电场中做 小幅振动
在振动的“平衡位置” FT qE
2 2

FT ?

? mg ?

2

? ? qE ?
2

2

? qE ? ? m g ?? ? m ? ?
2

E mg

? qE ? 故 g? ? g ? ? ? m ? ? 则 T ? 2?

ml
2 2

? mg ? ? ? qE ?

如图所示,摆线长为l的单摆悬于架上,架固定于小 车.使小车沿倾角为的斜面以加速度a做匀加速运动,求此时单摆振 动的周期.

专题12-例5



? mg ?

2

? FT ? 2 ? mg ? FT cos 90 ? ? ? ma
2 ?

?

?

FT ? m g 2 ? a 2 ? 2ag sin ?
g? ? a 2 ? g 2 ? 2ag sin ?

FT

ma




mg

φ

T ? 2?

l a 2 ? g 2 ? 2ag sin ?

某栋高层大楼的电梯服务员是位一丝不苟的人,他 返回 为按时结束一天的工作,把一台准确的摆钟挂在电梯的壁上.电梯 向上加速和向下加速的时间相同,加速度大小也相同.试问电梯服 务员是按时结束工作,还是超时或提早了呢? g? ? g ? a 向上加速的电梯中,摆的等效 而加速下降电梯中,摆的等效
t0 t 由 ? T0 T

g? ? g ? a
g? t0 g

规律

因加速,上升过程钟面时间t比客观时间t0长, t上 ? g 下降过程钟面时间t比客观时间t0少, t ? g ? a t 下 0 g 每上下一次,钟面读 ? ? a a 数与客观时间相差 t0 ? ? 1? g ? 1? g ? 2? ? ? ? 2
? a a? a2 ?? ? 1? g ? 1? g ? ? ? 2 ? 2 1 ? g2 < 4 ? ?

t0T0 t? ? T

g?a

t0

<0

说明每上下一次,钟面指示时间比实际时间少, 以此钟指示时间为据此人 工作了.

摆式钟的特点

1.振动次数相同,则钟面读数变化相同 2.标准钟钟面读数与客观时间一致 不准钟钟面读数与客观时间不一致 3.T大钟慢,T小钟快

返回

设标准钟摆的周期为T0,不准钟摆的周期为T.如图, 当两钟从同一初始读数开始走时,分别出现读数t时 不准钟当其钟面读数时 间为t时,客观时间为t0. 正 误 t>t0,钟走快; t t t<t0,钟走慢. t 标准钟是在与钟面读数一致的时间t内走成这样的: N ? T 0 不准钟是在客观时间t0(t0≠t)内走成这样的:
0

0

t0 t ? 根据特点1,有 T T0

t0 ? t

g0 g

t0 N? T
l l0

t0 ? t

振动系统6 如图,小铁球用长度为l的细线AC、BC悬挂,两

线与A、B连线的夹角均为α,AC恰好水平.球由于受到扰动, 垂直于纸面向外略微偏离平衡位置,然后小球来回振动,求 小球振动的周期. B
2?

?l? ? l tan?
l tan ? ? T ? 2? g

A

?

l C
mg

l

l?

如图所示, 光滑的细杆组成夹角为α的人字架.一根长度为l 专题 12例 6 的轻线套在架子上,线的两端共系一个重球C,架竖直放臵,试求重球在人字架平 面内做小振动的周期. 振动是在线拉力与重力之合力作用下发生的,若证得振动 O 中线拉力之合力始终通过O点,即可与单摆等效! α

?1 ? ? 2 ?

?

2

? ? ? ? ?DO?C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ?2 ?

?? ? ?OO?B ? ? ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ?
?
2 ??

??

?

A O

Tβ β CT

B

α

α

?? ? ? ? ? ?? ? 2 ?2 ? l l? ? 2sin ? l T ? 2? 2 g sin ?

?

?
B

A

D
C

O?

如图所示,秋千的一根绳子的固定点A比另一根绳 固定点B高b,秋千两根支架相距为a,两根绳子长度分别是l1和l2, 2 ? a 2 ? b2 .试求人坐在这样的秋千上小摇荡的周期.(人的 并且 l12 ? l2 大小与上述长度相比可忽略不计)

专题12-例7

由几何关系得C到AB的距离

x?

l1l2
2

a ?b

2

A

?
l1

a O
b l2 B

?x
C mg

等效摆长为

l1l2 x l? ? ? cos ? a
秋千周期为

l1l2 ? T ? 2? ag

一端带有重物的轻硬杆,另一端用铰链固定在墙 上A点,杆可以向各个方向转动,如图所示.一根长度为l的不可 伸长的线沿竖直方向系在杆的中点,以保持杆处于水平位臵.使 重物具有垂直图面方向的动量,试求系统小振动的周期 T.

?l? ? 2l
2l ?T ? 2? g
A l

B l l
mg

l?

返回. 如图是一种记录地震的仪器——倾斜摆的示意图 摆球m固定在边长为l、质量可忽略的等边三角形框架ABC上,可绕 AB杆摆动,AB杆和竖直墙夹角为α.求摆球做微小摆动的周期.

l? l ? ? ? sin ? sin 60

?

3 l? ? l 2sin ?
B

l?
l
60?

3l ?T ? 2? 2 g sin?

A

α l

C

m
mg

如图,摆球质量为m,凹形滑块质量为M,摆长为 l.m与M、M与水平面之间光滑,令摆线偏转很小角度后,从静止释 放,求系统的振动周期T. g 未放凹形滑块的单摆,是以圆频率? ? 谐振,满足 l

专题12-例8

设带凹形滑块的异形摆圆频率为

? ? ,有 1 2 mgl ?1 ? cos? ? ? ? M ? m ??? ? A?
2
? m ?? M?m mg ? M ? m? l
?

1 2 mgl ?1 ? cos? ? ? m ?? A? 2

比较两式得 ? ?



T ? 2?

? M ? m? l
mg

专题12-例9 一个单摆,由一根刚性轻杆和杆端的重物组成,做小
振幅的自由振动.如果在杆上某点再固定一个和杆端重物质量相同 的重物,使原单摆变成一个异形复摆,其振动周期最多改变百分之 几? 未加另一质量重物的单摆 ? ? , A ? l? ? 谐振,满足

? 2 1 1 ? x ? 2 mg ? l ? x ?? 1 ? cos ? ? ? m ? ? ? A ? ? m ? ? ? A ?
比较两式得

1 2 mgl ?1 ? cos? ? ? m ?? A? 2 设带另一质量的复摆圆频率为 ?,有
2 ?l ? x? l
l 2 ? x2
l 2 ? x2 ?l ? x? l

2

?

l

?

?? ? ?



?T ?? ? 1? T

续解

l 2 ? x2 l?x 2l ? ? ?2 l l?x ?l ? x? l

查阅

l?x 2l 当 ? , l l?x

x?

?

2 ? 1 l 时,有最小值

?



? ?T ? ? 1? 2 ? T ? ? ?max

?

2 ?1

?

? 0.0898 ? 9%

在天花板下用两根长度同为l的轻绳吊一质量为M 的光滑匀质木板,板中央有一质量为m的小滑块,如图.开始时系 统静止,然后使板有一个水平的横向小速度v0,试求振动周期.
摆长为l、振幅为lθ的理想单摆满足 l

1 2 ? M ? m ? gl ?1 ? cos? ? ? ? M ? m ? ??0 A? 2
对振动实体机械能守恒,有

l
m m M v0

1 2 ? M ? m ? gl ?1 ? cos? ? ? M ?? A? 2
比较两式得

??

? M ? m?
M

?0



Ml T ? 2? ? M ? m? g

数学摆是由长度为l的轻杆,一个固定在杆的自由 端上的小铅球所组成.现在,在杆上套一粒同铅球质量相等的珍珠, 它可以沿着杆中点的水平线自由地滑动,如图所示.试求这种摆小 振动的周期,摩擦不计.
摆长为l、振幅为lθ 的理想单摆满足

此题中复摆振动实体机械能守恒,有 2 1 1 ? A? 2 mgl ? 1 ? cos ? ? ? m ? ? A ? ? m ? ? ? 2 2 ? 2? 2 ? 1 ? 5 ? m? ? A? ? ? 2 ? 2 ? 比较两式得

1 2 mgl ? 1 ? cos? ? ? m ? ?0 A? 2

l/2

l

??

4 ?0 5



5l T ?? g

如图所示,质量为M、长为L的均匀细刚杆一端 悬挂,可在竖直平面内绕悬点O无摩擦地摆动.质量为m=M/3的小 虫相对杆以速度v缓慢地沿杆向下爬行.开始时,杆静止并与竖直 线成一个小角度θ0,小虫位于杆上端悬点处.释放杆,杆开始摆动, 小虫开始爬行,试求⑴小虫沿杆爬行l距离时,杆振动的圆频率; 5 ⑵小虫爬行到杆下端时,系统的能量减为初时的 ,求杆的摆动 6 幅度θt.
确定绕杆一端以角速度转动的均匀细杆的动能,如图
n 1 m? L? 1 2 Ek ? lim ? ? ? ? i ? ? m ? ? L ? 2 n?? i ?1 n ? n? 6
n 1 2 2 1 ? m ? ? L ? lim ? i ? 3 n?? 2 n i ?1

2

i

L n

m n

?

1 1 2 m ?? L? lim 3 12 ? 22 ? ? ? n2 n?? n 2

?

?
1 2 ? m ? ? L? 6
续解

1 1 n ? n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? m ? ? L ? lim 3 ? n ?? n 2 6

⑴当小虫爬到距悬点l处时,虫与杆构成的振动系统能量关系为

查阅

L 1 1 2 2 mgl ?1 ? cos? ? ? Mg ?1 ? cos? ? ? m ?? l? ? ? M ?? L? ? 2 2 6
对A=Lθ 的理想单摆满足

1 2 gL ? 1 ? cos? ? ? ? ?0 L? ? 2
??
2 l 2 ? L2

比较两式得

L 1 2 ⑵小虫在悬点时 E0 ? Mg ? 1 ? cos ?0 ? ? MgL ? ?0 2 4 L 小虫在杆最下端时 Et ? Mg 2 ? 1 ? cos? t ? ? mgL ? 1 ? cos? t ? 5 ? MgL ? ? t2 4 12 2 E 3? 6

0

?

2l ? 3 L

?

g

Ei

?

0 5? i2

?

5

,

?i ?

3 ?0 10

如图所示,一质量为m、半径为r的圆板用三根长 均为l的细线悬于天花板上,连接点恰好三等分圆板的圆周,若圆 板绕其过中心O的铅直轴做微小转动,试求其周期.
摆长为l、振幅为lφ的理想单摆满足 1 2 mgl ? 1 ? cos ? ? ? m ? ?0 A? 2 此题中复摆振动实体机械能守恒,有

mgl ?1 ? cos ? ? ?
n

1 2 E板 ? m ? A? ? 4
2

?

?

O

其中角速度为ω、半径为r圆板的动能为

1 m r r? r? Ek ? lim ? 2 ? 2? i ? ? ? ? ? i ? 2 n?? i ?1 ? r n n? n?
1 n ? mr ? lim 4 ? n?? n 1 2 ? m ? r? ? 4
2 2 2

比较两式得

? ? 2?0
l T ? 2? 2g

? n ? 1?
4

2



如图所示,细轴环用铰链固定于A点,开始这样 放臵轴环,使它的质心位于A点正上方,此后轴环自由下落,经时 间τ=0.5 s,轴环的质心处于最低位臵.有一摆是小重球B固定在 轻硬杆上,杆的长度等于轴环的半径,如果开始小球处于最高位 臵并自由落下.试问此摆经过多少时间t返回到下面的平衡位臵.

比较两者的角速度关系:
1 2 ?mg 2r ?1 ? cos? ? ? ?m ?? 2r ? 2 1 2 对重球: mgr ? 1 ? cos ? ? ? m ? ?0 r ? 2
对轴环:

2 ?? ?0 则 2 t ?0 故转过半周所需时间 ? ? 2 t0 ?

2 t? s 4

如图所示,半径为R的细圆环,其质量与固定在 其上的两个相同小重物相比可忽略不计.在环上与两小重物等距 处钻个孔,将孔穿过墙壁上的钉子而把环悬挂起来,使环可以在 竖直平面内无能量损失地做微小简谐振动(象摆一样).两小重 物的位臵关系可以用它们之间的角距离2α表征.试求该摆的振动 周期T及其随变化的图线.
系统从平衡位置偏离最大 幅度为角θ: 取小重物其摆长为: l θ

l ? 2 R sin
2?

?
2

α

振幅为: A ? ? 2 R sin ? ? ? ? ? ?

?

摆长为l、振幅为A的理想单摆满足

?? 1 ? ? ?? ? ? mg ? 2 R sin ? ? 1 ? cos ? ? ? m ??0 ? 2 R sin ? ? ? 2? 2 ? ? 2? ? ?

2

续解

?0 ?

g 2 R sin

查阅

?

2 此题中复摆振动实体机械能守恒,有

1 2 2mg?h ? 2m ?? ? A? 2

R ?1 ? cos ? ? ? ?1 ? cos ? ?
2

1? ? ?? ? gR ? 1 ? cos ? ? ? ? 1 ? cos ? ? ? ?? ? ? 2 R sin ? ? ? 2? ? 2? ?

? ? sin ? 0
2
?h

?

θ



2R T ? 2? g

专题12-例10 如图所示,质量为M的小平板固定在劲度系数为k

的轻弹簧上,弹簧的另一端固定在地上,有一质量为m的小球沿入射 角θ方向以速度v0射向小平板,并发生完全弹性碰撞.忽略一切摩擦, 求碰撞后小平板的振动方程. x 振动标准方程: m v x ? A cos ? t ? ? 0 v0 θ O M ? 对本题振动实体: k ?0 ? k 2 由图示关系: ?

?

?

? ?v x ? v0 sin ? ? ? ? ?v y ? v0 cos ? ? V

速度关系如示:

由弹性碰撞能量关系:

v ?y
V θ

v ?x
v?
v

1 1 1 2 2 2 2 ? mv0 ? m v ? ? v ? MV x y 2 2 2
2m cos ? V? v0 M?m

?

?

v0 θ

续解

2m cos ? V? v0 M?m
由振动中能量关系:

查阅

1 2 1 ? 2m cos ? ? kA ? M ? v0 ? 2 2 ? M?m ?
2mv0 cos ? A? M?m M k

2

k M

对 x ? A cos ? ? t ? ? 0 ?
2mv0 cos? x? M?m ? k M ?? cos ? t ? ? ? M ? k 2 ? ?

的斜面自h=5 m高处滑下,与一弹簧缓冲器相碰而自由振动,然后又 冲上斜面.若缓冲器弹簧的劲度系数k=100 N/m.求缓冲器弹簧的最 大压缩量及小车被缓冲的时间. 车与缓冲器一起自由振动过程是谐振过程,其中
h k 初相位时的速度为: v ? 2 gh ? 10m/s 30 ? 1 2 1 2 1 1 2 2 振幅由振动能量关系求得: kA ? kx0 ? Mv ? MV 2 2 2 2 y A ? 2m V ? 10.05 m/s

专题12-例11 如图所示,小车质量M=4 kg,由静止开始沿倾角

平衡位置时的压缩量为: x ? Mg sin ? 0

弹簧最大压缩量为: 振动时间借助参考圆: 缓冲时间为:

x ? x0 ? A ? 2.2m
?1

? 0 ? cos ?1 x 0 ? ? cos M A ? 0.7s t? ? 2? ? k

x0 A

?0 O x0 M

A

x

如图所示,在盛密度为的液体的大容器中 放入一只底面积为S的小圆柱形容器,在这个容器的底部 又插入一根细导流管.两只容器壁均静止不动,在小的 容器中注入密度为(ρ2>ρ1)的染了颜色的液体,使其高 度至H ,以使与外面容器的液面相平.然后打开细管上 端,可以看到重液通过细管流入大容器并沉入底部,但 经过一段时间轻液开始进入小容器中,以后这个过程重 复地进行着.如果假设液体不会混合且表面张力不计, 试求第一次从小容器里流出的重液的质量Δm1是多少?在 以后每次循环中,流进小容器的轻液的质量Δmn和从小容 器里流出的重液的质量Δmk各是多少?
H
?1
?2

解答

读题
设小容器底部开口与细管相接部 截面积为s,从此处流过的小液片 恰受力平衡时,重液液面下降x0, 若称此为平衡面,则有

x

x0

?2 ? H ? x0 ? gs ? ?1 Hgs

?2

H

?1

在此前(后)液面高(低)于平衡面x时,对应地正流经 细管上口的小液片所受合力为

? F ? ?1 Hgs ? ?2 ? H ? x0 ? x ? gs ? ? ?2 gsx

即:小液片以谐振形式从开口流出,当重液面下降2x0时, 重液片向下速度减为零,此后将换成轻液片上升.故第1 次从小容器中流出的重液质量为

? S ? 2 ? ?2 ? ?1 ? HS ?m2 ? ?1 2 x0

?m1 ? ?2 2 x0 S ? 2 ? ?2 ? ?1 ? HS

续解

? gs ? ?1 Hgs ?2 ? H ? 2 x0 ? gs ? ?1 x0

此后将换成轻液片上升,静止于重液 上层,当细管口轻液片受力平衡时, 小容器内下部是高(H-2x0)的重液, 上部轻液高度设为 ? x0

查阅

x

?2

?1

?H x0

? 2 ? ?1 ?1 ? ? x0 H ?1 ? ? x ? gs ? ?1 Hgs ? ? ?1 gsx ? F ? ?2 ? H ? 2 x0 ? gs ? ?1 ? x0
即:轻液片亦以谐振形式从开口流入,当轻液面上升2x0时, 轻液片向上速度减为零,此后将换成重液片下降.故第2 次流入小容器的轻液质量为

? S ? 2 ? ?2 ? ?1 ? HS ?m2 ? ?1 2 x0

每次循环中进出小容器的重液与轻液质量 相同,直至小容器中重液全部替换成轻液!

如图所示,平台A的质量为m,由劲度系 数为k的轻弹簧来支持.弹簧上端与A相连,下端与地面 相连,物块B的质量也是m,自由地放在平台中心,现用 竖直向下的力F=mg把弹簧压下(仍在弹性限度内),并 在系统静止时撤去外力,求此后A、B的运动情况及两者 各自到达的最大高度.
A、B处于平衡位置时弹簧压缩

2 mg x0 ? k
系统振幅为

y B O k

mg 2 A ? 2? ? 4 k
??
k 2m

A

圆频率为

续解

A、B一起振动的运动方程

查阅

? k ? mg y ? 2? ? 4 cos ? t ?? ? ? ? k 2 m ? ?
2

A、B一起振动至弹簧自然伸长时速度为
v ? ? A sin ? ? ? A ?
2 A2 ? x0

x
2

A
2

k mg ? ? 2mg ? ? ? ? 2? 2 ? 4 ?? ? 2m ? k ? ? k ? ?
m k

??g

x0 O ?0 A

v y ?A

v 2 ? 2 mg A、B在此位置分离,B竖直上抛到达最大高度 hB ? ? 2g 2k

B返回分离位置处历时 t B ? 2

v m ? 2? g k

续解

A、B分离后A谐振!
圆频率为 ? ? ?
振幅由
2

k m

y?
O′

查阅
A

1 ? x0 ? 1 1 2 2 k ? ? ? mv ? m ? A?? ? ? 2 ? 2 ? 2 2
A? ? ? 2 ? 1 mg k

k
x

初相位 ? ? ? ? cos?1

mg / k

? mg / k ?

?2 ?1

? ? cos

?1

1

?2 ?1

A振动的运动方程
2

A继续上升可达最大高度为

? k ? mg 1 ?1 y? ? ? ? 1 cos ? t ? cos ? ? ? 2 k m ? ?1 ? ?
hA ? A? ? x0 ? 2

x0/2 v y O ?? A′

?

? 2 ?1 ?1
k

?

A返回分离位置处历时一周期 t A ? T ? ? 2? m

mg k

续解

由于A、B分离后经相同时间回到分离处, 故对碰而交换速度,再经 t ? 2? m
k

查阅

A、B同速相遇一起向下做参数为A、ω及初 相为 cos ?1 1 的谐振,至向上过初始位置
vy

?2 ?1

?A
v
0
t

?? ? A?

?v

?? A

续解

整个过程中B到达的最高点距释放点
2 ? ? mg ? 2 HB ? 2 ? 2 ? ? 4 ? ? ? ? ? k ? 2 ?

整个过程中A到达的最高点距释放点

mg HA ? k

?

2? ? 4 ? ? ? 1 ? 1
2 2

?

如图所示,两个系统,每个都是由两个质量均为m 的相同物体组成,两物体间用劲度系数为k的弹簧相连.两系统以大 小相同的恒定速度v相向运动.某时刻,将相碰的两物体间距离 L.问经过多少时间后,这两物体间的距离又等于L?设碰撞是完全 弹性的.

相碰撞的两物体交换速度! 碰撞后瞬时系统情况如图:

L 两系统以2v速度接近,经时间 t ? 发生完全弹性碰撞 2v v v v v
m v m
v m v m

m
v m v m

m
v m v m

两系统各做简谐振动,经半周期 发生第二次碰撞: 相碰撞的两物体再次交换速度! 两系统以2v速度分离经 t ?

m

v
m

L 2v 又相距L L L T ?? ? ? 符合题意的总时间为 t ? 2 ? 2v 2 v

m 2k

? ? ? ? ?

成因

摩擦阻力 f ? ? ? v 形成波

阻尼因数

??

?
2m
2?

振动能转变为热 及向四周辐射!
阻力系数

阻尼振动周期 T ?

2 ?0 ??2

阻尼振动振幅 Ai ?1 ? Ai e ? T
v

阻尼振动图象

0

t

簧上悬挂一薄板A,测定它在空气中的周期T0,然后把薄板放在欲测 粘滞系数的液体中,令其振动,测定周期T.已知薄板质量为m,表面 积为S,液体的粘滞阻力 f ? 2S , v为运动速度.确定液体的粘滞系 ?v 数.

专题12-例12如图所示 实验装臵可以测定液体的粘滞系数:在弹

?0 T 2 2 ? T ? T 2? 0 2 2 ?? ? T0 ? ?0 ? ? 2 T0 T

而 ??

2 S? 2m ? 2m

?

T 2 ? T02 2? S? 則 ? ? 2 m T0 T

??

2? m T 2 ? T02 STT0

如图所示,在弹簧上悬挂重6 kg的物体.当无阻力 时,物体振动周期T=0.4πs,而在阻力与速度成正比时,其周期为 T1=0.5πs,试求当振动速度为1cm/s时所受的阻力大小.

T1 ? 由 ? T ?2 ? ? 2

T12 ? T 2 2? 得? ? ? 2 T T1

f 而? ? ? 2m 2mv
2 2 T ? T f 2? 1 则 ? ? 2mv T T12

?

f ?

4? mv T12 ? T 2 TT1

?

4? ? 6 ? 0.01 ? 0.25? ? 0.16?
2

2

0.2? 2

? 0.36N


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